人教八年级数学下册 第18章 平行四边形 章节知识点和常考易错点归纳

第十八章平行四边形单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质：1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行线的性质：1、平行线间的距离都相等；2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。

平行四边形的判定定理（基础）：1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积公式：面积=底×高知识点二 中位线三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

几何描述：∵DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥BC,DE=12BC知识点三 矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；几何描述：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

平行四边形章节知识梳理一.知识点：1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：1.一组对边平行；2.一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．5．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：1.边：对边平行且相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相平分且相等；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（2）菱形：1.边：四条边都相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：1.边：四条边都相等；2.角：四角相等；3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形．7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD 的四条边相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S 矩形=ab ．（2）设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则 S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形=2ab 。

八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记单选题1、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（ ）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.2、如图，▱ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则▱ABCD 的周长为( )A ．20B ．16C ．12D ．8答案：BBC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；分析：首先证明：OE=12解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=1BC，2∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．小提示：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．3、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，∴P′D′=√2，即DQ+PQ的最小值为√2，故A正确．故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4、如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4， ∴BC ＝√BO 2+CO 2=√9+16=5， ∵S 菱形ABCD ＝12×AC×BD ＝BC×AP ，∴AP ＝245＝4.8，故选：B ．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．5、如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(2,3)，则AC 长为（ ）A．√13B．√7C．5D．4答案：A分析：首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．解：如图：连接OB∵点B的坐标为(2,3)，∴OB=√22+32=√13，又∵四边形OABC是矩形，∴AC=OB=√13，故选：A．小提示：本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．6、如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．√27B．3+√27C．6+√3D．6√3答案：D分析：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．解：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=DC=BC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE=√AD2−AE2=√62−32=3√3，∴2DE=6√3，∴MA+MB+MD的最小值是6√3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．7、一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为（）A．28°B．56°C．36°D．62°答案：D分析：根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．解：如图所示标注字母，∵四边形EGHF为矩形，∴EF∥GH，过点C作CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故选：D．小提示：题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．8、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．6D．8答案：A分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9、如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则▱ABCD的周长为（）A．4B．6C．8D．12答案：C分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．解：∵在▱ABCD中，AC平分∠DAB，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．故选C．小提示：本题考查了菱形的判定定理，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．10、如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF//BC，分别交AB,CD于E,F，连接PB,PD，若AE= 1,PF=3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12答案：A分析：先根据矩形的性质证得S△DFP=S△PBE，然后求解即可．解：作PM⊥AD于M，交BC于N，∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，∵S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴S△DFP=S△PBE=12×1×3=32，∴S阴=32+32=3，故选：A．小提示：本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得S△DFP=S△PBE是解答本题的关键．填空题11、若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．答案：√2a分析：根据题意，可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边，结合勾股定理计算可得答案．解：∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边；∵正方形的边长为a，∴对角线长是√a2+a2=√2a．所以答案是：√2a小提示：本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关键．12、如图，在等腰Rt△ABC中，CA=BA，∠CAB=90°，点M是AB上一点，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM=1，BM=3，ΔCPD的面积的最小值为________．答案：6分析：设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，得到当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，则点M不是P′D′的中点当MD′>MP′时，在MD′上截取ME=MP′，连接DE∵∠PMP′=∠DME∴△PMP′≅△DME(SAS)=S△PCD∴S△P′CD′>S四边形P′CDE当MD′<MP′时，同理可得S△P′CD′>S△PCD∴当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小如图，作DH⊥AB于H则△DHM≌△PAM∴AM=MH,∠DHM=∠PAM=90°,AP=DH∴∠BHD=90°∵AM=1，BM=3∴AM=1=MH∴BH=2在等腰Rt△ABC中，CA=BA=3+1=4∴∠B=45°=∠C∴∠B=∠BDH=45°∴BH=DH=2=AP∴CP=AC+AP=4+2=6过点D作DK⊥PC交于K∴四边形AKDH是矩形∴DK=AH=AM+HM=2∴S△CDP=12CP⋅DK=12×6×2=6所以答案是：6小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．13、如图，在▱ABCD中，DB=CD，∠C=70°,AE⊥BD于E，则∠DAE=_______．答案：20°分析：要求∠DAE，就要先求出∠ADE，要求出∠ADE，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．解：∵DB＝DC，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，又∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°−∠ADE＝20°．故答案是：20°．小提示：此题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．14、如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若AB=2,AD=4，则线段DF的长是_________．答案：32分析：根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF．解：∵长方形纸片ABCD，∴CD=AB=2，∠C=90°，根据折叠的性质可得AD′=CD=AB=2，∠AD′F=∠C=90°，D′F=DF，设D′F=DF=x，AF=AD−DF=4−x，根据勾股定理D′F+AD′=AF，即x2+2=(4−x)2，，解得x=32．所以答案是：32小提示：本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．15、如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为___________．答案：2分析：连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝1AB＝3，2由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，{AP=AP，AF=AD∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，所以答案是：2．小提示：本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．解答题16、如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=S△ABC，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．分析：（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；（3）因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：-9+6+m=0，∴m=3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；当x=0时，y=3，∴C（0，3），当y=0时，-x2+2x+3=0，x2-2x-3=0，（x+1）（x-3）=0，∴x=-1或3，∴B（-1，0）；（3）∵S△ABD=S△ABC，当y=3时，-x2+2x+3=3，-x2+2x=0，x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或2，∴只有（2，3）符合题意．综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，∴矩形ABP′Q′为正方形，故点Q′的坐标为（3，4）；②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，-2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．小提示：本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．17、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=3，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．2答案：(1)见解析(2)BD=6，四边形ABCD的周长为4√13分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据三角形中位线的性质可得OD=2EF=3，进而可得BD的长，Rt△AOD中，勾股定理求得AD，根据菱形的性质即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，OD，∴EF=12，∵EF=32∴OD=3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OD=6，∵AC⊥BD，在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，∴AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，∴菱形形ABCD的周长为4√13．小提示：本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．18、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G.（1）求证△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.答案：（1）证明见解析；（2）52.分析：分析：（1）先根据∠ADC=90∘,AF⊥DE证出∠DAF=∠CDF,再根据四边形GFCD是⊙O的内接四边形,得到∠FGA=∠FCD,从而证出结论;(2) 连接CG,根据△EDA∽△ADF得到EADA =AFDF,根据△AFG∽△DFC得AGDC=AFDF,从而AGDC=EADA,再根据DA=DC得AG=EA=1,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出⊙O的半径. （1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90∘.∴∠CDF+∠ADF=90∘.∵AF⊥DE.∴∠AFD=90∘.∴∠DAF+∠ADF=90∘.∴∠DAF=∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180∘.又∠FGA+∠DGF=180∘，∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.（2）解：如图，连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90∘，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF =DADF，即EADA=AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC =AFDF.∴AGDC =EADA.在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA−AG=4−1=3.∴CG=√DG2+DC2=√32+42=5.∵∠CDG=90∘，∴CG是⊙O的直径.∴⊙O的半径为52.小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.。

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳单选题1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°答案：B分析：由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．2、如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF:FC的值是（）A．3B．√5+1C．2√2+1D．2+√3答案：D分析：取AC的中点M，连接EM设CD=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM=12CD,EM=x,再根据∠DAB= 60°，∠DEF=45°可得出FM=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:FC的结果．解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM，设CD=2x,∵点E是DA中点，∴EM是△ACD的中位线，∴EM//CD,EM=12 CD,∴EM=x,∵∠DAB=60°,四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠DCA=∠EMA=30°，∠AMD=90°，∵∠DEF=45°∴∠EFM=45°−30°=15°,∠FEM=30°−15°=15°，∴∠EFM=∠FEM=15°,∴FM=EM=x,∵CD=DA=2x,∠CAD=∠ACD=30°,∴DM=12AD=x，∴AM=√AD2−AM2=√3x∴AC=2√3x,∴AM=√3x,∴FC=2√3x−√3x−x=√3x−x,∴AFFC=√3x√3x−x=√3√3−1=2+√3,故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．3、如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( )A．23°B．28°C．62°D．67°答案：D分析：先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∠A =134°∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴∠BEC =90°-23°=67°故答案为D.小提示：本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.4、如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB =3,BC =6，点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点，将该纸片沿直线EF 折叠．使点B 落在矩形边AD 上，对应点记为点G ，点A 落在M 处，连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N ．则下列结论成立的是（ ）①BN =AB ；②当点G 与点D 重合时EF =3√52； ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72； ④当CF =52时，S △MEG =3√134．A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④答案：D分析：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，所以EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又因为点E 是AD 边上的动点，所以3<BG<3√5．从而判断①不正确；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，再利用勾股定理求解即可；③当点E 与点A 重合时，△GNF 的面积S 有最小值94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516．故94<S <4516． ④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ，从而可求出△MEG 的面积．解：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，∴EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又∵点E 是AD 边上的动点，∴3<BG<3√5．故①错误；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH=AB=3，在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得：AE=94，∴BF=DE=6-94=154． ∴HF=154-94=32． 在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52； 故②正确；③当点E 与点A 重合时，如图所示，△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94， 当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516． 故94<S <4516．故③错误．④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ， ∴S △MEG =12×√132×3=3√134． 故④正确．故选D ．小提示：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC =60°，BC =2AB ．下列结论：①AB ⊥AC ；②AD =4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE =14S △ABC．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1答案：A分析：通过判定ΔABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．解：∵点E为BC的中点，∴BC=2BE=2CE，又∵BC=2AB，∴AB=BE，∵∠ABC=60°，∴ΔABE是等边三角形，∴∠BAE=∠BEA=60°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，∴∠CAD=∠ACB，在ΔAOF和ΔCOE中，{∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA)，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE=CE，∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；∴AC⊥EF，在RtΔCOE中，∠ACE=30°，∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA=OC，又∵点E为BC的中点，∴SΔBOE=12SΔBOC=14SΔABC，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A．小提示：本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．6、如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2B．√3C．1.5D．√5答案：A分析：取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．解：取AB中点G点，连接PG，如图，∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴DF=12DC=12AB=AG，∵在菱形ABCD中，DC∥AB，∴DF∥AG，∴四边形AGFD是平行四边形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．小提示：本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．7、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（ ）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.8、如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，∠ABC =120°，点A (−3,0)，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ）A．3B．5C．2√2D．3√32答案：A分析：直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．如图：连接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A(−3,0)，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=√3,AD=DC=CB=2√3∴△CDB是等边三角形∴BD=2√3∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=√3,且BE⊥CD，2∴BE=√BD2−DE2=3故选：A．小提示：本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．9、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP ′=P ′D ’，2P ′D ′2=AD ′2，即2P ′D ′2=4，∴P ′D ′=√2，即DQ +PQ 的最小值为√2，故A 正确．故选：A ．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．10、如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴BC＝√BO2+CO2=√9+16=5，∵S菱形ABCD＝1×AC×BD＝BC×AP，2∴AP＝24＝4.8，5故选：B．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．填空题11、如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．答案：75分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB−2OB．解：如图,连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3∴AB=√AC2+BC2=5 (勾股定理)若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵12AB ⋅OC =12AC ⋅BC ， ∴OC =125.∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，OB =√BC 2−OC 2=32−(125)2=95，∴AD =AB −2OB =75 故答案是：75． 小提示：本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．12、如图所示，六边ABCDEF 中，AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，BC 平行且等于FE ，对角线FD ⊥BD ．已知FD ＝24cm ，BD ＝18cm ．则六边形ABCDEF 的面积是______.答案：432分析：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB 和AFDC ．易得AC=FD ，EH=BG ．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC 的面积+三角形ABC 的面积+三角形EFD 的面积．解：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．∵AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，∴四边形AEDB 是平行四边形，四边形AFDC 是平行四边形，∴AE=BD ，AC=FD ，∴EH=BG ．平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.小提示：此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，顶点B的横坐标为−1，点E是AD的中点，则侧OE=_________．答案：52分析：作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，∵BF⊥AF，∴∠HDA+∠DAH=90°，∵∠DAB=90°，∴∠FAB+∠DAH=90°，∴∠HDA=∠FAB，又∵∠H=∠F=90°，AD=AB，∴ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，∴AH=BF，由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，∵正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，∴DH=GF=OA=3，∵顶点B的横坐标为−1，∴BG=1，∴BF=BG+GF=4，∴AH=BF=4，∵∠H=90°，∴AD=√DH2+AH2=5，∵点E是AD的中点，∠DOA=90°，∴OE=12AD=52．所以答案是：52．小提示：此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．14、如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．答案：1分析：连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．解：连接AG，EG，如图，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，所以答案是：1．小提示：本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．15、如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，若△DEF的周长为18，则△ABC的周长为________．答案：36分析：根据中位线定义得DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,再表示出三角形ABC 的周长即可求解. 解：∵D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，∴DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,（中位线性质）, ∵△DEF 的周长为18，即DE+DE+EF=18,∴△ABC 的周长=2（DE+DE+EF ）=36.小提示：本题考查了中位线的应用,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.解答题16、在平行四边形ACBO 中，AO ＝5，点B 的坐标为（﹣2，4）．（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求出平行四边形ACBO 的面积．答案：（1）点A 坐标（﹣5，0），点C 坐标（﹣7，4）；（2）20分析：（1）首先过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据平行四边形的性质，可得OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，易得CE ＝BD ＝4，AE ＝OD ＝2，则点A 坐标，点C 坐标即可求出；（2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可．解：（1）∵四边形OACB 是平行四边形，∴OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∴CE ＝BD ＝4，∴AE ＝OD ＝2，∴点A坐标（﹣5，0），点C坐标（﹣7，4）；（2）∵AO＝5，BD＝4，∴S▱AOBC＝5×4＝20．小提示：此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用，解题的关键是利用数形结合思想解题．17、如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．(1)求证：DG=BE；(2)如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，求证：EH=BE+DH；(3)在（2）的条件下，若AB=4，点H恰为CD中点，求△CEH的面积．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)S△CEH=83分析：（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG，再证∠BAE＝∠DAG，然后证△ADG≌△ABE（SAS即可得出结论；（2）证△AEH≌△AGH（SAS），得EH＝GH，再证C、D、G三点共线，然后由GH＝DG＋DH＝BE＋DH，即可得出结论；（3）设BE＝x，则CE＝4−x，DG＝BE＝x，EH＝BE＋DH＝x＋2，再由勾股定理得出方程，求出x＝43，则CE＝4−x＝83，然后由三角形面积公式即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAE+∠EAD=90°∵四边形AEFG是正方形∴∠EAG=90°,AE=AG∴∠EAD+∠DAG=90°∴∠BAE=∠DAG在△BAE和△DAG中{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG∴△BAE≌△DAG∴DG=BE．（2）由（1）知△BAE≌△DAG∴∠ADG=∠B−90°,BE=DG∵∠ADC=90°∴∠CDG=∠ADC+∠ADG=90°+90°=180°∴H，D，G三点共线∵四边形AEFG是正方形∴AE=AG,∠EAF=∠GAF=45°在△BAE和△DAG中{AE=AG∠EAF=∠GAFAH=AH，∴△EAH≌△GAH∴EH=HG∵HG=DG+DH∴EH=BE+DH（3）∵四边形ABCD是正方形，AB=4∴CD=AB=4∵H恰CD中点∴DH=HC=12CD=2∵△BAE≌△DAG∴BE=DG设BE=x，则DG=x,EC=4−x由（2）知EH=BE+DH=2+x在Rt△ECH中，由勾股定理知EC2+CH2=EH2∴(4−x)2+22=(2+x)2解得，x=43∴EC=83∴S△CEH=12EC⋅CH=12×83×2=83．小提示：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．18、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∠EAG,∴∠EAF=12∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ．∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．。

一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（ ）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠D解析：D【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．15C解析：C【分析】 根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．3．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG ＝GF ＝CG ＝3，∴②正确；∵CG ＝GF ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∴AG∥CF，∴③正确；∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．∴35CFGCEGS FGS GE==，∵S△GCE＝12×3×4＝6，∴S△CFG＝35×6＝185，∴④不正确；正确的结论有3个，故选：C．【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．4．下列命题是真命题的是（）A．三角形的三条高线相交于三角形内一点B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．对于所有自然数n，237n n-+的值都是质数D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等D解析：D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A进行判断；根据平行四边形的判定对B进行判断；取n=6可对C进行判断；根据三角形全等的知识可对D进行判断．【详解】解：A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A选项错误；B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；C、当n=6时，n2-3n+7=25，25不是质数，所以C选项错误；D、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项准确．故选：D．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．5．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，过点D 作//DE AC ，//DF AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点．则下列命题是假命题的是（ ）A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若90BC ∠+∠=︒，则四边形AEDF 是矩形C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形D ．若AD BD =，则四边形AEDF 是矩形C解析：C【分析】根据平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理判断即可．【详解】//,//DE AC DF AB∴四边形AEDF 是平行四边形，故A 选项正确；四边形AEDF 是平行四边形，90B C ∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴四边形AEDF 是矩形，故B 选项正确；//DE AC12DE BD AC BC ∴== 12DE AC ∴= 同理12DF AB =要想四边形AEDF 是菱形，只需DE DF =,则需AC AB =显然没有这个条件，故C 选项错误；AD BD =,则B DAB ∠=∠,DAC C ∠=∠,180B C BAC ∠+∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴∴四边形AEDF 是矩形，故D 选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理是解题关键．6．下列命题中，错误的是 （ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．7．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．102112B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112，△A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012． 故选：B ．【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．8．如图，以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧，连接CD ．若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．33C解析：C【分析】 取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，根据直角三角形的性质可得OA OD OB OC ===，可得BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，在四边形ABCD 中，根据四边形的内角和为360︒，135BAC ABD ∠+∠=︒，可得出90OCD ODC ∠+∠=︒，由OC OD =，可证得COD ∆是等腰直角三角形，由6AB =，根据勾股定理，即可得出CD 的长．【详解】取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，∵Rt ABD ∆和Rt ABC ∆的斜边为AB ，∴12OD AB =，12OC AB =， ∴OA OD OB OC ===，∴BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，在四边形ABCD 中，360BAC OCA ABD ODB OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， ∵135BAC ABD ∠+∠=︒，∴90OCD ODC ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴45OCD ODC ∠=∠=︒，∴COD ∆是等腰直角三角形，∵6AB =，∴3OC OD ==， ∴22223332CD OC OD =+=+=，故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质和以及勾股定理，解题的关键是正确做出辅助线．9．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．A ．103B ．53C ．10D ．20A解析：A【分析】 由矩形的性质和已知条件求出3，BC=10，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=CO=DO=BO ，AD=BC ，∠ABC=90°，AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD=30°，∴3，∵△ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC ，△AOB 的周长=AB ＋AO ＋BO ，又∵ABC 的周长比△AOB 的周长长10，∴AB+AC+BC-（AB ＋AO ＋BO ）=BC=10，∴3103故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC 的长是解题的关键．10．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】解：①∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠EDF ＝∠BFD ，又∵△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE ＝∠EDF ，AD ＝FD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BFD ，∴△BDF 是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF 是等腰三角形，∴BD ＝FD ＝AD ，CE ＝FE ＝AE ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC ，故②正确； ∵∠B ＝∠BFD ，∠C ＝∠CFE ，又∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∠B +∠BFD +∠BDF ＝180°，∠C +∠CFE +∠CEF ＝180°， ∴∠BDF +∠FEC ＝2∠A ，故④正确．而无法证明四边形ADFE 是菱形，故③错误．所以一定正确的结论个数有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．二、填空题11．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2．24【分析】画出符合题意的图形利用菱形的对角线互相垂直平分求解另一条对角线的长再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案【详解】解：如图菱形的周长为20cm 一条对角线的长为8cm 故答案解析：24【分析】画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．【详解】解：如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，一条对角线AC 的长为8cm ，5,4,,,AD AB BC CD cm OA OC cm OB OD AC BD ∴=======⊥ 2222543OD AD AO ∴=-=-=，26,BD OD cm ∴==2116824.22ABCD S AC BD cm ∴==⨯⨯=菱形 故答案为：24.【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．12．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20证出平行四边形OCED 为矩形得OE ＝CD ＝10即可【详解】解：∵DEACCEBD ∴四边形OCED 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA ＝O解析：10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：∵DE //AC ，CE //BD ，∴四边形OCED 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8， ∴∠DOC ＝90︒，CD ＝22OC OD +＝2268+＝10，∴平行四边形OCED 为矩形，∴OE ＝CD ＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上运动，且AB =4，若AC =BC =5，△ABC 的形状始终保持不变，则在运动的过程中，点C 到原点O 的最小距离为____________．【分析】如图过作于证明求解结合三角形的三边的关系可得：＞当三点共线时可得从而可得答案【详解】解：如图过作于由三角形三边的关系可得：＞当三点共线时的最小值是：点C 到原点O 的最小距离为故答案为：【点睛】 212【分析】如图，过C 作CG AB ⊥于,G 4AB =，证明2,GB GA ==求解21,2,CG OG == 结合三角形的三边的关系可得：OC ＞,CG OG - 当,,C O G 三点共线时，,OC CG OG =- 可得212,CO CG OG ≥-=从而可得答案．【详解】解：如图，过C 作CG AB ⊥于,G 4AB =， 5,CB CA ==2,GB GA ∴==22225221CG CA GA ∴=-=-=，90AOB ∠=︒，122OG AB ∴==， 由三角形三边的关系可得：OC ＞,CG OG -当,,C O G 三点共线时，,OC CG OG =-212,CO CG OG ∴≥-=-∴ CO 的最小值是：21 2.-∴ 点C 到原点O 的最小距离为21 2.-21 2.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ， 当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图， 四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形， 同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意． 故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．15．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．16．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD 解析：858【分析】根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．【详解】解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴EB ＝ED ＝x ；由勾股定理得：BE 2＝AB 2+AE 2，即x 2＝52+（20﹣x ）2，解得：x ＝858， ∴ED ＝858． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF 解析：2 【分析】 过D 作DF ⊥AC 于F ，得到AB ∥DF ，求得AF ＝CF ，根据三角形中位线定理得到DF =12AB ＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∴∠DFC ＝∠A ＝90°，∴AB ∥DF ，∵点D 是BC 边的中点，∴BD ＝DC ，∴AF ＝CF ，∴DF =12AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DE =2DF =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．18．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是 解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交解析：223 【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E ，即可得出结果．【详解】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=12AD=2， ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ，∴A′E=AE ，A′B=AB=2，∴A′N=22A B BN '-=0，即A′与N 重合，∴A′M=2= A′E ，∴AE=2；②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A′B=2PB ，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，设A′E=x ，则BE=2x ，在△A′EB 中，()22222x x =+，解得：x=233， ∴AE=A′E=233；综上所述：AE 的长为223， 故答案为：223． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．20．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析：17 【分析】 根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N，使NMB△是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．22．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图1中，作一个以EF 为直角边的直角三角形；（2）在图2中，作一个以EF 为边的平行四边形．解析：（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】(1)连接CE ，CF ，先利用勾股定理计算EF ，EC ，CF 的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ，连接1G D ，取CD ，C 1G 的中点即可，过点E 作E 1H ⊥1G D ，垂足为1H ，也可以得到符合题意的平行四边形.【详解】解：（1）在图1中，连接CE ，CF ，则EFC 即为所作；理由如下：∵4AB =，6AD =，2AE =，F 是AB 的中点，∴AF=BF=2，ED=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，∴2EF =22AE AF +=8，2EC =22DE DC +=32，2CF =22BC BF +=40，∵2EF +2EC =2CF ，∴EFC 是直角三角形.（2）如图2，四边形EFGH 即为所作．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.23．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？解析：（1）t =2；（2）t =3或65t =． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．∵∠A =60°，∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．（2）∵△PAQ 是直角三角形，∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·2t ，解得65t =（秒）， ∴当t =3或65t =时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．25．已知点()0,6B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，连接BC ，分别以OC 和BC 为边长作等边ODC △和EBC ，连接DE ．（1）如图（a ），当D 点在OBC 内部时，求证：BO DE =；（2）如图（b ），当D 点在OBC 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）当D 点恰好落在EBC 的边上时，利用图（c ）探究分析后，直接写出ODC △的高的长度为______．解析：（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．【分析】（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；（2）同（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；（3）分当D 点恰好落在EBC 的边BC 上或边BE 上两种情况讨论，利用全等三角形的性质以及三角形中位线或含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】证明：（1）在等边ODC △与等边EBC 中，CO CD =，CB CE =，60OCD BCE ∠=∠=︒，∴OCD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，即OCB DCE ∠=∠，在BCO 与ECD 中，CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS ≅△△，∴BO DE =；（2）还成立．理由：连接DE ，与（1）同理，CO CD =，CB CE =，60OCD BCE ∠=∠=︒，∴OCD DCB BCE DCB ∠-∠=∠-∠，即OCB DCE ∠=∠，在BCO 与ECD 中，CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS ≌△△， ∴BO DE =；（3）当D 点恰好落在EBC 的边BC 上时，如图，作DG ⊥OC 于G ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BC 的中点，∵DG ⊥OC ，∴DG 是△BOC 的中位线，∴DG=12BO=3； 当D 点恰好落在EBC 的边BE 上时，如图，作DF ⊥OC 于F ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∠ECD=∠BCO ，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BE 的中点，∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30︒，∴BC=2BO=12，∴2263BC BO -=∵△DOC 是等边三角形，∴DC=OC=3，FC=OF=33∴229DC CF -=，综上，ODC △的高的长度为3或9．故答案为：3或9．【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，A F ∠=∠，12∠=∠．（1）求证：BC DE =．（2）已知2DE =，连接BN ，若N 平分DBC ∠，求CN 的长．解析：（1）见解析；（2）2【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB 与EC 平行，再由内错角相等两直线平行得到DE 与BC 平行，即可得证；（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC ，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠F ，∴DE ∥BC ，∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF ，∴∠DMF=∠2，∴DB ∥EC ，则四边形BCED 为平行四边形；（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN=∠CBN ，∵EC ∥DB ，∴∠CNB=∠DBN ，∴∠CNB=∠CBN ，∴CN=BC=DE=2．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．27．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行四边形的概念和性质1.平行四边形的概念（1）平行四边形是四边形，具有四边形的性质，它的内角和等于360°.（2）平行四边形是特殊的四边形，它的特征表现在：两组对边分别平行.正因为如此，它还具有许多特殊的性质.（3）平行四边形的定义有两个方面的用途，其一是作为判定定理使用，即用来判定一个四边形是不是平行四边形；其二是作为性质定理使用，即已知一个四边形是平行四边形，可以得出它的两组对边分别平行.（4）平行四边形的画法.如图19-1-2，先画∠ABC，再用平行推动三角板的方法，分别画AB、BC的平行线，它们相交于点D，则四边形ABCD是平行四边形.图19-1-2辨析比较1.四边形和平行四边形联系：平行四边形是特殊的四边形，它具有四边形的一切性质，如内角和、外角和都是360°；都有两条对角线等等.区别：平行四边形是四边形，但四边形并不都是平行四边形；平行四边形具有四边形的一切性质，但四边形不一定具有平行四边形的一切性质.2.平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角.2.平行四边形的性质四边形的性质，通常从三个方面加以探究，即边、角、对角线.画一个平行四边形（画图要准确），通过度量，可以得出它的三条性质：(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分.连结一条对角线，很容易证得全等三角形，再由全等三角形的性质即得.联想发散第三条性质“平行四边形的对角线互相平分”，是把平行四边形加以旋转得出的.这种方法有如下的几个用处：①认识到平行四边形是中心对称图形；②平行四边形绕中心旋转180°后与自身重合，可以得到相等的线段（如图19-1-3）：OA=OC，OB=OD，也得到两组对称点A与C，B与D；19-13 19-14③平行四边形绕中心旋转30°（如图19-1-4），也可以得到OA=OC，也得到A与C是对称点，这启示我们平行四边形中对称点的画法.二、平行四边形的判定及三角形中位线定理1.平行四边形的判定除了根据平行四边形的定义判定外，还有四个判定定理：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.每个定理都包含两个条件.如“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”包含：AB ∥DC ；②AB=DC ，简写成AB DC.深化升华 根据上述定理的条件，我们也可以通过添加辅助线来构造平行四边形，从而把有关三角形的问题转化为平行四边形的问题加以解决，三角形中位线定理的证明就是一个很好的例子.我们再看一例：如图19-1-5，已知AD 是△ABC 的一条中线，AB=8，AC=5，求AD 的取值范围. 由已知条件，得BD=CD ，延长AD 到E ，使AD=ED ，连结BE 、CE ，得到ABEC.图19-1-5∵AB=8，BE=AC=5，AE=2AD ，∴8-5＜2AD ＜8+5，即1.5＜AD ＜6.5.2.利用平行四边形的判定定理和性质定理证明三角形的中位线定理定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.如图19-1-6，点D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC. 思路分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.解：方法1：如图19-1-6（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，四边形BCFD 是平行四边形.DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC.（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）图19-1-6方法2：如图19-1-6（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，有四边形ADCF 是平行四边形.所以AD ∥FC ，且AD=FC.因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC.因此四边形ADCF 是平行四边形.DF ∥BC ，且DF=BC.因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC. 深化升华 （1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线.（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.联想发散 在平面几何证题中，由中点联想到中位线，再构造中位线解题，是一种很常用的方法.如图19-1-7，在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，CD ⊥AD ，垂足是D ，G 是BC 的中点，求证∠DGC=∠B.图19-1-7思路分析：由点G 为BC 的中点，很容易想到，若能证明点D 是CE 的中点，那么DG 就是△CEB 的中位线，就可以证明∠DGC=∠B.点D 是CE 的中点，可以由证明△AED 和△ACD 全等得到.我们可以按照图中的辅助线完成证明.辨析比较 三角形的中位线与三角形的中线的区别和联系.（1）三角形的中位线和三角形的中线都是线段，这是它们的共同点；（2）三角形的中位线连结的是三角形两边的中点，中线是顶点与对边中点的连线.如图19-1-8中的线段DE 、EF 、DF ；三角形的中线连结的是一个顶点与它对边的中点，如图19-1-8中的线段AE 、BF 、CD.图19-1-8（3）一个三角形有三条中线，也有三条中位线.（4）三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心（以后要学到）；三条中位线构成一个三角形，叫做三角形的中点三角形.典题·热题知识点一 平行四边形的概念和性质例1如图19-1-9，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，求证：AF=CE.图19-1-9思路分析：要证AF=CE ，需证△ADF ≌△CBE ，由于四边形ABCD 是平行四边形，有∠D=∠B ，AD=BC ，AB=CD ，又AE=CF ，根据等式的性质，可得BE=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B ，AD=BC ，AB=CD ，又∵AE=CF ，∴BE=DF.在△ADF 和△CBE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,BE DF B D CB AD ∴△ADF ≌△CBE ，∴AF=CE.巧解提示 本题也可以通过证明四边形AECF 是平行四边形，从而证明AF=CE.例2已知：如图19-1-10(a)，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F.求证：OE=OF ，AE=CF ，BE=DF.思路分析：只要证明线段所在的三角形全等即可. 证明：在ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE ≌△COF （ASA ）.∴OE=OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）. ∵ABCD ，∴AB=CD （平行四边形对边相等）.∴AB-AE=CD-CF ，即BE=FD.巧妙变式 若例2中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例2的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例2的结论是否成立，说明你的理由.图19-1-10解略.知识点二 平行四边形的性质和判定的综合运用例3不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB=CD ，AD=BCB.AB ∥CD ，AB=CDC.AB=CD ，AD ∥BCD.AB ∥CD ，AD ∥BC思路分析：画出草图，根据平行四边形的判定定理进行判定.A.是，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B.是，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.C.不能判定.梯形是一个反例.D.是，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.方法归纳 熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键.例4在给定的条件下，能画出平行四边形的是（ ）A.以60 cm 为对角线，20 cm 、34 cm 为两条邻边B.以20 cm 、36 cm 为对角线，22 cm 为一边C.以6 cm 为一条对角线，3 cm 与10 cm 为两条邻边D.以6 cm 、10 cm 为对角线，8 cm 为一边思路分析：画出草图，根据平行四边形的性质定理以及三条线段组成三角形的条件进行判断. 如图19-1-11，图19-1-11A.不能.如AC=60 cm ，AB=20 cm ，BC=34 cm ，∵AB+BC=20+34=54＜60=AC ，∴△ABC 不存在，平行四边形不能画出.B.能.如AC=20 cm ，BD=36 cm ，AB=22 cm.∵OA=21AC=21×20=10,OB=21BD=21×36=18,10+18＞22, ∴△OAB 存在，平行四边形ABCD 能画出.C.不能，如AC=6 cm ，AB=3 cm ，BC=10 cm ，∵AB+AC=3+6=9＜10=BC ，∴△ABC 不存在，平行四边形ABCD 不能画出.D.不能，如AC=6 cm ，BD=10 cm ，AB=8 cm.∵OA=21AC=21×6=3，OB=21BD=21×10=5， OA+OB=3+5=8=AB ，∴△OAB 不存在，平行四边形ABCD 不能画出.答案：B方法归纳 能不能画出平行四边形，关键看所给出的线段长是否能构成三角形. 例5已知：如图19-1-12，A′B′∥BA ，B′C′∥CB ， C′A′∥AC.图19-1-12求证：(1)∠ABC=∠B′，∠CAB=∠A′，∠BCA=∠C′；(2)△ABC 的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.思路分析：利用平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定. 证明：(1)∵A′B′∥BA ，C′B′∥BC ，∴四边形ABCB′是平行四边形.∴∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).同理∠CAB=∠A′，∠BCA=∠C′.(2)由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理，四边形ABA′C 是平行四边形.∴AB=B′C ， AB=A′C(平行四边形的对边相等).同理B′A=C′A ， A′B=C′B.∴△ABC 的顶点A 、B 、C 分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.方法归纳 平行四边形的性质和判定的综合运用在今后的学习过程中经常用到，学习时要注意.例6小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形.你能在图19-1-13中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由.图19-1-13思路分析：因为正△ABO ≌正△AOF ，所以AB=BO ，OF=FA.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD 是平行四边形.其他五个同理.解：有6个平行四边形，分别是ABOF ，ABCO ，BCDO ，CDEO ，DEFO ，EFAO. 例7如图19-1-14，平行四边形 ABCD 的周长为60 cm ，对角线相交于点O ，△AOB 的周长比与△BOC 的周长少8 cm ，求AB 与AD 的长.图19-1-14思路分析：利用平行四边形的对角线互相平分，将△AOB 的周长，△BOC 的周长之间的关系转化为平行四边形ABCD 的边长之间的关系：C △BOC -C △AOB =8.即（OB+OC+BC ）-（OA+OB+AB ）=8.又∵OA=OC,∴BC-AB=8.解：设AB=x cm ，AD=y cm ，根据题意和平行四边形的性质，得⎩⎨⎧=-=+,8,60)(2x y y x 解得⎩⎨⎧==.19,11y x 即AB 与AD 的长分别为11 cm 和19 cm.巧解提示 数形结合是一种重要的数学思想方法.把几何量之间的关系巧妙地通过方程组求解，是几何计算中经常用到的方法.例8如图19-1-15，在平行四边形 ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，CE=2，DF=1，∠EBF=60°，则平行四边形 ABCD 的面积为多少？图19-1-15思路分析：根据平行四边形的性质定理和∠EBF=60°，可求出∠CBE=30°，在Rt △BCE 中，可求出BC ，进而求AF ，再在△ABF 中求解.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.又∵BF ⊥AD ，∴∠CBF=∠AFB=90°,∴∠CBE=90°-∠EBF=90°-60°=30°.在Rt △BCE 中，BC=2CE=2×2=4， BE=32242222=-=-CE BC .∵AD=BC=4，DF=1,∴AF=3.在Rt △ABF 中，∵∠ABF=30°，∴AB=2AF=2×3=6,S ABCD =AB·BE=6×31232=.方法归纳 在直角三角形中，已知一边一锐角，可以求出其他的边和角.在本题中，我们通过解直角三角形，达到了求平行四边形面积的目的.知识点三 三角形的中位线定理例9已知：如图19-1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图19-1-16求证：四边形EFGH 是平行四边形.思路分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证. 证明：连结AC （图19-1-16），△DAG 中，∵AH=HD ，CG=GD ，∴HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）. 同理EF ∥AC ，EF=21AC. ∴HG ∥EF ，且HG=EF.∴四边形EFGH 是平行四边形.此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.方法归纳 连结四边形的对角线是解题过程中经常添作的辅助线.问题·探究思维发散探究问题 如果连结一个三角形的各边中点得到的一个新的三角形,这个三角形叫做原三角形的中点三角形,那么中点三角形与原三角形有什么关系?你能找到多少呢?探究过程：为了研究问题的方便,可以建立如图19-1-17的图形，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点.要知道中点三角形与原三角形的关系,可以从位置关系、周长、面积等这些方面来研究.1图19-1-17（1）∵D 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DF ∥BC ，同理得DE ∥AC ，EF ∥AB（2）由三角形中位线定理，得 DE=21AC,EF=21AB,DF=21BC, ∴DE+EF+DF=21（AB+BC+AC ）. （3）△DEF 的面积是△ABC 的面积的41. 在ADEF 中，∵△ADF ≌△EFD ，∴S △ADF =S △EFD .同理S △BED =S △EFD ，S △CEF =S △EFD ，故S △DEF =41S △ABC . 探究结论:（1）△DEF 的三边与△ABC 的三边分别平行，即DE ∥AC ，EF ∥AB ，DF ∥BC.（2）△DEF 的周长是△ABC 的周长的一半.（3）△DEF 的面积是△ABC 的面积的四分之一.。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章考点例析（一）知识框架考点例析知识点一：平行四边形的定义及性质【例1】：如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H．则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH =S四边形ABCH．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【例2】：如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【例3】：如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．【例4】：如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．【例5】：如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．变式训练1．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．下面平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等C．对角线相等 D．相邻两角互补3．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比有可能是（）A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶24．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．145．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26BD F6．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114°D．124°7．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠D＝1∶2∶4，∠C＝108°，则∠A＝ . 8．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则▱ABCD的面积．9．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．10．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．11．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．12.□ABCD 中，∠A 的平分线分 BC 为长是4cm 和5cm的两条线段，则□ABCD的周长是________________.13.在平面直角坐标系中，□ OBCD 的顶点 O，B，D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3），则顶点 C 的坐标为_____________.14.若平行四边形的周长为 54 cm ，两邻边之差为 5 cm ，则这两边的长度分别为______.15.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，EF过点O分别交AD,BC于点E,F求证:OE=OF.16.已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF DE=．求证：AE CF=．17．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．18．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．19．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．知识点二：平行四边形的判定【例1】：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种D ．6种【例2】：已知直角坐标系内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．【例3】：如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OA ，OC 上 （1）给出以下条件；①OB=OD ，②∠1=∠2，③OE=OF ，请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO ；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．变式训练1．下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③3.如图，在□ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，则图中共有个平行四边形. 4．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件__________________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．5．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．6．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．8．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．知识点二：三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.【例1】：如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．【例2】：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．【例3】：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为________.【例4】：如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．变式训练1．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5 B．7 C．8 D．102．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE3．如图，在△ABC中，∠A BC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．104．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2 D．45．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于___________cm．6．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．8．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；。