江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：14 空间中的平行与垂直

阶段检测卷(五)一、填空题(每小题5分，共70分)1．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人；现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人． 解析 设抽取的女运动员有x 人，则856＝x42，解得x ＝6. 答案 62．(2011·江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析 由题意得该组数据的平均数为x ＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s 2＝15[32＋(－1)2＋12＋(－2)2＋(－1)2]＝3.2.答案 3.23．(2011·江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析 从中取出两个数共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种情况．其中一个数是另一个数的两倍的情况共有{1,2}，{2,4}2种，∴p ＝26＝13. 答案 134．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色相同的概率是________．解析 四个球取出两球有6种等可能基本事件：(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．两只球颜色相同有3种：(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)． 所以所求概率为P ＝36＝12. 答案 125．(2013·南通调研)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是________．解析由于四棱锥的斜高h＝(7)2＋32＝4，故其侧面积S＝12×4×6×4＝48.答案486．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________解析当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x<4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋907＝91，∴x＝1.答案 17．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为________．解析设线段AC的长为x cm，则线段CB的长为(12－x)cm，那么矩形的面积为x(12－x)cm2，由x(12－x)＞20，解得2＜x＜10.又0＜x＜12，所以该矩形面积大于20 cm2的概率为2 3.答案2 38．(2013·辽宁卷改编)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数150.3＝50.答案509．(2012·南通模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为________．解析落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.答案1 510．(2012·淮阴、海门、天一中学联考)在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．解析|x|＋|y|≤2表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆x2＋y2＝4的面积易得概率为2π.答案2π11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD 的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF 的长度等于________．解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.答案 212．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．解析①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个．②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是545＝19.答案 1913．已知P 是△ABC 所在平面内一点， PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．解析 取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →，而由向量的中点公式知PB →＋PC →＝2PD →，则有AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为12. 答案 1214．(2013·安徽卷改编)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是________．解析 若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这五名女生成绩的平均数x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，故这五名男生成绩的方差为s 2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，这五名女生成绩的方差为s 2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.显然③正确，④错． 答案 ③ 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求证：DE ⊥平面P AB .证明 (1)设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB .故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF . 又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， 故DE ∥平面PBC .(2)因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥PD .又因为AB ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD .ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB .又PD ＝AD ，E 为P A 的中点，故ED ⊥P A ； P A ∩AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以ED ⊥平面P AB .16．(本小题满分14分)(2013·南京、盐城模拟)如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AB ＝2AE . (1)求证：AB ∥平面CDE ； (2)求证：平面ABCD ⊥平面ADE . 证明 (1)正方形ABCD 中，AB ∥CD ， 又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE .(2)因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD ，又正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AE ∩AD ＝A ， AE 、AD ⊂平面ADE ，所以CD ⊥平面ADE ， 又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ADE .17．(本小题满分14分)(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B 与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点，(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AC1，因为MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.18．(本小题满分16分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)记三棱锥P -ABD 体积为V 1，四棱锥P -BDEF 体积为V 2，且V 1V 2＝43，求此时线段PO 的长．(1)证明 在菱形ABCD 中，∵BD ⊥AC ， ∴BD ⊥AO .∵EF ⊥AC ，∴PO ⊥EF ，∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ，且PO ⊂平面PEF . ∴PO ⊥平面ABFED ， ∵BD ⊂平面ABFED ， ∴PO ⊥BD .∵AO ∩PO ＝O ，AO ，PO ⊂平面POA . ∴BD ⊥平面POA . (2)解 设AO ∩BD ＝H由(1)知，PO ⊥平面ABFED ，PO ＝CO .∴PO 是三棱锥P -ABD 的高及四棱锥P -BDEF 的高 ∴V 1＝13S △ABD ·PO ，V 2＝13S 梯形BFED ·PO ∵V 1V 2＝43∴S 梯形BFED ＝34S △ABD ＝34S △BCD∴S △CEF ＝14S △BCD∵BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴EF ∥BD ，∴△CEF ∽△CDB ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫CO CH 2＝S △CEF S △BCD ＝14∴CO ＝12CH ＝12AH ＝12×23＝ 3 ∴线段PO 的长为 3.19．(本小题满分16分)(2013·扬州调研)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是等边三角形，D 为AB 中点．(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．证明(1)连接AC1，设AC1与A1C相交于点O，连接DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD∴BC1∥平面A1CD；(2)∵等边△ABC，D为AB的中点，∴CD⊥AB∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵四边形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC∵底面△ABC是等边三角形∴三棱柱ABC -A1B1C1是正三棱柱．20．(本小题满分16分)(2012·苏锡常镇调研)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．图1图2(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B -DEG的体积．(1)证明如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DM＝3，EM＝1，∴DE＝2，CD＝2 3.则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.在图(2)中，又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.图(1)图(2)(2)解在图(2)中，∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝3 2.S△DEG＝13S△ACD＝13×12AC·CD·sin 30°＝ 3.三棱锥B -DEG的体积V＝13S△DEG·BH＝13×3×32＝32.。

常考问题12 空间中的平行与垂直(建议用时：50分钟)1．(2013·济南3月模拟)已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是 ( )．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.答案 A2．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )．A．①或② B．②或③C．①或③ D．只有②解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.答案 C3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 ( )．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β解析根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．答案 B4．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有 ( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.答案 B5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在( )．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上，故选A.答案 A6．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.答案①②7．(2013·金丽衢十二校联考)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .又DG ⊥AF ，∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 运动到E 点时，K 为AB 的中点，t ＝AK ＝AB 2＝1；当F 运动到C 点时，在Rt △ADF 中，易得AF ＝5，且AG ＝15，GF ＝45，又易知Rt △AGK ∽Rt △ABF ，则AG AK ＝ABAF，又AB ＝2，AK ＝t ，则t ＝12.∴t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 9．(2013·山东卷)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)法一 如图1，取PA 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .法二 如图2，连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD 的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P－ABCD的体积等于3时，求PB的长．(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解 ∵底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 菱形ABCD ＝2×12×AB ×AD ×sin 60°＝2×2×32＝2 3. ∵四棱锥P －ABCD 的高为PA ， ∴13×23×PA ＝3，解得PA ＝32.又∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝ PA 2＋AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 11．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝DA ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点．(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求证：AF ∥平面PEC ；(3)在线段BC 上是否存在一点M ，使AF ⊥平面PDM ？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)连接AC ，则AC ⊥BD .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD .又AC 与PA 相交于点A ，∴BD ⊥平面PAC .∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥BD .(2)取PC 的中点K ，连接FK ，EK ，则四边形AEKF 是平行四边形，∴AF ∥EK ，∵EK ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .(3)当M 是BC 的中点时，可使AF ⊥平面PDM ，证明如下：∵PA ＝DA ，F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD .∵在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，∴△BCD 为等边三角形，∴DM ⊥BC .又AD ∥BC ，∴DM ⊥AD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥DM ，∴DM ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，∴DM ⊥AF ，又PD ∩DM ＝D ，∴AF ⊥平面PDM .。

空间平行与垂直1.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.解析：连结AC 交BD 于点O ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为13S BB 1D 1D ·AO ＝6.答案：62.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|P A |＋|PC 1|＝2的点P 的个数为________．解析：点P 在以A ，C 1为焦点的椭圆上， 若P 在AB 上，设AP ＝x ，有P A ＋PC 1＝x ＋(1－x )2＋(2)2＝2， 解得x ＝12.故AB 上有一点P (AB 的中点)满足条件．同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件． 又若点P 在BB 1上，则P A ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2.故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P .答案：63．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.答案：12π4．(2012·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β； ③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α. ④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)解析：②③中的α与β可以相交．答案：①④5．(2012·江苏最后一卷)给出下列四个命题：①如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交；②如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；③如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：①中α内存在与β平行的直线；②中α内只有垂直于交线的直线才垂直于β；③、④正确．答案：③④[典例1]如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABC D，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．[解](1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得CD⊥BC.又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.(2)法一：分别取AB，PC的中点E，F，连结DE，DF，易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC 的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由(1)知，BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC.因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC.所以DF⊥平面PBC于F.易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于 2.法二：体积法：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h. 因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2. 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22. 由V A －PBC ＝V P －ABC ，13S △PBC ·h ＝V ＝13，得h ＝2，故点A 到平面PBC 的距离等于 2.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．[演练1]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，P A ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ； (2)四面体A －PBC 的体积．解：(1)证明：作CE ⊥AB 于点E ，则AE ＝EB ＝CE ＝2，BC ＝22，则AC ＝22，故∠ACB ＝90°，即AC ⊥CB .又P A ⊥平面ABCD ，故P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AC .又PC ⊂面P AC ， 因此BC ⊥PC .(2)因为P A ⊥平面ABC ，所以V A －PBC ＝V P －ABC ＝13S △ABC ·P A＝13×12AC ·BC ·P A ＝13×12×22×22×2＝83. 故四面体A －PBC 的体积为83.[典例2](2012·泰州模拟)已知四面体ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，平面ABC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为棱BC 和AD 的中点．(1)求证：AE ⊥平面BCD ； (2)求证：AD ⊥BC ；(3)若△ABC 内的点G 满足FG ∥平面BCD ，设点G 构成集合T ，试描述点集T 的位置．(不必说明理由)[解](1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.又∵平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD.(2)证明：连结DE，∵BD＝CD，E为BC的中点，∴BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，∴BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，∴BC⊥AD.(3)取AB，AC的中点M，N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN.本题的第(3)问考查线面平行，没有直接给出点G的位置，而是需要探究点的位置．根据面面平行的性质得到线面平行，并且利用面面的交线确定点G的位置．[演练2]如图ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：P A⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：P A≠PD.解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，∴AD＝2AB＝2BD.∴AB⊥BD.∵PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面P AB，∴BD⊥平面P AB.∵P A⊂面P AB，∴P A⊥BD.(2)证明：假设P A＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，∴AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又∵BC⊥CD，且PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，∴假设不成立，∴P A≠PD.[典例3](2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.本题主要考查空间几何体中的最值问题，综合考查数学建模能力及应用导数解决实际问题的能力．[演练3]某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图)，经测量得知：AC ＝3，AB ＝33，BC ＝6.工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起．请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，∵AC ＝3，AB ＝33，BC ＝6，∴BC 2＝AC 2＋AB 2， 得∠A ＝π2，∠C ＝π3，∠CED ＝π3，∠FEG ＝π3，∴CD ＝DE ·tan ∠CED ＝3x .∴GE ＝3－x －3x ＝3－(3＋1)x . ∴GF ＝3GE ＝3[3－(3＋1)x ]． 又GE >0，∴0<x <33＋1. 设容器的容积为V ， 则V ＝12x ·3·[3－(3＋1)x ]2∴V ′＝32[3－(3＋1)x ]2－3x [3－(3＋1)x ]·(3＋1) ＝332[3－(3＋1)x ][1－(3＋1)x ]． 令V ′＝0，又0<x <33＋1，∴x ＝13＋1＝3－12.当0<x <3－12时，V ′>0，3－12<x <33＋1时，V ′<0. ∴当x ＝3－12时，V max ＝3－ 3. [专题技法归纳]1．证明线面平行或垂直关系时，要认真体会“转化”这一数学思想方法，既要领会平行、垂直内部间的转化，也要注意平行与垂直之间的转化．2．空间几何体的表面积和体积的研究策略研究空间几何体的结构→计算相关边长→代入公式计算． 3．空间几何体的结构的研究策略运用转化的思想，将空间几何体的问题转化为平面问题，如几何体的外接球或内切球问题，转化为多边形的外接圆或内切圆的问题．4．组合体体积的求解组合体的体积求解无论是分割还是补形，关键是有利于求出几何体的高，即找到线面垂直．配套检测1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________．解析：②中l 与m 可能异面；④中α与β也可能相交．答案：①③2．已知P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且△P AB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为1.5 cm 2,2 cm 2,6 cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为________ cm 2.(注S 球＝4πr 2，其中r 为球半径)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12P A ·PB ＝1.5，12PB ·PC ＝2，12PC ·P A ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3，PB ＝1，PC ＝4.因为P A ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可构造长方体．长方体的体对角线长为26，即为外接球的直径，所以外接球的表面积为26π.答案：26π3．(2012·苏州二模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ； ②若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n .上面命题中，所有真命题的序号为________． 解析：①③中的直线m 与n 可以是异面直线． 答案：②④4．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)解析：如图，B ，D ，A 1到平面α的距离分别为1,2,4，则D ，A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B ，A 1的中点到平面α的距离为52，所以B 1到平面α的距离为5；则D ，B 的中点到平面α的距离为32，所以C 到平面α的距离为3；C ，A 1的中点到平面α的距离为72，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C ，C 1，B 1，D 1中的一点，所以所有可能的结果为3,5,6,7.答案：①③④⑤5．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ，②α∥β，③m ⊥α，④n ⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行，故②③④⇒①.(同理①③④⇒②)．答案：②③④⇒①(或①③④⇒②)6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四面体ACB 1D 1的体积为________． 解析：用正方体体积减去4个相同的三棱锥体积(或求棱长为2的正四面体的体积)． 答案：137．(2012·南京二模)一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________ cm 3.解析：正四棱锥的高h ＝52－32＝4， V ＝13×62×4＝48(cm 3)．答案：488．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：当四点共面时为矩形；当四点不共面时，若有三点在正方体的某一面内，则可形成③⑤中的几何形体，若任意三点都不在正方体的某一面内，则形成④中的几何形体．答案：①③④⑤9．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为________．解析：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设DF 长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1， 则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI＋HI ＝FI ＋EG ＝2x 22－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋⎝⎛⎭⎫2x 22－42，解得x ＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3.答案：2 310.(2012·南通一模)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心．则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．解析：如图1，当E 与A 1重合，F 与B 1重合时，四边形AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图2，当E 与A 1重合，四边形AEFG 在左、右面的正投影的面积最大值为8； 如图3，当F 与D 重合时，四边形AEFG 在上、下面的正投影的面积最大值为8； 综上得，面积最大值为12.答案：1211.(2012·南京二模)如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE 的值．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC . 因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ， AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE .因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ， 所以CE ⊥平面ABE .因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE . (2)连结BD 交AC 于点O ，连结OF .因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ， 所以DE ∥OF .又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12.12.(2013·无锡一中)如图，四棱锥E －ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD .(1)求证：AB ⊥ED ；(2)线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EF EA 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO .因为EA ＝EB ，所以EO ⊥AB .因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以BO ∥CD ，BO ＝CD .又因为AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为矩形， 所以AB ⊥DO . 因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD .又因为EDC 平面EOD ， 所以AB ⊥ED .(2)存在点F 满足EF EA ＝12，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE .证明如下：取EB 中点G ，连结CG ，FG . 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，FG ＝12AB .因为AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以FG ∥CD ，FG ＝CD .所以四边形CDFG 是平行四边形，所以DF ∥CG . 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， 所以DF ∥平面BCE .。

第13练空间中的平行与垂直[明晰考情] 1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明.2.题目难度：低档难度.考点一空间中的平行关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.证明如图所示，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连结EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵ME∥BC，NF∥AD，∴MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵CM＝DN，∴B1M＝NB.又B1C＝BD，∴MEBC＝BNBD＝NFAD，又BC＝AD，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF. 又EF⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD且AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.3.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连结FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形， ∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， 故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .4.如图，在六面体ABCDE 中，平面DBC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC .(1)求证：AE ∥平面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC . 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，垂足为O .∵平面DBC ⊥平面ABC ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ，DO ⊂平面DBC ，∴DO ⊥平面ABC .又AE⊥平面ABC，则AE∥DO.又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，则DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.考点三平行和垂直的综合应用方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.5.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ADB为正三角形.∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.6.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.典例 (14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF . 审题路线图(1)E ，F 是中点――→取PD 的中点M 构造▱AEFM ―→线线平行EF ∥AM ―→线面平行EF ∥平面PAD (2)面面垂直PAD ⊥底面ABCD ――→PA ⊥AD 线面垂直PA ⊥底面ABCD ―→线线垂直PA ⊥DE――――――――→Rt△ABH ≌Rt△DAE 线线垂直DE ⊥AH ―→线面垂直DE ⊥平面PAH ―→ 面面垂直平面PAH ⊥平面DEF 规X 解答·评分标准证明 (1)取PD 的中点M ，连结FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形， ∴AM ∥EF .4分又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD. 6分(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PA⊥底面ABCD.∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则DE⊥AH. 10分∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH.12分∵DE⊂平面DEF，∴平面PAH⊥平面DEF.14分构建答题模板[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.[第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规X书写解题步骤.1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，CA⊥AB，M为CB1的中点.(1)求证：AC∥平面MA1B；(2)求证：平面CAB1⊥平面MA1B.证明(1)如图，设AB1与A1B的交点为O，连结OM.因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，所以O为AB1的中点.因为M为CB1的中点，所以OM是△ACB1的中位线，所以OM∥AC.因为OM⊂平面MA1B，AC⊄平面MA1B，所以AC∥平面MA1B.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为CA⊂平面ABC，所以CA⊥AA1，因为CA⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以CA⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A，所以CA⊥A1B.因为在平行四边形ABB1A1中，AA1⊥AB，AB＝AA1，所以四边形ABB1A1是正方形，所以A1B⊥AB1.因为CA，AB1⊂平面CAB1，CA∩AB1＝A，所以A1B⊥平面CAB1.因为A1B⊂平面MA1B，所以平面CAB1⊥平面MA1B.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，O为AC与BD 的交点.(1)求证：OE∥平面PCD；(2)若DE⊥CD，PD＝AD，求证：平面APD⊥平面PAB.证明(1)因为底面ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点，所以O为AC的中点，又E为侧棱PA的中点，所以OE为△ACP的中位线，所以OE∥PC，因为PC⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，所以OE∥平面PCD.(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，又DE⊥CD，所以DE⊥AB.因为PD＝AD，E为侧棱PA的中点，所以DE⊥AP.又AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB＝A，所以DE⊥平面PAB，又DE⊂平面APD，所以平面APD⊥平面PAB.3.(2018·某某)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：(1)PE ⊥BC ；(2)平面PAB ⊥平面PCD ； (3)EF ∥平面PCD .证明 (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC . (2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB . 又PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连结FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为四边形ABCD 为矩形， 且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .word所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.11 / 11。

常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。

第2讲 空间中的平行与垂直1．(2013·杭州质检)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，以下四个命题：①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β，其中正确的是 ________.解析 设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故①错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以②正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此③错误； 已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此④错误．答案 ②2．(2013·山东改编)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ________.解析 如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC -A1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，由∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得∠OAP ＝π3.答案 π33．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________.解析①当a⊥b，a∥α时，b与α可能相交，所以①错误．②中a⊥β不一定成立．③中a⊂α或a∥α，所以错误．④正确，所以正确的命题只有一个．答案 14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列四个结论①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角，其中不正确的是________.解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案④5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列四个命题：①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________.解析在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD ⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.答案④6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案 27．如图，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号是________．解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，∴CB ⊥P A ，CB ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ，∴CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .又∵F 是点A 在PC 上的射影，∴AF ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂面PBC ，∴AF ⊥平面PBC ，故①③正确．又∵E 为A 在PB 上的射影，∴AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错．答案 ①②③8．(2013·安徽高考改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ ＝1时，S 的面积为62.解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确． ③中，当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题③错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12·2·3＝62，故命题④正确．答案 ①②④9．(2013·辽宁高考)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.B1C1中，A1B1＝10．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－AA1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.11．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在线段DE内．(1)求证：CO ⊥平面ABED ；(2)问∠CEO (记为θ)多大时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为多少．(1)证明 在直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，则AB ＝DE ，又AB ∥DE ，AD ⊥AB ，可知BE ⊥CD .在四棱锥C -ABED 中，BE ⊥DE ，BE ⊥CE ，CE ∩DE ＝E ，CE ，DE ⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE .又BE ⊂平面ABED ，所以平面ABED ⊥平面CDE ，因为CO ⊂平面CDE ，又CO ⊥DE ，且BE ，DE 是平面ABED 内的两条相交直线，故CO ⊥平面ABED .(2)解 由(1)知CO ⊥平面ABED ，所以三棱锥C -AOE 的体积V ＝13S △AOE ×OC ＝13×12×OE ×AD ×OC .由直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2，CE ＝2.得在三棱锥C -AOE 中，OE ＝CE cos θ＝2cos θ，OC ＝CE sin θ＝2sin θ，V ＝23sin 2θ≤23，当且仅当sin 2θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即θ＝π4时取等号(此时OE ＝2＜DE ，O 落在线段DE 内)，故当θ＝π4时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为23.。

第一部分 22个常考问题专项突破常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(2012·江苏卷)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为______． 解析 由题意⎩⎨⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0，所以x ∈(0，6]．答案 (0，6]2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于________．解析 依题意，得f (a )＝2－f (－1)＝2－ －(－1)＝1.当a ≥0时，有 a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有 －a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1.答案 ±13．(2013·苏州调研)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析 因为函数f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a 是定义域为R 的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即－12＋11＋a＝－－2＋14＋a，解得a ＝2. 答案 24．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x ＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________.解析 由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)5．(2013·镇江调研)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，所以u ＝ax －1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即⎩⎨⎧a ＞0，a －1≥0⇒a ≥1. 答案 [1，＋∞)6．(2013·苏州模拟)已知a ＝20.5，b ＝2.10.5，c ＝log 21.5，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 因为y ＝x 0.5，x ∈(0，＋∞)是增函数，所以b ＝2.10.5＞a ＝20.5＞1，又由对数函数性质可知c ＝log 21.5＜log 22＝1，所以a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c .答案 b ＞a ＞c7．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎨⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，238．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f (6)＝f (－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ， 即log a1＋x1－x≥m . 设F (x )＝log a1＋x1－x，x ∈[0,1)． 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， 即⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，－x 2－2x －1 (x ＜0).(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2， 解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．(2013·苏北四市调研)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，∴f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立 ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。

阶段检测卷(一)一、填空题(每小题5分，共70分)1．集合M ＝{x |xx －1>0}，集合N ＝{y |y ＝}，则M ∩N 等于________．解析 M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝[0，＋∞)， 所以M ∩N ＝(1，＋∞)． 答案 (1＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3，x ≤0，2x ，x >0，则f [f (－1)]等于________．解析 ∵f (－1)＝－(－1)3＝1， ∴f [f (－1)]＝f (1)＝2. 答案 23．(2012·山东卷改编)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为________．解析 根据使函数有意义的条件求解．由⎩⎨⎧x ＋1＞0， ln (x ＋1)≠0， 4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案 (－1,0)∪(0,2]4．若0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，r ＝a c, 则m ，n ，r 的大小关系是________． 解析 因为m ＝log a c <log a 1＝0，同理n <0， 作商m n ＝log a clog bc ＝log a b <log a a ＝1，即mn <1，又m ，n <0, 从而有0>m >n ， 即r ＝a c >0，故r >m >n . 答案 r ＞m ＞n5．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于原点对称，其最小正周期为4，且x ∈(0,2)时，f (x )＝log 2(1＋3x )，则f (2 015)＝______.解析 由函数f (x )的最小正周期为4，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数f (x )的图象关于原点对称，知f (－x )＝－f (x )，故f (2 015)＝f (－1)＝－f (1)＝－log 24＝－2. 答案 －26．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______．解析 对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x (x >0)．依题意，得f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a >0且方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，∴a >－1，又∵a ≠0， ∴－1<a <0或a >0. 答案 (－1,0)∪(0，＋∞) 7．设f (x )＝x 3＋log 2()x ＋x 2＋1，则不等式f (m )＋f (m 2－2)≥0(m ∈R)成立的充要条件是________．(注：填写m 的取值范围)解析 判断函数是奇函数，且在R 上是递增函数，∴f (m )＋f (m 2－2)≥0即为f (m 2－2)≥－f (m )＝f (－m )，∴m 2－2≥－m ，解得m ≥1或m ≤－2. 答案 m ≥1或m ≤－28．(2013·盐城模拟)若y ＝f (x )是定义在R 上周期为2的周期函数，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．解析 利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝log 3|x |的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．答案 49．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R)，若y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为______．解析 由题意可知f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立，∴1－2a－b ≤0且4＋4a －b ≤0，作出可行域如图，当直线经过两直线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，取得最小值32.答案 3210．(2012·南通密卷)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，那么k 的取值范围是________． 解析 由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a －k ＝－a 2－b －k ＝－b ⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，9411．利民工厂某产品的年产量在100吨至300吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为________．解析 由于每吨的成本与产量之间的函数关系式为g (x )＝y x ＝x 10＋4 000x －30(100≤x ≤300)，由基本不等式得g (x )＝x 10＋4 000x －30≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x 时取得等号，此时x ＝200. 答案 20012．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图，下列关于函数f (x )的四个命题：①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数是________． 解析 首先排除①，不能确定周期性，f (x )在[0,2]上时f ′(x )<0，故②正确，当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t ≤5，所以排除③；不能确定在x ＝2时函数值和a 的大小，故不能确定几个零点，故④错误． 答案 113．若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________．解析 函数f (x )＝a x ＋x －4的零点是函数y ＝a x 与函数y ＝4－x 图象交点A 的横坐标，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点是函数y ＝log a x 与函数y ＝4－x 图象交点B 的横坐标．由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，且直线y ＝4－x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝4－x 与直线y ＝x 的交点(2,2)即是线段AB 的中点，所以m ＋n ＝4，且m >0，n >0.所以1m ＋1n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋n m ≥1，当且仅当m ＝n 时等号成立．答案 114．对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号)解析 ∵定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，①正确；∵f (x ＋2π)≠f (x )，∴2π不是函数f (x )的周期，②错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，∴点(π，0)不是函数f (x )的图象的一个对称中心，③错误； ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又∵函数f (x )是偶函数，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减，④正确，所以真命题的序号是①④. 答案 ①④ 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)(2013·阳光启学大联考)已知函数f (x )＝ln xx . (1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若a >0，函数h (x )＝xf (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值，求实数a 的取值范围． 解 (1)对已知函数f (x )求导得， f ′(x )＝1－ln xx 2.由1－ln x ＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，e]上单调递增， 在[e ，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝xf (x )－x －ax 2， 可得h (x )＝ln x －x －ax 2，则h ′(x )＝1x －1－2ax ＝－2ax 2－x ＋1x.h (x )＝xf (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝－2ax 2－x ＋1在(0,2)上有零点，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a >－18.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．16．(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x ＋250，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x －1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x )，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. 当x ≥80时， L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950. 综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln(2x ＋1)＋bx ＋1.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线2x ＋y －3＝0平行，求a 的值； (2)若b ＝12，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，f ′(x )＝2a 2x ＋1＋b ＝2bx ＋2a ＋b 2x ＋1，由题意可得⎩⎨⎧f ′(1)＝0，f ′(0)＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝1，所以a ＝－32.(2)若b ＝12，则f (x )＝a ln(2x ＋1)＋12x ＋1， 所以f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2，1° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2>0，由函数定义域可知，4x ＋2>0，所以2x ＋4a ＋1>0，①当a ≥0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；②当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．2° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2<0，即2x ＋4a ＋1<0，①当a ≥0时，不等式f ′(x )<0无解；②当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12，f ′(x )<0，函数f ′(x )单调递减．综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞为增函数；当a <0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞为增函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12为减函数． 18．(本小题满分16分)(2013·扬州中学质检)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞2x 的解集为(－1,3)．(1)若函数g (x )＝xf (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，求a 的取值范围；(2)当a ＝－1时，证明方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根；(3)当x ∈[0,1]时，试讨论|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件． 解 (1)∵f (x )－2x ＞0的解集为(－1,3)，∴可设f (x )－2x ＝a (x ＋1)(x －3)，且a ＜0， 因而f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＋2x ＝ax 2＋2(1－a )x －3a ①g (x )＝xf (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax ， ∵g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3上的函数值非正， 由于a ＜0，对称轴x ＝2(a －1)3a ＞0，故只需g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 33＋43a (1－a )－3a ≤0，注意到a ＜0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)． 故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，即证方程2x 3＋x 2－4x －4＝0仅有一个实数根．令h (x )＝2x 3＋x 2－4x －4，由h ′(x )＝6x 2＋2x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝23，易知h (x )在(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23上递减，h (x )的极大值h (－1)＝－1＜0，故函数h (x )的图象与x 轴仅有一个交点，∴a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r (x )＝f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1＝ax 2＋x ＋1，r (0)＝1，对称轴为x ＝－12a ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ＜0，r (1)＝a ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12，r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ≤3，r (1)＝a ＋2≥－3，解出－5≤a ＜0，故使|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件是－5≤a ＜0. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln ax －x －ax (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数)；(3)当a ＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y ＝f (x )的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由． (1)解 由题意得f ′(x )＝x －ax 2.当a >0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值．当a <0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值．(2)证明 取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln ex ， 取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.(3)假设存在这样的切线，设其中一个切点为T ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0－x 0－1x 0，∴切线方程为y ＋1＝x 0－1x 20(x －1)，将点T 坐标代入得ln x 0－x 0－1x 0＋1＝(x 0－1)2x 20，即ln x 0＋3x 0－1x 20－1＝0，①设g (x )＝ln x ＋3x －1x 2－1，则g ′(x )＝(x －1)(x －2)x 3.∵x >0，∴g (x )在区间(0,1)，(2，＋∞)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数， 故g (x )极大值＝g (1)＝1>0，g (x )极小值＝g (2)＝ln 2＋14>0. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 14＋12－16－1＝－ln 4－5<0.注意到g (x )在其定义域上的单调性，知g (x )＝0仅在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线仅有一条． 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1. (1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围；(3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1,1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围．(1)证明 ∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． (2)解 由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3＝0，得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧b －1b ＋3>1，b －1b －3>1，即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)．(3)解 ∵∀x 1，x 2∈[－1,1]，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可． F (－1)＝1a ＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ， ∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a . 令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0.∴F (1)>F (－1)． ∴|F (x 2)－F (x 1)|的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a ，∴要使|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－2，∴只需h(a)≤h(e2)，即1<a≤e2.故a的取值范围是(1，e2]．11。