数字信号处理 时域离散随机信号处理 第6章

6.2 连续小波变换
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过
引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数
的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。
这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:
ga(t)
0.5
0.5
AMPLITUDE
源自文库
0 0
150
100 50
50
1
40
ga(t)
30
0
0.5
20
250 200 150 100
FREQUENCY
50
10
TIME
0 0
0 0
(c)
t 0
500 1000 0 a＝ 0.0001
t 500 1000
(d )
t
500
1000
(a) (b) (c)
图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在 一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、 量子 力学、 军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、 数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的 分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得 了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、 构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处 理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方 面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率， 等 等。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理 的 实 际 需 要 经 验 地 建 立 了 反 演 公 式 。 早 在 20 世 纪 70 年 代 ， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还 构 造了历史上非常类似于 现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后， 小波分析才蓬勃发展起来，其中，比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲》(Ten Lectures on Wavelets)对 小波的普及起了重要的推动作用。
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.1 引言 6.2 连续小波变换 6.3 离散小波变换 6.4 小波分析的应用
6.1 引 言
小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来 的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。 与传统 的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是 一个时间和尺度上的局域变换， 因而能有效地从信号中提取 信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
STFTx (t, Ω)
x(
)w* (
t )e- jΩτ d
（6.2.2）
给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。
对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯 (Gauss)函数作为窗函数，即
w(t) g (t)
2
1
t2
e 4
α>0 （6.2.3）
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:
之所以命名为小波变换, 主要是基于以下两方面的原 因： 其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有 限的，“波”是指基函数是振荡的; 母小波则是指所有在变 换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它 窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样 的， 但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是 得到尺度参数， 它被定义为频率的倒数。
6.2.2 连续小波变换
1. 连续小波变换的定义
设x(t)是平方可积函数，记作 x(t) L2 (R) ，ψ(t)是基小波
或“母小波函数”，则
WTx (a, )
1 a
x(t)
*
t
a
dt
x(t),
a
(t)
(6.2.5)
称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有 关，其中a>0 被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中 的位移。
现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部 分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、 精确的重构或恢复。 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前， 对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波 分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。
AMPLITUDE
AMPLITUDE
10 5 0 250
200 150 100
50
FREQUENCY 0 0
50 40
30
20
10
TIME
150 100
50
0
200 150 100 50
FREQUENCY
50 40 30
20 10 TIME 00
(a)
(b)
a＝ 0.01 1
a＝ 0.001 1
ga(t)
GT
x
(t
,
Ω)
(x( )e jΩ
)g
(
t)d
（6.2.4）
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到。
对这样的定义方式作如下说明：
（1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达
式为
(t) et2 /T e j0t
(6.2.6)
它是在高斯包络下的负指数函数。
（2） 尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同 的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。