下载文档原格式
配方法求最值在数学中，我们经常会遇到求解函数最值的问题。
而配方法是一种常用的方法之一，用来求解函数的最值。
本文将介绍配方法的基本概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
首先，让我们来了解一下什么是配方法。
配方法，顾名思义，就是通过配对的方式来对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通常情况下，我们会将函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
接下来，我们来看一个具体的例子，以便更好地理解配方法的应用。
假设我们要求解函数f(x)=x^2e^x的最值。
首先，我们可以通过配方法将函数进行变形，将x^2和e^x进行配对。
我们可以将函数f(x)写成f(x)=x^2e^x=x^2e^x。
然后，我们可以对这个函数进行变形，使得其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
在这个例子中，我们可以通过配方法将x^2和e^x进行配对，然后对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通过上面的例子，我们可以看到配方法的基本思想。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
除了上面的例子之外，配方法还可以应用于其他类型的函数。
无论是多项式函数、指数函数、对数函数还是三角函数，都可以通过配方法进行变形，从而更容易求解最值。
因此，配方法是一种非常实用的方法，可以帮助我们更好地求解函数的最值。
在实际应用中，我们可以通过配方法来求解各种类型的函数的最值。
无论是在求解数学问题、物理问题还是工程问题中，配方法都可以发挥重要作用。
因此，掌握配方法是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
总之，配方法是一种常用的方法，用来求解函数的最值。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
配方法知识点总结一、配方法的基本概念1.1 选择偏差选择偏差是指在观察数据中，因变量和自变量之间存在系统性的选择关系，从而导致因果推论的偏差和不确定性。
选择偏差的存在是实证研究中常见的问题，尤其是在非实验研究中，观察数据通常会受到不同程度的选择偏差的影响。
1.2 混杂变量混杂变量是指在因果推论中，除了被研究的自变量和因变量之外，还存在其他与因果关系有关的变量，从而干扰了因果推断的准确性和可靠性。
处理混杂变量是实证研究中的重要问题，因为混杂变量的存在会导致因果推论的偏差和不确定性。
1.3 配方法的基本思想配方法的基本思想是通过匹配观察对象，使得处理组（接受处理）和对照组（未接受处理）在混杂变量上具有相似的特征，以此来消除选择偏差和混杂变量的影响，从而实现有效的因果推断。
1.4 配方法的设计原则（1）随机化原则：配方法设计应该尽量模拟实验设计的随机化分配，即通过匹配观察对象，使得处理组和对照组在混杂变量上具有类似的分布特征。
（2）平衡原则：配方法设计应该追求处理组和对照组在混杂变量上的平衡，即在匹配过程中使得处理组和对照组的混杂变量的均值和分布相近。
（3）适当性原则：配方法设计应该根据研究问题和数据特点选择合适的匹配算法和模型，以达到最佳的配对效果。
二、常见的配方法模型2.1 最近邻匹配最近邻匹配是一种简单直观的配方法，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择最近的几个观察对象作为配对。
最近邻匹配的优点是易于理解和实现，但其缺点是容易受到极端观察对象的影响，从而导致配对效果不稳定。
2.2 次近邻匹配次近邻匹配是对最近邻匹配的改进，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择次近的几个观察对象作为配对。
次近邻匹配相比最近邻匹配能够更稳定地实现处理组和对照组的平衡，从而得到更加可靠的配对效果。
2.3 核密度匹配核密度匹配是一种基于概率密度估计的配方法，它的基本思想是通过估计处理组和对照组观察对象的概率密度分布，然后根据密度函数的相似度来选择配对。
高考专题：配方法一、含义配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
二、涉及到的内容普通二次式子配方，三次式配方，因式分解配方，根式配方，参数配方，分离法配方。
三、主心思路根据已学到的公式，对所求式子进行变换、凑化、化繁为简，从而达到节省时间，优化解题步骤的目的。
四、具体内容详解①普通二次式子配方需要掌握以下公式，并识记形如782-522=(78+52)(78=52)形式，以及常见自然数的平方数：22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361222=484252=625242=576322=1024完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2=(a-b)2+4ab( a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2【例】解方程：2x²+6x+6=4分析：原方程可整理为：x²+3x+3=2，通过配方可得(x+1.5)²=1.25通过开方即可求解。
解：2x²+6x+6=4<=>(x+1.5)²=1.25x+1.5=1.25的平方根【例】因式分解x²-4x-12解：x²-4x-12=x²-4x+4-4-12=（x-2）²-16=（x -6)(x+2）【例】因式分解x²-ax-x+a解：原式=x²-(a-1)x+a=(x-a)(x-1)注：该种形式的题目一般出现在讨论带参数的零点个数问题，解题时一般化成三项式子观察。
配方法求最值在数学中，求最值是一个非常常见的问题。
在实际生活中，我们经常需要找到某个函数的最大值或最小值，以便做出最优的决策。
而配方法是一种常用的数学方法，可以帮助我们求解函数的最值问题。
首先，让我们来了解一下什么是配方法。
在高中数学中，我们学过一元二次函数的配方法，即利用完全平方公式将一元二次函数化为平方的形式，从而求得最值。
而在高等数学中，配方法是指通过适当的配对，将一个多项式函数化为一个平方项与一个余项的和的形式，从而利用平方项的非负性来求解最值问题。
接下来，我们以一个具体的例子来说明配方法求最值的步骤。
假设我们要求解函数$f(x)=x^2-4x+3$的最值。
首先，我们可以通过配方法将函数化为平方项与余项的和的形式，即$f(x)=(x-2)^2-1$。
然后，我们可以看出平方项的最小值为0，因此原函数的最小值为-1，当且仅当$x=2$时取得最小值。
除了一元二次函数外，配方法还可以应用于其他类型的函数。
例如，对于一元三次函数$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$，我们同样可以通过配方法将其化为平方项与余项的和的形式，从而求得最值。
这表明配方法是一种十分灵活和实用的数学方法，可以帮助我们解决各种类型的最值问题。
在实际应用中，配方法常常与导数法相结合，共同用于求解函数的最值。
通过配方法化简函数，我们可以更加方便地求出函数的极值点，然后利用导数法来判断这些极值点是最大值还是最小值。
这样一来，配方法不仅简化了计算过程，还可以提高我们求解最值问题的效率。
总之，配方法是一种重要的数学方法，可以帮助我们求解函数的最值问题。
无论是一元二次函数还是其他类型的函数，配方法都能够发挥作用，为我们提供便利。
因此，在学习数学的过程中，我们应该充分理解配方法的原理和应用，以便更好地应用于实际问题的求解中。
通过本文的介绍，相信大家对配方法求最值有了更深入的理解。
希望大家在今后的学习和工作中，能够灵活运用配方法，解决各种最值问题，为实际问题的求解提供更加便利的途径。
配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。
它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。
例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。
解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：△ABC是等边三角形。
【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。
所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。
一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。
例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。
【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。
二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。
例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。
高中数学常用解题技巧第01讲：配方法【知识要点】一、配方法是初中数学和高中数学解题时常用的一种技巧，必须要理解和熟练掌握.配方的过程一般如下：22222222()()()44b b b b ax bx c ax bx c a x x c a x x c a a a a ++=++=++=++-+224()24b ac b a x a a-=++ 二、配方时，一般把常数项单独放开，再提取二次项的系数，再配方整理.三、如果二次项的系数是1，一次项的系数是偶数时，配方比较方便。
如果不是这种情况，可以不配方，直接利用二次函数的公式即可，0a >时 ，抛物线开口向上，0a <时，抛物线开口向下.对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标为24(,)24b ac b a a--。
【方法讲评】【例1】已知函数2()log (2)1f t t t =-+-,(t)f 的定义域为D ．(1）求D ；(2）若函数22()2g x x mx m =+-在D 上存在最小值2,求实数m 的值．此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③1m -≤即1m ≥-时，()g x 在[1,2)上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得1m =．综上：1m =．【点评】（1）对于有些二次函数的二次项系数是“1"，一次项的系数是偶数的，可以直接配方，对于【反馈检测1】已知函数() 2.f x x x =-(1)写出()f x 的单调区间；（2）设0a >，求()f x 在[]0,a 上的最大值．高中数学常用解题技巧第01讲：配方法参考答案【反馈检测1答案】（1) 单调递增区间是(],1-∞和[)2,+∞,单调递减区间是[]1,2;（2)max ()f x =(2),0112(2),2a a a a a a a -<<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，11+1+。
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2，将已知等式左边后配方（a 3＋a 5）2易求。
答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，选B 。
3小题：已知等式经配方成(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1，求出sin αcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解。
选C 。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D 。
5小题：答案3－11。
二、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。
长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B 。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。
【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 , (p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。
又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。
【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。
假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aa b+)1998＋(ba b+)1998。
【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab 。
则代入所求式即得。
【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0 ，设ω＝ab，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω＝ba，ω3＝ω3＝1。
又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，所以 (aa b+)1998＋(ba b+)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋ω999＝2 。
【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0 ，解出ba＝-±132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999＋(ba)999后，完成后面的运算。
此方法用于只是未-±132i联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝-±132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
三、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8B. ()a b -22C. a b 222+ D.最小值不存在 2. α、β是方程x 2－2ax ＋a ＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。
A. －494B. 8C. 18D.不存在3. 已知x 、y ∈R +，且满足x ＋3y －1＝0，则函数t ＝2x ＋8y 有_____。
A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值224. 椭圆x 2－2ax ＋3y 2＋a 2－6＝0的一个焦点在直线x ＋y ＋4＝0上，则a ＝_____。
A. 2B. －6C. －2或－6D. 2或65. 化简：218-sin ＋228+cos 的结果是_____。
A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C. －2sin4D. 4cos4－2sin46. 设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x 2＋2x ＋11x +的最小值为___________。
8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。
(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax 2＋Bx ＋C ，给定m 、n （m<n ）,且满足A 2[(m+n)2+ m 2n 2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B 2＋C 2＝0 。
① 解不等式f(x)>0；② 是否存在一个实数t ，使当t ∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m ∈R ，x ＝log s t ＋log t s ，y ＝log s 4t ＋log t 4s ＋m(log s 2t ＋log t 2s),① 将y 表示为x 的函数y ＝f(x)，并求出f(x)的定义域；② 若关于x 的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m 的取值范围。
