吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式： 样本数据nx x x ,,21的标准差 锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{=U ,}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为 A. 6- B. 4- C. 4 D. 62．若复数i ia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A. 6-B. 2-C. 4D. 6理科数学试卷 第1页(共6页)3．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A.21-B. 23-C. 21D. 234．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f fA. 4-B.41-C. 4D. 65．下列命题错误的是A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ” 的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022≠+y x ”；B. 若命题1,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ； C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的 充要条件；D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.6. 执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ， 则输出的n 是A. 12B. 6C. 3D. 07. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B PA. 51B. 103C. 52D. 218. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，开始是输出n 结束求m 除以n 的余数r输入m ,nm=nn=r r=0? 否只需把)(x f y =的图象上所有点A. 向右平移6π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度9． 曲线c bx x y ++=2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[B.]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]2|1|,0[-b 10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与圆2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数||)21(x y =的图像的交点个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与抛物线x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ．EDCBA14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为nS ，已知20111=a ，且)(0221•++∈=++N n a a a n n n ，则=2012S ．15．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别 用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）y xN MEBAO如图，四边形DCBE 为直角梯形，90=∠DCB ，CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ， 120=∠ACB ， AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为： X1 12 11.8 11.7 P 612131投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤p p .20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．F EDCBA（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点 在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K 为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 轴上一定点，如果是， 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由． 21．（本小题满分12分）设函数a ae x x f x-++=-)1ln()(，R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求AB DC的值；（Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．答案参考：一、1. C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 二、13. x2-y2/3=1; 14 .0; 15. 6; 16. 16π 三、选甲：示意图1图1 ----------4分在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AFEF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为60，得60cos ||||CD AE CD AE =⋅，即3222+=a aa ，解得1=a ．∴)1,1,0(=CE ，)0,21,23(-=CA ，)1,1,0(-=BE ，设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CE CA n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则742|n |||sin ==BE θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.11317.11218.116112)(1=⨯+⨯+⨯=X E .01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯-=X D .---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为---------8分 解法2: 设iA 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则)0(=X P = 212()()(1)P A P A p =-;)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;)2(=X P =212()()P A P A p =故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0=p 时. 8.11)()(12==X E X E ,由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -，所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ， 所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分（2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+， 直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得（9设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=， 当1=a 时, )1()1()('x e x e x f x x ++-=, ---------2分 令x e x g x --=1)(，则1)('-=x e x g ， 当),0(+∞∈x 时，01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f x x ++-=, 由(1)知,,1x e x +≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f x x ++-=++-+≥,从而当01≥-a ,即1≤a 时,对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x , 从而当1>a 时,)1())(()1(2)1()(22222'x e a a a e a a a e x e a ae e x e a ae a e x f x x x x x x x x x +----+-=++-=+-+-<- 故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f , 于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f , 综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FE D CBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠，∴CED ∆∽AEB ∆，AB DC EB ED EA EC ==∴， 21,31==EA ED EB EC ， ∴66=ABDC ． （2） FB FA EF ⋅=2，∴ FE FB FA EF =，又 BFE EFA ∠=∠，∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩⎨⎧==12b a ， 所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x .设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-). 将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =, 得3cos21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x .（II）因为点),(1θρA，)2,(2πθρ+B在在曲线1C上,所以1sin4cos221221=+θρθρ,1cos4sin222222=+θρθρ,所以45)cos4sin()sin4cos(1122222221=+++=+θθθθρρ.。
