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高中数学函数的对称和周期性知识点精析1．周期函数的定义周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.3.函数的点对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称.4．函数的对称性与周期性的联系定理3：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以4()a b -为周期. 以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.5．几种特殊抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有()()+=;f x T f x二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
抽象函数的周期与对称轴抽象函数的周期与对称轴一. 教学内容教学内容抽象函数的周期与对称轴抽象函数的周期与对称轴二. 教学重、难点教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x ba f xb a f -+=++ 令xa b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x ba f -+=++5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
为对称中心。
证：证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x ba f x ba f -+-=++令2ab x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x ba f xb a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为C Cy x P Î"),(0则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+¢)()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ ∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ΢【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x Î有下列命题。
抽象函数周期与对称公式主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），(1)()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；(2)()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；(3)()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()f x a f x b +=-，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
(5)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．(6)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；(7)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点(),0A a 、(),0B b ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；(8)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于(),0A a 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。
高中数学函数对称性和周期性小结高中数学中，函数对称性和周期性是重要的概念。
它们在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。
本文将对函数的对称性和周期性进行详细的介绍和总结。
首先，我们来讨论函数的对称性。
对称性是指函数在某种变换下具有保持不变的性质。
在数学中，常见的函数对称性有对称、反对称和轴对称等。
对称函数是一种在镜像变换下保持不变的函数。
对称函数的概念可以延伸到两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称的函数满足 f(x) = f(-x)，这意味着函数的图像在y轴上对称。
而关于原点对称的函数满足 f(x) = -f(-x)，这意味着函数的图像在原点上对称。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指关于y轴对称的函数，即满足 f(x) = f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于y轴对称，例如 y = x^2 就是一个典型的偶函数。
偶函数的特点是在定义域的对称位置的函数值相等。
对偶函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
偶函数的性质还包括：偶函数相加仍为偶函数，偶函数与任意常数先乘后加仍为偶函数，偶函数乘以奇函数得到奇函数。
奇函数是指关于原点对称的函数，即满足f(x) = -f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于原点对称，例如 y = x^3 就是一个典型的奇函数。
奇函数的特点是在定义域的对称位置的函数值互为相反数。
对奇函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
奇函数的性质还包括：奇函数相加仍为奇函数，奇函数与偶函数相加得到一个新的函数，既不是偶函数也不是奇函数。
反对称函数是指既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数，而是在镜像变换下呈现一种特殊的关系。
即满足 f(x) = -f(-x)的函数。
这种函数的图像在关于y轴和原点的对称位置的函数值互为相反数。
例如 y = x 就是一个典型的反对称函数。
其次，我们来讨论函数的周期性。
周期性是指函数在某个特定的区间内，满足一个特定的周期性关系。
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性根本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进展拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+、、(异号考虑对称) )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过bx f x a f 2)()2(=+-可知，bx f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-函数的对称性和周期性知识点精析1．周期函数的定义周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.3.函数的点对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称.4．函数的对称性与周期性的联系定理3：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以4()a b -为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.5．几种特殊抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。
抽象函数的对称性与周期性一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f x 定义域为R,且满足条件：f a+x=f b －x,则函数y=f x 的图象关于直线x=2a b +对称; 推论1. 若函数y=f x 定义域为R,且满足条件：f a+x=f a －x 或f 2a －x= f x ,则函数y=f x 的图像关于直线x= a 对称;推论2. 若函数y=f x 定义域为R,且满足条件：f a+x=f a －x, 又若方程f x=0有n 个根,则此n 个根的和为na ;定理2. 若函数y=f x 定义域为R,且满足条件：f a+x+f b －x=c,a,b,c 为常数,则函数y=f x 的图象关于点(,)22a b c + 对称;推论1.若函数y=f x 定义域为R,且满足条件：f a+x+f a －x=0,a 为常数,则函数y=f x 的图象关于点a ,0对称;定理3.若函数y=f x 定义域为R,则函数y=f a+x 与y=f b －x 两函数的图象关于直线x=2b a -对称;定理 4.若函数y=f x 定义域为R,则函数y=f a+x 与y=c －f b －x 两函数的图象关于点(,)22b ac -对称;性质1：对函数y=fx,若fa+x= －fb －x 成立,则y=fx 的图象关于点2b a +,0对称; 性质2：函数y=fx －a 与函数y=fa －x 的图象关于直线x=a 对称; 性质3：函数y=fa+x 与函数y=fa －x 的图象关于直线x=0对称; 性质4：函数y=fa+x 与函数y=－fb －x 图象关于点2a b -,0对称; 二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f x 定义域为R,且满足条件f x ＋a=f x －b,则y=f x 是以T=a ＋b 为周期的周期函数;定理6.若函数y=f x 定义域为R,且满足条件f x ＋a= －f x －b,则y=f x 是以T=2a ＋b 为周期的周期函数;定理7.若函数y=f x 的图象关于直线 x=a 与 x=b a ≠b 对称,则y=f x 是以T=2b －a 为周期的周期函数;定理8.若函数y=f x 的图象关于点a,0与点b,0 , a ≠b 对称,则y=f x 是以T=2b －a 为周期的周期函数;定理9.若函数y=f x 的图象关于直线 x=a 与 点b,0,a ≠b 对称,则y=f x 是以 T=4b －a 为周期的周期函数;性质1：若函数fx 满足fa －x=fa ＋x 及fb －x=fb ＋x a ≠b,ab ≠0,则函数fx 有周期2a －b ； 性质2：若函数fx 满足fa －x= － fa ＋x 及fb －x=－ fb ＋x,a ≠b,ab ≠0,则函数有周期2a －b. 特别：若函数fx 满足fa －x=fa ＋x a ≠0且fx 是偶函数,则函数fx 有周期2a.性质3：若函数fx 满足fa －x=fa ＋x 及fb －x= － fb ＋x a ≠b,ab ≠0,则函数有周期4a －b. 特别：若函数fx 满足fa －x=fa ＋x a ≠0且fx 是奇函数,则函数fx 有周期4a;例1．已知定义在上的奇函数满足,则的值为例2．已知函数是周期为的函数,当时,,当时,的解析式是例3.设是定义在上以为周期的函数,在内单调递减,且的图像关于直线对称,则下面正确的结论是例4.设是定义在上1．已知定义为R的函数满足,且函数在区间上单调递增.如果,且,则的值 .A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.例5.在R上定义的函数是偶函数,且.若在区间上是减函数,则A.在区间上是增函数,在区间上是减函数B.在区间上是增函数,在区间上是减函数C.在区间上是减函数,在区间上是增函数D.在区间上是减函数,在区间上是增函数例6．已知函数的图象关于直线和都对称,且当时,.求的值.13．设ｆｘ是定义在R上的偶函数,其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１,ｘ２∈０,都有ｆｘ１＋ｘ２＝ｆｘ１·ｆｘ２,且f1=ａ＞０．Ⅰ求ｆ；Ⅱ证明ｆｘ是周期函数；练习：1.设偶函数对任意,都有,且当时,,则2．是定义在上的以为周期的奇函数,且在区间内解的个数的最小值是3．定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为4 .已知函数为上的奇函数,且满足,当时,,则等于5.函数对于任意实数满足条件,若,则6.已知是周期为的奇函数,当时,设则8.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则9广东设函数在上满足,,且在闭区间上,只有．Ⅰ试判断函数的奇偶性；Ⅱ试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论。
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。
在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。
首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。
奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。
与奇函数相对的是偶函数。
偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。
偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。
例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。
接下来，我们来复习抽象函数的周期性。
周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。
周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。
例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。
最后，我们来复习抽象函数的对称性。
对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。
对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。
例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。
综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。
它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。
函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数） （1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的对称性和周期性知识点精析1．周期函数的定义周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.3.函数的点对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称.4．函数的对称性与周期性的联系定理3：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以4()a b -为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.5．几种特殊抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集. 2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：抽象函数的周期与对称轴二. 教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x += 证：要证原结论成立，只需证)2()2(x ba f xb a f -+=++令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+则)2()2(x b a f x b a f -+=++5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2ab x x -+=代入)()(x b f x a f --=+则)2()2(x ba f xb a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(ba +的对称点),(00y xb a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ ∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。
（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。
（4）若)(x f 为单调增函数，则)(xa f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？ 解：（2）（3）[例2] 若函数3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。
解：R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a ∴ 3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f[例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式。
解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f ∴ 31≤<x 时52)(+-=x x f[例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则（1）)(x f 是周期函数且周期为2 （2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -= （3）43)5,2004(=-f 其中正确的是？ 解：（1）（2）（3）[例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(b f m =，)2(cf n =，)11(f p =求m 、n 、p的大小关系？解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴ 42-=-b ∴8=b 由13)4(-=-f ∴ 134644-=-c ∴ 3=c ∴ )38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >>[例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。
解：233sin )3()3()32()32()35(===-==+=πππππππf f f f f[例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈∀，有)()()(n f m f n m f ⋅=+且当0>x 时，1)(0<<x f（1）求证：1)0(=f 且当0<x 时，1)(>x f （2）求证：)(x f 在R 上递减。
解：（1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0<<f ∴ 1)0(=f设0<x ，则0>-x 令x m =，x n -=代入条件式有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)(1)(>-=x f x f （2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<-<x x f令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -=即1)()(012<<x f x f ∴ )()(12x f x f < ∴ )(x f 在R 上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=f 则=)2000(f （ ）A.2 B. 2- C. 23+ D. 23-2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ ）A. 400-xB. 398-xC. x -400D. x -398 3. 若函数)sin(3)(ϕω+=x x f ，R x ∈∀都有)6()6(x f x f -=+ππ则)6(πf 等于（ ）A. 0B. 3C. 3-D. 3或3- 4. 函数)223cos(x y -=π是（ ） A. 周期为π2的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数D. 周期为π4的奇函数5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ ） A. 22ππθ+=k B. ππθ+=k 2 C. 2ππθ+=k D. ππθ+=k6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ ）A. x 2sinB. x cosC. x sinD. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ ） A. 32ππθ-=k B. 6ππθ-=k C. 62ππθ±=k D. 6ππθ+=k8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ ）A. 0.5B. 5.0-C. 1.5D. 5.1-9. 设c bx x x f ++=2)(，t x ∈∀有)2()2(t f t f -=+那么（ ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f <<D. )1()2()4(f f f <<10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A. 0=y 对称 B. 0=x 对称 C. 1=y 对称 D. 1=x 对称二. 填空1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则)3()2()(πππf f f ++)2003(πf ++Λ= 。
2. 函数)32sin(π+=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。
3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f 则当0<x 时=)(x f 。
4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则（1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43(2+-≥-a a f f（3）)1()43(2+-<-a a f f（4）)1()43(2+-≤-a a f f 中正确的是 。
三. 解答题1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ∀、]21,0[2∈x 都有)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f（1）求)21(f 、)41(f （2）证明：)(x f 是周期函数2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足)(])(2[x f x b a f =+-3. 已知c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)21(f 与)2(f 的大小。
4. 定义在实数集上的函数)(x f ，对一切实数x 都有)2()1(x f x f -=+成立，若方程0)(=x f 仅有101个不同实根，求所有实根之和。
试题答案一.1. B2. C3. D4. C5. C6. D7. B8. B9. A 10. D 二.1. 02. 12π=x 3. 2+x x 4.（2）三. 1. 解：（1）∵ ]21,0[,21∈∀x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ∴ 0)2()2()(≥⋅=xf x f x f ]1,0[∈x∵ 2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =⋅=+=∵ 21)21(a f =，2)]41([)4141()21(f f f =+=∴ 41)41(a f =（2）由已知)(x f 关于1=x 对称∴ )11()(x f x f -+=即)2()(x f x f -=，R x ∈ 又由)(x f 是偶函数知)()(x f x f =-，R x ∈∴ )2()(x f x f -=-，R x ∈将上式中x -以x 代换得)2()(+=x f x f ∴ )(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 2.证：∵ )(x f 关于a x =和b x =对称 ∴ )2()(x a f x f -=，)2()(x b f x f -= ∴ )2()2(x b f x a f -=-令A x b =-2，则A b a x a +-=-)(22 ∴ )(])(2[A f A b a f =+-即)(])(2[x f x b a f =+- 3.解：由)1()1(t f t f -=+知抛物线c bx x x f ++=2)(的对称轴是1∴ )23()21(f f =而232>根据)(x f 在),1(∞+上是增函数得)23()2(f f >即)21()2(f f > 4.解：设x u -=2即u x -=2 ∴ )3()(u f u f -=∴ R x ∈∀有)3()(x f x f -= ∴ 所有实根之和为230323101=⨯ 注：一个结论：设)(x f y =，R x ∈∀都有)2()(x a f x f -=且0)(=x f 有k 个实根)2(≥k ，则所有实根之和为ka。
