【数学】江苏省南京市、盐城市2017届高考二模试卷(解析版)

江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象， 则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，（第5题图）S ←1 I ←1While I ≤8 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print SA 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ． 9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ．13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求 AT ·BTMN 2 的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，xyOABPT MN （第18题图）(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn ，其中n ∈N ． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N ，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程ACBMOABCOM N（第21(A)图）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． （1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D ＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N ）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：………………… 第1行 ………………… 第2行 ………………… 第3行 …………… …………………………… ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N ．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；D 1C 1 B 1MFEDC B A A 1（第22题图）（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．31 7． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2} 13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分 （2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252， 故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分 （2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分 V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b 2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b 2＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b28＋8－b 22b 2＝1． …………………… 2分整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750 (舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ，即e m －2m －1≤0． （）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )．因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增．由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)，所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)．由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)，所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分 （2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1) b n ＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)．因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N ，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分（2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分所以BN BA ＝MN CA ．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 7－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分 解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤ x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分 又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0．即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分 （方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． …………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ．在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ．因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系． xz y D 1C 1 B 1 M F ED C B AA 1 (第22题图)则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24． 故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分（2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且 A 1M A 1D ＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分 （2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n ； ……故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分 由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ………………。

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．（第18题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．D 1C 1 B 1MFED C BAA 1（第22题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 错误!的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位）,错误!是z 的共轭复数，则z ·错误!＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为 ▲ ． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移错误!个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x ）＋g （x ）的最大值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ,A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－错误!，则线段PF 的长为 ▲ ．9．若sin(α－错误!)＝错误!，α∈（0,错误!）,则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面,m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ (填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，n α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ,则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β,m ⊥α，则m ⊥β．（第5题图） S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋II ←I ＋2End WhilePrint S11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2:x ＋ky －2＝0相交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x ）＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量错误!＝(1，2)，错误!＝（－2，2），则错误!•错误!的最小值为 ▲ ．14．已知函数f （x ）＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f （x ）≤0恒成立，则错误!的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分)如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小; （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．16．（本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ,AP ⊥AB ． （1)求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ;ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA（第16题图） PDCBA17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值;（2）试确定a ，b ，x 的值,使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：错误!＋错误!＝1经过点（b ，2e ），其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0）作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点（A 在x 轴下方）．（1）求椭圆C 的标准方程；(2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ,N ,求 错误! 的值；（3)记直线l 与y 轴的交点为P ．若错误!＝错误!错误!，求直线l 的斜率k ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x ）＝e x－ax －1,其中e 为自然对数的底数,a ∈R ． (1)若a ＝e ，函数g （x ）＝（2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x ）的单调区间；②若函数F （x ）＝错误!的值域为R ，求实数m 的取值范围；（第18题图） （第17题图）DCBA（2）若存在实数x 1，x 2∈［0，2]，使得f (x 1）＝f (x 2），且|x 1－x 2｜≥1,求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n ｝，｛c n ｝满足 （n ＋1） b n ＝a n ＋1－错误!， (n ＋2） c n ＝错误!－错误!，其中n ∈N*．（1）若数列{a n ｝是公差为2的等差数列，求数列{c n ｝的通项公式；（2)若存在实数λ,使得对一切n ∈N ＊，有b n ≤λ≤c n ，求证:数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1)若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度; （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ,且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换ACMOABOM N（第21(A)图）设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 错误! 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l ：错误!(t 为参数），与曲线C ：错误!（k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ,F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值;（2）点M 在线段A 1D 上，错误!＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分)现有错误!(n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：＊ ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * ＊ * ………………… 第3行 ……………D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）…………………＊＊………… * * …………………第n行设M k是第k行中的最大数,其中1≤k≤n,k∈N＊．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1)求p2的值；（2）证明:p n＞错误!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．（－∞，1) 2．2 3．错误! 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．错误! 10．①④ 11．3错误! 12．{2}13．－错误! 14．－错误!二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（本小题满分14分）解：(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝错误!，tanβ＝错误!，………………… 2分所以tan∠BAC＝tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝1．………………… 4分又∠BAC∈(0，π），所以∠BAC＝错误!．………………… 6分（2）设∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝错误!，AD＝6,BD＝3．由正弦定理得错误!＝错误!，解得sinα＝错误!．………………… 8分因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝错误!．………………… 10分因此sin∠ADC＝sin（α＋π4）＝sinαcos错误!＋cosαsin错误!＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!．………………… 12分△ADC的面积S＝错误!×AD×DC·sin∠ADC＝错误!×6×2×错误!＝错误!（1＋错误!)．………………… 14分16．(本小题满分14分）证明：（1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．………………… 2分又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．………………… 4分因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．………………… 6分(2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．① ………………… 8分因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．② ………………… 10分由①②得CD∥AB，………………… 12分因为CD错误!平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．………………… 14分17．（本小题满分14分）解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x）＋2×x（40－2x）＝－8x2＋260x，x∈(0，20）．………………… 3分因为S＝－8x2＋260x＝－8（x－错误!）2＋错误!，故当x＝错误!时,侧面积最大，最大值为错误!平方厘米．答：当x＝错误!时，纸盒的侧面积的最大值为错误!平方厘米．………………… 6分(2）包装盒子的体积V＝(a－2x)（b－2x) x＝x［ab－2(a＋b）x＋4x2］，x∈(0,错误!)，b≤60．…………… 8分V＝x[ab－2（a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4，abx＋4x2)＝x（3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x．………………… 10分当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f (x）＝4x3－240x2＋3600x,x∈(0,30）．则f ′（x)＝12(x－10)(x－30）．于是当0＜x＜10时,f ′（x)＞0，所以f（x)在（0,10)上单调递增;当10＜x＜30时,f ′（x)＜0，所以f (x）在(10,30）上单调递减．因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16000，……………… 12分此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．(本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 错误!＋错误!＝1经过点(b ，2e ），所以错误!＋错误!＝1．因为e 2＝c 2a2＝错误!，所以错误!＋错误!＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 错误!＋错误!＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍） ．所以椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1），B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 错误!消去y ，得 （2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0,所以错误! ……………… 6分 因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx , 联立直线MN 与椭圆方程错误!消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝8 2k 2＋1．因为MN ∥l ,所以AT ·BTMN 2＝错误!． …………………… 8分 因为 （1－x 1）·（x 2－1）＝－［x 1x 2－(x 1＋x 2）＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝错误!，所以 错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!． ………………… 10分 （3）在y ＝k （x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ,所以P （0，－k )，从而 错误!＝(－x 1,－k －y 1）， 错误!＝（x 2－1，y 2)．因为 错误!＝错误!错误!，所以－x 1＝错误!(x 2－1），即x 1＋错误!x 2＝错误!．…………………… 12分 由（2）知, 错误!由错误!解得 x 1＝错误!，x 2＝错误!． ……………… 14分 因为x 1x 2＝错误!， 所以 错误!×错误!＝错误!，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750（舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1．①h（x)＝f (x）－g（x)＝e x－2x－1,h′（x)＝e x－2．由h′（x)＞0得x＞ln2,由h′(x）＜0得x＜ln2．所以函数h(x)的单调增区间为（ln2，＋∞），单调减区间为（－∞，ln2)．………………… 3分②f ′ (x)＝e x－e．当x＜1时，f′（x)＜0，所以f（x)在区间（－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．1°当m≤1时,f（x)在(－∞,m］上单调递减,值域为[e m－e m－1,＋∞)，g(x）＝(2－e)x在(m,＋∞)上单调递减，值域为（－∞，(2－e）m)，因为F(x）的值域为R，所以e m－e m－1≤(2－e）m，即e m－2m－1≤0．（＊）由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h（0）＝0，故（*)不成立．因为h（m)在（0,ln2）上单调递减,在（ln2，1)上单调递增,且h(0)＝0,h(1）＝e－3＜0,所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分2°当m＞1时，f (x)在（－∞，1）上单调递减，在(1，m］上单调递增,所以函数f (x)＝e x－e x－1在(－∞，m]上的值域为[f（1）,＋∞)，即[－1，＋∞)．g(x)＝（2－e）x在（m，＋∞)上单调递减，值域为（－∞，（2－e)m)．因为F（x)的值域为R，所以－1≤（2－e)m,即1＜m≤错误!．综合1°，2°可知,实数m的取值范围是［0，错误!]．………………… 9分（2)f ′(x）＝e x－a．若a≤0时，f ′(x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与｜x1－x2｜≥1相矛盾，所以a＞0,且f（x）在(－∞，ln a］单调递减，在［ln a，＋∞）上单调递增．…………………… 11分若x1，x2∈(－∞,ln a],则由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与|x1－x2｜≥1相矛盾，同样不能有x1,x2∈[ln a，＋∞）．不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜ln a＜x2≤2．因为f(x)在（x1，ln a)上单调递减，在(ln a，x2）上单调递增，且f (x1)＝f（x2),所以当x1≤x≤x2时,f (x）≤f (x1）＝f (x2）．由0≤x1＜x2≤2，且｜x1－x2｜≥1，可得1∈［x1，x2］,故f （1）≤f （x 1)＝f （x 2）． …………………… 14分又f （x )在(－∞，ln a ］单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f （x 1）≤f （0）,所以f （1）≤f （0),同理f (1）≤f (2)．即错误!解得e －1≤a ≤e 2－e －1，所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为｛a n ｝是公差为2的等差数列,所以a n ＝a 1＋2(n －1），错误!＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 （n ＋2) c n ＝错误!－（a 1＋n －1）＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分(2)由（n ＋1)b n ＝a n ＋1－错误!，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，（n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1）a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2） b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分从而 （n ＋2) c n ＝错误!－错误!＝错误!－［a n ＋1－(n ＋1) b n ］＝错误!＋（n ＋1) b n＝错误!＋（n ＋1) b n＝错误!（n ＋2）( b n ＋b n ＋1）．因此c n ＝错误!（ b n ＋b n ＋1）． ……………………… 9分因为对一切n ∈N ＊,有b n ≤λ≤c n ,所以λ≤c n ＝错误!（b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－错误!， 错误！未找到引用源。

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试考试范围：函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、空间向量与立体几何、概率与二项式定理；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-10题等，第11-14题注重知识交汇性的考查，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查分类讨论思想，难度较大．本卷二轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查运算，第23题理解与运用都较难. 一、填空题 1．函数f (x )＝1ln1x-的定义域为_______． 2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． 6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若 a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为_________． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移3π个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ，则线段PF 的长为________． 9．若sin(α－6π)＝35，α∈(0， 2π)，则cos α的值为________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，nα，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______. 12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为_______．13．已知平面向量AC ＝(1，2)， BD ＝(－2，2)，则·AB CD 的最小值为________． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________． 二、解答题15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝，求△ADC 的面积．16．如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB；17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：22218x yb+=经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C 于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求2·AT BTMN的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若25AP TB=，求直线l的斜率k．19．已知函数f (x)＝e x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；②若函数()()(),{,f x x mF xg x x m≤=>的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足(n＋1) b n＝a n＋1nSn-，(n＋2)c n＝122n n na a Sn+++-，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 301b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： 31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，与曲线C ：244x k y k⎧=⎨=⎩ (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．22．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上， 11A MA Dλ= ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．现有()12n n +（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜..＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞()211!n C n ++．。

2017届高三年级第二次模拟考试南京市、盐城市学数032017．注意事项：题）两部分．本20题~第第14题）、解答题（第1511．本试卷共4页，包括填空题（第题~ 分钟．160分，考试时间为120试卷满分为．．．上对应题目的．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡2 答案空格内．考试结束后，交回答题卡．．．．．．．．上．分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置一、填空题：本大题共14小题，每小题51 ．▲．函数f(x)＝ln的定义域为1x1－－－．▲z 的共轭复数，则z·z＝z2．若复数满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），z是．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可3 ．▲能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧不喜欢戏剧10 40 男性青年观众6040女性青年观众个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n ．n的值为▲剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则S←1▲．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为I←1While I≤8 ，－5S＝0SS．记公比为正数的等比数列6{a}的前n项和为．若a＝1，24n1n S←S ＋II←I＋2 ．▲的值为则S 5End While πxx7．将函数f()＝sin的图象向右平移个单位后得到函数y)的图象，(＝gxPrint S 3（第5题图）)(＋)gx的最大值为▲．xfy则函数＝(2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA中，抛物线8．在平面直角坐标系xOyy⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为▲．数学试卷第1 页共20 页ππ3 ．▲－)＝，α∈(0，)，则cosα的值为sin(9．若α256（填上所▲α10．，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是有正确命题的序号）．∥n；n?α，则m ②若m∥α，∥①若α∥β，m?α，则mβ；β．α，则m⊥nn⊥α，⊥β，m⊥m∩β＝n，m⊥n，则⊥β；④若③若α⊥β，α，则当实P2＝0相交于点＋＝0与直线l：xky－中，直线11．在平面直角坐标系xOyl：kx－y＋221．0的距离的最大值为▲y数k变化时，点P到直线x－－4＝22．▲＋cosxm ＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m)12．若函数f(x＝x组成的集合为－m →→→→．▲－2，2)，则AB?CD的最小值为(113．已知平面向量AC ＝，2)，BD＝(b的最恒成立，则x)≤0e)x－b，其中为自然对数的底数．若不等式f((ef14．已知函数(x)＝lnx＋－a a ．▲小值为．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说分．请在答题卡指定区域内6小题，共计90二、解答题：本大题共明、证明过程或演算步骤．（本小题满分14分）15．2．＝3，DC＝6ABC如图，在△中，D为边BC上一点，AD＝，BD 的大小；BCAD⊥，求∠BAC（1）若AAπ的面积．2（）若∠ABC＝，求△ADC 4BCCB DD（第115题图））2题图15（第第数学试卷共2 页20 页分）．（本小题满分1416 ．⊥AB⊥平面PAB，APAD如图，四棱锥P－ABCD中，DC；⊥AP（1）求证：CD ；，求证：CD⊥PDCD∥平面PAB）若（2 A BP 题图）16（第页数学试卷第3 20 共页分）（本小题满分17．14，然后在矩形纸板的ABCD在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板设．再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）四个角上切去边长相等的小正方形，．≥ba厘米和b厘米，其中ax小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为90时，求纸盒侧面积的最大值；1（）当a＝x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．，b，2（）试确定a D CA B题图）17（第页4 数学试卷第共20 页18．（本小题满分16分）22yx如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e 2b8为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；AT·BT 的值；，求M，N 且平行于（2）过点Ol的直线交椭圆C于点2MN2→→（3）记直线l与y轴的交点为P．若AP＝TB，求直线l的斜率k．5yMBOxT PN A题图）18（第数学试卷页5 第共20 页19．（本小题满分16分）x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R已知函数f (x)＝e．（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；f (x)，x≤m，?②若函数F(x)＝的值域为R，求实数m的取值范围；?g (x)，x＞m?（2）若存在实数x，x∈[0，2]，使得f(x)＝f(x)，且|x－x|≥1，2111222－e．≤－1a≤e求证：e数学试卷第6 页共20 页20．（本小题满分16分）S n已知数列{a}的前n项和为S，数列{b}，{c}满足(n＋1) b＝a－，1nnnnnn＋n a＋aS2n1n＋＋n(n＋2) c ＝－，其中n∈N*．n2n（1）若数列{a}是公差为2的等差数列，求数列{c}的通项公式；nn （2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b≤λ≤c，求证：数列{a}是等差数列．nnn数学试卷第7 页共20 页南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题032017．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指．．．．定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修4—1：几何证明选讲ABCACOBABOM ．在圆外，线段如图，△上，的顶点交于点，在圆与圆1BCOAB8BC4AM 的长度；（，）若是圆，求线段的切线，且＝＝2BCONAB2ACBN2MN ．，且＝与圆＝交于另一点（）若线段，求证：CCNOOBAM ABM（第21(A)图）—2：矩阵与变换B．选修40 3 ??=??对应的变换作用下，得到的直线为A y：ax＋－7＝0在矩阵lb设a，∈R．若直线??b －1b的值．a＝0．求实数，91xl′：9＋y－数学试卷第8 页共20 页C．选修4—4：坐标系与参数方程3?，＋t＝x125，x＝4k??交k为参数)t为参数)，与曲线C：：在平面直角坐标系xOy中，直线l((?4k＝4y??ty＝5于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4—5：不等式选讲422422)．a ＋a＋6bb＋b4＞ab(aba设≠，求证：数学试卷第9 页共20 页作答．解答应写出卷卡指定区域内20分．请在答2322题、第题，每题10分，共计【必做题】第．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤．分）（本小题满分1022．2，A＝AB＝AABCD －ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，如图，在直四棱柱11111πC的中点．BC，A，∠ABC ＝，EF分别是13 所成角的余弦值；AD）求异面直线EF，（1AM1＝λ．若CM∥平面AEFA （2）点M在线段D上，，求实数λ的值．1DA1A D 11 B C11 F M A D B C E 题图）22（第10 第数学试卷共页20 页23．（本小题满分10分）n(n＋1)现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：2* (1)* * (2)* * * (3)………………………………* * …………* * …………………第n行设M是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M＜M＜…＜M的概率为p．n1n2k（1）求p的值；22C n1＋（2）证明：p＞．n1)!＋(n数学试卷第11 页共20 页南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准分，计70分.）一、填空题（本大题共14小题，每小题5231．65．30 ．17 21．(－∞，1) ．2 3．433－43{2} 12 10．①④．11．32 7．．3 8 6 9 ．1019 14．－13．－e4 6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）二、解答题（本大题共分）．15（本小题满分14 ．解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β＝，AD＝6，BD＝3，DC2，因为AD⊥BC11 分…………………2 ，所以tanα＝，tanβ＝3211＋32βtantanα＋…………………4分)所以tan∠BAC＝tan(α＋β＝＝＝1．11βtantanα1－×1－32π分 6 …………………，又∠BAC ∈(0π)，所以∠BAC＝． 4 ．α（2）设∠BAD＝π．BD在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，＝342BDAD …………………8分解得由正弦定理得＝，sinα＝．π4αsinsin4142＝α．10分…………………因为AD＞cosBD，所以α为锐角，从而α＝1－sin 4πππ因此sincosα＋cosα)sin∠ADC＝sin(α＋＝sin4447＋11422 分…………………12(＝＋) ＝．42441ADC×∠DCsin△ADC的面积S＝×AD·27＋113 …………………14分7)(126＝×××＝＋．22412 第数学试卷页共20 页分）．（本小题满分1416 ，平面PAB⊥平面PAB，AP?证明：（1）因为AD 分 (2)所以AD⊥AP．，?平面ABCD?平面ABCD，ADAP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB又因为分4 …………………．所以AP⊥平面ABCD ，平面ABCD 因为CD?分 6 …………………所以CD⊥AP．，PAD，AP?平面AP＝P，PD?平面PAD（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩8分…………………所以CD⊥平面PAD．①AB，AB?平面P因为AD⊥平面PAB，．所以AB⊥AD AD，?平面PAP?平面PAD，ADA又因为AP⊥AB，AP∩AD＝，10分…………………AB所以⊥平面PAD．②分…………………12 ，由①②得CD∥AB，平面PABPAB，AB?因为CD /平面分14 …………………．所以CD∥平面PAB14分）17．（本小题满分，＝40＝90时，b（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a 解：从而包装盒子的侧面积)2x×x(40－x(90－2x)＋2S＝2×2 3分…………………．x＝－8(0＋260x，x∈，20)42256522，因为S＝－8x＋260x＝－8(x－)＋24422565x＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．故当24422565 6分…………………答：当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．24 2）包装盒子的体积（b2 8分≤60．……………，x]，x∈(0，)bxa[)b－V＝(a2x)(－2x x＝xab－2(＋b)＋4222)4x－4abx＋x)2(－a＋bx＋4x]≤(ababxV＝[2)x＋4240＝x(3600－x数学试卷第13 页共20 页32＋3600x．－240x …………………10分＝4x当且仅当a＝b＝60时等号成立．32＋3600x，x∈(0，30)(x)＝4x．－240x 设f则f ′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；当10＜x＜30时，f ′(x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000，………………12分此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．………………14分18．（本小题满分16分）2222ey4bx解：（1）因为椭圆＋＝1经过点(b，2e)，所以＋＝1．22b88b2222ccbc21．，所以＋＝因为e＝＝22b288a22b8－b222分……………………2．1因为a＝b＋c，所以＋＝2b824222＝8(舍) ．＝4或b－12b＋32＝0，解得bb整理得22yx所以椭圆C的方程为＋＝1．……………………4分84（2）设A(x，y)，B(x，y)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．2112k(x－1)，y＝??22?xy?，x＝x 联立直线l与椭圆方程＋＝1，??482222－8＝0，4k x＋2消去y，得(2k＋1)xk－2k4＋22112 k＋? 6分………………所以28－2k?．＝xx2211 2k＋因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，kx，y＝??22?xy 联立直线MN与椭圆方程＋＝1，??848222＝．xx ＝8，解得消去y得(2k1)＋21＋2kAT·BT(1－x)·(x－1)21＝．……………………8分，所以∥因为MNl 22 MN)x－x(NM数学试卷第14 页共20 页7 ，1]＝(x＋x)＋－x)·(x－1)＝－[xx－因为(1221122112k＋3222 x，－x)＝＝4(x2NM12k＋21＋1)2k)·(x－AT·BT(1－x7721分…………………10．所以＝＝·＝2223232MN 1x＋)2k(x－NM，k)k，所以P(0，－x－1)中，令x＝0，则y＝－（3）在y＝k(→→．y)(x－1，－k－y)，TB＝从而AP＝(－x,21212222→→分12＋x＝．……………………，所以－x＝(x－1)，即x因为AP＝TB211255552k4?，＝＋xx2211＋2k?由(2)知，28－2k?．x＝x2211＋2k2k4?，x＝x＋? 14分．………………解得x＝，x＝由222211＋2k 2－＋216－4kk?，x＝x＋215522228－22＋216kk2k－8－4k－＝×，x＝，所以因2221221)3(2k3(2＋k1)＋为x2222211k＋＋k＋1)13(2k ＋21)3(2k 2172242．舍)k＝－－34＝0，解得k(＝2整理得50k或－83k50＝2．＞又因为k0，所以k ……………………16分19．（本小题满分16分）x－ex－e1．a＝e时，f (x)＝解：（1）当xx－2．)＝e 1，h′(e＝f (x)－g (x)＝x－2x－①h (x)由h′(x)＞0得x＞ln2，由h′(x)＜0得x＜ln2．所以函数h(x)的单调增区间为(ln2，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln2)．…………………3分x－e．e′(x)＝②f当x＜1时，f′(x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．m－em－1上单调递减，值域为[e，＋∞)，)当m≤1时，f (x在(－∞，m]1°g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，m－em－1≤(2－e)m，R(因为Fx)的值域为，所以em－2m－1≤0．（*）即e数学试卷第15 页共20 页m－2m－1＞h(0)＝0，故（*由①可知当m＜0时，h(m)＝e）不成立．因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．…………………6分2°当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，x－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞所以函数f (x)＝e)．g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．1．≤m，即1＜mx)的值域为R，所以－1≤(2－e)F因为(2－e1]．…………………综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，9分2－e x．－a(x)＝e （2）f ′上单调递增．在R，此时f(x)f 若a≤0时，′(x)＞0 相矛盾，－x|≥1＝由f(x)＝f(x)可得xx，与|x212211上单调递增．……11分aa所以＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[ln，＋∞) 1相矛盾，可得－∞，若x，x∈(lna]，则由f (x)＝f (x)x＝x，与|x－x|≥21121122同样不能有x，x∈[lna，＋∞)．21 0≤x＜x≤2，则有0≤x＜≤2．lna＜x不妨设2211 )，x (x)＝f (f上单调递减，在)在(x，lna)(lna，x)上单调递增，且因为f(x2211(x)．＝x≤x时，f ()≤f (x)f≤所以当xx2112 x]，∈－|xx|≥1，可得1[x，x由0≤x＜≤2，且212211分………………14 )x故f (1)≤f ()＝f (x．21≤x)f (0)，lnaf又(x)在(－∞，ln]单调递减，且0≤x＜a，所以f (11(2)≤所以f (1)f (0)，同理f (1)≤f．，e－a－≤01?2－1，1≤a≤ee－－即解得e?2，2a1≤e－2－－ea－?2－e．……………………16分所以e－1≤a≤e20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a}是公差为2的等差数列，n S n所以a＝a＋2(n－1)，＝a＋n－1，…………………2分1n1na＋2n＋a＋2(n＋1)11从而(n＋2) c＝－(a＋n－1)＝n＋2，即c＝1．………4分n1n2S n（2）由(n＋1)b＝a－，1nn＋n数学试卷第16 页共20 页得n(n＋1) b＝na－S，n1nn＋(n＋1)(n＋2) b＝(n＋1)a－S，1nn2n1＋＋＋两式相减，并化简得a－a＝(n ＋2) b－nb．………………………6分n1n1n2n＋＋＋a＋a a＋aS n12n1n2n＋＋＋＋n从而(n＋2) c＝－＝－[a－(n＋1) b]n1nn＋2n2a－a n21n＋＋＋(n＋＝1) b n2(n＋2) b－nb n1n＋＋(n＋＝1) bn21＝(n＋2)( b＋b)．1nn＋21因此c＝( b＋b)．………………………9分1nnn＋21因为对一切n∈N*，有b≤λ≤c，所以λ≤c＝(b＋b)≤λ，1nnnnn＋2故b＝λ，c＝λ．………………………11分nn S n所以(n＋1)λ＝a－，错误！未找到引用源。

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MN CA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0． 即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)， A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．B (第22题图)（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为．14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln的定义域为（﹣∞，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：＞0，解得：x＜1，故函数的定义域是：（﹣∞，1）．2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=﹣1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得．【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，∴，∴．故答案为：﹣1﹣i．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数n=3×3=9，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．故答案为：．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为30．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意=，解得n=30，故答案为：305．根据如图所示的伪代码，输出S的值为17．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I≤8，S=2，I=3满足条件I≤8，S=5，I=5满足条件I≤8，S=10，I=7满足条件I≤8，S=17，I=9不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．故答案为17．6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为31．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），解得q=±2．∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=2．则S5==31．故答案为：31．7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=﹣1.5，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣1.5），当x=﹣1.5时，y=3，由可得A点坐标为（﹣1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6．故答案为6．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（，），sin（α﹣）=，∴cos（）=，那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==故答案为：．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是①④（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：①④．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为3．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N （2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y ﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为{﹣4，2} ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，∴m=﹣4或2，故答案为{﹣4，2}．13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入•，展开后利用配方法求得•的最小值．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），∵=（1，2），=（﹣2，2），∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），∴•=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）==，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由H′（x）=0，得x=e+，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，∴的最小值为﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC 的值．（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，所以tanα=，tanβ=，…所以tan∠BAC=tan（α+β）===1．…又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC=．…（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=，AD=6，BD=3．由正弦定理得=，解得sinα=．…因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα==．…因此sin∠ADC=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（+）=．…△ADC的面积S=×AD×DC•sin∠ADC=×6×2×=（1+）．…16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD ⊥AP．（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…由①②得CD∥AB，…因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x=4x3﹣240x2+3600x．…当且仅当a=b=60时等号成立．设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10．答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l 与椭圆方程，消去y ，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣8=0，可设直线MN 方程为y=kx ，联立直线MN 与椭圆方程，消去y 得（2k 2+1）x 2=8，由MN ∥l ，得由（1﹣x 1）•（x 2﹣1）=﹣[x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1]=．得（x M ﹣x N ）2=4x 2=．即可．（3）在y=k （x ﹣1）中，令x=0，则y=﹣k ，所以P （0，﹣k ），从而，由=得…①，由（2）知…②由①②得⇒50k 4﹣83k 2﹣34=0，解得k 2【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C ： +=1经过点（b ，2e ）所以．因为e 2=，所以，又∵a 2=b 2+c 2，，解得b 2=4或b 2=8（舍去）．所以椭圆C 的方程为．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．因为T （1，0），则直线l 的方程为y=k （x ﹣1）．联立直线l 与椭圆方程，消去y ，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（x M﹣x N）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．…19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣1，h′（x）=e x﹣2，由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；②f′（x）=e x﹣e，x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[e m﹣em﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，故e m﹣em﹣1≤（2﹣e）m，即e m﹣2m﹣1≤0，（*），由①可知m＜0时，h（x）=e m﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，故函数f（x）=e x﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤，综上，m的范围是[0，]；（2）证明：f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，故f（1）≤f（x1）=f（x2），又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），即，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，∴e﹣1≤a≤e2﹣e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n﹣，+1（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，可得a n=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n +2）c n =﹣即可得出c n ．（2）由（n +1）b n =a n +1﹣，可得：n （n +1）b n =na n +1﹣S n ，（n +1）（n +2）b n +1=（n +1）a n +2﹣S n +1，相减可得：a n +2﹣a n +1=（n +2）b n +1﹣nb n ，代入化简可得c n =（b n +b n﹣1）．b n ≤λ≤c n ，λ≤c n =（b n +b n ﹣1）≤λ，故b n =λ，c n =λ．进而得出．【解答】（1）解：∵数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n =a 1+2（n ﹣1），=a 1+n ﹣1．∴（n +2）c n =﹣（a 1+n ﹣1）=n +2，解得c n =1．（2）证明：由（n +1）b n =a n +1﹣，可得：n （n +1）b n =na n +1﹣S n ，（n +1）（n +2）b n +1=（n +1）a n +2﹣S n +1，相减可得：a n +2﹣a n +1=（n +2）b n +1﹣nb n ，可得：（n +2）c n =﹣=﹣[a n +1﹣（n +1）b n ]=+（n +1）b n =+（n +1）b n =（b n +b n ﹣1），因此c n =（b n +b n ﹣1）．∵b n ≤λ≤c n ，∴λ≤c n =（b n +b n ﹣1）≤λ，故b n =λ，c n =λ．∴（n +1）λ=a n +1﹣，（n +2）λ=（a n +1+a n +2）﹣，相减可得：（a n +2﹣a n +1）=λ，即a n +2﹣a n +1=2λ，（n ≥2）．又2λ==a 2﹣a 1，则a n +1﹣a n =2λ（n ≥1），∴数列{a n }是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM 的长度；（2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB=2AC ，求证：BN=2MN ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM•BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM•BA．设AM=t，则∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t），∴t=6，即线段AM的长度为6；（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，∴△BMN∽△BCA，∴=，∵AB=2AC，∴BN=2MN．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则==，即可求得a和b的值．【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），由=，则=，则A（0，7），B（1，7﹣a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b （7﹣a）﹣1），由题意可知：A′，B′在直线9x+y﹣91=0上，，解得：，实数a，b的值2，13．方法二：设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q （x′，y′），则=，∴，由Q（x′，y′），在直线l′：9x+y﹣91=0．即27x+（﹣x+by）﹣91=0，即26x+by﹣91=0，P在ax+y﹣7=0，则ax+y﹣7=0，∴==，解得：a=2，b=13．实数a，b的值2，13．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．方法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．直线l的参数方程代入抛物线C的方程得4t2﹣15t﹣25=0，利用AB=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…联立方程组解得，或所以A（4，4），B（，﹣1）．…所以AB═．…（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…直线l的参数方程代入抛物线C的方程得（t）2=4（1+），即4t2﹣15t﹣25=0，所以t1+t2=，t1t2=﹣．…所以AB=|t1﹣t2|==．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．【解答】证明：∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，∴原不等式成立．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=．…（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．…设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．因为=（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，则z0=﹣1，则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）．…由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知p2==，（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为p n，再根据二项式定理和放缩法即可证明．【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为．（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=；去掉第n行已经排好的n个数，则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；…故p n=××…×==．由于2n=（1+1）n=C n0+C n1+C n2+…+C n n≥C n0+C n1+C n2＞C n1+C n2=C n+12，故＞，即p n＞．。