第9讲对数及其运算
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2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
对数的概念和运算性质课件
常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、 指数幂等式法、配方法及 直接化幂为幂、幂等式、 差倍角公式。
真实场景中的对数方 程应用
生物学、化学、物理学和 金融学等领域中使用对数 方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学 中导数增长，基因表达和代谢 过程等。
• 《高中数学教师操作 指南第8册》
• 《高中数学课件：对 数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数 公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示 为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和 对数的无穷级数来推导换底公 式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可 以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函 数来消去指数，得到一个 关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强 度和感官响应之间的关系，以 及放射性退化中元素浓度的变 化。
对数概念及其运算(课堂PPT)
13
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
对数的性质与运算
对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。
对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。
一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。
设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。
其中，a 称为底数，x 称为真数。
二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。
2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。
3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。
6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。
三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。
对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。
2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。
对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。
3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。
对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。
例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。
4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。
换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数与对数运算课件
.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.
对数概念及其运算
M
n
n m
loga
M m, n
R, m
0。
用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商
的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正数的对数的
n 倍。 【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）
c
( A) lg ab lg c Blg a lg b lg c Clg a lg b lg c Dlg ab lg c
【例 4】计算：
1lg 0.012; 3log2 3 log2 5;
2log4 42 3 4 ;
4log5
3 2
log5
5 4
log5
2
.
知识点 3 换底公式 1.换底公式
logb
N
loga N loga b
a
0, a
1,b
0, b
1,
N
0
2.换底公式的推论
1loga
b
1 logb
a
a
0,
a
1,
b
0,
b
1
2loga b logam bm a 0, a 1,b 0
3logam
bn
n m
loga
ba
0, a
1,b
0, m
0
【例 5】计算：
1log8 32;
2log25 4 log8 5;
3log4 3 log8 3log3 2 log9 2;
4log2
1 25
log3
x2 3(
3xx
x
0)
0
（A）①②③
（B）①②④
PPT教学课件对数及其运算
补充： （1）2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2
用带火星的木条插入试管观察现象： 带火星的木条复燃。
结论：有氧气产生。
滴加酚酞观察现象： 溶液先变红色，然后红色褪去。
结论：氢氧化钠溶液使酚酞变红；过氧化钠有 强氧化性，漂白作用使红色褪去。
1二、.金钠属的与化非学金性属质单：质的反应：
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92 3
1
(D).27 3
1与log 3
27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于()
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:
对数及其运算讲义
授课内容：（一）对数1.对数的概念：一般地，如果Q=N（">O,"H1）,那么数x叫做以"为底"的对数, 记作：x = b浜N（“_底数,N—真数，bg“N_对数式）说明：①注意底数的限制。
>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x；lo。
N0注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；0自然对数：以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b（二）对数的运算性质如果。
>0,且"工1, M>0, N>0,那么：① log fl（M . N）=log“M+log“N；]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M （n e R）注意：换底公式】,log,log/= --------------log, （d>0,竺"Hl；C>0, g.cHl；b>0）利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—（1）川;（2）吨/.（四）例题例1、设a, b, c都是正数，且3M b=6\那么（）解：由 a, b, c 都是正数，且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解：由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此，a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题：数形结合。
对数及其运算教案
对数及其运算教案教案标题：对数及其运算教案教案概述：本教案旨在引导学生了解对数及其运算的概念和性质，培养学生对对数运算的理解和应用能力。
通过多种教学方法和学习活动，学生将能够掌握对数的定义、性质和运算规则，并能够灵活运用对数进行数值计算和问题解决。
教案目标：1. 了解对数的定义、性质和运算规则；2. 能够进行对数的数值计算；3. 能够运用对数解决实际问题。
教学重点：1. 对数的定义和性质；2. 对数的运算规则；3. 对数的应用。
教学难点：1. 对数的运算规则的理解和应用；2. 对数在实际问题中的应用能力。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、白板、笔等；2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一些实际问题，引起学生对对数的兴趣和思考，如：“如果我告诉你某个数的对数是3，你能猜出这个数是多少吗？”；2. 学生回答并展示自己的思考过程。
二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过教学课件或板书，讲解对数的定义和性质，包括对数的底数、真数和指数的概念；2. 教师引导学生通过实例理解对数的意义和作用；3. 学生积极参与讨论和提问，确保对对数的定义和性质有清晰的理解。
三、运算规则讲解（20分钟）1. 教师通过教学课件或板书，讲解对数的运算规则，包括对数的乘法法则、除法法则和幂法则；2. 教师通过实例演示和解释，帮助学生理解对数运算规则的应用；3. 学生跟随教师一起进行练习，巩固对数运算规则的掌握。
四、练习与应用（20分钟）1. 学生个体或小组进行练习题，包括对数的数值计算和应用题；2. 教师巡回指导，解答学生的问题，帮助学生理解和解决难点；3. 学生展示自己的解题思路和答案，进行互评和讨论。
五、拓展与总结（10分钟）1. 教师提供一些对数相关的拓展问题，鼓励学生进行思考和探索；2. 学生讨论和分享自己的解题思路和答案；3. 教师对本节课的内容进行总结，并展示对数在实际生活中的应用。
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22
lg 6
32
3 lg6
2
lg6
3
18
1 3
lg6
2
=
lg 6
22
lg 6
32
3
lg6
2
1 3
lg6
18
1 3
lg6
2
= lg6 22 lg6 32 lg6 2 lg6 9
= lg6 22 lg6 32 2lg6 2 lg6 3 =lg6 2 lg6 32
=1
3
1 log4 8 2 ;log2 4 2 ;log2 8 3 .
x=
3
2
log9
27
3 2
设 loga 1 x 例析4： 设 loga a x
a x =1 即a x =a0 x=0 loga 1 0
1的对数恒为0 a x =a x=1 loga a 1
底数的对数恒为1
1.常用对数： 特殊对数 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如：log10 5 简记作lg5；log10 3.5 简记作lg3.5. 2.自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
0
.
猜一猜：loga M n ?
例2.计算
பைடு நூலகம்
1 lg 52 3 lg 2 2 lg 5 lg 2 lg 5;
2 lg 8 lg125 lg 2 lg 5 ;
1g 10 lg 0.1
3 lg6
22
lg 6
32
3 lg6
2
lg 6
3
18
1 3
lg 6
2
.
例解析析：：21lglg8 5lg2 1253lglg222lglg55 lg 2 lg 5
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
例如：log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10 3.底数a的取值范围： (0,1) (1,)
真数N的取值范围 : (0,)
1
例11 对数式 log2a1 6 2a 有意义的条件是
( ,1) U(1, 3) 2
；
2 若a
指数
真数
ab N loga N b
底数 幂
底数 对数
将下列指数式化为对数式
42 =16 log4 16 2 ；102 =100 log10 100 2 ；
1
1
4 2 =2 log4 2 2 ；102 =0.01 log10 0.01 2；
将下列对数式化为指数式
log3 27 3 log10 1000 3
102
ab 2
102ab
10a
2 10b 4
3
解析：3 log7 log3 log2 x 0 log3 log2 x =1
log2 x=3 x 8
二、对数的运算性质
loga M loga N loga MN a 0,a 1; M 0, N 0
计1l算l观o你 证 og即 lg猜 设ll即 察 oa能 明ooagggMMl一MNl2上 ol证 ：22oo3gN84gg猜n2述 a明aaalM： Moa结 MN吗lngaxNoa果 lgx？o532Naagxa，lMaloy,yolgM你 golaagoaMa发 lgaaM;oxaxaNg现yMayNl0N了loo,gyaga什 aaN?2lN么则o10g;l,？oaaMalllgoxxMoogagg3NM1N3320M;937,MN,axxyy0021y,3yNN
学习目标
1.理解对数的含义，能正确地进行指对数的互化. 2.理解掌握对数的运算性质，能正确地进行对数 的运算. 3.理解掌握换底公式，能正确应用换底公式进行 对数变形.
问题导入
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，到哪一年我国的人 口数将达到18亿？
33 27
；log2
1 2
103 1000 ；log
= 1 14
2
21
1 2
1 2 2
4
； ；
2
ab N loga N b
对数的存在性 Q a 0 ab 0 即N 0 只有正数才有对数 0和负数没有对数
式子loga N a 0,a 1有意义的条件是N 0
对数恒等式
a Q abloga NN NlogaaN0b, a 1 aloga N N
lg 2, b
lg
3,
则100 a
b 2
4 3
;
3已知log7
log3
log 2
x
0,
则x
1 2
2 4
.
2a 1 0
解析：1 依题意得
2a
1
1
6 2a 0
解得 1 a 3且a 1 2
解析：2 a lg 2 10a 2,b lg 3 10b 3
ab
100 2
例1.计算
1.log3 9; 2.log9 27; 3.loga 1; 4.loga a;
5.log4 3 81; 例析1：
6.log2 3 2 3
设 log3 9 x 则3x =9 即3x =32 x=2 log3 9 2
例析2：
设 log9 27 x 则9x =27 即32x =33 例析3：
（1）由2，4得到数16的运算是 乘方运算。
记为：24＝16
（2）由16，4得到数2的运算是 开方运算。
记为：4 16 2
（3）由2，16得到数4的运算是 对数运算！
记为：log216 4
一、对数的定义
一般地，若ab N a 0,a 1,则称b是以a为底N的对数.
记作：loga N a叫作底数，N叫作真数.
131 1 00x 18
2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年的平均增长率为8% ，那么经过多少年我国的 国民生产总值是2006年的2倍？
1 8 00 x 2
3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？
已知底数和幂，求指数.
知识探究
在式子24＝16中，
有三个数2(底),4(指数）和16（幂）
2
2 log27 9 3 ;log3 27 3 ;log3 9 2 .
观三 察、 上换 述底 各公 组式 对数，你发现了什么？能提出什么猜想？
=
=
3lglg251g32
10 lg 0.1
lg 5lg2lg2lg
5lg5
3
lg
2
2
lg
5
=lg5lg12lg15 2lg 2 lg5 lg 2
2
= lg45lg 2lg2lg52
= 34
例2.计算
3l
o g6
22
l
o g6
32
3l
o g6
2
l
o g6
3
18
1 3
l
og6
2
.
解析： 3 lg6