第1章1.1.1第二课时知能优化训练

[学生用书 P 12]1．(2011年中山高二检测)下列说法不．正确的是( ) A ．油脂是高级脂肪酸和甘油生成的酯B ．米饭在嘴中越咀嚼越甜的原因是淀粉水解生成甜味物质C ．油脂、乙醇是人体必需的营养物质D ．水果因含有酯类物质而具有香味解析：选C 。

油脂是人体必需的营养物质，而乙醇不是。

2．下列关于油脂的叙述中错误的是( )A ．从溴水中提取溴可用植物油作萃取剂B ．用热的纯碱溶液去油污效果更好C ．硬水使肥皂去污能力减弱是因为发生了沉淀反应D ．用热的碱溶液可区别植物油和矿物油解析：选A 。

植物油中含不饱和键可与溴发生加成反应；温度越高，纯碱溶液的水解程度越大，碱性越强，油污的水解速率越快；硬水中钙(镁)离子易与肥皂反应生成难溶于水的高级脂肪酸钙(镁)；植物油为油脂，在热碱溶液中水解，产物均溶于水，而矿物油主要为烃类，不与碱反应，液体仍为两层。

3．(2011年长沙高二检测)可以判断油脂皂化反应基本完成的现象是( )A ．反应液使红色石蕊试液变蓝色B ．反应液使蓝色石蕊试纸变红色C ．反应后静置，反应液分为两层D ．反应后静置，反应液不分层解析：选D 。

油脂是高级脂肪酸与甘油形成的酯，发生皂化反应后得到的产物为甘油和高级脂肪酸钠。

根据产物的性质，甘油和高级脂肪酸钠均溶于水，油脂皂化反应基本完成时溶液不分层。

4．某天然油脂10 g ，需1.8 g NaOH 才能完全皂化，又知该油脂1 kg 进行催化加氢，消耗氢气12 g 才能完全氢化。

试推断1 mol 该油脂平均含有碳碳双键为( )A ．2 molB ．3 molC ．4 molD ．5 mol解析：选C 。

1 mol 油脂完全皂化需要3 mol NaOH ，则油脂的摩尔质量为：10 g 1.8 g 40 g·mol－1×13＝20003g·mol －1 则n (油脂)∶n (H 2)＝100020003∶122＝1∶4 即1 mol 该油脂平均含有碳碳双键数为4 mol 。

1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}2．(2010年高考陕西卷)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}3. 已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∅D．{0,1}3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．46．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．9．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m 的取值范围为________．10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围．。

1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤24．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．1．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A ＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A．4 B．8C．16 D．326．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．A∈B D．B∈A7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx＝1}，则A、B间的关系为________．8．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．9．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________．10．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．11．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．12．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求实数m的值．。

1．下列关于化学反应的描述中正确的是( )A ．HCl 和NaOH 反应的中和热ΔH ＝－57.3 kJ/mol 。

则H 2SO 4和Ca(OH)2反应的中和热ΔH ＝2×(－57.3) kJ/molB ．CO(g)的燃烧热是283.0 kJ/mol ，则2CO 2(g)===2CO(g)＋O 2(g)反应的ΔH ＝＋(2×283.0) kJ/molC ．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应D ．1 mol 甲烷燃烧生成气态水和二氧化碳所放出的热量是甲烷的燃烧热解析：选B 。

本题以燃烧热、中和热等为背景，考查化学反应中的能量变化。

通过分析可以发现，解答时首先要明确燃烧热和中和热的意义，并且要注意ΔH 值与化学方程式的化学计量数是成比例关系的。

A 项中H 2SO 4与Ca(OH)2不仅生成水，而且还生成微溶物CaSO 4，会改变体系热量；C 项中，需加热才能发生的反应不一定是吸热反应，如燃烧；D 项中甲烷的燃烧热应指生成液态水时放出的热量。

2．下列说法或表示方法正确的是( )A ．等质量的硫蒸气和硫黄分别完全燃烧，后者放出热量多B ．氢气的燃烧热为285.8 kJ/mol ，则表示氢气燃烧热的热化学方程式为：2H 2(g)＋O 2(g)===2H 2O(g) ΔH ＝－285.8 kJ/molC ．由石墨制备金刚石是吸热反应，则等质量的石墨的能量比金刚石高D ．中和热为57.3 kJ/mol ，若将含1 mol CH 3COOH 的稀溶液与含1 mol NaOH 的溶液混合，放出热量小于57.3 kJ解析：选D 。

A 项中由S(g)===S(s) ΔH <0，可知硫蒸气放热更多，A 错；B 项中燃烧热是指1 mol 纯物质完全燃烧生成稳定的氧化物所放出的热量，H 2O(g)应为H 2O(l)，且热化学方程式应以H 2化学计量数1为标准来配平，B 错；C 项中由C(s ，石墨)===C(s ，金刚石) ΔH >0，可知等质量的石墨的能量低于金刚石的能量，C 错；D 项1 mol H ＋和1 mol OH －反应生成1 mol H 2O(l)放出热量为57.3 kJ ，但CH 3COOH 电离(CH 3COOH H ＋＋CH 3COO －)需吸收一部分能量，D 正确。

【优化方案】2014年高中数学第1章1.1.1正弦定理和余弦定理正弦定理知能优化训练新人教A版必修5 1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则( )A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45° D．以上答案都不对解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C⇒sin C＝12，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝ 2.3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，则根据正弦定理知AB＝BC·sin Csin A＝102.答案：1024．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：BDsinA2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①在△ACD中，CDsinA2＝ACsinπ－θ，∴CDAC＝sinA2sin θ.②由①②得BD AB ＝CDAC ，∴BD DC ＝AB AC.一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝ac ，又由正弦定理a c ＝sin Asin C.∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63. 4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c＝( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°. 故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A ．两解 B ．一解 C ．无解 D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解． 二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.答案：2 58．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 答案：1 三、解答题10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a . 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c2R ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状．解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．。

1．对于分类变量A 与B 的统计量χ2，下列说法正确的是( )A ．χ2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越小B ．χ2越大，说明“A 与B 无关”的程度越大C ．χ2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小D ．χ2接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小解析：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C 正确．2．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：( )A ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝6，n 22＝5B ．n 11＝5，n 12＝7，n 21＝8，n 22＝6C ．n 11＝8，n 12＝7，n 21＝5，n 22＝6D ．n 11＝7，n 12＝6，n 21＝5，n 22＝7解析：选B.对于同一样本，|n 11n 22－n 12n 21|越小，说明X 与Y 之间的关系越弱；|n 11n 22－n 12n 21|越大，说明X 与Y 之间的关系越强．3．事件A 、B 是相互独立的，下列四个式子：①P (AB )＝P (A )P (B )；②P (A B )＝P (A )P (B )；③P (A B )＝P (A )P (B )；④P (A B )＝P (A )P (B )．其中正确的有________．解析：事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．答案：①②③④4．用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________，要求表中的四个数据均大于等于________．解析：在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5.在选取样本容量时一定要注意这一点．答案：2×2列联表 55．若两个分类变量X 和求X 与Y 解：由表可知χ2＝70×(5×10－40×15)220×50×45×25≈18.8＞6.635.故有99%的把握认为X 与Y 有关．一、选择题1．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( )A ．A 与B 相互独立B ．P (AB )＝P (A )P (B )C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：选C.事件A 对事件B 发生的概率有影响，故不相互独立．2．经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.下列说法正确的是( )A ．当根据具体的数据算出的χ2＜3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关B ．当χ2＜6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．当χ2≥3.841时，认为事件A 与B 是无关的D ．当χ2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的解析：选D.由χ2值与临界值的大小关系来判断两个事件的关系．3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)解析：选B.设甲、乙解决这个问题分别为事件A 、B ，则P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )，即P 1(1－P 2)＋(1－P 1)P 2.4．下面是一个2×2则表中a ，b 的值分别为A ．94,96B ．52,50C ．52,54D ．54,52解析：选C.∵a ＋21＝73，∴a ＝73－21＝52.又∵a ＋2＝b ，∴b ＝52＋2＝54.5A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的解析：选B.χ2＝407×(32×213－61×101)293×314×133×274≈0.1641＜3.841，故种子是否经过处理与生病无关．6．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是n 11＝15，n 12＝21，n 21＋n 22＝40，若有99%的把握认为X 与Y 有关系，则n 21等于( )A ．5B ．7C ．9D．10解析：选A.若有99%的把握认为X与Y有关系，则计算的卡方统计量χ2＞6.635，可以根据四个选项的值，分别计算出卡方统计量的值，再与6.635比较，当n21＝5时，χ2的值大于6.635，故选A.二、填空题7．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：列出2×2所以随机变量χ2χ2＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067＞3.841.所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．答案：95%8．(2011年青岛模拟)调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：)解析：χ2＝72×(16×8－28×20)236×36×44×28≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．答案：有9．如果元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图所示的线路，正常工作的概率为________．解析：A、B、C至少有一个元件正常工作即可．答案：1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)三、解答题10．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率是多少？解：设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A、B、C，则P(A)＝810，P(B)＝610，P(C)＝710，设三人各答题一次且只有一人及格为事件D，则D的情况为：A B C、A B C、A B C.所以P(D)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝810(1－610)(1－710)＋(1－810)610(1－710)＋(1－810)·(1－610)710＝47250.11．某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6.(1)求两次都遇到红灯的概率；(2)求至少遇到一次红灯的概率．解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，第二次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次红灯”的对立事件为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.12．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表和独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．解：(1)2×211222112认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，由公式计算得到χ2的值为χ2＝1500×(982×17－493×8)2990×510×1475×25≈13.097＞6.635，所以有99%的把握认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．。

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

1．设a ∈R ，则下面式子正确的是( )A ．3a >2aB ．a 2<2aC.1a<a D ．3－2a >1－2a 解析：选D.当a <0时，A 、B 均错，当a ＝12，C 错误，对于D ，因为3>1，根据可加性3－2a >1－2a ，故D 正确．2．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.∵a 2>b 2⇒/ a >b (如a ＝－2，b ＝1)，又a >b ⇒/ a 2>b 2(如a ＝1，b ＝－2)，∴“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．3．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m 、n 、p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：选B.当a >1时，∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，∴a 2＋1>2a ，∵2a －(a －1)＝a ＋1>0，∴2a >a －1，∴a 2＋1>2a >a －1，∵函数y ＝log a x (a >1)单调递增，∴m >p >n .4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，则∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立．答案：②④5．若a <b <0，则( )A.1a <1b B ．0<a b<1C ．ab >b 2 D.b a >a b解析：选C.∵a <b <0，∴1a >1b 且a b >1,0<b a<1，ab >b 2，∴A 、B 、D 错误，C 正确． 6．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.由已知可组成三个命题．①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0，此命题正确，只需在不等式bc －ad >0两侧同除以ab ，根据不等式性质，整理即得结论；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0，此命题正确， 只需在不等式c a －d b>0两侧同乘以ab ， 根据不等式性质，整理即得结论；③若c a －d b>0，bc －ad >0，则ab >0，此命题正确， 因为c a －d b >0⇔bc －ad ab>0， 又因为bc －ad >0，故ab >0.7．(2011·高考陕西卷)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 解析：选B.∵0<a <b ，∴a <a ＋b 2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B.8．若{a n }是各项为正数的等比数列，且公比q ≠1则a 1＋a 4与a 2＋a 3的大小关系是( )A ．a 1＋a 4>a 2＋a 3B ．a 1＋a 4<a 2＋a 3C ．a 1＋a 4＝a 2＋a 3D ．不确定解析：选A.由题意知a n >0，q >0且q ≠1，∴a 1＋a 4－(a 2＋a 3)＝a 1＋a 1q 3－a 1q －a 1q 2＝a 1(1＋q )(1－q )2>0，∴a 1＋a 4>a 2＋a 3.9．已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能解析：选B.∵x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，∴2x 1＋2x 2＋2x 3<0，∴x 1＋x 2＋x 3<0.又∵g (x )＝x 3为增函数，x 1<－x 2，∴g (x 1)<g (－x 2)，∴x 31<－x 32，即x 31＋x 32<0.同理x 32＋x 33<0，x 33＋x 31<0，∴x 31＋x 32＋x 33<0.∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 31＋x 32＋x 33<0.10．下列命题：①c －a <c －b ⇒a >b ；②a >b >0，c >d >0⇒a d >b c； ③c a <c b，且c >0⇒a >b ； ④n a <n b (n ∈N ，n >1)⇒a <b .其中真命题是________(填序号)．解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b ，此命题为真．②⎭⎪⎬⎪⎫c >d >0⇒1d >1c >0 a >b >0⇒a d >b c >0⇒a d >b c ，此命题为真．③当b ＝1，a ＝－1时，c a <c b 且c >0成立⇒/ a >b ，此命题假． ④若n a <n b (n ∈N ，n >1)成立．则a >0，b >0,0<n a <n b ⇒a <b ，此命题为真． 答案：①②④11.如图所示，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽ω的4倍，试用不等式表示出上述不等关系________．解析：由题意知，(L ＋10)(ω＋10)＝350且L >4ω.答案：⎩⎪⎨⎪⎧(L ＋10)(ω＋10)＝350L >4ω12．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围． 解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 因而两式相加得－π2<α＋β2<π2. 又∵－π4<β2≤π4， ∴－π4≤－β2<π4， ∴－π2≤α－β2<π2. 故α＋β2和α－β2的范围分别是 ⎝⎛⎭⎫－π2，π2，⎣⎡⎭⎫－π2，π2. 13．已知x >－1，求证：1＋x ≤1＋x 2.证明：∵x >－1，∴1＋x >0, 1＋x >0， ∵1＋x －⎝⎛⎭⎫1＋x 2＝1＋x －x ＋22＝1＋x －x ＋1＋12＝1＋x －x ＋12－12 ＝－12[(x ＋1)－2x ＋1＋1] ＝－12(x ＋1－1)2≤0. ∴1＋x ≤1＋x 2.。

[学生用书P 7～P 9]1．下列说法正确的是( )A ．位似的图形不一定为相似图形B ．一个图形在平移、旋转过程中形状和大小均发生变化C ．位似图形不一定能找到位似中心D ．平移、旋转、反射的相同点：平移、旋转、反射都不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等 答案：D2．如图所示的两个图形是经位似变换得到的，则下面结论错误的是( )A ．∠A ＝∠A 1 B.AB A 1B 1＝BCB 1C 1C ．∠A ＋∠C ＝∠A 1＋∠C 1 D.AB A 1B 1＝B 1C 1BC解析：选D.两个位似图形，对应角相等，A 、C 正确；对应边成比例，B 正确，D 错误． 3．下列关于图形的平移说法正确的是( )A ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向右移5个单位，再向下移1个单位B ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向右移5个单位，再向下移2个单位C ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向下移2个单位，再向右移4个单位D ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向下移2个单位，再向右移5个单位 答案：C4．在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到△A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2.解：如图：5．在反射、旋转和平移变换中，一个图形有可能改变的是()A．形状B．角的大小C．位置D．对应角答案：C6．在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.则下列说法不正确的是()A．EF＝DE B．CF＝ADC．CF∥BD D．四边形BCFD是矩形解析：选D.由已知条件只能得到四边形BCFD为平行四边形．7．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC的数量关系为()A．EA1＝2FC B．EA1＞2FCC．EA1＜FC D．EA1＝FC解析：选D.由△BA1F≌△BCE知BF＝BE，又∵BA1＝BC，∴EA1＝FC.8．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，则下列图形不可由△OBC旋转得到的是()A．△OEF B．△OFAC．△OGD D．△OCD答案：C9．一个边长为2的正方形，绕一顶点旋转360°形成的封闭图形的面积为()A．8 B．16C．2π D．8π解析：选C.形成的封闭图形为一个半径为22的圆，所以面积为π(22)2＝8π.10.如图所示，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是________．解析：由题意知，∠A′CD＝35°，则∠DA′C＝90°－35°＝55°，∴∠BAC＝∠DA′C＝55°. 答案：55°11.P是正△ABC内的一点，若将△P AB绕点A逆时针旋转到△P′AC，则∠P AP′的度数为________．解析：由旋转的性质知△PAB≌△P′AC，故∠PAB＝∠P′AC，而∠CAP＋∠PAB＝∠CAP ＋∠P′AC，所以∠PAP′＝∠CAB＝60°.答案：60°12.△DEF是△ABC向右平移一段距离后得到的图形，则线段AD与BF有怎样的数量关系？并说明理由．解：AD＝BF.理由是：由平移性质可得AB＝DF，AB－DB＝DF－DB，即AD＝BF.13．在小正方形组成的15×15的网格中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；(2)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.解：(1)A′B′C′D′成轴对称．。

1．在△ABC 中，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，则角C 等于________．解析：由正弦定理，得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2－c 22ab＜0，则△ABC 是________三角形．解析：依题意，cos C ＜0，∴90°＜C ＜180°，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 解析：由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即 (6)2＝a 2＋(2)2－22a ·cos120°， 整理得：a 2＋2a －4＝0， 解得a ＝2或a ＝－22(舍)．答案： 24．(2011年镇江调研)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶8∶13，则C ＝________. 解析：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶8∶13， 令a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝120°.答案：120°一、填空题1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，A ＝120°，则a ＝________.解析：由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝48＋12－2×43×23×(－12)＝84，∴a ＝221. 答案：2212．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为________． 解析：∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，则由余弦定理得： cos C ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22×(3＋1)×(3－1)＝8－104＝－12.∴C ＝120°. 答案：120°3．a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac ·(－12)＝a 2＋c 2＋ac .∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：04．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是______三角形．解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0.所以a ＝c .又B ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．答案：等边5．(2010年高考湖南卷改编)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则a ________b ．(填“＞”“＜”“＝”)．解析：在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab .将c ＝2a 代入上式，得2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，从而a 2＝b 2＋ab .∴a 2－b 2＝ab ＞0，∴a 2＞b 2，∴a ＞b . 答案：＞6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝12bc ，则cos A 的值为________．解析：∵b 2＋c 2－a 2＝12bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝14∴cos A ＝14.答案：147．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，其面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.解析：由S ＝a 2＋b 2－c 24及cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得S ＝12ab cos C .又S ＝12ab sin C ，所以cos C ＝sin C .故C ＝π4.答案：π48．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为________． 解析：由余弦定理，得：cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22AB ·BC＝72＋52－622×7×5＝1935. ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC |·cos(π－B )＝－7×5×1935＝－19. 答案：－199．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A2＝32b ，那么a ，b ，c 的关系是________．解析：cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A2＝1＋cos A 2，代入已知等式得：a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，∴a ＋c ＋a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .答案：a ＋c ＝2b 二、解答题10．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若a ＝8，b ＝4＋43，C ＝π3，求其他的边和角．解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝82＋(4＋43)2－2×8×(4＋43)cos π3＝96.所以c ＝4 6.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝8×sinπ346＝22.又a <c ，所以A ＝π4，故B ＝5π12.11．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A 、B 和边c 的值．解：cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2.由正弦定理得a sin A ＝csin C，sin A ＝a sin C c ＝2sin15°6－2＝12，∵b >a ，sin A ＝12A ＝30°.∴B ＝180°－A －C ＝135°.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3，(1)若△ABC 的面积为3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积； (3)求△ABC 面积的最大值．解：(1)已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC ＝ 3.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝4，由S △ABC ＝12ab sin C ，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理可把sin B ＝2sin A 转化为b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解之得a ＝233，b ＝433. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝233.(3)∵a 2＋b 2－ab ＝4，∴(a －b )2＋ab ＝4，∴ab ≤(a －b )2＋ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤3，故△ABC 面积的最大值为3.。

1．下列说法正确的是( )A ．中和热一定是强酸跟强碱反应放出的热量B ．1 mol 酸与1 mol 碱完全反应放出的热量是中和热C ．在稀溶液中，强酸与强碱发生中和反应生成1 mol H 2O(l)时的反应热叫做中和热D ．表示中和热的离子方程式为：H ＋＋OH －===H 2OΔH ＝－57.3 kJ/mol解析：选C 。

本题考查的是中和热的概念，关键是记清楚有关中和热的问题。

中和热是指稀强酸与稀强碱生成1 mol H 2O(l)所放出的热量，故C 说法正确。

2．(2011年哈师附中高二检测)在36 g 碳不完全燃烧所得气体中，CO 占13体积，CO 2占23体积，且C(s)＋12O 2(g)===CO(g) ΔH ＝－110.5 kJ/mol ；CO(g)＋12O 2(g)===CO 2(g) ΔH ＝－283 kJ/mol与这些碳完全燃烧相比，损失的热量是( )A ．172.5 kJB ．1149 kJC ．283 kJD ．566 kJ解析：选C 。

36 g 碳的物质的量为3 mol ，所以生成物中含有1 mol CO 、2 mol CO 2。

损失的热量即1 mol CO 完全燃烧生成CO 2时放出的热量，即283 kJ 。

3．化学反应N 2＋3H 2===2NH 3的能量变化如图所示，该反应的热化学方程式是( )A ．N 2(g)＋3H 2(g)===2NH 3(l)ΔH ＝2(a －b －c )kJ·mol －1 B ．N 2(g)＋3H 2(g)===2NH 3(g)ΔH ＝2(b －a )kJ·mol －1 C.12N 2(g)＋32H 2(g)===NH 3(l)ΔH ＝(b ＋c －a )kJ·mol －1 D.12N 2(g)＋32H 2(g)===NH 3(g) ΔH ＝(a ＋b )kJ·mol －1 解析：选A 。

本题考查热化学方程式的书写。

1．关于重力的说法，正确的是()A．重力就是地球对物体的吸引力B．只有静止的物体才受到重力C．物体在地球上无论怎样运动都受到重力D．重力是由于物体受到地球的吸引而产生的答案：CD2．一根长直木棒放在水平桌面上，当把它的中点推出桌边时()A．木棒一定翻倒B．木棒不一定翻倒C．在木棒中点没有推出桌边时，就有可能翻倒D．以上说法均不正确解析：选BC.若棒的质量是均匀分布的，而粗细是不均匀的，则木棒的重心不在木棒的中点，而距粗端较近．如果木棒细端在前放置在水平桌面上，当细端推出，木棒中点已推出桌边时，但木棒重心还未离开桌边仍在水平桌面上，此时木棒不会翻倒，因此选项A的说法是错误的，而选项B的说法是正确的．若木棒粗端首先推出桌边，木棒中点还没有推出桌边时，木棒的重心已推出桌边，而使木棒翻倒，由此可以知道，选项C的说法是正确的，而选项D是不正确的．故本题正确答案为B、C.3．重力的方向总是和支持物的支持面垂直指向下方，这种说法正确吗？答案：错误，重力方向总是竖直向下的，而支持物的支持面不一定是沿水平方向的．4．假想某一天某地的重力方向突然偏转了15°角，建筑设计师应该如何设计楼房？解析：楼房不应与地面垂直，应与地面成75°角，这样楼房重力的作用线通过地面，楼房就很稳定，不会发生倾斜倒塌的现象．答案：见解析1．在下列情况下物体所受重力不变的是()A．在室内将物体浸入水中B．将物体置于运行的电梯内C．将物体从海平面移到同一纬度的高山上D．将物体从北京移到广州答案：AB2．下列关于重力的叙述中正确的是()A．重力就是地球对物体的吸引力B．重力的方向总是垂直向下的C．重力是由于地球的吸引而产生的D．重力的大小可以用天平来测量答案：C3．关于重心的说法中正确的是()A．形状规则的几何体的重心在几何中心B．物体的重心位置不仅跟物体的形状有关，而且还跟物体的质量分布情况有关C．物体的重心位置不一定在物体上D．物体的重心位置一定在物体上答案：BC4．下列叙述中正确的是()A．空中飞行的飞机不受重力作用B．只有静止的物体才受重力作用C ．重力就是对支持物的压力D ．静止在水平面上的物体，对水平面的压力大小等于重力答案：D5．关于物体的重心，下列说法中正确的是( )A ．重心就是物体上最重的一点B ．形状规则的物体的重心，一定在它的几何中心C ．重心是物体所受重力的作用点，所以一定在物体上D ．用线将一物体悬挂起来，该物体的重心一定在悬线的延长线上答案：D6．重力的方向是______，测重力的仪器______，一个物体所受重力的等效作用点叫______．答案：竖直向下的 测力计 重心7．重力与质量的关系为________；一个50 g 的鸡蛋，其重力为______N ；如果将这个鸡蛋放在g ′＝16g 的月球上，它的重力变为______N. 答案：G ＝mg 0.49 0.088．画出图1－2－6中各物体所受重力的示意图，并用G 表示出来．图1－2－6答案：重力的方向总是竖直向下，受力如下图所示9．试说明为什么“背越式”跳高优越于“跨越式”跳高？ 解析：“背越式”和“跨越式”相比，在人过横杆时的姿势形状不同，导致重心升高的距离不同．“背越式”过横杆时，人的形状呈弓形，类似如图所示，重心的位置(图中的C 点)在人体之下，人可以跳过横杆的高度超过人重心的高度；而采用“跨越式”的姿势，横杆的高度均在人重心高度之下，重心升高相同的高度，“背越式”可以跳过更高的横杆．答案：见解析10．运输货车的制造标准是：当汽车侧立在倾角为30°的斜坡上时仍不至于翻倒，也就是说货车受的重力的作用线仍落在货车的支撑面(以车轮为顶点构成的平面范围)以内．如果车轮间的距离为2 m ，车身的重心不能高出地面多少米？(设车的重心在如图1－2－7所示的中轴线上)图1－2－7解析：假设重心离地面的最大高度为h ，即图中OA ＝h ，此时重力作用线刚好过B 点．∠AOB ＝30°，AB ＝1 m ．tan30°＝AB OA .OA ＝AB tan30°＝ 3 m. 答案： 3 m。

1．在①重力；②拉力；③摩擦力；④阻力四个力中，根据力的效果命名的是() A．①与②B．②与③C．①与③D．②与④答案：D2．下列说法正确的是()A．力的产生离不开施力物体但可以没有受力物体，例如一个人练拳用了很大的力，却没有受力的物体B．力的产生离不开受力的物体，但可以没有施力物体，例如向上抛出的小球在上升过程中受到向上的力，但找不到施力物体C．力的产生不可以没有施力物体和受力物体而独立存在D．有的物体自己就有力，这个力不是另外的物体施加的答案：C3．炮弹在空中飞行时受到几个力的作用？火箭在升空时受到几个力的作用？() A．三个，三个B．二个，二个C．三个、二个D．二个，三个答案：C4．(1)力的作用效果有两个：一是使物体的______发生改变，二是使物体的______发生改变．(2)在国际单位制中力的单位是______，符号为______．(3)测量力的工具是______，其中常见的是______．答案：(1)形状和体积运动状态(2)牛顿N(3)测力计弹簧测力计5．我们在初中物理中学过的力的名称有：重力、压力、摩擦力、拉力、浮力、动力、阻力，其中根据力的性质命名的有________．答案：重力、摩擦力6．众所周知，飞机是在大气层中飞行的．假如喷气式飞机在真空中，它还能向前飞行吗？解析：即使飞机处在真空中，当飞机向后喷射气体时，飞机对气体有一个向后的力，同时气体对飞机有一个向前的力，这不需要空气．而机翼上下表面不会受到任何力的作用，不能飞上天空．所以飞机只能在地面上滑行．答案：不能7．人从地面上跳起后，受到哪些力的作用？解析：受到重力和空气阻力作用．由于已离开地面，不再受地面对他的支持力．答案：重力和空气阻力作用8．画出下述力的图示．(1)放在水平桌面上的物体，对桌面产生向下15 N的压力．(2)放在水平面上的物体受到与水平方向成45°，斜向左上方20 N的拉力．答案：(1)如图所示(2)如图所示9．十八世纪德国出过一部《吹牛大王历险记》的故事集．书中写道，有一回吹牛大王掉进了沼泽，“怎么办呢？要不是我的手有惊人的力气，那我早就没命啦．我是一个出众的大力士，所以当时我一把揪住自己的小辫儿，拼命往上一提，就毫不困难地把自己从烂泥里拔了出来．”大力士真的能提起自己吗？从力的概念出发加以分析．解析：由于物体间力的作用是相互的，所以一个人无论有多大的力量，如果没有来自外界的其他物体对他的作用力，想提起自己是不可能的．不但是人，一切物体要改变自己的运动状态，都需要依靠别的物体(外力)的作用，靠自己内部的力(内力)是不行的，人的手所以不能举起自己的身体，是因为对整个人来说，手是其中的一部分，手拉人体的力是整个身体的内力，不能改变整个身体的运动状态．当手用力提起身体时，身体反过来拉住手，这两个力相互抵消，因此整个人体(包括手在内)，不能移动分毫．答案：不能提起自己分析见解析。

1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边和它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .其中正确的序号是________．解析：正弦定理适用于任何三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可知④正确． 答案：③④2．(2011年常州质检)在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理：AB sin C BC sin A， 得BC ＝AB sin A sin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案：3－ 33．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝15°，∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B＝4sin A ＝4sin15°＝6－ 2. 答案：6－ 24．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2，则a ∶b ∶c ＝________.解析：把a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2，得a∶b ∶c ＝1∶3∶2.答案：1∶3∶2一、填空题 1．已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，又A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∴a sin A＝2. ∴a sin A ＝2b 2sin B ＝c sin C ＝a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝2. 答案：22．在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，若a 、b 、c 成等比数列，A ＝60°，则b sin Bc解析：a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b2ac＝b sin Bc sin A＝1，又A＝60°，则b sin Bc＝32.答案：3 23．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3a＝________.解析：如图，由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B，∴sin B＝12.∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，∴∠A＝π6.∴a＝b＝1.答案：14．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，2sin A－sin Bsin C的值为________．答案：－155．在△ABC中，a、b分别是角A和角B所对的边，a＝3，b＝1，B＝30°，则角A的值为________．解析：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝a sin Bb＝3×121＝32，∵a＞b，∴A＞B.∴A＝60°或120°.答案：60°或120°6．若三角形三个内角的比是1∶2∶3，最大的边是20，则最小的边是________．解析：∵三个内角和为180°，∴三个内角分别为30°、60°、90°.设最小的边为x，∵最大的边为20，∴20sin90°＝xsin30°，∴x＝10，∴最小的边为10.答案：107．在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C＝________.解析：设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k＞0)．三式联立可求得a＝72k，b＝52k，c＝32k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.8．(2010年高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 答案：π69．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，则sin B 等于________．解析：c ·cos B ＝b ·cos C ，根据正弦定理得sin C ·cos B＝sin B ·cos C ，即sin(B －C )＝0，所以B ＝C ，2B ＋A ＝π，cos2B ＝－cos A ＝－23，1－2sin 2B ＝－23，则sin B ＝306. 答案：306二、解答题10．已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 和c .解：由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22. ∴A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°， c ＝6－22. 11．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c，求角B 的大小．解：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 得， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 中，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， ∴2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0.又∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，∴2sin A cos B ＋sin A ＝0.∵sin A ≠0，∴2cos B ＋1＝0，即cos B ＝－12. 又0＜B ＜π，故B ＝23π. 12．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b 2. 证明：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴cos2A a 2－cos2B b 2＝1－2sin 2A 4R 2sin 2A －1－2sin 2B 4R 2sin 2B＝14R 2sin 2A －14R 2sin 2B＝1a 2－1b 2. 即等式成立．。

高中化学学习材料鼎尚图文收集整理1．下列关于研究物质性质的基本程序：①观察物质的外观性质②实验和观察③解释和结论④预测物质的性质排列顺序正确的是()A．②①③④B．①②③④C．①④②③D．④①②③解析：选C。

研究物质性质的基本程序一般为：观察物质的外观性质、预测物质的性质、实验和观察、解释和结论，最后再整合实验结论。

2．氯气是有毒气体，曾被制成毒气弹用于战争。

当这种毒气弹爆炸时，通常可选用的防御办法是()①人躲到低洼的地方去②人躲到较高的地方去③多饮豆浆和牛奶④用沾有肥皂水(呈弱碱性)的软布蒙面A．①④B．②③C．②④D．②③④解析：选C。

Cl2比空气密度大，故人应躲到较高的地方去。

肥皂水呈弱碱性，可以吸收有毒的Cl2，使其转化成无毒的Cl－。

3．(2011年滨州高一检测)家庭中使用漂白粉时，为了增强漂白能力，可加入少量的物质是()A．食盐B．食醋C．烧碱D．纯碱解析：选B。

漂白粉有效成分是Ca(ClO)2，在CH3COOH(食醋中含CH3COOH)作用下可快速生成HClO，增强漂白能力。

4．(2011年泰安高一检测)如图所示：若关闭Ⅰ阀，打开Ⅱ阀，让一种含氯气的气体经过甲瓶后，通入乙瓶，布条不退色；若关闭Ⅱ阀，打开Ⅰ阀再通入这种气体，布条退色。

甲瓶中所盛的试剂可能是()①浓硫酸②饱和氯化钠溶液③NaOH溶液④饱和碳酸氢钠溶液A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：选D。

Cl2与H2O反应生成的HClO具有漂白作用。

气体通过甲瓶后不能使布条退色，可能有两个原因：一是甲中溶液将Cl2干燥，二是甲中溶液将Cl2吸收。

浓硫酸吸水，2NaOH ＋Cl2===NaCl＋NaClO＋H2O，NaHCO3＋Cl2===NaCl＋CO2＋HClO，所以Cl2经过①被干燥，经过③、④被吸收，都不能使干燥布条退色。

Cl 2在饱和NaCl 溶液中溶解度很小，故Cl 2与水蒸气共同进入乙中，使布条退色。

5．某同学利用如图所示装置进行金属钠在氯气中燃烧的实验。

1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2a 2＝tan B tan A，那么△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理得sin 2B sin 2A ＝tan B tan A. ∴sin B sin A ＝cos A cos B. ∴sin2A ＝sin2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，c b ＝cos C cos B，则此三角形为________． 解析：由正弦定理，c b ＝sin C sin B， ∴sin C sin B ＝cos C cos B. ∴sin B cos C －sin C cos B ＝0.∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形3．(2011年扬州高二检测)在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A 等于________．解析：S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8×83sin A ＝163，sin A ＝12，所以A ＝30°或150°. 答案：30°或150°4．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________．解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 答案：3∶1∶1一、填空题1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 的形状是______． 解析：∵a cos A ＝b cos B .由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴cos A cos B ＝sin A sin B ，∴sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .同理可得B ＝C ，∴A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形2．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于________．解析：a sin A ＝c sin C ，∴52sin30°＝10sin C ，∴sin C ＝22. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ，∴C ＝45°或C ＝135°，∴B ＝105°或B ＝15°.答案：105°或15°3．(2010年高考广东卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.解析：∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12. 答案：124．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．解析：5x 2－7x －6＝0的两根为－35，2.设已知两边的夹角为C ，则cos C ＝－35(cos C ＝2＞1不可能，舍去)． ∴sin C ＝1－cos 2C ＝45， ∴此三角形的面积为12×3×5×45＝6(cm 2)． 答案：6 cm 2 5．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为14，外接圆半径为1，则abc 等于________． 解析：∵S △ABC ＝12ab sin C ＝14， ∴ab sin C ＝12.① ∵外接圆半径为1，∴c sin C＝2R ＝2. ∴sin C ＝c 2.② 把②代入①，得ab ·c 2＝12，∴abc ＝1. 答案：16．已知△ABC 的面积为3，且b ＝2，c ＝2，则A 等于________．解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2×2sin A ，∴sin A ＝32，∴∠A ＝60°或120°. 答案：60°或120° 7．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 为锐角，则△ABC 的形状是________．解析：由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3. 根据正弦定理，得b sin B ＝a sin A ， 所以a sin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B 、C 都为三角形内角，所以B ＝C .故△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC 中，若C ＝3B ，则c b 的取值范围是________．解析：由正弦定理可知：c b ＝sin C sin B ＝sin3Bsin B＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B cos2B ＋cos B sin2B sin B＝cos2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，∴0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1. ∴1＜4cos 2B －1＜3，故1＜c b ＜3. 答案：1＜c b ＜3 9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴2cos(A ＋π6)＝0， ∵0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6， ∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3. ∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C .∴由正弦定理，得2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴sin C ＝sin 2C .∴sin C (sin C －1)＝0，∵0＜C ＜π，∴sin C ＝1，C ＝π2.∴B ＝π6. 答案：π6二、解答题10．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 得： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 所以由sin 2A ＝sin B sin C 可得：(a 2R )2＝b 2R ·c 2R， 即a 2＝bc .又已知2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2，所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，因而b ＝c .由2a ＝b ＋c ，得2a ＝b ＋b ＝2b ，a ＝b .所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．11．(1)在△ABC 中，a ＋b ＝6＋63，A ＝30°，B ＝60°，求边c ；(2)已知△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，边c .解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及C ＝180°－30°－60°＝90°，得a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ，即6＋6312＋32＝c 1， ∴c ＝12.(2)∵A ＝30°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，又由正弦定理得，c ＝a sin C sin A ＝20sin45°sin30°＝202，b ＝a sin B sin A ＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)． ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.12．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n ，求角B 的大小． 解：∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B . ∴2sin B cos B ＝－3cos2B .sin2B ＝－3cos2B ，∴tan2B ＝－ 3.∵0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.。

1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的( ) A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是( )①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．。