【四维备课】高中数学 1.4.1《正弦函数、余弦函数的图象与性质》教学设计 新人教A版必修4

1.4.1《正弦函数、余弦函数的图象与性质》教案【教学目标】1．用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象； 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图； 3．正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系. 【导入新课】 复习引入： 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM r x==αcos ．有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线． 新授课阶段一、正余弦函数的图像的作法： 1．正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x ，y 均为实数，步骤如下：（1）在x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来.2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0），（,12π），（π，0），（3,12π-），（2,0π），描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法.注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确.（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁.（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好.（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用.3．正弦曲线下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：4．余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，例1 作下列函数的简图：(1)y=sinx ，x ∈[0， 2π]； (2)y=cosx ，x ∈[0，2π]； (3)y=1+sinx ，x ∈[0，2π] ； (4)y=-cosx ，x ∈[0，2π]. 解：(1)列表(2)列表(3)列表(4)列表二、正余弦函数的性质1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题讲解例2 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3=；②x y 2sin =；（3）12sin()26y x π=-，x R ∈．解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． （3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626x x x πππππ-+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，R x ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． 例3 求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π)；2︒ y=cos2x ；3︒ y=3sin(2x +5π). 解：1︒ 令z= x+3π，而 sin(2π+z)=sinz ，即：f (2π+z)=f(z). f[(x+2)π+3π]=f(x+3π)，∴周期T=2π. 2︒令z=2x ，∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]， 即：f(x+π)=f (x). ∴T=π. 3︒令z=2x +5π，则：f (x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x )=f(x+4π). ∴T=4π. 思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？ 说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T πω=；（2）若0ω<，如：①3cos()y x =-； ②sin(2)y x =-； ③12sin()26y x π=--，x R ∈．则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||T πω=思考：求下列函数的周期：1︒y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π)，2︒ y=|sinx|. 解：1︒ y 1=sin(2x+4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=32π∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π， ∴2︒ T=π 作图 1.奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值. 例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ，∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数.(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称.也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数.2.单调性从y ＝sinx ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k （k ∈Z ） ，y=cosx 的对称轴为x=πk （k ∈Z ）4．（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴；（2）)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ C ）(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=x ， (D) 直线4π-=x课堂小结本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系3．正弦、余弦函数的性质：单调性；奇偶性；周期性 作业 见 同步练习 拓展提升 1．方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ） A. 5 B.6 C.7 D.82．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ） A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ 3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A.2π B.4π- C.4πD.34π4．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+则（ ） A.P Q < B.P Q > C.P Q = D.P 与Q 的大小不能确定5．x x y sin sin -=的值域是（ ）A ．]0,1[-B ．]1,0[C ．]1,1[-D ．]0,2[- 6．已知x aa x ,432cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________. 7．函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ，则函数)(x f y =的定义域为__________________________.8．（1）求函数x x y tan log 221++=的定义域.（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值.9．比较大小（1）32tan3tan2,2ππ；（2）1cos ,1sin .参考答案1.C 在同一坐标系中分别作出函数121sin ,4y x y x π==的图象，左边三个交点， 右边三个交点，再加上原点，共计7个2.C 在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察： 刚刚开始即(0,)4x π∈时，cos sin x x >；到了中间即5(,)44x ππ∈时，x x cos sin >； 最后阶段即5(,2)4x ππ∈时，cos sin x x > 3.C 对称轴经过最高点或最低点，()1,sin(2)128882f k ππππϕϕπ=±⨯+=±⇒⨯+=+ ,4k k Z πϕπ=+∈4.B ,sin cos ;sin cos 222A B A B A B B A B A πππ+>>-⇒>>-⇒>sin sin cos cos ,A B A B P Q ∴+>+>5.D 0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩6.3(1,)2- 23023341cos 0,10,,1234214a a ax a a a a -⎧<⎪-⎪--<<-<<-<<⎨--⎪>-⎪-⎩7.1[,1]2-2122,cos 1632k x k x ππππ-≤≤+-≤≤ 8.解：（1）12042log 0tan 02x x k x k x πππ<≤⎧+≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≤<+⎪⎪≥⎩⎩得02x π<<，或4x π≤≤(0,)[,4]2x ππ∴∈（2）0,0sin 1x x π≤≤≤≤当时，而[01]，是()cos f t t =的递减区间 当sin 1x =时，min ()cos1f x =； 当sin 0x =时，max ()cos 01f x ==.9.解：（1）2tan tan 332tan tan,2233ππππ>∴>； （2）1,sin1cos142ππ<<∴>。