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![[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布](https://uimg.taocdn.com/1b84a2116c175f0e7cd1370c.webp)
标准正态分布对照表摘要：一、标准正态分布的定义与性质1.标准正态分布的定义2.标准正态分布的概率密度函数3.标准正态分布的累积分布函数二、标准正态分布对照表的应用1.对照表的构成与意义2.对照表的使用方法3.对照表在实际问题中的应用举例三、标准正态分布与其他分布的关系1.标准正态分布与正态分布的关系2.标准正态分布与t 分布的关系3.标准正态分布与卡方分布的关系四、标准正态分布在统计学中的重要性1.描述性统计分析中的应用2.推断性统计分析中的应用3.概率论与数理统计的基础知识正文：标准正态分布，又称为高斯分布（Gaussian distribution），是一种连续型概率分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布广泛应用于统计学、概率论、工程学等领域，其对照表是研究和解决实际问题的关键工具。
一、标准正态分布的定义与性质标准正态分布的定义可以追溯到19 世纪初，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对这一分布的深入研究。
标准正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (√(2π))) * e^(-(x^2) / 2)其累积分布函数为：F(x) = 1 / (√(2π)) * ∫[e^(-(t^2) / 2), t ≤ x] dt二、标准正态分布对照表的应用标准正态分布对照表是一个重要的工具，它可以帮助我们快速查找标准正态分布在一定置信水平下的临界值。
对照表通常包括正态分布的累积分布函数值、z 分数（Z-score）以及对应的概率。
使用对照表时，我们可以根据实际问题中所给的置信水平，找到对应的z 分数，从而求解问题。
例如，在产品质量控制中，我们希望确定一个产品的合格率。
已知过去经验表明，合格率约为95%。
我们可以使用对照表查找标准正态分布在95% 置信水平下的z 分数，得到±1.96。
然后，将这个z 分数代入到正态分布的累积分布函数中，得到产品的合格率。
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
生物统计机率值换算表
生物统计中常用的概率值换算表主要包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
下面我将从多个角度对这些概率分布进行全面的解释。
1. 正态分布，正态分布是自然界中广泛存在的一种连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，均值为μ，标准差为σ。
正态分布的重要性在于许多自然现象和统计推断都可以近似地使用正态分布进行描述。
在生物统计中，我们经常使用正态分布来进行假设检验、置信区间估计等统计推断。
2. t分布，t分布是用于小样本情况下的概率分布。
当总体标准差未知且样本量较小时，我们通常使用t分布来进行统计推断。
与正态分布相比，t分布的曲线形状更加扁平，尾部更厚，这是由于样本量较小所导致的。
在生物统计中，t分布常用于比较两个样本均值是否显著不同。
3. 卡方分布，卡方分布是一种非负的连续概率分布，常用于描述随机变量的分布情况。
在生物统计中，卡方分布常用于拟合度检验和方差分析等。
例如，我们可以使用卡方分布来判断观察到的数
据是否与理论期望值一致。
4. F分布，F分布是一种比率分布，常用于比较两个或多个总体方差是否相等。
在生物统计中，F分布常用于方差分析和回归分析等。
例如，在进行药物治疗实验时，我们可以使用F分布来比较不同治疗组之间的方差差异。
需要注意的是，生物统计中的概率值换算表并不是一个固定的表格，而是根据具体的问题和使用的统计方法而定。
因此，在实际应用中，我们通常使用统计软件或者查找相应的统计参考书来获取具体的概率值。
希望以上解释能够对你有所帮助。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
X分布、t分布和F分布是三种不同的统计分布。
X分布：X分布是一个自由度为n的卡方分布，它通常用于描述一组相互独立的标准正态分布随机变量的平方和。
t分布：t分布是一个自由度为n的t-分布，它通常用于描述小样本情况下样本均值的分布。
在统计推断中，它经常用于估计总体均值或进行假设检验。
F分布：F分布是两个独立卡方分布的比值的分布，它通常用于描述两个方差估计值的比较。
在方差分析和回归分析中，F分布用于检验多个总体方差是否相等。
这些分布在统计学中起着重要的作用，用于推断统计模型、假设检验和参数估计等方面。
卡方分布概念及表和查表方法目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，卡方分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
标准正态分布表
标准正态分布表是统计学中常用的一种表格，用于帮助计算标准正态分布的概率。
在统计学中，正态分布是一种连续概率分布，其形状呈钟形曲线，均值为0，标准差为1。
标准正态分布表则是帮助查找标准正态分布的概率值的工具。
标准正态分布表的横纵坐标分别表示了标准正态分布的变量Z和对应的概率值。
其中，Z是标准正态分布的变量，而概率值则表示了Z 在某一数值以下的面积。
通过查找Z值和对应的概率值，我们可以快速计算出标准正态分布在某一数值以下的概率，从而进行统计分析和推断。
在标准正态分布表中，通常会给出Z值对应的概率值。
当需要计算某个Z值对应的概率时，我们只需查表找到对应的值即可。
例如，如果需要计算Z值为1.96对应的概率，只需在表格中找到1.9列和0.06行的交叉点，即可得到对应的概率值为0.9750。
这样，我们就可以快速准确地获取标准正态分布的概率值，方便我们进行统计分析。
总之，标准正态分布表是统计学中一种重要的工具，能够帮助我们计算标准正态分布的概率，进行统计推断和分析。
通过查找表格中的数值，我们可以快速准确地获取需要的概率值，为数据分析提供有力支持。
因此，熟练掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。
（完整word版）卡⽅分布概念及表和查表⽅法卡⽅分布概念及表和查表⽅法⽬录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年⾸先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基⼈之⼀的卡·⽪尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的⼀个⾮常有⽤的著名分布。
定义若n个相互独⽴的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡⽅分布其中参数称为⾃由度，正如正态分布中均数或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡⽅分布是由正态分布构造⽽成的⼀个新的分布，当⾃由度很⼤时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，⾃由度为的卡⽅分布是⼀个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增⼤，分布趋近于正态分布；卡⽅分布密度曲线下的⾯积都是1。
2) 分布的均值与⽅差可以看出，随着⾃由度的增⼤，分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差越来越⼤）。
3）不同的⾃由度决定不同的卡⽅分布，⾃由度越⼩，分布越偏斜。
4) 若互相独⽴，则：服从分布，⾃由度为。
5) 分布的均数为⾃由度，记为E( ) = 。
6) 分布的⽅差为2倍的⾃由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的⾃由度来表⽰，卡⽅分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值⼀样，列出概率值，只不过这⾥的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
