高中物理 万有引力定律在天文学上的应用 计算太阳和地球的质量

万有引力定律的应用--求天体质量（两种）①地上跑的：②天上飞的：总结：已知注意：R 指中心天体的球体半径，r 指行星或卫星的轨道半径。

若行星或卫星绕近中心天体表面运行，则有R=r 。

注意：只能求中心天体的质量 求天体密度的方法（两种）若为近地卫星公转周期已知，则r ≈R ，则 推导过程：结论：若要测某星球密度，最简单方式。

测其近地卫星的公转周期注意：只能求中心天体的密度mg R MmG =2GgR M 2==2r Mm G rv m 2r m 2ωr T m 224πG r v M 2=G r M 32ω=2324GT r M π=gR 中任两个、、r T v )(ωrr v v r T T，求出，可以根据：、不可缺，，二者不独立，相当于给了，故给了补充：ωωωπω==2VM=ρM gR 中任两个、、r T v )(ω334RV π=23GT πρ=3222344RV r T m r Mm G ππ==2324GT r M π=3233R GT r πρ=练习: g-R 型1．已知引力常量11226.6710N m /kg G -=⨯⋅，地球表面的重力加速度29.8m/s g =，地球半径6400R =km ，则地球质量的数量级为（ ）A ．2010kgB ．2210kgC ．2410kgD ．2610kg2．字航员在某星球将一物体从离地50米高度处释放使其做自由落体运动，经5s 落地。

已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表而重力加速度取210m/s ，设地球质量为M ，则该星球的质量为（ ） A ．85MB ．MC ．2MD ．65M9．某同学在地球表面测量一圆锥摆在水平面内做匀速圆周运动的周期，当摆长为L ，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为h ，周期为T ；某宇航员登陆某星球后，在星球表面也做了同样的圆锥摆实验，当摆长也为L ，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为H 时，周期也为T 。

若该星球的半径和地球半径相等，则该星球质量与地球质量之比为（ ）A ．H hB ．2222L h L H --C ．h HD ．2222L h L B-- 3．假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v ，轨道半径为5r 。

1、基本方法：①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：，R为天体半径。

2、环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。

①由得∴r越大，②由得∴r越大，③由得∴r越大，3、三种宇宙速度①第一宇宙速度（）：v1＝ km/s，人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（）：v2＝ km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度（）：v3＝ km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。

4、同步卫星的特点：①同步卫星的周期T＝②同步卫星的高度H＝③同步卫星的线速度V＝④同步卫星一定都处在赤道上空（可证明）。

5、万有引力和重力：重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G, g ＝GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即g h＝GM/（r+h）2，比较得g h＝（）2·g在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F向和m2g 刚好在一条直线上，则有F＝F向＋m2g，所以m2g＝F－F向＝G－m2Rω自2因地球自转角速度很小G>>m2Rω自2,所以m2g＝ G假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G＝m2Rω自2时，m2g＝0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.典型例题1、万有引力定律及其适用条件：例1、如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．（1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球体了，不能直接使用这个公式计算引力．（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．解析：完整的均质球体对球外质点m的引力这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即F＝F1+F2．因半径为R/2的小球质量M/为，则，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力。

高一物理必修2 万有引力定律在天文学上的应用班级________姓名________学号_____学习目标:1．了解引力常量的测定。

2．能应用万有引力定律计算天体质量。

3．了解万有引力定律在未知天体发现中的重要作用。

学习重点：应用万有引力定律计算天体质量。

学习难点:应用万有引力定律计算天体质量。

主要内容:一、引力常量的测定1．实验装置：卡文迪许扭秤(见图)其主要由：__________________________________等部件组成。

2．实验原理：3．实验结果：二、应用万有引力定律计算天体的质量1．基本思路：据行星(或卫星)运动的情况，求出行星(或卫星)的向心加速摩，向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体(太阳或行星)的质量。

2．一般方程：【例一】已知万有引力恒量G，要估算地球的质量，还必须知道某些数据，现在给出的下列各组数据中，可以计算出地球的质量的数据组是( )(A)地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R(B)月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R(C)人造地球卫星在地面附近的速度v和运动周期(D)地球半径R和同步卫星离地面的高度h【例二】月球和地球中心的距离是3．84×108米，月球绕地球运行周期是2．3×106秒。

求地球的质量。

【例三】设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力恒量为G，则根据以上数据可求出的物理量有(A) 土星线速度的大小 (B) 卫星向心加速度的大小(C) 土星的质量 (D) 太阳的质量【例四】两颗行星都绕太阳做匀速圆周运动，它们的质量之比m1：m2=p，轨道半径之比r1：r2=q，则它们的公转周期之比T1：T2= ，它们受到太阳的引力之比F1：F2=三、应用万有引力定律发现未知天体海王星、冥王星的发现：在18世纪，人们己经知道人阳系有7个行星，其中1781年发现的第七个行星一天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定的偏离。

万有引力定律行星运动和地球重力万有引力定律是现代物理学的基本定律之一，它描述了质点之间的相互作用力与距离的关系。

根据这一定律，行星围绕太阳运动，地球的重力则是由地球质量所带来的。

本文将详细介绍万有引力定律以及行星运动和地球重力之间的关系。

一、万有引力定律万有引力定律是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的。

该定律表明，任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这种力与两个物体的质量成正比且与它们之间的距离的平方成反比。

其中的数学表达式为：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F为两个物体之间的引力，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离，G为万有引力常数。

二、行星运动根据万有引力定律，行星围绕太阳运动。

太阳作为太阳系的中心，质量巨大，形成了强大的引力场。

行星在这个引力场中受力运动，维持着稳定的轨道。

这种受力运动可以用开普勒定律来描述：1. 开普勒第一定律（椭圆轨道定律）：行星围绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

2. 开普勒第二定律（面积定律）：行星在等时间内扫过的面积相等，即行星在距离太阳较近的时候运动较快，在距离太阳较远的时候运动较慢。

3. 开普勒第三定律（调和定律）：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

这些定律揭示了行星运动和万有引力定律之间的密切关系，为人们从理论上预测和解释行星运动提供了重要的依据。

三、地球重力地球的重力是由地球质量所带来的。

根据万有引力定律，地球对物体的吸引力与物体的质量成正比，与物体到地心的距离的平方成反比。

地球的质量非常巨大，因此地球的重力对人类生活具有至关重要的影响。

地球的重力影响着物体的下落和运动。

当一个物体从较高的位置落下时，地球的重力会对其产生作用，使其加速下落。

根据牛顿第二定律，物体受力后会产生加速度，因此下落的物体会加速度增大，直到达到一个稳定的速度，即终端速度。

地球的重力还能使物体绕地球旋转，例如人造卫星。

通过控制卫星的速度和轨道，可以使卫星保持在特定的轨道上，并且能够稳定地运行。

高中物理中的万有引力定律及应用在高中物理的学习中，万有引力定律无疑是一个极其重要的知识点。

它不仅帮助我们理解天体的运动规律，还在日常生活和现代科技中有着广泛的应用。

万有引力定律是由牛顿在 1687 年提出的，其表达式为：F ＝ G（m1 m2) ／ r²。

其中，F 表示两个物体之间的引力，G 是万有引力常量，约为 667×10⁻¹¹ N·m²/kg²，m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r 是两个物体质心之间的距离。

这个定律告诉我们，任何两个有质量的物体之间都会存在相互吸引的力，而且这个力的大小与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。

先来说说在天体运动中的应用。

我们知道，地球围绕太阳公转，月亮围绕地球公转，这些天体的运动都遵循着万有引力定律。

以地球绕太阳为例，太阳对地球的引力提供了地球做近似圆周运动所需的向心力。

通过万有引力定律和向心力的公式，我们可以计算出地球公转的轨道半径、速度等参数。

同样，对于人造卫星的发射和运行，我们也需要依靠万有引力定律来进行相关的计算和设计。

比如，要让卫星稳定地绕地球运行在特定的轨道上，就需要精确计算卫星所受到的地球引力以及所需的速度。

在天文学的研究中，万有引力定律更是发挥着关键作用。

通过观测天体的运动轨迹和速度，结合万有引力定律，科学家可以计算出天体的质量。

例如，通过观测恒星的运动以及它与伴星之间的相互作用，我们能够推断出恒星的质量。

对于一些看不见的天体，如黑洞，我们也可以通过它对周围物质的引力影响来间接证明其存在，并估算其质量。

除了天体领域，万有引力定律在日常生活中也有不少体现。

比如，当我们从高处跳下时，会感受到地球对我们的吸引力，使我们加速下落。

虽然这种引力在日常生活中的影响可能不太明显，但在一些特定的场景中还是能被察觉到的。

比如在大型的起重机工作时，需要考虑物体的重量以及地球的引力对其的作用，以确保操作的安全和准确。

万有引力定律在天文学上的应用教学目标：1．了解行星绕恒星运动的特点：万有引力作为行星圆周运动的向心力。

2．会用万有引力定律计算天体的质量。

3．发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反又可以指导实践的辩证唯物主义观点。

教学重点：会用已知条件求中心天体的质量。

教学难点：根据已有条件求中心天体的质量。

教学方法：求中心天体的公式，采用推理法和讲练法。

教学用具：有关练习题的投影片、投影仪。

教学步骤：卡文迪许实验测万有引力常量的原理是什么？巧妙运用微小变量的放大的方法。

万有引力常量的测出的物理意义？万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用，这节课我们来学习万有引力定律在天文学上的应用。

1．计算恒星的质量：如果我们知道某个行星与太阳之间的距离是r ，T 是行星公转的周期，试求出太阳的质量M ？解：设行星的质量为m .F 向=F 万有引力=r m r MmG 22ω= 即r T m r Mm G 22)2(π= 2324GTr M π= 对于一个天体，M 是一个定值。

所以，绕太阳做圆周运动的行星都有K Tr =23。

即开普勒第三定律。

总结：应用万有引力定律计算天体质量的基本思路是：根据行星运动的情况，求出行星的向心力，而F 向=F 万有引力.根据这个关系列方程即可例如：已知月球到地球的球心距离为r =4×108m,月亮绕地球运行的周期为30天，求地球的质量.解：月球绕地球运行的向心力即月地间的万有引力F 向=F 引=r T m rM M G 22)2(π月月地= 得：.kg 1089.5kg )36002430(1067.6)104()14.3(4424211382232⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-GT r M π地 2．求某星体表面的重力加速度。

例：一个半径比地球大2倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的：（ C ）A.6倍B.18倍C.4倍 Ｄ.13.5总结：求某星球表面的重力加速度，一般采用某物体在星体表面受到的重力等于其万有引力，一般采用比例计算法。

第六章万有引力与航天4万有引力理论的成就学习目标1.通过学习未知天体的发现,了解万有引力定律在天文学上的应用.2.通过计算地球和太阳的质量掌握利用万有引力定律计算天体的质量和密度的方法.3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法.自主探究1.卡文迪许是如何测量地球质量的?2.人造地球卫星、月球绕地球的运动,行星绕太阳的运动的向心力是分别由谁提供的?3.如何求太阳的质量?4.海王星是如何发现的?合作探究一、称量地球的质量【创设情景1】设地面附近的重力加速度g取9.8m/s2,地球半径R=6.4×106m,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,试估算地球的质量.【拓展】1.利用以上数据能否求出地球的密度?如果能请列出公式.2.若已知月球表面的重力加速度g0和月球半径R0,求月球的质量和密度.【结论1】求天体质量的方法一:.二、计算中心天体的质量【自主探究】1.应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么?2.求解天体质量的方程依据是什么?【小组合作1】1.天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动?2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些?3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点?5.应用此方法能否求出环绕天体的质量?【结论2】求天体质量的方法二:.【创设情景2】把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动,平均半径为1.5×1011m,已知引力常量G=6.67×1-N·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少?(结果取一位有效数字)【拓展】1.利用以上数据能否求出太阳的密度?如果能请列出公式.2.能否用类似办法求地球质量?需要选谁为研究对象?需要知道哪些量?请列出表达式.三、发现未知天体【小组合作2】1.应用万有引力定律除可估算天体质量外,还可以在天文学上有何应用?2.应用万有引力定律发现了哪些天体?3.人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法.【课堂小结】1.求天体质量的两条思路:①②2.用万有引力定律研究天体运动时,将天体的运动近似地看作运动,其所需向心力都来自于.然后结合向心力公式,据题目中所给的实际情况,选择适当的形式进行研究.3.测出卫星绕天体做圆周运动的轨道半径R和周期T,由万有引力F=G=,可解得天体质量M=.若已知该天体的半径为R0,据M=ρ·,可知天体密度ρ=.这就是估算天体质量和密度的方法.如果卫星在天体表面绕天体运动,则R=R0,故ρ=.由此可知只要知道近天体表面运行的即可估算天体的密度.4.现在我们知道太阳系有八大行星,其中被称为“笔尖下发现的行星”的是.因为它是据算出来的.它的发现也更进一步地证明了万有引力定律的正确性.课堂检测1.利用下列哪组数据,可以计算出地球的质量()A.已知地球的半径R和地面的重力加速度gB.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期TC.已知地球半径R和卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度vD.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T2.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,已知其周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为()A. B. C. D.3.设地球表面的重力加速度为g0,物体在距离地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用产生的加速度为g,则为()A.1B.C.D.4.若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R,周期为T,引力常量为G,可求得()A.该卫星的质量B.行星的质量C.该卫星的平均密度D.行星的平均密度5.地球公转的轨道半径是R1,周期是T1,月球绕地球运转的轨道半径是R2,周期是T2,则太阳质量与地球质量之比是()A. B. C. D.6.下面说法错误的是()A.海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C.天王星的运行轨道偏离,其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D.冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的=p,火星半径R火和7.假设火星和地球都是球体,火星质量M火和地球质量M地之比为火地地球半径R地之比为火=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地地等于()之比火地A. B.pq2 C. D.pq8.已知月球的质量是M,半径是R,求在月球表面的物体自由下落H所用的时间.9.已知月球到地球的球心距离为r=4×108m,月亮绕地球运行的周期为30天,求地球的质量.参考答案自主探究1.根据重力加速度求天体质量,即mg=G2.地球太阳3.利用G=m()2r得M=,其中M是太阳质量,r是某行星到太阳的距离,T是该行星绕太阳公转的周期.4.利用万有引力定律计算出来的.合作探究【创设情景1】kg=6.0×1024kg由mg=G得:M=-【拓展】1.由ρ=和V=得ρ=2.由mg0=G得M0=由ρ0=和V=得ρ0=【结论1】根据重力加速度求天体质量,即mg=G【自主探究】1.根据环绕天体的运动情况,求出其向心加速度,然后根据万有引力充当向心力,进而列方程求解.2.天体之间存在着相互作用的万有引力,行星绕恒星做近似圆周运动,而物体做圆周运动时合力充当向心力,故对于天体所做的圆周运动只能是万有引力充当向心力,这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.【小组合作1】1.天体实际运动是沿椭圆轨道运动的,而我们通常情况下可以把它的运动轨道处理为圆形轨道,即认为天体在做匀速圆周运动.2.在研究匀速圆周运动时,为了描述其运动特征,我们引入了线速度v、角速度ω、周期T 三个物理量.3.根据环绕天体的运动状况,求解向心加速度有三种求法.即:(1)a心=(2)a心=ω2·r(3)a心=4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力,结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程,即(1)F引=G=F心=ma心=m,即:G=m①得:M=.(2)F引=G=F心=ma心=mω2r,即:G=mω2·r②得:M=.(3)F引=G=F心=ma心=m,即:G=m③得:M=上述三种表达式分别对应已知环绕天体的线速度v,角速度ω,周期T时求解中心天体质量的方法.5.从以上各式的推导过程可知,利用此法只能求出中心天体的质量,而不能求环绕天体的质量,因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边,已被约掉.【结论2】根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供.【创设情景2】M=2×1030kg【拓展】1.不能,因为不知道太阳的半径2.可以选地球的一颗卫星,需要知道卫星到地球球心的距离r和卫星绕地球运动的周期T,利用G=m()2r得M=【小组合作2】1.应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体.2.海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的.3.人们在长期的观察中发现天王星的实际运行轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差,所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星,然后应用万有引力定律,结合对天王星的观测资料,计算出了另一颗行星的轨道,后来在计算的位置观察到新的行星.万有引力定律的发现,为天文学的发展起到了积极的作用,用它可以来计算天体的质量,同时还可以来发现未知天体.【课堂小结】1.求天体质量的两条思路:①地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力,即F引=mg.②把环绕天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动,即F引=F向.2.匀速圆周万有引力3.m()2R M=卫星的周期4.海王星万有引力定律课堂检测1.ABD2.D3.D4.B5.B6.B7.A8.9.5.89×1024kg。

太阳质量计算
太阳的质量是约2.0x10^30千克，也就是说太阳的质量等于200万亿亿吨（如果以1吨=1000公斤来计算）。

太阳质量的推导过程比较复杂，需要用到基于引力定律的牛顿万有引力定律和开普勒三定律等物理公式。

以下是大致的计算方法：
1.利用开普勒第三定律求出太阳系统中行星的轨道周期和距离。

这个定律可以表示为：
T^2=(4π^2/GM)×a^3。

其中T为行星的轨道周期，a为行星到太阳的平均距离，G为引力常数，M为太阳的质量。

2.利用地球到太阳平均距离和地球的质量来估算G的值。

通常可以采用百年前卡文迪许实验的结果来作为精确G值的参考。

3.利用上述公式中的T和a以及太阳的质量来解出G。

这个步骤通常需要使用迭代法求解，因为T和a的精度可能不够高。

4.最终得到的太阳质量应该符合已有观测结果。

需要注意的是，由于行星的轨道和太阳自转等因素会影响观测结果的精度，因此太阳质量的估算也存在一定的误差。