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第九章_设定误差

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智慧树知到《计量经济学》章节测试答案

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古扎拉蒂计量经济学第四版讲义Ch9 Model Specification

古扎拉蒂计量经济学第四版讲义Ch9 Model Specification

第九章模型设定Model Specification and Diagnostic Testing1. Introduction假如模型没有被正确设定，我们会遇到model specification error或model specification bias 问题。

本章主要回答这些问题：1、选择模型的标准是什么？2、什么样的模型设定误差会经常遇到？3、模型设定误差的后果是什么？4、有那些诊断工具来发现模型设定误差？5、如果诊断有设定误差，如何校正，有何益处？6、怎样评估相互竞争模型的表现（model evaluation）？Model Selection Criteria这是笼统的模型选择标准：1、利用该模型进行预测在逻辑上是可能的；2、模型的参数具有稳定性，否则，预测就很困难。

弗里德曼说：模型有效性的唯一检验标准就是比较模型的预测是否与经验一致。

3、模型要与经济理论一致。

4、解释变量必须与误差项不相关。

5、模型的残差必须是白噪声；否则就存在模型设定误差。

6、最后选择的模型应该涵盖其它可能的竞争模型；也就是说，其他模型不应该比所选模型的表现更好。

Types of specification errors大概有这几种设定误差：设定误差之一：所选模型忽略了重要的解释变量（该解释变量被包含在模型误差中）设定误差之二：所选模型包含了不必要或不相关的解释变量设定误差之三：所选模型具有错误的方程形式（比如y采用了不该采用的对数转换）设定误差之四：被解释变量and/or解释变量测量偏差（所用数据相对于真实值有偏差）导致的误差（commit the errors of measurement bias）设定误差之五：随机误差项进入模型的形式不对引起的误差（比如是multiplicatively还是additively）The assumption of the CLRM that the econometric model is correctly specified has two meanings. One, there are no equation specification errors, and two, there are no model specification errors.上面概括的五种设定误差称为equation specification errors。

第九章 模型设定误差 《计量经济学》PPT课件

第九章 模型设定误差 《计量经济学》PPT课件
备择假设H1：无约束模型为真，即遗漏了变量。 排并列将，残对差排序序列后e残i按差照序遗列漏计解算释d变统量计X量3的：递增次序
n
(ei ei1)2
d i2 n
ei2
i 1
（9.3.2）
3. 给定显著性水平，查DW表，若统计量显示为正
自相关，则拒绝原假设，首先考虑存在模型设定
误差。
• 例9.1 我们来看一个教学例子。表9.1给出了一个 总成本（Y）和产出(X)的数据，现在来建立总成 本函数模型
• 对于模型一，DW=2.7002，n=10，k′=3，给定显著
性水平5%，查表得临界值为dL=0.525和dU=2.016。 DW落在[4-dU，4-dL]=[1.984，3.475]区域，表明残 差中不存在显著的正相关。从而可以判断模型没
有遗漏的变量。
（三）拉姆齐的RESET检验
拉姆齐（Ramsey）于1969年提出了回归设定误 差检验(regression specification error test， RESET)，它是一般性设定误差检验（test for general mis-specification）。
（一）残差图示法
进行OLS回归，得到残差序列ei，并做其与时间t 或某解释变量X的散点图，从图形上来考察残差序 列ei是否有规律地变动，以此来判断模型是否有遗 漏变量或函数形式设定的错误。
（二）DW检验
确定模型存在遗漏有关变量（非纯自相关）还是 模型真的存在自相关（纯自相关）。
假如真实模型为：
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ui（9.2.1）
RESET检验的具体步骤：
1. 对所选模型
u)
（9.2.14）
从而，在满足经典假定条件下

理论课和理论实践课教学内容

理论课和理论实践课教学内容

理论课和理论实践课教学内容一、课程在本专业的定位与课程目标西南财经大学的办学定位是，以培养思想品德优良的创新型应用型的高素质人才为中心，以经济学和管理学学科为主体、以金融学科为重点、多学科协调发展；在适当时机，实施由教学研究型向研究型大学转变的发展战略；立足西部，面向全国，为经济和社会发展服务，努力将学校建设成为部分学科国际知名的全国一流重点大学。

西南财经大学本科的人才培养目标是,坚持以培养素质优良的复合型、创新型、应用型人才为中心，体现“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的时代精神，适应社会经济发展的需要，遵循教育规律，反映学校的发展战略和办学特色；以转变教育思想和教学理念为先导，拓宽专业口径，整合课程设置，优化课程体系，更新教学内容和教学方法，实现全面素质教育，培养高素质的、具有创新精神和实践能力的复合型人才。

根据这样的办学定位和人才培养目标，《计量经济学》是现代经济学的重要体现，是高素质的、具有创新精神和实践能力的复合型现代经济管理人才必须掌握的方法论基础，在专业培养目标中有必要作为必修的专业基础课。

从多年的实践看，本校生源素质较好，又是文理兼收，学生的接受能力较强，完全有条件将计量经济学作为必修课程。

对于大多数经济管理类专业的本科生，是需要运用计量经济方法去分析和解决本专业领域的实际问题，而不是重在研究计量方法本身，所以需要的是理论与应用并重，融基本理论方法与应用为一体的一门计量经济学课程。

我们反复精选了计量经济学的教学内容，使之更加符合大多数经济、管理学本科专业教学的实际要求；课程包含了由教育部全国经济学学科教学指导委员会制定的本科计量经济学课程教学基本要求的全部内容。

本科课程以经典计量经济学的内容为主，适当概要性地介绍“非经典”计量经济学的新发展与动态，。

课程坚持“重思想、重方法、重应用”的原则，特别注重基本思想、经济背景、基本方法和实际应用，通过教学，使学生掌握现代经济学、管理学研究和分析的基本理论与方法，并能够应用计量经济学模型分析现实的经济和管理问题。

深圳大学 计量经济学课程教学大纲

深圳大学 计量经济学课程教学大纲
4.学时安排：周学时3，总学时54
5.学分分配：3学分
（二）开设目的
《计量经济学》是教育部规定的经济类专业核心课程。是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的经济学分支学科。通过本课程教学，使学生达到：(1)了解现代经济学的特征，了解经济数量分析课程在经济课程体系中的地位，了解经济数量分析在经济学科的发展和实际经济工作中的作用；(2)掌握基本的经典计量经济学理论与方法，并对计量经济学理论与方法的扩展和新发展有概念性了解；(3)能够建立并应用简单的计量经济学模型，对现实经济现象中的数量关系进行实际分析；(4)具有进一步学习与应用计量经济学理论、方法与模型的基础和能力。
第九章包含虚拟变量的回归模型
教学目的
了解虚拟变量的含义，掌握虚拟变量在回归分析中的作用。
主要内容
第一节虚拟变量的性质
第二节包含一个虚拟变量，一个二分定性变量的回归模型
第三节虚拟变量有多种分类的情况
第四节包含一个定量变量，两个定性变量的回归模型
第五节回归模型的推广
第六节回归模型的结构稳定性：虚拟变量法
主要内容
第一节古典线性回归模型
第二节普通最小二乘估计量的方差与标准差
第三节普通最小二乘估计的性质
第四节OLS估普通最小二乘的抽样分布
第五节假设检验
第六节拟合优度的检验
第七节回归分析结果的报告
第八节正态性检验
第九节实例：回归分析的软件
第十节实例：美国进口支出
第十一节预测
第十二节实例
第十三节小结
教学要求
第一节统计推断的含义
第二节估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支
第三节参数估计
第四节点估计量的性质
第五节统计推断Байду номын сангаас假设检验

第九章_设定误差

第九章_设定误差

DW检验步骤如下： 1、对设定的回归模型运用OLS估计得残差序列 ei ； 2、假设 H0:未遗漏相关变量，H1:遗漏相关变量 ； 3、计算DW统计量： n 2 ( e e ) i i 1 DW i 2 n 2 e i

i 1
4、查DW表，得临界值dL和dU，进行判断，如 果DW值显著，则拒绝原假设，表明遗漏了 重要的解释变量，否则，表明没有遗漏。
变量设定误差主要有两类： 相关变量的遗漏（欠拟合） 无关变量的误选（过拟合）
9
1、遗漏相关变量（欠拟合）的后果
把采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带 来的偏误，称为遗漏相关变量误差。

假定真实模型为： Yi =β1 +β2 X2i +β3X3i + ui 但因某种原因遗漏了解释变量 X3，而将模型设为：
Yi X i ei ui X i vi
为使问题简化，假定
2 e ~ N ( 0 , ui ~ N (0, ), i e )
(2)
2 u
且 ui 和 ei 是不相关的，于是
var( ui ei )
2 v 2 u
2 e
因此，如果用OLS分别估计(1)和(2)式，得

25
一、测量误差的后果
1、被解释变量的测量误差 设真实的模型为
Yi X i u i
*
（1）
其中Yi* 为被解释变量的理论值，Xi为解释变量的理 论值。 假设由于某种原因，被解释变量的观测值 Yi 与理论 值之间存在一个测量误差 ei ，即
Yi Yi* ei
26
于是上述模型相应变为
Yi =α1 +α2X2i + vi

模型设定误差ppt课件

o 经典正态线性模型假定模型的设定是正确的，但一般情况 下建立的模型很可能是不正确的，这种情况称为设定误差。
好模型的标准
1、简约性（parsimony） 一定程度的抽象或简化是不可避免的，简单优于复杂。
2、可识别性（identifiability）
对于给定一组数据，每个参数只能有一个估计值。
2020/2/19


Var(j
)

2
TSSj
1

( 1
R2j

)；SE(j
)


Var(j )
如果样本容量越小，则Xj的变异性就越小，

从而TSSj就越小，即Var(j )越大。
2020/2/19
5
二、模型设定误差
1. 什么是设定误差 2. 设定误差的影响 3. 设定误差的诊断和处理 4. 测量误差
1.什么是设定误差（specification error）
异方差性
假定9
序列相关
假定10
误差项非正态分布
假定3和4在联立 方程模型中讨论
对假定5我们做简 单讨论
假定7影响参数估 计的无偏性，暂不 讨论
假定10对于大样 本数据不是必需的 假定。
本讲主要考虑放 宽了其余假定后面 临的问题
2020/2/19
4
微数缺测性
o 从理论上讲，样本容量n和解释变量数目k必须满足n>k+2， 才能进行OLS估计和假设检验。但事实上，即便n满足上 述条件，但如果样本很小，那么虽然能够进行估计和检验， 也很难通过t 检验。
假若正确的I模 M型 PO 为 t R： 0T1PDt I2Tt ut
那么以下几种设情定况误属差于：

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答：不同意这种观点。模型中遗漏变量或者增加非相关的变量都会对模型的估计产生
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严重的影响。
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（1）如果模型中遗漏变量，需要分成两种情况讨论：①遗漏变量与模型中的解释变
量相关。这种情况是最常见的，此时参数的估计是有偏且不一致的，并且参数估计也不满
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第 9 章 设定误差与测量误差
一、选择题 1．若真实模型是解释变量为 X1 的一元线性回归模型，但在建模时将与 X1 无关的变量 X2 包含在模型中，则斜率参数的最小二乘估计量（ ）。 A．仍具有无偏性、一致性和最小方差性 B．不具有无偏性、一致性和最小方差性 C．仍具有无偏性、一致性，但不具有最小方差性 D．不具有无偏性、一致性，但仍具有最小方差性 【答案】C 【解析】在包含无关变量的模型中，最小二乘估计量是无偏且一致的，随机干扰项的 方差也能被正确估计，但 OLS 估计量不具有最小方差性。该类错误的后果通常体现为，包 含无关变量的偏误主要表现为“错误”模型的普通最小二乘估计量的方差一般会大于“正 确”模型相应参数估计量的方差。
程的自由度降低，从而扰动项的方差估计变小，模型中参数的标准误增大，从而影响参数
的假设检验，置信区间的计算。
都很严重。
3．“好的”经济计量模型有哪些性质？ 答：一个好的模型应具备以下条件： （1）模型应尽可能简洁； （2）模型中系数的估计值应唯一； （3）对样本数据的拟合程度较好； （4）模型中估计系数的符号同相关经济理论相符； （5）具有良好的预测力。
料限制等问题，忽略某些重要变量而造成的模型设定偏误。
b．误选无关变量：在回归模型引入了一些无关紧要的自变量，从而造成模型设定偏

第九章西门子840D与810D数控系统安装与调试


2. 垂度误差补偿用机床参数 MD18342：补偿表的最大补偿点数。 MD32710：激活补偿表。 MD32720：下垂补偿表在某点的补偿值总和的极
限值。系统对垂度补偿值进行监控，若计算的总垂 度补偿值大于MD32720中设定的值，将会发生 20124号“总补偿值太高”报警。840DE(出口型) 为1mm ，840D(非出口型)为10mm。 设定机床数据如下： SD41300：垂度补偿表有效。 SD41310：垂度补偿表的加权因子。
tan
(T
)
(T
T0
)
TK Tm a x
max
T0
图9-7 温度系数曲线图
二、热变形补偿系统的软硬件设计
1．硬件设计
在机床靠近丝杠处安装热电阻传感器，测量范围可 以为0℃～300℃，完全符合机床使用温度在5℃～ 45℃区间的要求，进行机床温度的测量。在数控 系统的PLC上外扩A/D转换模块SM331。将热传感 器输入的模拟热信号转换成数字信号后送至数控系 统NCK-PLC接口。PLC定时采样此温度值，利用公 式9-4计算出温度补偿系数，然后送到系统的NCK 中刷新温度补偿参数SD43910 （TEMP_COMP_SLOP）。
$AA_CEC_DIRECTION[ t ]=0：补偿值对基准轴的两个方向都有效； $AA_CEC_DIRECTION[ t ]=1：补偿值只对基准轴的正方向有效,其负方向无补偿值； $AA_CEC_DIRECTION[ t ]=-1：补偿值只对基准轴的负方向有效，其正方向无补偿 值。 (8) $AA_CEC_IS_MODULO[ t ]：基准轴的补偿表模功能。 $AA_CEC_IS_MODULO[ t ]=0 表示无模补偿功能； $AA_CEC_IS_MODULO[ t ]=1 表示激活模补偿功能。 (9) $AA_CEC_MULT_BY_TABLE[t1]= t2：定义一个表的补偿值与另一个表相乘， 其结果作为附加补偿值累加到总补偿值中，t1为补偿坐标轴表1的索引号，t2为补偿坐 标轴表2的索引号，两者不能相同，一般 t1=t2+1。

第九章 模型的设定和检验


X1 正交是不太可能。
（2）对扰动项方差σ 2 估计的影响
e1 = M1Y ,
M1
=
I
−
X
1
(
X
' 1
X1
)−1
X1'
e1'e1 = Y ' M1Y = ( X1β1 + X 2β2 + ε ) ' M1( X1β1 + X 2β2 + ε )
=
β
' 2
X
' 2
M
1
X
2
β
2
+ε
'Mε
+
2β
' 2
X
' 2
E(βˆ1)
=
β1
+
(
X
' 1
X
1
)−1
X1' X 2β2
≠
β1 ，一般情况下不是无偏的。
要使 E(βˆ1) = β1 ，需要满足： ① β2 = 0 。这不可能，因为 X 2 为重要解释变量， β2 ≠ 0
② X1' X 2 = 0 ，即 X 2 ， X1 正交，由于经济变量大多数有相关性，故 X 2 ，
对于实际估计的方差来说，
Est.Var(βˆ1)
=
σˆ12
(
X1' X1)−1
=
e1' e1 n − k1
(
X1' X1)−1
由于σˆ12 高估，故 Est.Var(βˆ1) < Est.Var(βˆ1,2 ) 不一定成立。
小结：如果模型中遗漏重要解释变量，损失的是无偏性。
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4
“好的”模型具有的特性
一、简单性

模型永远无法完全把握现实，并非越复杂的模型越 能反映现实，在建模过程中一定程度的抽象或简化 反而是更易操作和抓住关键。
对于给定的一组数据，每个参数只有一个估计值。
二、可识别性

5
三、拟合优度

回归分析的基本思想是用模型中所包含的变量来尽 可能地解释被解释变量的变化。因此，拟合优度越 高，则认为模型就越好。
17
二、拉格朗日乘数检验

基本思想：遗漏的相关变量应包含在随机扰动中， 因此回归所得的残差序列应与遗漏的相关变量呈现 出某种依存关系，所以对残差序列与相关变量进行 回归，若相关变量具有统计显著性，则认为存在遗 漏相关变量形成的设定误差。
18

拉格朗日乘数检验步骤如下：
1、对设定的回归模型运用OLS估计得残差序列 ei ；
12
总

结
1.遗漏相关变量，则系数既有偏误且非一致、随机 误差的估计不正确、假设检验无效；
2.包含无关变量，依然给出真实模型中的系数的无 偏且一致估计量、随机误差的估计正确、假设检验 有效；唯一代价是：系数的方差估计变大了！ 虽然误选无关变量不如遗漏相关变量的后果严 重，但我们也不能下结论：与其略掉相关变量，不 如包含无关变量。因为增加无关变量将导致估计量 的方差增大，引起参数估计精度下降，并且将引发 多重共线性的问题，还将导致自由度的损失！
第九章 设定误差与测量误差 (Specification Error and Measurement Error)
1
在前面的章节中，我们考虑回归模型时，我们 隐含地假定了所选择的模型“是对现实的真实反 映”，即它正确地反映了所研究的系统的运行机制。 用专业术语讲，就是假定所选模型中不存在设定误 差。 但完全正确的模型设定只有理论意义，在实践 中也许永远达不到。我们只是希望找到一个能够合 理反映现实的模型,即一个好的模型。
2
所以 RSS TSS (1 R 2 )
2 RSSU TSSU (1 RU )
故
2 RSS R TSS R (1 RR ),
23
注意到 于是
TSS R TSSU TSS (Yi Y )2
( RSS R RSSU ) J F RSSU [n ( k J )]
Yi =α1 +α2X2i + vi
10
1.如果遗漏的解释变量 X3和含有的X2相关，则α1和α2 的OLS估计值是有偏的，且非一致的，且偏离程度 随着相关程度的增加而增大。 2.如果遗漏的解释变量 X3 和含有的X1不相关， α2 的 估计值是无偏误的，但截距项α1 的估计值依然是有 偏误的。
11
13

第二节 设定误差的检验

引入无关变量的检验
模型误选了无关解释变量的检验，比较简单，只要 针对变量系数为零的假设，用 t 检验或 F 检验，对 变量系数作显著性检验即可判断哪些变量是无关变 量。
14

遗漏相关变量的检验 模型遗漏重要解释变量的检验要相对复杂，方法主 要有： (1) DW检验 (2) 拉格朗日乘数检验 (3) 一般性检验 除此之外，还有似然比检验、沃尔德检验、豪斯曼 检验等。
2、用ei对全部的解释变量（包括遗漏变量）进 行回归，得可决系数R2； 3、假设 H0:未遗漏相关变量，H1:遗漏相关变量； 4、构造检验统计量nR2 ，在大样本情况下，
nR2～x2(m)，m为受约束变量的个数
5、进行判断：若nR2＞x2(m) ，则拒绝原假设，
表明遗漏了重要的解释变量，否则，表明没
Yi X i ei ui X i vi
为使问题简化，假定
2 e ~ N ( 0 , ui ~ N (0, ), i e )
(2)
2 u
且 ui 和 ei 是不相关的，于是
var( ui ei )
2 v 2 u
2 e
因此，如果用OLS分别估计(1)和(2)式，得
15
一、DW检验

基本思想：遗漏的相关变量应包含在随机扰动项中， 那么回归所得的残差序列就会呈现自相关性。
Yi 1 2 X 2 i 3 X 3 i ui 以 Yi 1 2 X 2 i v i
为例。
因此可从自相关性的角度检验相关变量的遗漏。
16
有遗漏。
19
三、一般性检验

一般性检验（RESET, regression specification error
基本思想：在事先不知道遗漏哪个变量的情况下， 可寻找一个替代变量 Z 来检验。若模型回归所得的 残差包含着遗漏的相关变量，那么这个残差可用被 解释变量拟合值的某个函数近似表示。因此替代变 量 Z 通常选用所设定模型被解释变量拟合值的若干 次幂的线性组合，若这个线性组合是显著的，则认 为存在遗漏相关变量。
然后用F统计量进行检验。
j 1,2,3
2 2 ( R R ( RSS R RSSU ) J U R) J F 2 RSSU [n ( k J )] (1 RU [n ( k J )]
其中RSSR和RR2分别是对(1)式回归得到的残差平 方和与拟合优度，RSSU和RU2分别是对(2)式回归 得到的残差平方和与拟合优度，J 为约束条件的 个数，在这里 J=3; 4、若F统计量的值大于临界值，则拒绝H0，表明有 设定误差，否则，表明无设定误差。
2 2 TSS[(1 RR ) (1 RU ) J 2 TSS (1 RU [n ( k J )]
2 2 ( RU RR ) J 2 (1 RU [n ( k J )]
24
第三节 测量误差
在计量经济模型中，由于变量使用了不准确的数据， 而导致的模型误差称为测量误差。 主要原因有： （1）理论误差。汇总数据可能只是理论值的近似而 形成理论误差； （2）登记误差。由于虚报或误报而产生登记误差； （3）统计误差。由于统计口径不一致或误解指标含 义而产生统计误差； （4）整理误差。由于汇总计算而产生的数据整理误差。
变量设定误差主要有两类： 相关变量的遗漏（欠拟合） 无关变量的误选（过拟合）
9
1、遗漏相关变量（欠拟合）的后果
把采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带 来的偏误，称为遗漏相关变量误差。

假定真实模型为： Yi =β1 +β2 X2i +β3X3i + ui 但因某种原因遗漏了解释变量 X3，而将模型设为：
2、引入无关变量（过拟合）的后果
把采用误选了无关解释变量的模型进行估计而带 来的偏误，称为引入无关变量误差。

假定真实模型为： Yi =β1 +β2 X2i + ui
而加入了无关解释变量 X3，模型被设定为：
Yi =α1 +α2 X2i + α3 X3i + vi
这时，参数的OLS估计量是无偏的和一致的，但不 是有效估计量。
E ( ei2 ) E ( ei ui )
E (e ) 0
2 i 2 e
30

这说明模型(2)中解释变量 Xi 与随机误差项 vi 是相 关的，在这种情况下，如果运用OLS估计系数，则
22
对F统计量的说明


若F较小，意味着RSSR与RSSU接近，即ui与vi接 近，从而 1 , 2, 3 都接近于零，即原假设H0 成立，反之若F较大，表明原假设不成立，所以 可用F统计量检验。 式子中除以J和n-(k+J)是为了分别消除约束个数 和自由度的影响。
ESS RSS 1 因为 R TSS TSS
无论拟合优度多高，一旦模型中的一个或多个参数 的符号有误，该模型就不是一个好的模型。
四、理论一致性
五、预测功效

Friedman: 对模型的真实性的唯一重要的检验是预 测值与经验值的比较。即：模型预测越准确，模型 越好！
6
如果模型不是“好”模型，那就要考虑模型的设定 是否正确，具体来说：

2
传统建模方法的过程
（1）根据有关经济理论的阐释或社会经济实践的惯 常经验，选择模型应当包含的变量及模型具体的函 数形式，构建理论模型。 （2）收集相关变量的样板观测数据，采用一定的计 量经济学方法，对模型参数进行估计，求出理论模 型的样本估计式。 （3）对模型样本估计式进行理论检验，统计检验及 计量经济学检验，如果检验结果能满足先验假设的 要求，模型估计式便被接受。
20
test)是拉姆齐(Ramsey)于1969年提出的一种检验方法

一般性检验步骤如下： 1、对设定的回归模型

Yi 1 2 X 2i k X ki ui
ˆ 运用OLS估计得被解释变量拟合值 Y i ˆ 的线性组合作为替代变量(工具变量)， 2、以 Y i ˆ 的平方、立方和四次方的线性 通常选择 Y i 组合，对下列模型进行估计：
3
计量经济模型的传统建模方法的缺陷



实际经济问题范围广泛，类型多样，经济理论难易 对所有对象都给出具体的阐释，实践经验也不总是 能够提供可以借鉴的参照。在这种情况下，理论模 型的构建就将因缺乏依据而不能令人信服。 即使所研究的问题有相关理论的说明或实际经验的 参考，但对于某个具体的经济现象，有其特殊性， 是否一定符合理论与经验的常规，还是一个有待证 明的问题。 有时虽然能根据经济理论和实际经验构建出一个好 的理论模型，但由于数据资料不满足要求，参数估 计困难等原因，使其不具有实用性。
由于
(2)
E (vi ) E (ui ei ) 0
E ( X i ) E ( X ei ) X