函数与方程(零点)

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ，我们把使0)(x f 的实数x 叫做函数)(x f y 的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。

（2）函数的零点也就是函数)(x f y 的图象与x 轴的交点的横坐标。

（3）一般我们只讨论函数的实数零点。

（4）求零点就是求方程0)(x f 的实数根。

2、函数零点的判断如果函数)(x f y 在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(b f a f ，那么，函数)(x f y 在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ，使得0)(0x f ，这个0x 也就是方程0)(x f 的根。

但要注意：如果函数)(x f y 在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(b f a f 3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。

4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。

5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间。

6．用二分法求函数零点的近似值的探究在应用二分法求函数的变号零点的近似值0x 时，从精确度出发，确定需经过多次取区间],[b a 的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求。

数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。

它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。

本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。

一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。

函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。

要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。

1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。

对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。

我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。

这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。

二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。

不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。

1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。

解这种方程的常用方法是移项和消项。

我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。

2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。

解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。

我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。

如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。

3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。

函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。

在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。

本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。

一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。

简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。

2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。

换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。

在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。

二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。

下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。

（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。

要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。

这个 x 就是一次函数的根或零点。

（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。

要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。

- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。

- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

然后再通过提取平方根的方式得到根。

2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。

根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。

例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起，他告诉我们求方程的根可以通过求函数的零点产生，当然，求函数的零点也可以通过求方程的根产生。

二分法是通过函数的零点求方程的近似解的一种方法，在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。

函数零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，准确认识零点的概念要注意以下几点：（1）函数的零点是实数，是函数的图像与x轴交点的横坐标，而不是一个点；（2）函数y=f（x）的零点也是方程f（x）=0的实数解；（3）并非所有的函数都有零点。

判断函数零点个数的方法：（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。

令f（x）=0直接求出方程的解，有几个解函数就有几个零点，这里涉及到解方程的问题数零点就是函数的图像与x轴的交点的横坐标就是对应方程的根，函数有几个零点对应方程就有几个根。

对于二次函数的零点非常有研究的价值：它涉及判别式、韦达定理、二次函数的图像等重要知识点。

研究二次函数的零点有利于培养学生综合运用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等多种数学思想方法（2）如果函数y=f（x）在[a，b]上图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f（a）f（b）0，且是单调函数，那么，这个函数在（a，b）内必有惟一的一个零点。

利用零点存在定理结合函数图像与性质（如单调性、奇偶性）确定函数零点的个数；（3）通过函数图像与x轴的交点个数，或将其转化为两函数的图像交点的个数来确定函数零点的个数，体现数形结合思想的应用。

数形结合是一个重要的数学思想，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。