自主学习01 教材内容 第九章 散射

自主学习01 教材内容第九章散射知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节本章习题本章自测知识框架本章目标：通过学习，理解散射截面和相移的物理含义，掌握处理散射问题中常用的分波法和波恩近似法，并能熟练运用这些方法处理一些简单的势场散射问题，了解全同粒子散射中的一些基本性质。

重点难点1、掌握求解散射截面和相移的分波法和波恩近似法2、能应用分波法、波恩近似法于一些势场散射问题的求解3、了解全同粒子的散射9.1 散射现象的一般描述本节目标：掌握散射截面与振幅的物理意义，能从基本关系推导得出散射振幅重点难点：1、散射振幅的物理意义2、明确散射振幅与截面的关系本节内容：在近代物理研究中，研究一个粒子或多个粒子与散射中心作用是很重要的。

原子和分子物理，原子核物理以及粒子物理的建立和发展，都离不开散射实验及其理论分析。

著名的Rutherford 的α粒子对原子的散射实验，肯定了原子有一个核，即原子核，从此揭开了人类研究原子结构的新领域。

50年代后，高能电子散射对研究原子核及核子的电荷分布都取得了重要成果。

如用散射资料推出核力的一些知识，如强子结构，原子核和基本粒子的电荷分布等等，甚至给出核子或核子对处于原子核某状态的几率。

在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验比较。

而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化），这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。

所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。

1.散射截面定义：用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。

反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。

而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。

这也是量子力学中的逆问题。

一束不宽的（与散射区域比较），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。

为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波ti r k i eω-⋅描述。

设：入射粒子通量为λΦ（单位时间，通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数）（对于单粒子，显然即为几率流密度）。

这时，单位时间，经散射而到达),(ϕθ方向Ωd 中的粒子数ΩΦ∝d dn λ （1）即ΩΦ=d dn λϕθσ),( （2）比例常数一般是),(ϕθ的函数；如入射方向为z 轴（且束和靶都不极化），仅为θ的函数，它的量纲为[]2L ，即面积量纲ΩΦ=d dnλϕθσ),( （3）散射截面定义：在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到),(ϕθ方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量（几率流密度）之比。

λϕθσΦΩ=d dn),( （4）而散射总截面Ω=⎰d ),(ϕθσσ总 （5）对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。

但如果两个粒子散射，则不一样，理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），而实验上常常靶是静止的。

所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。

2．散射振幅：我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况。

考虑一个质量为μ的粒子被一位势)(r V 散射（当∞→r ，)r (V 趋向0比r 1快）。

感兴趣的是满足这一条件的物理问题，至于库仑散射这里不讨论。

我们知道，薛定方程),(),()](2[22t r t i t r r V ψψμ∂∂=+∇- （6）其定态解为t iE e r t r -=)(),(ϕψ （7）（如是两粒子散射，则μ为约化质量2121m m m m +=μ，1E m E μ=，0E 为实验室系的初动能，1m 为入射粒子质量。

）当粒子以一定动量k 入射，经位势散射后，在r 很大处，解的渐近形式（弹性散射）re f er ikrrk i k ),()(ϕθϕ+→⋅ （8）这时，t iE k ke r t r -=)(),(ϕψ被称为定态散射波函数。

事实上，将其代入H ˆ的本征方程，在r 很大时，保留r 1次幂r e f rl e f dr d r e k H ikr ikr r k i r ),(ˆ),(1[22ˆ22222222ϕθϕθμμψ --=⋅大时]),()()(r e f r V er V ikrrk i ϕθ++⋅保留到r 1，]),(1[]),(1[222ikr r k i k ikr r k i e f r e E e f r e k ϕθϕθμ+=+⋅⋅（0)r (V →比r 1快）即k k k E H ϕϕ=ˆ （保留到r 1） 我们称),(ϕθf 为散射振幅（re f ikr),(ϕθ为散射波）。

当入射粒子沿z 方向入射，则散射与ϕ无关（束、靶都是非极化），即)(),(θϕθf f =下面我们给出)(θf 的物理意义：对于渐近解的通量（对单粒子，即为几率流密度）])([])({[2*r e f e r e f e i j ikr r k i ikr r k i θθμ+∇+-=⋅⋅]})([])([*r e f e r e f eikr r k i ikr rk i -⋅-⋅+∇+-θθr n r f k k ˆ)(22θμμ +=])()([1)cos 1()cos 1(*θθθθμ---++ikr ikr e f e f r k])()([ˆ)cos 1(*)cos 1(θθθθμ---++ikr ikr r e f e f r n k )r 1(03+⎪⎪⎭⎫⎝⎛项微商对微商对r 1θ应注意，我们是在很远地方测量（0≠θ），而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角进行。

因此，上式的一些项的贡献可表为⎰∆Ω-ϕθθθθd d g e ikr sin )()cos 1(当r 很大时，)cos 1(ikr eθ-振荡很快，而)(θg 是一光滑函数，这一积分0→比r 1快。

所以包含这一因子的项0→比2r 1快。

可以证明：在远处，对于渐近解的几率流密度r n r f k k j ˆ)('22θμμ += （)r 1(03，即z 方向）而当无位势时，0)(=θf ，无散射，仅有沿k 方向的平面波。

r 大处，在渐近区域μk 对径向通量没贡献。

在远处，单位时间散射到),(ϕθ方向上Ωd 立体角中的几率为ϕθθθμd d r r f kdn sin 1)(222⋅=（Ωd r 2为所张立体角对应的面积）于是22),(),(),(ϕθμϕθμϕθσf d kd f kd j dn =ΩΩ=Ω=入所以， 散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。

而散射总截面为Ω=Ω=⎰⎰d f d k T 2),(),()(ϕθϕθσσ现在问题是要从 ϕϕμE r V =+∇-)(222 出发，求具有r 很远处的渐近形式为re f eikrrk i ),(ϕθ+⋅的解，从而获得),(),(ϕθσϕθ理⇒f 。

9.2分波法本节目标：掌握分波法的处理思路，理解光学定理，明确散射截面与相移的关系 重点难点：分波法的处理思路，如何灵活运用关学定理处理问题 本节内容：本节将给出在中心力作用下粒子散射截面的一个普遍计算方法-分波法。

从原则上讲，分波法是一个严格的处理方法，但在实际的应用中，不可能把一切分波都考虑在内，而只能根据具体情况考虑一些重要的分波，因而仍然是一种近似处理。

当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。

因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。

1．散射截面和相移当入射粒子方向k 取为z 轴，则入射（无自旋）是对ϕ对称，即与ϕ无关，而相互作用势)r (V 是各向同性。

因此，经)r (V 作用后也与ϕ无关∑∞==00),()(l l l k Y rr ϕθχψ （k 在z 方向）代入方程得0)()()()()1()(2222=-++-r r U r k r r l l r dr d l l l l χχχχ)r (V m 2)r (U 2=，22mE 2k =其渐近解，在∞→r 时有)()(222=+r k r drd l l χχ∴ )sin()(l l r l B kr A r +−−→−∞→χ)2sin(l l l kr A δπ+-=所以，在有心势存在时，具有确定k （在z 方向）的解为∑∞=+-→ψ00),()2sin(l l l lk Y r l kr A ϕθδπ∑∞=----=0),(]22)(l l ikri l l ikr i l l Y re e A i i r e e A i i l l ϕθδδ当位势不存在时，解为),()()12(400ϕθπ∑=+⇒l l l ikz Y kr j i l e lkr l kr kr j l l kr r l )2sin()()1(,π-−−−−−→−+>>∞→∴),(2)1()12(42)12(4[00ϕθππ∑=--+-+→l l ikrl ikr ikzY r e ki l r e ki l e与kψ比较，入射波应相同∴ kil e A ii li l ll 2)1()12(42-+=-πδ （球面入射波系数应同）∴li ll e ki l A δπ)12(4+=),(]2)1()12(42)12(4[02ϕθππδ∑=--+-+−−→−ψl l ikr l ikri r k Y re ki l r e ekil l大时显然，对每一个分波l ，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加，但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差－相因子li eδ2。

这表明：散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移l δ，相应于相因子为l i e δ2。

因 )()(θψk ikrikzk f r e er +→所以，散射振幅),()1(2124)(020ϕθπθδl i l k Y e il kf l-+=∑∞=),(sin 12400ϕθδπδl l i l Y e l kl ∑∞=+=散射微分截面*0'0')(0'2sin sin )1'2)(12(4)('l l l l i ll k Y Y e l l k l l δδπθσδδ-∞=∑++=∴⎰Ω=d k T )(θσσll l k δπ22sin)12(4∑∞=+=其中每一项l l k δπ22sin )12(4+代表相应的角动量为l 的分波对散射截面的贡献)12(42+≤l k l πσ当πδ)21(+=n l （ ,2,1,0n=），达极大。

与散射振幅比较得)0(4k m T f I k πσ=πϕ412),0(0+=l Y l这称为光学定理。

2．一些讨论1．分波法的适用性 a. 中心力场 b.l δ不为0的数要少，即)(θσ或T σ对l 的收敛很快才行。