连续时间傅里叶变换的性质

第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。

(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。

(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。

(v) 合并同频率的正余弦项得：n ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系： (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。

(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。

傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。

通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。

以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。

理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。

在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。

当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。

将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。

CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。

上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。

在研究连续时间傅里叶变换的过程中，狄利克雷条件是至关重要的。

狄利克雷条件是指一个信号在进行傅里叶变换时，如果其幅度和相位以及频率都是可预测的，并且信号本身是有限长的，那么这个信号就满足狄利克雷条件。

而为什么狄利克雷条件是连续时间傅里叶变换的充分条件，这是一个需要深入思考和研究的问题。

1. 傅里叶级数和傅里叶变换的关系在理解狄利克雷条件为何是连续时间傅里叶变换的充分条件之前，首先需要理解傅里叶级数和傅里叶变换的关系。

傅里叶级数是将周期信号分解为正弦和余弦函数的和的形式，而傅里叶变换则是将非周期信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的积分的形式。

两者都是用来描述信号在频域上的特性，但傅里叶变换可以描述更广泛范围内的信号，比如非周期信号。

2. 连续时间傅里叶变换的定义和性质连续时间傅里叶变换是将一个信号在频域上的特性表示为一个复数函数的形式。

它的定义如下：\[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2\pi ft} dt\]其中，\(x(t)\)是输入信号，\(X(f)\)是在频率\(f\)处的频谱。

3. 狄利克雷条件的定义和意义狄利克雷条件是指一个信号在进行傅里叶变换时，其本身是有限长的，并且其幅度、相位和频率都是可预测的。

在数学上，它的定义如下：\[\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty\]\[x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(nT)e^{j2\pi nfT}\]其中，\(T\)是信号的周期，\(X(nT)\)是信号在时域上的采样。

4. 狄利克雷条件对于傅里叶变换的作用狄利克雷条件是傅里叶变换的充分条件，这意味着满足狄利克雷条件的信号可以进行傅里叶变换，并且其傅里叶变换是唯一的。

满足狄利克雷条件的信号在频域上的频谱是连续、平滑且不会发散的，这使得对信号的频谱分析变得更加准确和有效。

高等数学傅里叶变换高等数学中的傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。

它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够将时域上的信号转换到频域上进行分析。

傅里叶变换的基本思想是，将一个函数表示为一系列谐波的叠加。

这些谐波由不同频率、不同振幅的正弦和余弦函数组成。

通过傅里叶变换，我们可以将一个复杂的函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，从而更好地理解和分析信号的特性。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种形式。

连续傅里叶变换用于处理连续时间信号，而离散傅里叶变换则用于处理离散时间信号。

两者之间的转换关系由采样定理给出。

傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

例如，在音频信号处理中，我们可以通过傅里叶变换将时域上的声音信号转换为频域上的频谱，从而可以清晰地看到声音信号中各个频率成分的贡献。

这对于音频的压缩、降噪等处理非常有帮助。

在图像处理中，傅里叶变换也扮演着重要的角色。

通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像从时域转换到频域，从而可以对图像进行频域滤波、编码、增强等操作。

傅里叶变换的频谱图像也可以用于图像的特征提取和模式识别。

除了在信号处理领域，傅里叶变换在物理学和工程学中也有广泛的应用。

例如，在电路分析中，我们可以通过傅里叶变换将电路中的电压和电流信号转换为频域上的复数形式，从而可以更好地理解和分析电路的工作特性。

在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号的调制、解调和滤波等处理。

傅里叶变换的数学原理非常严谨和准确。

它建立在复数和三角函数的基础上，通过对函数进行积分和展开，将函数表示为一系列谐波的叠加。

傅里叶变换的性质包括线性性、平移性、尺度性等，这些性质使得傅里叶变换成为一种非常强大和灵活的数学工具。

尽管傅里叶变换在理论上非常强大，但在实际应用中也存在一些限制。

例如，傅里叶变换假设信号是周期的，但在现实中很多信号是非周期的。

此外，傅里叶变换对噪声和干扰非常敏感，因此需要对信号进行预处理和滤波。

2)(10}Re{),(jw a a t u te at+↔>-natn jw a a t u e n t )(10}Re{),()!1(1+↔>---0,21)],()([sin 11000==-=+--↔-k a ja a w w w w t w δδπkk k t jkw k k akw w a e a ),(200-↔∑∑∞-∞=∞-∞=δπ其余k a a kw w e k tjkw ,0,1),(2100==-↔πδ0,21)],()([cos 11000===++-↔-k a a a w w w w t w δδπ0,1),(21)(0==↔=k a a w t x πδπππk T kw kw c T w k T kw T t T T t t x k 1010101011sin )T (sin sin 22||,0||,1)(=↔⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=∑∞-∞=级：k ,1),2(2)(对全部T a T k w T nT t k k n =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδw wT T t T t t x 111sin 2||,0||,1)(↔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><=↔W w Ww jw X tWt ||,0||,1)(sin π1)(↔t δ)(1)(w jw t u πδ+↔0)(0jwte t t -↔-δjw a a a t u e at+↔>-1}Re{),(连续时间傅里叶变换 ∑∑∞-∞==-↔k k n N jk N k k a Nkw e a ),2(2)/2()(πδππ⎩⎨⎧±±==--↔∑∞-∞=kNm N m m k a l w w e k l n jw 其余级数,02,,,1:)2(200πδπ⎩⎨⎧±±±±±==-++--↔∑∞-∞=其余级数,02,,,1:)}2()2({cos 000Nm N m m k a l w w l w w n w k l πδπδπ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±--=-±±==-----↔∑∞-∞=k ,0,,212,,,21:)}2()2({s 000其余级数Nr r k j N r N r r k j a l w w l ww jn inw k l πδπδπ⎩⎨⎧±±==-↔=∑∞-∞=k,02,,0,1)2(21][其余NN k a l w n x k l πδπNN k NN a Nk k N k N N N k a N k w a N n N N n n x k kk k 2,,0,12,0,]2/2sin[)]2/1)(/2sin[()2(22/||,0||,1][1111±±=+=±=≠+-↔⎩⎨⎧≤<≤=∑∞-∞=πππδπk 1:)2(2][对于全部级数Na N kw N kN n k k k k =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδ0][0jwn en n -↔-δ2)1(11||],[)1(jw n ae a n u a n --↔<+离散时间傅里叶变换jwn ae a n u a --↔<111||],[)2/sin()]2/1(sin[||,0||,1][11w N w N n N n n x +↔⎩⎨⎧>≤ππππππ2,||,0||0,1)(0),(sin sin =⎩⎨⎧≤<≤≤=↔<<=T w W Ww w X W Wc W n W n n 1][↔n δ∑∞-∞=--+-↔k jw k w e n u )2(11][ππδrjw n ae n u a r n r n )1(11][)!1(!)!1(--↔<--+)()()()(jw bY jw aX t by t ax +↔+线性：)()(00jw X e t t x jw t -↔-时移：)(()(00w w j X t x e t jw -↔频移：)()(**jw X t x -↔共轭：)()(jw X t x -↔-时间反转：)(||1)(a jw X a at x ↔尺度变换：)()()(*)(jw Y jw X t y t x ↔卷积：)(*)(21)()(jw Y jw X t y t x π↔相乘：)()(jw jwX t x dtd ↔时域微分：⎰+↔∞)()0()(1)(t -w X jw X jwdt t x δπ积分：)()(jw X dwdjt tx ↔频域微分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-=--∠=∠↔)()(|)(||)(|)}(Im{)}(Im{)}(Re{)}({Re )()()(*jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X t x 实共轭对称：ωπd jw X dt t x 22-|)(|21|)(|⎰⎰∞∞-∞∞=帕斯瓦尔：连续时间傅里叶变换性质)()(][][jw jw e bY e aX n by n ax +↔+线性：)(][00jw jwn e X e n n x -↔-时移：)(][)(00w w j n jw e X n x e -↔频移：)(][**jw e X n x -↔共轭：)(][jw e X n x -↔-时间反转：)(X k n 0k n ],/[][)(jkw k e k n x n x ↔⎩⎨⎧=的倍数不为，的倍数为若时域扩展：)()(][*][jw jw e Y e X n y n x ↔卷积：θπθθπd e Y e X n y n x w j j )()(21][][)(2-⎰↔相乘：）时域差分：jw jw e X e n x n x ()1(]1[][--↔--∑∑∞-∞=--∞=-+-↔k j jw jw k k w e X e X e k x )2()((11][0n πδπ）累加：dwe dX jn nx jw)(][↔频域微分：dwe X n x jw n 222|)(|21|][|⎰∑=∞-∞=ππ帕斯瓦尔定理：离散时间傅里叶变换性质S,1)(全部↔t δ0}Re{,1)(>↔s st u 0}Re{,1)(<↔--s st u 0}Re{,1)()!1(1>↔--s st u n t n n 0}Re{,1)-()!1(1<↔--s st u n t n n as sa t u e at ->+↔-}Re{,1)(as sa t u e at -<+↔--}Re{,1)(-as a s t u e n t n at n ->+↔---}Re{,)(1)()!1(1as a s t u e n t nat n -<+↔---}Re{,)(1)-()!1(-1S,T )-t (全部s T e -↔δ0}Re{,)(][cos 220>+↔s w s st u t w 0}Re{,)(][sin 20200>+↔s w s wt u t w 212121),()()()(R R s bX s aX t bx t ax 至少线性：+↔+Rs X e t t x s t ),()(00-↔-时移：]ROC R )([),(][:s 000中中，则就于在若的平移域平移s s R s s X t x e t s --↔]ROC s R s/a [/),(||1)(中就位于中，则在若时间尺度变换：aR a sX a at x ↔Rs X t x ),()(***↔共轭：212121),()()(*)(R R s X s X t x t x 至少卷积：↔R),(至少时域微分：s sX xt dtd↔Rs X dsdt tx s ),()(↔-域微分：}0}{Re{s R [)(1)()(t->↔⎰∞至少时域积分：s X sd x ττa s w a s as t u t w e at->+++↔-}Re{,)()(]cos [2020a s w a s w t u t w e at ->++↔-}Re{,)()(]sin [22000}Re{,1)]([)(>↔=-s st u t u n n 拉普拉斯变换njw N k ktjkw k k e a n x ea t x 00)()(->=<∞-∞=∑∑==∑∑>=<∞-∞===N k njkw kjw ktjkw k keeH a n y ejkw H a t y 000)()()()(0LTI 输入周期信号为x(t)或x(n),其输出y(t)或y(n)如下：∑⎰∞-∞=--∞∞-==n nstzn h z H dt et h s H )()()()(tjkw k kea t x 0)(∑∞-∞==dte t x Ta t jkw Tk 0)(1-⎰=连续时间级数 dwe e X n x jwn jw )(21][2⎰=ππ∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X ][)( 离散时间级数∑>=<=N k njkw kea n x 0][∑>=<-=N k njkw k en x Na 0][1 离散时间级数连续时间傅里叶dwejw X t x jwt)(21)(⎰∞∞-=πdte t x jw X jwt-∞∞-⎰=)()(。

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。

在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。

因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性傅里叶变换是一种线性运算。

若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。

解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。

式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。

例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。

解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8已知,求频谱函数。

解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。

它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。

例3-9求的频谱函数。

解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。

连续时间傅⾥叶变换連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)引⾔傅裡葉變換試圖將⾮週期信號也納⼊到傅裡葉的體系中。

對於⾮週期信號，可以看成是週期無限⾧的週期信號。

當週期無限⼤時，傅裡葉級數的頻率分量就變成了⼀個連續域。

⾮週期信號的表⽰：連續時間傅裡葉變換⾸先以週期⽅波為例，即在⼀個週期內x(t)=1,|t|<T10,T1<|t|<T/2若將其表⽰為傅裡葉級數，其傅裡葉級數的係數為a k=2sin(kω0T1)kω0T將其在頻域圖上畫出來，並逐漸增⼤週期T就可以得到下圖可想⽽知，隨著T的增⼤，頻率越來越⼩，包絡線裡⾯的頻率越來越密集，最終形成⼀條連續的曲線。

傅裡葉變換的⼯作就是要求出這條曲線，從⽽完成信號從時域到頻域的轉換。

這就是對⾮週期信號建⽴傅裡葉級數表⽰的基本思想。

將˜x(t)看作是x(t)的⼀個週期，由於傅裡葉的級數表⽰是在⼀個週期內推出來的，所以對於⾮週期信號的⼀個週期，也有˜x(t)=+∞∑k=−∞a k e jkω0t a k=1T∫T2−T2˜x(t)e−jkω0t dt由於⾮週期信號可以看成只有⼀個週期的信號，所以在週期之外，即|t|>T/2時，x(t)=0，⽽在週期之內，˜x(t)=x(t)，則有a k=1T∫+∞k=−∞x(t)e−jkω0t dt則可以得到X(jω)=Ta k=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt 稱X(jω)為Ta k的包絡。

再將a k=X(jω)T代⼊式1得˜x(t)=+∞∑k=−∞1T X(jkω0)ejkω0t=12π+∞∑k=−∞X(jkω0)e jkω0tω0當T→∞時，˜x(t)→x(t),ω0→0，因此ω0可以看作⼀個微分，⽽右端式⼦可以看作⼀個積分式。

則有x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)e jωt dω{⽽X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt這兩式即稱為⼀對傅裡葉變換對。