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2003年全国初中数学竞赛试题及参考答案

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2003年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则222222103225z y x z y x ---+的值等于 ( ).(A) 21-(B) 219- (C) 15- (D) 13- 2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。

如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（ ）.(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知31+=x ，那么=---++2141212x x x .OCDABABCDEFG（第3题图）（第4题图）7．若实数x ，y ，z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 .8．观察下列图形：① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A =60º CD =4m ，BC =()2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.10．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经 过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)（第9题图）城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.14B ．已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c =2，abc =4. （1）求a ，b ，c 中的最大者的最小值； （2）求c b a ++的最小值.BACD注：13B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。

13A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x （k 是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线P A 和割线PBC ，其中A 为切点，点B ，C 是直线PBC 与⊙O 的交点.若P A ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求222PC PB PA ++的值.解：P(第13A 题图)14A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式))((c b d a -->0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由. 解：（1）（2）6534212003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。

（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n . 因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.N MAB CEFGO C DAB6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。

7．1.因为34371137137111114--+=---+=-+=-+=+=x x x x x x z z x z x y x ， 所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ，解得 23=x . 从而 353237137=-=-=x z ，5253111=-=-=z y .于是 1355223=⨯⨯=xyz .8．161.根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+432⨯+433⨯=1+4+12+36+108=161（个）. 9．26.如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F .因为∠DCF =45°，∠A =60°，CD =4m ，所以CF =DF =22m ， EF =DF tan60°=62（m ）. 因为3330tan == BE AB ，所以2633=⨯=BE AB （m ）. 10.－4.由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以⎩⎨⎧=++=+-,124,4c b a c b a解得 ⎩⎨⎧-=--=.23,1a c a b因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以042>-=∆ac b ，0)23(4)1(2>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于a 是正整数，故1>a ，所以a ≥2. 又因为b +c =－3a +2≤－4，且当a =2，b =－3，c =－1时，满足 题意，故b +c 的最大值为－4.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.解：DP =PE . 证明如下：因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线， 所以AB ⊥BC .由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得 ABAEBC EP =. ① ……（6分） 又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是Rt △AED ∽Rt △OBC . 故ABAE AB AE OB AE BC ED 221=== ② ……（12分） 由①，②得 ED =2EP .所以 DP =PE . ……（15分）12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为26小时，从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城. 这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49小时. ……（10分）综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为： A →F →O →E →B . ……（12分） 所需的费用最少为：80×48×1.2=4608（元）…（14分） 答：此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ，所需的费用最少为4608元13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E . 由勾股定理得.)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-所以 BC BEBC CE BC BE CE BC BD CD -=-=-222.因为DE ∥AC ，所以ABBDBC BE AB AD BC CE ==,. 故 AB BDAD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222. ……（10分） （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。

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2003年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

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2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题7分，共42分）1、221217223－＋－＝＿＿。

A 5－42 B42－1 C5 D12、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。

A0 B1 C3 D53、若函数y ＝kx(k ＞0)与函数y ＝x －1的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为＿＿。

A1 B2 Ck Dk 24、满足等式x 2003xy 2003y 2003x y x y ＋－－＋＝2003的正整数对的个数是＿＿。

A1 B2 C3 D45、设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且AD ∶AB ＝1∶3。

若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EAEC 的值为＿＿。

A 21C 41 D 516、如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB ＝4，BE ＝5，则ED 的长为＿＿。

A3 B4 C415D516 二、填空题（每小题7分，共28分）1、抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。

若△ABC 是直角三角形，则ac ＝＿＿＿＿。

2、设m 是整数，且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于－59而小于3，则m=_______。

3、如图，AA 1、BB 1分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA 1＝BB 1＝AB ，则∠BAC 的度数为＿＿。

4、已知正整数a 、b 之差为120数的105倍，那么a 、b 中较大的数是＿＿。

三、（本题满分20分）在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE ＝DF ；过E ，F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N 。

求证：①△DEM ≌△DFN ；②∠PAE ＝∠PBF 。

四、（本题满分20分）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且a ＋a1＝b ＋b1＝c ＋c1＝1Fd+d1＝x ，试求x 的值。

2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)

2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)

2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

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“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

二次函数最值

二次函数最值

二次函数最值内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a-． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）． （A ）3 （B ）5914（C ）92 （D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x 的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。

解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1 =（x-1）2+）2+1 要求y 的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1． 于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1．评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法．例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-23x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-23x-1│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f（3）=|（3）-23·3-1|=4，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6 求函数y=（4-x）+229x+的最值．分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设u=229x+-x，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥33．∴y=4-x+229x+的最小值为4+33（当x=3时取到）．评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是_______．分析：由条件可构造以x 、y 为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z ，xy=3-z （x+y ）=3-z （5-z ）=z 2-5z+3． ∴x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2-（5-z ）t+z 2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z ）2-4（z 2-5z+3）≥0，即 3z 2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0． ∴z ≤133，当x=y=13时，z=133． 故z 的最大值为133． 评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法． 例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________． 分析：应用二次函数y=ax 2+bx+c 过已知两点可确定a 、b 、c 之间关系，并利用根的判别式求出b+c 最值．解：由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a 是正整数，故a>1， 所以a ≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4． 评注：借助二次函数图象与x 轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ，由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│24b b ac -+-24b b ac --=c ， 所以244ac b a -≥24b b ac ---242b ac a-， 故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。