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线性静力学分析实例——以悬臂梁为例线性静力学问题是简单且常见的有限元分析类型，不涉及任何非线性（材料非线性、几何非线性、接触等），也不考虑惯性及时间相关的材料属性。
在ABAQUS 中，该类问题通常采用静态通用（Static ，General ）分析步或静态线性摄动（Static ，Linear perturbation ）分析步进行分析。
线性静力学问题很容易求解，往往用户更关系的是计算效率和求解效率，希望在获得较高精度的前提下尽量缩短计算时间，特别是大型模型。
这主要取决于网格的划分，包括种子的设置、网格控制和单元类型的选取。
在一般的分析中，应尽量选用精度和效率都较高的二次四边形/ 六面体单元，在主要的分析部位设置较密的种子；若主要分析部位的网格没有大的扭曲，使用非协调单元（如CPS4I、C3D8I）的性价比很高。
对于复杂模型，可以采用分割模型的方法划分二次四边形/ 六面体单元；有时分割过程过于繁琐，用户可以采用精度较高的二次三角形/ 四面体单元进行网格划分。
悬臂梁的线性静力学分析1.1 问题的描述一悬臂梁左端受固定约束，右端自由，结构尺寸如图1-1 所示，求梁受载后的Mises 应力、位移分布。
材料性质：弹性模量 E 2e3 ，泊松比0.3均布载荷：F=103N图1-1 悬臂梁受均布载荷图1.2 启动ABAQUS启动ABAQUS有两种方法，用户可以任选一种1）在Windows 操作系统中单击“开始” -- “程序” --ABAQUS 6.10 -- ABAQUS/CA。
E（2）在操作系统的DOS窗口中输入命令：abaqus cae 。
启动ABAQUS/CA后E ，在出现的Start Section （开始任务）对话框中选择Create Model Database 。
1.3 创建部件在ABAQUS/CA顶E 部的环境栏中，可以看到模块列表：Module：Part ，这表示当前处在Part （部件）模块，在这个模块中可以定义模型各部分的几何形体。
线性静力学分析实例—-以悬臂梁为例线性静力学问题是简单且常见的有限元分析类型，不涉及任何非线性(材料非线性、几何非线性、接触等）,也不考虑惯性及时间相关的材料属性。
在ABAQUS 中,该类问题通常采用静态通用（Ｓta ｔi ｃ,Gen ｅr ａｌ)分析步或静态线性摄动(Sta ｔi ｃ,Ｌi ｎear p ｅrturbation ）分析步进行分析。
线性静力学问题很容易求解,往往用户更关系的是计算效率和求解效率，希望在获得较高精度的前提下尽量缩短计算时间，特别是大型模型。
这主要取决于网格的划分，包括种子的设置、网格控制和单元类型的选取。
在一般的分析中,应尽量选用精度和效率都较高的二次四边形/六面体单元,在主要的分析部位设置较密的种子；若主要分析部位的网格没有大的扭曲,使用非协调单元（如CPS4I 、C3D8Ｉ）的性价比很高.对于复杂模型，可以采用分割模型的方法划分二次四边形/六面体单元;有时分割过程过于繁琐，用户可以采用精度较高的二次三角形/四面体单元进行网格划分。
悬臂梁的线性静力学分析1。
1 问题的描述一悬臂梁左端受固定约束,右端自由,结构尺寸如图1—1所示,求梁受载后的Ｍises 应力、位移分布。
材料性质:弹性模量32e E =,泊松比3.0=ν均布载荷:Ｆ＝103N图1—1 悬臂梁受均布载荷图1.2 启动ＡB ＡQU Ｓ启动AB ＡＱUS 有两种方法,用户可以任选一种．（1）在Ｗin ｄow ｓ操作系统中单击“开始”—-“程序"——A ＢＡQU Ｓ 6.10-—AＢAQUS/ＣＡE。
（2）在操作系统的DOS窗口中输入命令:aｂaqｕs cａｅ。
启动ＡＢAQＵS／CAE后,在出现的Staｒt Sｅctioｎ（开始任务)对话框中选择Crｅate ModeｌDataｂａse。
1。
３创建部件在AＢAQUＳ／ＣAＥ顶部的环境栏中，可以看到模块列表：Module：Pａrt，这表示当前处在Part（部件)模块,在这个模块中可以定义模型各部分的几何形体。
Abaqus 课程报告——悬臂梁一、问题描述分析悬臂梁悬臂梁简图如下,它由钢材制成，400mm 长，具有40mm×60mm 的横截面.钢的弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。
除了以上数据外，载荷位置，方向和大小也已标示在上图中；再无其它可利用的数据.要求：分析完成后要求写出完整的分析报告,分析报告包括模型,分析,分析结果的述，对模型、分析和分析结果的讨论以及结论这样几个部分。
讨论中的问题论述要求有文献证据和直接证据，可能在报告的最后部分要附上参考文献。
讨论中要包括理论解，模型的误差，分析的误差，不同分析方案的比较(如果有不同的分析方案的话）。
使用不同的单元,（如梁单元B21、B31、B22 和B32；实体单元C3D8、C3D8R、C3D20、C3D20R、C3D8I、C3D8H、C3D8RH 和C3D20RH）和不同的单元划分等等对问题进行分析和比较。
：二、模型建立与求解1.part针对该悬臂梁模型，拟定使用3D实体梁单元。
挤压成型方式2.材料属性材料为钢材，弹性模量200Gpa，泊松比0.3。
3。
截面属性截面类型定义为solid，homogeneous。
4。
组装在本例中只有一个装配部件，组装时即可选择independent，也可选择dependent的方式。
5。
建立分析步在对模型施加荷载和边界条件之前或者定义模型的接触问题之前，必须定义分析步。
然后可以指定在哪一步施加荷载，在哪一步施加边界条件,哪一步去定相互关联.ABAQUS的各种载荷要分别加载在不同的分析步中，比如像竖向载荷、偏转角度、水平载荷要分别建立三个载荷步。
常用的分析类型有通用分析（General）和线性摄动分析(Linear perturbation）两种.线性摄动分析是关于动态分析的分析步.本例只需用到通用分析（General)中的静态通用分析（Static，General)。
6.施加边界条件与载荷对于悬臂梁,左端为固定约束，在Abaqus中约束类型为encastre，载荷类型为集中载荷，沿Y轴负向—2500N。
目录：1. 绪论 (2)1.1背景 (2)1.2 钢梁稳定理论的发展状况 (2)2 . 稳定的概念 (3)3. 线性屈曲分析 (4)3.1 工程实例的简化 (4)3.2 有限元模型的建立 (4)3.2.1创建部件 (4)3.2.2创建材料和截面的属性 (6)3.2.3定义装配件 (7)3.2.4设置分析步 (7)3.2.5定义在载荷和边界条件 (8)3.2.6网格的划分 (9)3.2.7 提交分析作业 (9)3.2.8 模型数据的后处理 (10)3.2.9 数据分析总结 (12)4．结论 (12)基于abaqus的钢梁特征值屈曲与失稳分析摘要：钢结构的稳定性能是决定其承载力的一个特别重要的因素，稳定理论和设计方法需要完善。
近几十年以来，在研究发挥钢结构稳定性能的潜力和完善稳定计算的理论方面，国内外都取得了长足的进步。
例如完善钢结构的弹塑性稳定理论，研究有几何缺陷和残余应力的钢结构的实际受力性能和其极限荷载，用数值法来解决这类问题等都取得了不少研究成果。
在作理论分析的同时进行稳定性能的试验验证，以及将理论研究结果利用图表表示或深化为计算公式，从而将弹塑性稳定理论用于解决钢结构设计中的问题都取得了丰硕成果。
本文的主要内容是对现有失稳理论进行完善和发展及其总结，利用通用有限元abaqus软件，采用特征值的Lanczos方法及子空间迭代法对钢梁进行屈曲分析，文中总共给了10个特征向量，进而得出相应的模态分析变形图，最后把lanczos 方法及子空间迭代法进行了比较，提出一些新的问题。
关键词：有限元abaqus 失稳特征值屈曲分析1. 绪论1.1背景钢材具有强度高、质量轻、力学性能好的优点，是制造结构物的一种极好的建筑材料。
钢材与在建筑结构中应用广泛的钢筋混凝土结构相比，对于受力功能相同的构件，具有截面轮廓尺寸小、构件细长和板件薄柔的特点。
但是对于因受压、受弯和受剪等存在受压区域的构件和板件，如果技术上处理不当，可能使钢结构出现整体失稳或局部失稳。
基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学指导教师：姓名：学号：1. 问题描述考虑端点受集中力F 作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m ，高度h=1m ，宽度b=1m 。
材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises 屈服准则，屈服强度为MPa Y 380=σ，弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=υ。
图1 受集中力作用的悬臂梁 图2 钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。
2. 理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli 梁，受弯矩M 作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3 矩形截面梁受弯矩M 的作用y κε= （1）其中κ为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w 以与y 同向为正，则在小变形情况有22-dx w d =κ （2）当弯矩M 由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke 定律给出()y E E y κεσ== （3） 再由平衡方程，可得到κEI M = （4） 其中，3121bh I =是截面的惯性矩。
将EI M /=κ带入（3）式，可知 I y /M =σ显然，最外层纤维的应力值最大。
当M 增大时，最外层纤维首先达到屈服，即Y h y bh M σσ==±=22/61/ （5）这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于261bh M Y e σ= （6）对应的曲率可由式（4）求得Eh EI M Y e e /2/σκ== （7）当e M M >时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y σ不再增加，塑性区将逐渐向内扩大。
基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学指导教师：：学号：1. 问题描述考虑端点受集中力F 作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m ，高度h=1m ，宽度b=1m 。
材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises 屈服准则，屈服强度为MPa Y 380=σ，弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=υ。
图1 受集中力作用的悬臂梁 图2 钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。
2. 理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli 梁，受弯矩M 作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3 矩形截面梁受弯矩M 的作用y κε= （1）其中κ为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w 以与y 同向为正，则在小变形情况有22-dx w d =κ （2）当弯矩M 由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke 定律给出()y E E y κεσ== （3） 再由平衡方程，可得到κEI M = （4） 其中，3121bh I =是截面的惯性矩。
将EI M /=κ带入（3）式，可知 I y /M =σ显然，最外层纤维的应力值最大。
当M 增大时，最外层纤维首先达到屈服，即Y h y bh M σσ==±=22/61/ （5）这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于261bh M Y e σ= （6）对应的曲率可由式（4）求得Eh EI M Y e e /2/σκ== （7）当e M M >时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y σ不再增加，塑性区将逐渐向扩大。
弹塑性的交界面距中性面为)10(2≤≤=ξξhy e 。
在弹性区：e y y ≤≤0，Y σσey y=； 在塑性区：2hy y e ≤≤，Y σσ=在弹塑性区的交界处，Y σσ=，因而Y hE σξκ=)2(，由此可求出此时的曲率和弯矩分别为ξκξσκ/12e Y Eh =⋅=（8） ()232ξ-=eM M （9） 从这两个式子消去ξ，可得e M M >时的弯矩-曲率关系为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2321κκe e M M （10） 或eeM M 231-=κκ （12）当M 继续增加使得0→ξ时，截面全部进入塑性状态。
这时e M M 23→，而∞→κ。
当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯矩。
可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为241bh M Y p σ= （13）采用以下量纲为一的量：e M M m /=，e κκφ/= （14）矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成⎩⎨⎧<≤-≤=5.11,23/11,m m m m φ （15）2.2 梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲考虑端点受集中力F 作用的矩形截面悬臂梁，若h l >>（本例中10=hl满足此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。
本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A 点与B 点）应力的绝对值最大。
当F 增加时，A 、B 点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷l bh l M F Y e e 6//2σ== （16）当e F F >时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。
设在_x x =处有e M x l F =-)(_，则)/(_F M l x e -=。
在_x x <围的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于2121])(23[)23(lF x l F M M e e --±=-±=ξ （17）其中已用到()x l F M -=。
式（17）证明，弹塑性 区域的交界线是两段抛物线。
当l bh F F F Y e Y 4/232σ===时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯矩，即e p Y M M l F M 23===,这时梁塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。
这时，由于根部的曲率可以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。
因此，l M F p Y /=即为悬臂梁的极限载荷，悬臂梁不能承受超过Y F 的载荷。
图4 受集中力作用的悬臂梁在小挠度情形下，利用κ≈''y 的关系可以求得梁的挠度。
具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以()x l F M -=带入式（15）可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+-=-<≤--==≈p p p m p p m y e e 110,323/1231111),1(''ξξξξκκκ （18） 其中，e M M m /=，e F F f /=，l x /=ξ，22''dxyd y =，利用边界条件0)0()0('==y y 和在p1-1=ξ处的关于y 和'y 的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端挠度)(l y =δ的表达式2/]23)3(5[f p f e -+-=δδ （19） 其中e δ是f=1（即e F F =）时的δ，可按材料力学方法求出为3/2e l e κδ= （20）当23=f （即e Y F F F 23==）时，式（19）给出相应的梁端挠度为 e p δδ920= （21）代入题目所给数据可得到N lbh F Y e 621033.66⨯==σN F F e Y 61050.923⨯==mm Ehl EI l M Y e 7.1232322e ===σδmm e p 2.28920==δδ 3. 有限元分析 3.1 有限元模型此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模型，其长度l=10m ，高度h=1m 。
3.2 材料属性定义圆筒材料为钢材，弹性模量200Gpa，屈服强度380Mpa，泊松比0.3，截面属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。
3.3 分析步的定义由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。
3.4 载荷施加和边界条件布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支，右上端顶点施加集中力载荷。
3.5 网格划分按照四节点四边形平面应力单元CPS4I（如图5）划分网格，定义不同大小位移载荷进行分析计算，分析采用Mises准则。
图5 悬臂梁的有限元网格3.6 结果及分析3.6.1 弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定当取N.6⨯=时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应1076F6变均为0，可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性阶段。
图6 N.6⨯=等效塑性应变云图10F676当取N=时，等效塑性应变分布如图7所示，最大等效塑性应变F6.6⨯7710均为3.811e-6，最小等效塑性应变为0，可以看出系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。
图7 N=等效塑性应变云图77.6⨯10F6当取N=时，应力分布如图8所示，可以看出根部还没有形成塑.9⨯F61084性铰，即根部还没有完全进入塑性，也就是说系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。
图8 N F 61084.9⨯=应力云图当取N F 61085.9⨯=时，应力分布如图9所示，可以看出根部形成塑性铰，悬臂梁不能再承受超过N F 61085.9⨯=的载荷。
图9 N F 61085.9⨯=应力云图综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在N 661077.6~1076.6⨯⨯之间，塑性极限载荷在N 661085.9~1084.9⨯⨯之间。
与理论解相比，有限元所得弹性极限载荷的误差大约为%9.633.633.6-.776=，有限元所得塑性极限压力的误差大约为%6.350.950.9-.859=，与理论解相比，误差较小。
不仅如此，图9表明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。
3.6.2 悬臂梁弹塑性弯曲过程分析对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题，在ABAQUS 中施加位移载荷模拟，取位移mm 30=δ，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示，图10 有限元所得的载荷-位移曲线将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载的能力。
由上图也可看出，e F 大约为N 61077.6⨯，Y F 大约为N 61085.9⨯，同时可以得到e δ大约为13.6mm ，p δ大约为30.0mm ，与理论解相比，弹性极限位移误差大约为%1.77.127.126.13=-，塑性极限位移误差大约为%4.62.282.28-0.30=，位移误差相对于载荷误差较大。
原因可能有：一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大挠度情形；二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。
4. 总结首先，本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁受集中力作用的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的一般规律和塑性区形状，确定了弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次，利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，结果相差不大，验证了有限元分析悬臂梁弹塑性弯曲的准确性。
