(完整)人教版七年级数学下册第五六章练习题

123（第三题）A B C D E (第10题)ABCD 1234（第2题）12345678（第4题）ab cA B CD（第7题）七年级数学第五章《相交线与平行线》测试卷一、选择题（每小题3分，共 30 分）1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）ABC D121212122、如图AB ∥CD 可以得到（ ）A 、∠1＝∠2B 、∠2＝∠3C 、∠1＝∠4D 、∠3＝∠4 3、直线AB 、CD 、EF 相交于O ，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A 、90° B 、120° C 、180° D 、140° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ）A 、①②B 、①③C 、①④D 、③④5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）BD7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：28、下列现象属于平移的是（ ）① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走A 、③B 、②③C 、①②④D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ）A 、有且只有一条直线与已知直线平行B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

新版人教版七年级数学下册知识点汇总第五章 相交线与平行线一、知识网络结构二、知识要点1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ，垂直是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。

如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。

邻补角的性质： 邻补角互补 。

如图1所示， 与互为邻补角，与 互为邻补角。

+ = 180°； + = 180°； + = 180°； + = 180°。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。

对顶角的性质：对顶角相等。

如图1所示， 与 互为对顶角。

= ； = 。

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。

如图2所示，当 = 90°时， ⊥垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧平移命题、定理的两直线平行：平行于同一条直线性质角互补：两直线平行，同旁内性质相等：两直线平行，内错角性质相等：两直线平行，同位角性质平行线的性质的两直线平行　：平行于同一条直线判定直线平行　：同旁内角互补，两判定线平行　：内错角相等，两直判定线平行　：同位角相等，两直判定定义平行线的判定平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图11 3 4 2性质3：如图2所示，当 a ⊥ b 时， = = = = 90°。

123（第三题）A B C D E (第10题)ABCD 1234（第2题）12345678（第4题）ab cA B CD（第7题）七年级数学第五章《相交线与平行线》测试卷一、选择题（每小题3分，共 30 分）1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）ABC D121212122、如图AB ∥CD 可以得到（ ）A 、∠1＝∠2B 、∠2＝∠3C 、∠1＝∠4D 、∠3＝∠4 3、直线AB 、CD 、EF 相交于O ，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A 、90° B 、120° C 、180° D 、140° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ）A 、①②B 、①③C 、①④D 、③④5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）BD7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：28、下列现象属于平移的是（ ）① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走A 、③B 、②③C 、①②④D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ）A 、有且只有一条直线与已知直线平行B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

初一数学练习卷一、选择题。

1、如图下列推理中，正确个数是（）。

（1）∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC （3）∵AD∥BC，∴∠3＝∠4（4）∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CDA、1个B、2个C、3个D、4个2、已知，如图∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4＝（）。

A、80°B、70°C、60°D、50°3、若33ba+＝0，则a与b的关系是（）（A）0==ba（B）ba=（C）0=+ba（D）ba1=4、如图，在ABC∆中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）。

A、∠1＝∠2B、∠1＝∠DFEC、∠1＝∠AFDD、∠2＝∠AFD5、如图AB∥CD，则∠1＝（）。

A、75°B、80°C、85°D、95°6、若35,b a b++的小数部分是a，3-5的小数部分是则的值为（）A、0B、1C、-1D、2（第4题）（第5题）(第8题)7、点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为（）。

A、4cmB、5cmC、小于2cmD、不大于2cm8、如图将ΔABC水平向右平移到ΔDEF，若A、D间的距离为1，CE＝2，则BF＝（）。

A、3B、4C、5D、不能确定9、若a为实数，且aa-=2，则实数a在数轴上的对应点在…………（）A.原点左侧B.原点或原点左侧C.原点右侧D.原点或原点右侧10、若一个自然数的算术平方根是m，则此自然数的下一个自然数（即相邻且更大的自然数）的算术平方根是（）（A）12+m（B）12+m（C）1+m（D）1+m二、填空题。

11、若x的平方根是2±，则x=___；81的平方根是_______________;0.064的立方根是____________. 12．已知实数a、b 在数轴上的位置如图所示：化简：(a－b)2－｜a＋b｜=_______________13、若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3＝45°，则∠1＝________。

123（第三题）A B C D E (第10题)ABCD 1234（第2题）12345678（第4题）ab cA B CD（第7题）七年级数学第五章《相交线与平行线》测试卷一、选择题（每小题3分，共 30 分）1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）ABC D121212122、如图AB ∥CD 可以得到（ ）A 、∠1＝∠2B 、∠2＝∠3C 、∠1＝∠4D 、∠3＝∠4 3、直线AB 、CD 、EF 相交于O ，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A 、90° B 、120° C 、180° D 、140° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ）A 、①②B 、①③C 、①④D 、③④5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）BD7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：28、下列现象属于平移的是（ ）① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走A 、③B 、②③C 、①②④D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ）A 、有且只有一条直线与已知直线平行B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

人教版数学七年级下册第五-六章测试题一、选择题:1、如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //（ ） A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. ο180=∠+∠ACD D 2、如图，AD ∥BC ，∠B=30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3、如图，直线PQ ⊥MN ，垂足为O ，AB 是过点O 的直线，∠1=50°，则∠2•的度数为（ ） A ．50° B ．40° C ．60° D ．70°4、4的值等于（ ）A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．25、下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根;B ．2是（-2）2的算术平方根 C ．（-2）2的平方根是2; D ．8的平方根是±26、（-15）2的平方根是（ ） A ．125 B ．-125C ．15D ．±157、一个自然数a 的算术平方根为x ，则a+1的立方根是（ ）A ．31x +B ．23(1)x +C ．321a +D ．321x +8、下列结论中正确的个数为（ ）（1）零是绝对值最小的实数；（2）数轴上所有的点都表示实数；（3）无理数就是带根号的数；（4）-127的立方根为±13； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且EF ∥AB ，要使DF ∥BC ，只需再有下列条件中的EDCBA4321第1题图第2题图第3题图（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠DFEC ．∠1=∠AFD D ．∠2=∠AFD10、如图，已知AB ∥CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点M 、N ，NG 平分MND ∠，若170∠=°，则2∠的度数为（ ）A 、10°B 、15°C 、20°D 、35°11、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进， 那么两次拐弯的角度是（ ）A 、第一次右拐50°，第二次左拐130B 、第一次左拐50°，第二次右拐50°C 、第一次左拐50°，第二次左拐130°D 、第一次右拐50°，第二次右拐50° 12、下列命题中，真命题的个数有（ ）① 同一平面内，两条直线一定互相平行； ② 有一条公共边的角叫邻补角； ③ 内错角相等。

123（第三题）A B C D E (第10题)ABCD 1234（第2题）12345678（第4题）ab cA B CD（第7题）七年级数学第五章《相交线与平行线》测试卷一、选择题（每小题3分，共 30 分）1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）ABC D121212122、如图AB ∥CD 可以得到（ ）A 、∠1＝∠2B 、∠2＝∠3C 、∠1＝∠4D 、∠3＝∠4 3、直线AB 、CD 、EF 相交于O ，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A 、90° B 、120° C 、180° D 、140° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ）A 、①②B 、①③C 、①④D 、③④5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）BD7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：28、下列现象属于平移的是（ ）① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走A 、③B 、②③C 、①②④D 、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ）A 、有且只有一条直线与已知直线平行B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

人教版2022年七年级下册第5-6章综合性训练题一．选择题1．如图，1∠和2∠是同位角的是( )A ．B ．C ．D ．2．81的平方根是( )A ．81B ．3±C ．3-D ．33．在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列判断中，错误的是( )A ．1-的平方根是1±B ．1-的倒数是1-C ．1-的绝对值是1D ．1-的平方的相反数是1-5．如图，BD 平分ABC ∠，若12∠=∠，则( )A ．AD BC =B ．AB CD =C ．//AB CD D ．//AD BC6．下列各式成立的是( )A 93=±B 2(9)81-=C 2(3)3--D 2(3)3-=7．若24m -与31m -是同一个数的平方根，则m 的值是( )A ．3-B ．1-C ．1D ．3-或18．已知29.9799.4009=，29.9899.6004=，29.9999.8001=，求997000之值的个位数字为何？( )A ．0B ．4C ．6D ．89．如图，将ABC ∆沿着点B 到C 的方向平移到DEF ∆的位置，10AB =，4DH =，平移距离为6，则阴影部分面积为( )A ．96B ．48C ．24D ．1210．如图，直线//AB CD ，44C ∠=︒，E ∠为直角，则1∠等于( )A ．132︒B ．134︒C ．136︒D ．138︒二．填空题11．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段 搭建最短，理由是 ．12．比较大小：5- 2-（填“>”、“ =”或“<” )．13．如图是一把剪刀的示意图，手柄15AOB ∠=︒，要想使刀口的角度COD ∠达到40︒，那么手柄AOB ∠应增加的度数是 ．14．在227，2π，0，223-380.9- 个． 15a 2±，那么a = ．16．如图，点C 在直线AB 上(A 、C 、B 三点在一条直线上），若CE CD ⊥，已知150∠=︒，则2∠= ︒．17．若10的值在两个整数a 与1a +之间，则a = ．三．解答题18．一个正数的x 的平方根是23a -与5a -，求a 和x 的值．19．已知：如图，A F ∠=∠，C D ∠=∠．求证：//BD CE ．20．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a 从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b ，根据光学知识有12∠=∠，34∠=∠，请判断光线a 与光线b 是否平行，并说明理由．21．求符合下列各条件中的x 的值．（1）2(4)4x -= （2）21(3)903x +-=．22．已知：如图所示，ABD ∠和BDC ∠的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）求证：//AB CD ；（2）试探究2∠与3∠的数量关系．23．阅读下面的文字，解答问题．现规定：分别用[]x 和x 〈〉表示实数x 的整数部分和小数部分，如实数 3.14的整数部分是[3.14]3=，小数部分是3.140.14〈〉=；实数7的整数部分是[7]2=，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即72-就是7的小数部分，所以772〈〉=-．（1）[2]= ，2〈〉= ；[11]= ，11〈〉= ．（2）如果5a 〈〉=，[101]b =，求5a b +-的立方根．24．如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，90COE ∠=︒，OF 平分AOE ∠，37COF ∠=︒．（1）求EOB ∠的度数．（2）若射线OF 、OD 分别绕着点O 按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF 每分钟转动6︒，射线OD 每分钟转动0.5︒，多少分钟后，射线OF 与射线OD 第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若33FOD ∠=︒，则两射线同时出发 分钟．25．先观察下列等式，再回答问题： ①2211111111121112++=+-=+； ②2211111111232216++=+-=+； ③22111111113433112++=+-=+ （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想2211145++的结果，并进行验证； （2）根据上面的规律，可得22111910++= ． （3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用(n n 为正整数）表示的等式，并加以验证．26．（1）如图1，//AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数；（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B ，D 两点之间运动时，请写出APC ∠与α，β之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P 在B ，D 两点外侧运动时（点P 与点O ，B ，D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α，β之间的数量关系．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知，A 、1∠和2∠是同位角，故此选项符合题意；B 、1∠和2∠不是同位角，故此选项不符合题意；C 、1∠和2∠不是同位角，故此选项不符合题意；D 、1∠和2∠不是同位角，故此选项不合题意；故选：A ．2．【解答】解：9=，而29(3)=±，∴3±． 故选：B ．3．【解答】解：从左向右第一个图形中，垂线段是线段，图中画的是射线，故错误； 第二个图形中，BE 不垂直AC ，所以错误；第三个图形中，是过点A 作的AC 的垂线，所以错误；第四个图形中，过点B 作的BC 的垂线，也错误．故选：D ．4．【解答】解：A 、负数没有平方根，故A 说法不正确；B 、1-的倒数是1-，故选项正确；C 、1-的绝对值是1，故选项正确；D 、1-的平方的相反数是1-，故选项正确．故选：A ．5．【解答】解：BD 平分ABC ∠，13∴∠=∠，又12∠=∠，23∴∠=∠，//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）． 故选：D ．6．【解答】解：A 、原式3=，不符合题意；B 、原式|9|9=-=，不符合题意；C 、原式|3|3=-=，不符合题意；D 、原式|3|3=-=，符合题意，故选：D ．7．【解答】解：当2431m m -=-时，3m =-， 当24310m m -+-=时，1m =．故选：D ．8．【解答】解：29.9799.4009=，29.9899.6004=，29.9999.8001=， ∴99.600499.799.8001<<，9.9899.79.99∴<<，998997000999∴<<，即其个位数字为8．故选：D ．9．【解答】解：由平移的性质知，6BE =，10DE AB ==， 1046HE DE DH ∴=-=-=，()()1110664822HDFC ABEH S S AB HE BE ∴==+⋅=+⨯=四边形梯形． 故选：B ．10．【解答】解：过E 作//EF AB ，//AB CD ，////AB CD EF ∴，C FEC ∴∠=∠，BAE FEA ∠=∠，44C ∠=︒，AEC ∠为直角， 44FEC ∴∠=︒，904446BAE AEF ∠=∠=︒-︒=︒， 118018046134BAE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．二．填空题（共7小题）11．【解答】解：PM MN ⊥，∴由垂线段最短可知PM 是最短的， 故答案为：PM ，垂线段最短．12．【解答】解：， 故答案为：<．13．【解答】解：由于40COD AOB ∠=∠=︒， 所以手柄AOB ∠应增加的度数是401525︒-︒=︒， 故答案为：25︒．14．【解答】解：227，233-是分数，属于有理数；02，是整数，属于有理数；无理数有2π，2个．故答案为：2．15．【解答】解：2(2)4±=，∴4，216a ∴==．故答案为：16．16．【解答】解：CE CD ⊥，90ECD ∴∠=︒，150∠=︒，21801180905040ECD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 故答案为：40︒．17．【解答】解：a 与1a +之间，34<，3a ∴=． 故答案为：3．三．解答题（共9小题）18．【解答】解：一个正数的x 的平方根是23a -与5a -， 2350a a ∴-+-=或235a a -=-解得：2a =-或83a =， 237a ∴-=-或7233a -=． 2(7)49x ∴=-=或499x =． 19．【解答】证明：A F ∠=∠， //AC DF ∴，C FEC ∴∠=∠，C D ∠=∠，D FEC ∴∠=∠，//BD CE ∴． 20．【解答】解：平行．理由如下：如图，34∠=∠，56∴∠=∠，12∠=∠，1526∴∠+∠=∠+∠，//a b ∴．21．【解答】解：（1）2(4)4x -=， 42x ∴-=±．解得：12x =，26x =．（2）移项得：21(3)93x +=， 两边同时乘以3得：2(3)27x +=，3x ∴+=±．13x ∴=，23x =-．22．【解答】证明：（1）BE 、DE 平分ABD ∠、BDC ∠，112ABD ∴∠=∠，122BDC ∠=∠； 1290∠+∠=︒，180ABD BDC ∴∠+∠=︒；//AB CD ∴；（同旁内角互补，两直线平行）解：（2）DE 平分BDC ∠，2FDE ∴∠=∠；1290∠+∠=︒，180(12)9090BED DEF ∴∠=-∠+∠=︒=∠=︒； 390FDE ∴∠+∠=︒；2390∴∠+∠=︒．23．【解答】解：（1）122<<，∴11-，即1=，1=，3114<<，∴33，即3=，3=，故答案为：11，33；（2）的整数部分是2的整数部分是10，∴2a ==，10b ==，∴2108a b +=+=， 又8的立方根为2，∴a b +2．24．【解答】解：（1）90COE ∠=︒，37COF ∠=︒， 903753EOF ∴∠=︒-︒=︒． OF 平分AOE ∠，532106AOE ∴∠=︒⨯=︒．18010674EOB ∴∠=︒-︒=︒．（2）180COD ∠=︒，90COE ∠=︒，90EOD ∴∠=︒．9053143FOD ∴∠=︒+︒=︒．设x 分钟后射线OF 与射线OD 第一次重合，依题意得：60.5143x x -=， 解得：26x =．答：26分钟后，射线OF 与射线OD 第一次重合．（3）由（2）可知，开始时143FOD ∠=︒，设两射线同时出发t 分钟后，33FOD ∠=︒，当射线OF 与射线OD 第一次重合前，由题意得6331430.5t t +=+， 解得20t =；当射线OF 与射线OD 第一次重合后，由题意得6143330.5t t =++， 解得32t =，综上，两条射线同时出发20或32分钟后，33FOD ∠=︒． 故答案为：20或32．25．【解答】解：（11111144120=+-=+21112020==（21111191090+-=（3211n n++=222222(1)21(1)n n n n n n n +++++=+ 2222(1)2(1)1(1)n n n n n n ++++=+ 2222(1)(1)n n n n ++=+ 21(1)n n n n ++=+ 2221n n n n n n+=+++ 211n n=++ 26．【解答】解：（1）过点P 作//PE AB ， //AB CD ，////PE AB CD ∴，180A APE ∴∠+∠=︒，180C CPE ∠+∠=︒， 130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒， 50APE ∴∠=︒，60CPE ∠=︒， 110APC APE CPE ∴∠=∠+∠=︒．（2）APC αβ∠=∠+∠，理由：如图2，过P 作//PE AB 交AC 于E ，//AB CD ，////AB PE CD ∴，APE α∴∠=∠，CPE β∠=∠， APC APE CPE αβ∴∠=∠+∠=∠+∠；（3）①如图所示，当P 在BD 延长线上时， CPA αβ∠=∠-∠；②如图所示，当P在DB延长线上时，∠=∠-∠；CPAβα∠=∠-∠．CPAαβ∴∠=∠-∠或者CPAβα。