北师大版高中数学必修一第四章 §1

精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

1．1 利用函数性质判定方程解的存在1．了解函数的零点与方程的根的关系．2．掌握函数零点存在性的判定方法．3．探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的______称为这个函数的零点．(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程______的解．①方程f(x)＝0有解函数f(x)的图像与x 轴有交点函数f(x)有零点．②并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，则该函数无零点．【做一做1－1】函数y＝x的零点是( )．A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在【做一做1－2】函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．32．函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是____曲线，并且在区间端点的函数值符号______，即______＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有____零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y ＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3，4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以有f(3)·f(4)＝0，但3是函数f(x)的一个零点.②函数f(x)＝x2在区间[－1，1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.③函数f(x)＝1,0,2,0,3,0x xxx x+>⎧⎪-=⎨⎪-<⎩在区间[－1，1]上有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图像知函数f(x)在区间(－1，1)内无零点.【做一做2－1】已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )．A．(3,4) B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)【做一做2－2】函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．答案：1．(1)横坐标(2)f(x)＝0。

第四章 §1A 组·素养自测一、选择题1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝ND ．log a N ＝2[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5D ．100＝1与lg 1＝0[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72 C ．8 D ．37[解析] ⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 124＝2×4＝8.4．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14得x ＝3. 二、填空题 7．log (2－1)(3－22)＝__2__．[解析] 原式＝log (2－1)(2－1)2＝2.8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x9＝1，则x ＝__－13__．[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x9＝3，所以x ＝－13.三、解答题10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log 32；(2)3log 34－lg 10＋2ln1.[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝73.B 组·素养提升一、选择题1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0B ．lg (ln e )＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A .1100B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110.二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__．[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log333＝__3__．[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝4． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －12＝8－12＝18＝122＝24.三、解答题8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， ∴2－x2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。