椭圆习题课

人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。

【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。

【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空：1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的；2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条.常数，（）是的离心率。

e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。

3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。

设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径；.椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。

1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D.2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A BC. D.3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（）A . 6 ；B .8 ； C.10 ； D.154 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=；5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。

二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题例1：已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点,使得取得最小值，求最小值和点的坐标。

（提示：。

）可给于一定的提示！●想一想：解决此类问题的关键是。

解：椭圆的方程可化为x2 y2 1, 64
它的一个参数方程为
{x 6 cos (为参数，0 2 ) y 2sin
x 2 y 6 cos 4sin 22 cos( ) cos( ) [1,1]
x 2y [ 22, 22]
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4、P是椭圆{ x 4 cos (为参数)上一点，且 y 2 3 sin
所以可设点M (3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离

3cos 4sin 10
d 5
5(cos 3 sin 4) 10
5
5
5
1 5
5 c os (
0 ) 10
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其中0满足 c os0
3 5
,sin 0
4 5
由三角函数性质知，当－0＝0时，d取最小值 5
cos 5 ,sin 2 5 从而有
5
5
x 4 cos 4 5 , y 2 3 sin 4 15
5
5
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设M (5cos ,4sin )是椭圆上的一点，则 z 5cos 8sin 89 cos( 0 ) cos( 0 ) [1,1]
z [ 89, 89]
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3、设P(x, y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点， 求x 2y的取值范围。
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当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M
的轨迹，它的参数方程是
x {
a
cos
(为参数)
y b sin
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数的 范围是 [0,2 )

高中数学第二册(上)椭圆习题课(1,2)例1 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上任意一点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在以直线y=x 为轴的对称点1M 和2M ，且310421=M M ，求椭圆方程。

例2 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线L ：09=+-y x 上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程。

例3 已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，A （2，0）为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心， 且0=⋅BC AC ，BA BC OB OC -=-21）求椭圆方程：（2）若AB 上一点F 满足032=+-OF OA BO ，求证：CF 平分BCA ∠。

例4已知椭圆1222=+y x 的右准线L 与x 轴交于E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，点C 在右准线L 上，且BC//x 轴。

求证：直线AC 经过线段EF 的中点。

椭圆-习题课2例1 设椭圆的中心在原点O ，一个焦点F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ，（1）求椭圆方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程并说明轨迹是什么图形？ 例2椭圆1162422=+y x ，直线L ：1812=+y x ，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，且满足2OR OP OQ =⋅，当点P 在L 上移动时，求Q 的轨迹方程。

例3 已知曲线C ：1422=+y x ，A 、B 是曲线C 上关于坐标轴不对称的两点，求AB 的垂直平分线L 在x 轴上截距的取值范围。

例4从椭圆14922=+y x 上一点M 向以短轴为直径的圆引两条切线，切点为A 、B 。

直线AB 分别和x 、y 轴交于P 、Q 两点，求2294OQ OP +的值。

2
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一： 设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广： 推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示， 和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点 当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心 求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标， 写出两个向量的坐标， 运算数量积，运用二次 函数 的有关知识求最值。