2019-2020年高中数学第3章概率3.4互斥事件及其发生的概率自主练习苏教版必修

学习目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系；2.掌握互斥事件的概率加法计算公式．知识点一互斥事件思考一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？梳理互斥事件的概念：________________的两个事件称为互斥事件．知识点二事件A＋B思考一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？梳理一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B 发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝__________________.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝________________.知识点三对立事件思考在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？梳理对立事件及其概率公式：如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A；对立事件概率公式P(A)＝__________.类型一互斥、对立的判定例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．反思与感悟如果A 、B 是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．类型二互斥、对立概率公式例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，问： (1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？反思与感悟事件C 是事件A 与事件B 的并事件，且事件A 与事件B 互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P (D )＝1－P (C )．跟踪训练2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？类型三事件关系的简单应用例3某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？反思与感悟对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率．1．给出以下结论，其中正确命题的个数有________．①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A 为“向上的点数至少为5”．则事件A 是指__________________．3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有两个红球．5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．2．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．答案精析问题导学知识点一思考不可能．梳理不能同时发生知识点二思考A，B至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6.梳理P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)知识点三思考不是，比如掷出点数为3，则A，B都不发生，定义C：点数不大于4，则A，C必有一个发生．梳理1－P(A)题型探究例1解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．跟踪训练1解A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．例2解(1)因为C ＝A ＋B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12. (2)事件C 与事件D 互斥，且C ＋D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝12. 跟踪训练2解设得到黑球、黄球的概率分别为x ，y ，由题意得⎩⎨⎧ x ＋y ＝512，y ＋(1－13－x －y )＝512，解得x ＝14，y ＝16， 所以得到绿球的概率为1－13－14－16＝14. 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 例3解(1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ＋D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A )＋P (B )＝0.3＋0.2＝0.5，P (C )＋P (D )＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．跟踪训练3解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16. (2)方法一设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23. 即甲不输的概率为23. 方法二设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23. 即甲不输的概率是23. 当堂训练1．2解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P (A ∪B )＝P (A )，∴④错；只有A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．向上的点数至多为43.0.304．④解析①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．5．解设射中10环或7环的概率为P 1，不够7环的概率为P 2.(1)P 1＝0.21＋0.28＝0.49；(2)P 2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0.03.。

3．4互斥事件及其发生的概率（二）【新知导读】1．某人玩飞镖,连射两次,设”恰有一次击中”为事件A,”恰有两次击中”为事件B,”没有一次击中”为事件C,问A+B,B+C,A+C 各表示什么?2.甲,乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙输的概率为多少?3.随着信息技术的发展,网际网络已经深入到每个家庭,电话是不可缺少的通讯工具.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第1声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响的第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率为多少?【范例点睛】例1：一盒中装有各色球12只,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球,从中随机取出1球,求:(1)取出的1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.思路点拨：可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解.方法点评：在解决此类问题时首先依据定义分清是否为互斥事件,是否为对立事件,再确定用哪一种方法,该例还体现了转化思想.例2：将6群鸽子任意分群放养在甲、乙、丙3片不同的树林里,求甲树林恰有3群鸽子的概率. 思路点拨：对于古典概型中的复杂问题,可以拆分成简单互斥事件来求解,当然这个题直接用古典概型处理也行.方法点评: 设”甲树林恰有3群鸽子”为事件A,将”甲树林3群,乙树林3群”记为事件1A ,”甲树林3群,丙树林3群”记为事件2A ,”甲树林3群,乙树林2群,丙树林1群”记为事件3A ,”甲树林3群,乙树林1群,丙树林2群”记为事件4A ,则1234A A A A A =+++,且1234,,,A A A A 彼此互斥,1620()3P A =,2620()3P A =,36203()3P A ⨯=,46620360()33P A ⨯==. 【课外链接】1. 某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山,衡山,张家界3个景区中任选一个.假设各部门选择每个景区是等可能的.(1) 求3个景区都有部门选择的概率;(2) 求恰有2个景区有部门选择的概率.【自我检测】1.若事件A,B 互斥,则下列等式成立的是 ( )A. ()()1P A P B +=B. ()1P A B +=C. ()1P A B +=D. ()1P A B +=2.将两枚均匀的正六面体的骰子各掷一次,出现点数之和不小于8的概率是( )A ．512 B.518 C ．16 D ．7183.一个人在打靶中连续射击2次,事件”至少有1次中靶”的对立事件是( )A ．至少有1次中靶 B.2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶4.从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,有事件:①”取出2只红球和1只白球”与”取出1只红球和2只白球”;②”取出2只红球和1只白球”与”取出3只红球”;③”取出3只红球”与”取出3只球中至少有1只白球”;④”取出3只红球”与”取出3只白球”.其中是对立事件的有( )A.①④B.②③C.③④D.③5.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为______________.6.某产品分甲,乙,丙三级,其中乙,丙两级均属次品,在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3％和1％,抽验一只是正品(甲级)的概率为__________________.7.在公交汽车站,等候某条线路车的时间及其概率如下:则至多等候3min的概率为_______,至少等候5min的概率为_________.8.从标有1,2,3,…,9的9张纸片任取2张,那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为多少?9.从4双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配对的概率为多少?3.4 互斥事件及其发生的概率(二)【新知导读】1. A+B 表示至少有一次击中;B+C 表示全中或全不中;A+C 表示不全中.2.163. 0.9 【范例点睛】 例1. (1)34 (2)1112 例2. 12341234()()()()()()P A P A A A A P A P A P A P A =+++=+++ 61601603729== 【课外链接】 1. (1)4123439P ⨯== (2)4114192727P =--= 【自我检测】1.C2.A3.C4.D5.0.356.96％7. 0.55, 0.28. 13189. 2735 10.(1)116807(2) 20412401。

3．4互斥事件及其发生的概率（一）【新知导读】1．某个人去新华书店买书，走到一个十字路口，他犹豫了，是向前走，还是向左拐，还是向右拐？把他的三个选择视为三个事件，你知道这三个事件有什么关系吗？2.盒子中放有红，黄，蓝，白四种颜色的球各一个，从中任取一球，设事件A为“取得红球”，事件B为“取得黄球”，事件C为“取得白球或蓝球”，则：（1）A，B是互斥事件吗？（2）A，C 是互斥事件吗？（3）B，C是互斥事件吗？3.把红，黑，白，蓝四张纸牌，随机地分给甲，乙，丙，丁四人，每人得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是什么事件？【范例点睛】例1：判断下列给出的事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点数从1～10各10张)中,任取一张.(1)”抽出红桃”与”抽出黑桃”;(2)”抽出红色牌”与”抽出黑色牌”(3)”抽出牌点数为5的倍数”与”抽出的牌点数大于9”.思路点拨：根据互斥事件与对立事件的定义进行判断.判断是否为互斥事件,主要是看两事件是否同时发生;判断是否为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生,则为对立事件,否则,不是对立事件.易错辨析：对立事件是非此即彼的关系,要看一次试验的结果有几种.例2：在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18).思路点拨：把事件”最高水位在[10,16)”看作是彼此互斥的事件的和,再用加法公式.方法点评: 在用加法公式之前,要先判断是否为互斥事件,再将要求概率的事件写成几个已知(或易求)概率的事件的和.最后用概率加法公式求得.【课外链接】1.若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为______________.【自我检测】1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和至少有1个红球C.恰有1个白球和恰有2个白球D.至少有1个红球和全是白球2.如果事件A,B 互斥,那么 ( )A.A+B 是必然事件B.A B +是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥3.下列命题中,真命题的个数是 ( )①将一枚硬币抛两次,设事件A 为”两次出现正面”,事件B 为”只有一次出现反面”,则事件A与B 是对立事件;②若事件A 与B 为对立事件,则事件A 与B 为互斥事件③若事件A 与B 为互斥事件,则事件A 与B 为对立事件;④若事件A 与B 为对立事件,则事件A+B 为必然事件.A ．1 B.2 C ．3 D ．44.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40％,甲不输的概率为90％,则甲,乙两人下成和棋的概率为( )A.60％B.30％C.10％D.50％5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概率是____________.6.在区间[0,10]上任取一个数x ,求3x <或6x >的概率___________.7.有5张1角,3张2角和2张5角的邮票,任取2张,求其中两张是同价格的概率___________.8.已知随机事件E 为”掷一枚骰子,观察点数”,事件A 表示”点数小于5”,事件B 表示”点数是奇数”,事件C 表示”点数是偶数”.问:(1)事件A+C 表示什么?(2)事件,,A A C A C ++分别表示什么?9.我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求,18％的进口商品恰好4年关税达到要求,其余的进口商品将在3年或3年内达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.10.袋中有2个伍分硬币，2个贰分硬币，2个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过7分的概率.10.某地区有5个工厂,由于用电紧张,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的),假定工厂之间的选择互不影响.(1)求”5个工厂均选择星期日停电”的概率;(2)求”至少有2个工厂选择同一天停电”的概率.3.4 互斥事件及其发生的概率(一)【新知导读】1. 三个事件不可能同时发生2. 是，是，是3. 是互斥事件但不是对立事件【范例点睛】例1. (1)是互斥事件,不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,也不是对立事件.例2.记河流年最高水位在”[8,10)”为事件A, ”[10,12)”为事件B ,”[12,14)”为事件C, ”[14,16)”为事件D, ”[16,18)”为事件E,则A,B,C,D,E 为互斥事件.由互斥事件的概率的加法公式,得 (1)最高水位在[10,16)的概率为()()()()0.280.380.160.82P B C D P B P C P D ++=++=++=.(2) 最高水位在[8,12)的概率()()()0.10.280.38P A B P A P B +=+=+=. (3)最高水位在[14,18)的概率为()()()0.160.080.24P D E P D P E +=+=+=.【课外链接】1. 1745【自我检测】 1.C 2.B 3.B 4.D 5.0.44 0.03 6. 347111111P =+= 7.1445 8. (1)A+C 表示出现点数为1,2,3,4,6. (2){5,6}A =,{5}A C +=,{5,6}{1,3,5}{1,3,5,6}A C +=⋃=9. 79％ 10.710。

3.4 互斥事件及其发生的概率第2课时导入新课设计思路一：（情境导入）某公司在一次庆祝活动中，为了活跃现场气氛，在活动现场举行了一次抽奖活动.在一个箱子里装有900张奖券，奖券的号码是从100到999的三位自然数，从中抽取一张.若中奖的号码是有且仅有两个数字相同的奖券.试问该活动的中奖率是多少？设计思路二：（问题导入）在一只口袋中装有4个红球，2个白球，现从口袋中任取4个球.记事件A ：至少取到2个红球；事件B ：至少取到2个白球；事件C ：没有取到红球：事件D ：没有取到白球；事件E ：至多取到2个白球.请指出以上事件中的必然事件、不可能事件和随机事件，并找出哪两个事件为互斥事件或对立事件.推进新课新知探究对于导入思路一：该抽奖活动的中奖奖券可以分为以下三种情形：（1）有两个非零数字构成的三位数，共有289⨯×2×3=216个；（2）一个零与另一个出现两次的非零数字组成的三位数，共有9×2=18个；（3）含有两个零及一个非零数字组成的三位数，共有9个.以上三种情形的每一种情形作为一个事件，则这三个事件是互斥事件，所以，抽奖活动的中奖率为P= 900243900990018900216=++=0.27. 这就是我们用上节课学习的互斥事件的概率的求法来解答的，下面，一起来回顾上节课所学的内容.上节课主要学习了以下内容：1.互斥事件的概念在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，我们就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.2.互斥事件有一个发生的记法如果事件A 、B 是互斥事件，当事件A 、B 有一个发生，就记为A+B.若事件A 1，A 2，…，A n 是彼此互斥事件，我们就记为A 1+A 2+…+A n .3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A ，B 是互斥事件，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，这个公式可以推广到n 个彼此互斥事件，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).4.对立事件的概念如果两个互斥事件必定有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A .5.对立事件之间的概率关系由于对立事件A 与A 必有一个发生，所以A+A 是必然事件，因而有P(A)+P(A )=P(A+A )=1，所以有P(A)=1－P(A ).6.互斥事件与对立事件互斥事件不一定是对立事件，因为互斥事件可以有多于两个的事件，而对立事件只是两个互斥事件并且是其中必有一个发生.对于导入思路二：根据必然事件、不可能事件、随机事件以及互斥事件、对立事件的概念来判断.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是随机现象事件A与B不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2，…，A n彼此互斥.根据上述概念，从4个红球，两个白球中任取4个球，红球必定至少2个，白球至多2个，所以，事件A、事件E为必然事件，事件B、事件D为随机事件，事件C为不可能事件；事件A与事件C为互斥事件也是对立事件，事件B与事件C为互斥事件但不是对立事件，事件B与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件E为互斥事件也是对立事件.其中的互斥事件与对立事件是上节课所学的内容，在上节课除学习了以上内容之外，还学习了互斥事件以及对立事件的概率的计算.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和.即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n）.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.由于对立事件A与A必定有一个发生，因此A+A是必然事件，所以P(A)+P(A)=P(A+A)=1，由此，可以有如下的重要公式P(A)=1－P(A).应用示例例1 下列命题中，真命题的个数是（）①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件A.1B.2C.3D.4分析：根据互斥事件的概念即不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；以及对立事件的概念即如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.解：由互斥事件和对立事件的概念可知，①事件A与事件B不可能同时发生，因此，事件A 与事件B 是互斥事件，但由于事件A 与事件B 不满足必定有一个发生的条件，所以事件A 与事件B 不是对立事件，因而是假命题；②由于对立事件的前提是两个事件是互斥事件，因此，两个事件是对立事件必定是互斥事件，所以，是真命题；③互斥事件要成为对立事件必须还要满足两个事件中必有一个发生，所以，互斥事件不一定是对立事件，所以是假命题；④两个事件是对立事件则这两个事件中必有一个发生，因此，“若事件A 与B 为对立事件，则事件A ＋B 为必然事件”是真命题.综上所述，本题应该选择B.点评：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不能同时发生之外，还要求满足这两个事件必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.此外，还需注意对关键词语“至多”“至少”等的深入理解.例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对分析：根据互斥事件与对立事件的概念及其相互关系来判断.解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C.点评：本题易错选A ，本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：①两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；②互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.例3 用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.试问：(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a 在第一次未被抽到，而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率是多少？分析：首先判断所求事件之间的关系，是否为互斥事件，如果是，则运用互斥事件概率的求解方法来解.解：(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是P=81； (2)个体a 在第一次未被抽到，而第二次被抽到的概率是P=817817=⨯⨯； (3)由于个体a 在第一次被抽到与第二次被抽到是互斥事件，所以，在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率是P=418181=+. 点评：当直接求某一个事件的概率较为繁杂时，可以考虑所求的事件是否可以看作几个互斥事件有一个发生的问题，如果可以，则可以运用公式P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）来求解.例4 某射手射击一次，(1)若事件A“射手射击一次，中靶”的概率为0.95，则事件A 的概率是多少？(2)若事件B“射手射击一次，中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C“射手射击一次，中靶环数小于6”的概率是多少？事件D“射手射击一次，中靶环数大于0而小于6”的概率是多少？分析：根据题意可以运用对立事件的概率之和等于1的关系来求解.解：(1)因为P(A)=0.95，所以P(A )=1－P(A)=1－0.95=0.05；(2)事件B与事件C是对立事件，又因为P(B)=0.7，所以P(C)=P(B)=1－0.7=0.3；P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25.点评：如果某事件A发生包含的情况比较多，而它的对立事件即事件A不发生所包含的情形较少，这时可以利用公式P(A)=1－P(A)来计算事件A的概率比较简便.对于(2)中，事件C的发生可以看作事件D和事件A有一个发生的情形，而事件D和事件A是互斥事件，所以P(C)=P(D)+P(A)，即P(D)=P(C)－P(A)，从这里可以看出，不仅要会直接运用公式，也要会运用公式的变形形式.知能训练1.从存放号码分别为1，2，3…10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：A.0.53B.0.5C.0.47D.0.372.如果事件A、B互斥，那么（）A. A+B是必然事件B. A +B是必然事件C. A与B一定互斥D. A与B一定不互斥3.1人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A.至多有一次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有一次中靶4.战士小王在一次射击中命中9环的概率是0.27，命中8环的概率是0.21，命中7环的概率是0.24，不够7环的概率是0.19，试求：（1）该战士在一次射击中命中7环或8环的概率；（2）该战士在一次射击中命中10环的概率；（3）该战士在一次射击中命中8环或8环以上的概率.5.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也为125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 6.甲、乙两个人下棋，和棋的概率为21，乙获胜的概率为31，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.解答：1.A2.B3.C4.（1）射中7环或8环的概率为0.21+0.24=0.45；（2）射中10环的概率为1-0.27-0.21-0.24-0.19=0.09；（3）8环或8环以上的概率为0.21+0.27+0.09=0.57.5.设“取红球”为事件A ，“取黑球”为事件B ，“取黄球”为事件C ，“取绿球”为事件D ，则由题意知：6.(1)甲获胜的概率为1－21－31=61；(2)甲不输的概率为1－31=32. 课堂小结这节课我们继续学习了互斥事件以及对立事件的概念及概率的计算.在运用公式时，我们一定要先判断是否符合互斥事件以及对立事件的概念，然后再根据判断的结果进行解答.特别是互斥事件有一个发生的概率公式，对立事件的概率的和为1，这些公式的运用必须先要考查是否具备各事件彼此互斥和两个事件是对立事件的前提条件.在求较为复杂的事件的概率时，通常有以下两种方法：第一种方法是直接求解法，可以将所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和，分解后的每一个事件的概率的计算可以通过等可能事件的概率来解，其关键是确定事件是否互斥.第二种方法是间接求解法，先求出所求事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1－P(A )来计算，也就是运用逆向思维的思想方法.另外注意文字叙述的含义，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”等类型的概率时都采用间接求解的方法.作业课本习题3.4 7、8.设计感想在求解随机事件的概率时，可以根据题目的条件，先判断所求事件的概率类型，然后根据相应的概率类型，采用相应的概率计算公式来求解.在运用概率公式求解互斥事件有一个发生的概率以及对立事件的概率时，首先要考查是否具备各事件彼此互斥和两事件对立的前提条件，因此，要搞清楚互斥事件和对立事件的区别和联系，互斥事件是指两事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.在求较为复杂的事件的概率时，通常采取两种方法：一是将所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一个发生的问题，二是先求所求事件的对立事件的概率.习题详解习题3.41.(1)记A={摸出红球}，B={摸出黄球}，C={摸出蓝球}，D={摸出红球或黄球}，因为事件A 与B 互斥，运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.45+0.33=0.78.（2）因为事件C 与D 对立，运用对立事件概率公式得P(C)=1-P(D)=1-0.78=0.22. 答：（1）摸出红球或黄球的概率为0.78；（2）摸出蓝球的概率为0.22.2.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.4-0.2=0.4.3.运用互斥事件及对立事件概率公式得P （至多2人排队等候）=0.1+0.16+0.3=0.56，P （至少3人排队等候）=1-0.56=0.44.4.分别记“这台彩电是一等品”“这台彩电是二等品”“这台彩电是次品”为事件A 、B 、C ，则事件A 、B 、C 两两互斥.（1）记D={这台彩电是正品}，运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.9+0.08=0.98；（2）记E={这台彩电不是一等品}，则事件E 与A 对立，运用对立事件概率公式得 P(E)=1-P(D)=1-0.9=0.1.答：这台彩电是正品的概率为0.98；这台彩电不是一等品的概率为0.1.5.（1）记A={投中红色扇形区域}，B={投中蓝色扇形区域}.根据几何概型的概率公式可得P(A)=6136060=，P(B)= 6136060=. （2）记C={投中红色或蓝色扇形区域}.因为事件A 与B 互斥，运用互斥事件概率加法公式得，P(C)=P(A)+P(B)=316161=+. （3）记D={投中白色扇形区域}.因为事件D 与C 对立，运用对立事件概率公式得 P(D)=1－P(C)=1－3231=. 答：分别投中红色、蓝色扇形区域的概率均为61，投中红色或蓝色扇形区域的概率为31，投中白色扇形区域的概率为32. 6.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.54-0.22-0.12=0.12.7.(1)12张牌中抽出2张的方法为66种，其中两张都是A 的方法有6种，故所求概率为111666=；（2）余下10张，抽取2张的方法为45种，其中两张都是A 的方法有6种，故所求概率为152456=. 8.（1）得一等奖的概率=7101；（2）如果一等奖号码为1234567，则二等奖号码可以为X234567（X 不等于1）及123456X （X 不等于7）共有18种可能，三等奖的号码为XY34567（Y 不等于2）或X23456Y （X 不等于1且Y 不等于7）或12345XY （X 不等于6）共有90+81+90=261种可能，故得三等奖及以上奖的概率为67102810261181=++.。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三互斥事件及其发生的概率（A ）时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．若事件A 与事件B 是对立事件，且2.0)(=A P ，则=)(B P2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A 为“向上的点数至少为5”。

则事件A 是指 。

3．如果事件A 、B 是对立事件，A －与B －分别是A 、B 的对立事件，那么下面结论正确的是①．A ＋B 是必然事件 ②.A ＋B 是必然事件③.A 与B 互斥 ④.A 与B 一定不互斥4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是5．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是6．（2012南京二模）某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有一人被录用的概率为7．同时抛掷两枚骰子，所得点数之和小于11的概率为8．在5名学生中有3名男生和2名女生，从中安排2名学生值日，其中至少有一名女生的概率为9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，下列四组事件中是互斥而不对立的两个事件为①．至少有1个黑球与都是黑球②．至少有1个黑球与至少有1个红球③．恰有1个黑球与恰有2个黑球④．至少有1个黑球与都是红球10．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件A＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”B＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”C＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”D＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”其中，(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(2)P(D)＝________，P(B)＝________，P(A)＋P(C)＝________.11．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：年降水量(单位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率P 0.140.300.32 则年降水量在[50,150)(mm)范围内的概率为________，年降水量不低于150mm的概率是________．12．掷一颗骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是13．将一枚硬币连掷3次，则至少出现一次正面的概率为14．把10张卡片分别写上0,1,2，…，9后，任意叠在一起，从中任取一张，设“抽得大于3的奇数”为事件A，“抽得小于7的奇数”为事件B，则事件“抽得大于3的奇数或小于7的奇数”的概率为二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）15（14分）．某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，中靶环数大于6的概率为0.7，求事件A“中靶环数大于0小于等于6”的概率．16．（14分）某种彩色电视机的一等品率为90%，二等品率为8%，次品率为2%，某人买了一台该种彩色电视机，求：（1）这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率；（2）这台电视机不是一等品的概率。

3.4 互斥事件庖丁巧解牛知识·巧学一、与〔并〕事件假设某事件发生当且仅当事件A或事件B至少有一个发生，那么称此事件为事件A与事件B与事件〔或与并事件〕，记作A+B〔或A∪B〕知识拓展事件与运算满足交换率，事件A与事件B与事件等于事件B与A与事件，即A+B=B+A.深化升华与集合并集运算定义类似，并集事件可用图3-4-2中阴影局部表示，即事件A+B所包含结果所组成集合等于事件A与B 所包含结果所组成集合并集.图3-4-2二、互斥事件在一次试验中，不能同时发生两个事件称为互斥事件.推广：如果事件C1，C2，…,C n中任何两个事件都互斥，就称事件C1，C2，…，C n彼此互斥.要点提示对于互斥事件要抓住如下特征进展分析：第一，互斥事件研究是两个事件之间关系;第二，所研究两个事件是在一次试验中涉及;第三，两个事件互斥是从试验结果不能同时出现来确定.深化升华从集合角度来看，A、B两个事件互斥，那么表示A、B这两个事件所含结果组成集合交集是空集.2.互斥事件概率加法公式如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生概率，等于事件A、B 分别发生概率与，即P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件“A1+A2+…+A n〞发生〔是指事件A1，A2，…，A n中至少有一个发生〕概率，等于这n个事件分别发生概率之与，即P〔A1+A2+…+A n〕=P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕.方法点拨利用互斥事件概率加法公式来求概率，首先要确定事件是否彼此互斥.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生概率一个重要指导思想.三、对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.集合A对立事件记作A.要点提示第一，事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.第二，对立事件是一种特殊互斥事件，两个事件对立，那么两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件；第三，对立事件是针对两个事件来说，且A∪B〔或A+B〕为必然事件.深化升华事件A、B互为对立事件，从集合角度看，由事件B 所含结果组成集合，是全集中由事件A所含结果组成集合补集.即A∪A=U，A∩A= .图3-4-3A=B.图3-4-32.对立事件概率公式对立事件概率公式P(A)=1-P(A).方法点拨这个公式为我们求出P〔A〕提供了一种方法，当计算事件A概率P〔A〕比拟困难时，常可以转化为求其对立事件A概率.四、互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是研究两个事件关系,它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件,是互斥中特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥〞是“对立〞必要而非充分条件.从集合角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含结果组成集合彼此互不相交,而事件A对立事件A所含结果组成集合,是全集中由事件A含结果组成集合补集，不仅不相交，而且它们并集必须是全集.典题·热题知识点一判断事件类型例1 某小组有3名男生与2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断以下每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生.思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生，判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.解：(1)因为“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当“恰有2名女生〞时，它们都不发生，所以它们不是对立事件.(2)因为“恰有2名男生〞时，“至少1名男生〞与“全是男生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少1名男生〞与“全是女生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们对立.(4)由于选出是一名男生一名女生时“至少1名男生〞与“至少1名女生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.拓展延伸两个互斥事件是否对立要依据试验条件.此题条件假设改为“某小组有3名男生与1名女生，任取2人〞，那么“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞便是对立事件.知识点二互斥事件与对立事件计算公式例2 抛掷一均匀正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6)，假设事件A为“朝上一面数是奇数〞,事件B为“朝上一面数不超过3”,求P(A+B),下面解法是否正确假设不正确,指明原因.解：P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕而P 〔A 〕=63=21，P 〔B 〕=63=21， ∴P(A+B)=21+21=1. 思路分析：此题利用互斥事件定义、互斥事件概率公式.此解法是否正确,主要取决于事件A 、B 是否互斥.解：事件A 包含“朝上一面是1,3,5”三种情况,事件B 包含“朝上一面是1,2,3”三种情况，显然两个事件不互斥,故解法错误,事件A+B 包含“朝上一面是1,2,3,5”四种情况,由等可能性事件角度考虑:P(A+B)=.误区警示 在选择概率公式求解之前,必须分清题目所涉及事件关系以及各概率公式使用条件.例3 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中: 〔1〕射中10环或7环概率；〔2〕不够7环概率.思路分析：由于射手在一次射击中,射中10环与射中7环不可能同时发生,故这两事件为互斥事件,且求又是两事件与概率,故可考虑用公式P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环.但由于这些概率都未知，故不能直接下手，可考虑从反面入手，不够7环反面是大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于这两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件方法处理.解：〔1〕记“射中10环〞为事件A，记“射中7环〞为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环〞事件为A+B，故P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环概率为0.49.〔2〕记“不够7环〞为事件E,∴P〔E〕=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P〔E〕=1-P〔E〕=1-0.97=0.03.∴射不够7环概率为0.03.方法归纳必须分析清楚事件A、B互斥原因,且所求事件必须是几个互斥事件与.满足上述两点才可用概率与公式.当直接求某一事件概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件概率.例4 袋中有红、黄、白3种颜色球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球概率；(2)3只颜色全一样概率；(3)3只颜色不全一样概率；(4)3只颜色全不一样概率.思路分析：(1)(4)用等可能性事件概率观点求解.(2)可分拆成三个互斥事件“三只红球〞“三只黄球〞“三只白球〞利用互斥事件概率与公式求解.〔3〕情况较多,但其对立面却是(2),故可用对立事件概率公式求解.解：(1)记“3只全是红球〞为事件A.从袋中有放回地抽取3次,每次取1只,共会出现3×3×3=27种等可能结果,其中3只全是红球结果只有一种,故事件A 概率为P 〔A 〕=271. (2)“3只颜色全一样〞只可能是这样三种情况:“3只全是红球〞(设为事件A);“3只全是黄球〞(设为事件B);“3只全是白球〞(设为事件C),且它们之间是或者关系,故“3只颜色全一样〞这个事件可记为A+B+C,由于事件红、黄、白球个数一样,故不难得到P 〔B 〕=P 〔C 〕=P 〔A 〕=271. 故P 〔A+B+C 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕+P 〔C 〕=91.(3)3只颜色不全一样情况较多,如有两只球同色而与另一只球不同色,可以两只同红色或同黄色或同白色等等;或三只球颜色全不相等.考虑起来比拟麻烦,现在记“3只颜色不全一样〞为事件D,那么事件D 为“3只颜色全一样〞,显然事件D 与D 是对立事件.∴P(D)=1-P(D )=1-91=98.(4)要使3只颜色全不一样,只可能是红、黄、白各一只,要分三次抽取,故3次抽到红、黄、白各一只可能结果有3×2×1=6种,故3只颜色全不一样概率为.误区警示 〔1〕有放回抽取跟无放回抽取其根本领件数是不一样. 〔2〕搞清“全一样〞对立面是“不全一样〞,而不是“全不一样〞. 问题·探究思想方法探究问题 能否从频率角度说明互斥事件概率加法公式？探究过程：假定A 、B 是互斥事件，在n 次试验中，事件A 出现频数是n 1，事件B 出现频数是n 2，那么事件A∪B 出现频数正好是n 1+n 2，所以事件A∪B 频率为 而n n 1是事件A 出现频率，nn 2是事件B 出现频率.因此，如果用f n 表示在n 次试验中事件出现频率，那么总有f n 〔A∪B〕=f n 〔A 〕+f n 〔B 〕；由此得到概率加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.探究结论：能从频率角度说明互斥事件概率加法公式.。

2020学年度高三数学互斥事件的概率复习讲义【知识点归纳】1、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。

计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。

2、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）。

计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.4.事件A 、B 的和记作A +B ，表示事件A 、B 至少有一个发生.当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的.对于n 个互斥事件A 1，A 2，…，A n ，其加法公式为P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.【基础训练】（1）有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白 球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，则A 袋中仍装有4个白球的概率为 ；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）___ ___；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫⋅≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是（4）（2020年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.（5）有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为________.【例题选讲】【例1】 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求（1）至少有两封信配对的概率.（2）没有一封信配对.【例2】 （2020年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是11413，且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个? （2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.【例3】 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.【例4】（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.【例5】（北京卷）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率；（II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．【例6】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车； （2）停车的次数不少于2次；（3）恰好停车2次.【巩固练习】1.两个事件互斥是这两个事件对立的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是（ ）A.0.62B.0.38C.0.7D.0.683.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 （ ）A.60%B.30%C.10%D.50%4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球5.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为 A.141 B.97 C.21 D.92 （ ）6.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是__ ______.7.从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是__ ______.8. 8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是__ ______.9. 52张桥牌中有4张A ，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A ，求丙手中至少有一张A 的概率.10. 袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.11. (全国卷Ⅰ)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

高中数学第三章概率3.4互斥事件学案苏教版必修31．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．(重点)3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．(难点)[基础·初探]教材整理 互斥事件、对立事件阅读教材P 112～P 113“例1”上边的内容，并完成下面的问题． 1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件及概率公式(1)如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为A .(2)对立事件A 与A 必有一个发生，故A ＋A 是必然事件．对立事件的概率公式：P (A )＝1－P (A )．填空：(1)若事件A 与事件B 为对立事件，且P (A )＝14，则P (B )＝________.【解析】 因为事件A 与事件B 为对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－14＝34.【答案】3 4(2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现3点”，事件C为“出现5点”，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点”为事件D，则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝16＋16＋16＝12.【答案】12[小组合作型]互斥事件、对立事件的判断某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．判断下列各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和全是女生；(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4)至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件，也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况，它与“全是女生”不可能同时发生，且其和事件是必然事件，所以是对立事件．(3)不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生，故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．[再练一题]1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.互斥事件的概率加法公式及其应用盒中装有各色球共12只，其中5只红球，4只黑球，2只白球，1只绿球，从中取一球，设事件A为“取出一球是红球”，事件B为“取出一球为黑球”，事件C为“取出一球是白球”，事件D为“取出一球是绿球”．求：【导学号：11032070】(1)事件A，B，C，D的概率；(2)“取出一球是红球或黑球”的概率；(3)“取出一球为红球或黑球或白球”的概率．【精彩点拨】先由古典概型求事件A、B、C、D的概率，然后用互斥事件的概率公式求解．【自主解答】(1)由古典概型概率公式，得P (A )＝512，P (B )＝412＝13，P (C )＝212＝16，P (D )＝112.(2)设“取出一球是红球或黑球”为事件E ，则E ＝A ＋B ，因为事件A 与事件B 互斥． ∴P (E )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.故“取出一球是红球或黑球”的概率为34.(3)设“取出一球为红球或黑球或白球”为事件F ，则F ＝A ＋B ＋C ，因为事件A 、B 、C 两两互斥．∴P (F )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.故“取出一球为红球或黑球或白球”的概率为1112.1．解题时，首先要判断所给的已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知的互斥事件的和，最后用概率加法公式求解．2．公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )必须在事件A 、B 互斥的前提下使用，否则就不能用该公式．[再练一题]2．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位 (单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 概率0.10.280.380.160.08(1)[10,16)(m)； (2)水位不低于14 m.【解】 设年最高水位在[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范围内分别为事件A 、B 、C 、D ，则P (A )＝0.28，P (B )＝0.38，P (C )＝0.16，P (D )＝0.08.(1)设“年最高水位在[10,16)内”为事件E ，则E ＝A ＋B ＋C ，因为事件A 、B 、C 互斥． ∴P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82，故年最高水位在[10,16)内的概率为0.82.(2)设“水位不低于14 m”为事件F ，则F ＝C ＋D ，因为事件C 、D 互斥，∴P (F )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.16＋0.08＝0.24. 故水位不低于14 m 的概率为0.24.[探究共研型]对立事件的概率公式及应用探究1 从集合观点认识互斥事件、对立事件的概率公式：在集合中，我们有这样的结论：若记Card A 为集合A 中元素的个数，则有Card(A ∪B )＝Card A ＋Card B －Card(A ∩B )．利用该公式如何去理解互斥事件概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )？同样，如何利用补集的概念去理解对立事件？【提示】 由公式Card(A ∪B )＝Card A ＋Card B －Card(A ∩B )可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，而当A 、B 互斥时，P (A ∩B )＝0，故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．对于补集而言，类似的有P (A )＋P (A －)＝1，从而P (A －)＝1－P (A )．探究2 一个盒子内装有标号为1,2,3的三张卡片，这些卡片除编号不同外其余完全一样，现有放回的抽取3次，每次1张．则“抽取的卡片上的数字不完全相同”包括多少种情况？“抽取的3张卡片上的数字完全相同”有多少种情况？如何计算“抽取的3张卡片上的数字不完全相同”的概率呢？【导学号：11032071】【提示】 有放回的抽取3次，共有3×3×3＝27种情况，经列举可知“3张卡片上数字不同”包括24种情况，“3张卡片上的数字相同”包括3种情况．求事件“3张卡片上的数字不全相同”的概率时，很明显利用对立事件求解更简单．在某购物中心举行的“回报顾客”超低购物有奖活动中，一统计部门对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下表所示.排队人数 0 20 30 40 50 50人以上 概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少有30人排队的概率．【精彩点拨】 利用互斥事件概率公式及对立事件概率公式求解．【自主解答】 设“没有人排队”为事件A 1，“20人排队”为事件A 2，“30人排队”为事件A 3，“40人排队”为事件A 4，“50人排队”为事件A 5，“50人以上排队”为事件A 6，则P (A 1)＝0.1，P (A 2)＝0.16，P (A 3)＝0.3，P (A 4)＝0.3，P (A 5)＝0.1，P (A 6)＝0.04，且A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6两两互斥．法一：(1)记“至多有30人排队”为事件B ，则B ＝A 1＋A 2＋A 3，∴P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，即至多有30人排队的概率为0.56.(2)记“至少有30人排队”为事件C ，则C ＝A 3＋A 4＋A 5＋A 6. ∴P (C )＝P (A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6) ＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 即至少有30人排队的概率为0.74. 法二：(1)同法一．(2)设“至少有30人排队”为事件C ，则C －＝A 1＋A 2. ∴P (C －)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＝0.26. ∴P (C )＝1－P (C －)＝1－0.26＝0.74. 即至少有30人排队的概率为0.74.1．求复杂事件的概率的方法有两种：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是转化为求其对立事件的概率．2．对于涉及到“至多”“至少”的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解较简单．[再练一题]3．一个袋子内有9个小球，其编号分别为1,2，…，9.从中任取2个球，求编号至少有一个为奇数的概率．【解】 从9个球中任取2个，有 (1,2)，(1,3)，…，(1,9)； (2,3)，(2,4)，…，(2,9)； (3,4)，(3,5)，…，(3,9)； …(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“编号至少有一个为奇数”为事件B ，“编号全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2,4,6,8的四个球中任取2个，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的概率公式得，P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.即编号至少有一个奇数的概率为56.1．给出下面四个结论：①将一枚硬币抛两次，设事件A ：“两次正面朝上”，事件B ：“只有一次反面朝上”，则事件A 与B 是对立事件；②若事件A 与B 为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件； ③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 为对立事件； ④若事件A 与B 为对立事件，则事件A ＋B 为必然事件． 其中，正确的结论是________．(填序号)【解析】 由互斥事件与对立事件的定义知只有②④正确． 【答案】 ②④2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． 【解析】 由互斥事件的定义知所求事件应为“两次都没中靶”． 【答案】 两次都没中靶3．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．【解析】 设事件A 为“在一次射击中，射中不够8环”，则A －为“在一次射击中，射中8环、9环或10环”．∴P (A －)＝0.20＋0.30＋0.10＝0.60，P (A )＝1－P (A －)＝1－0.60＝0.40.【答案】 0.404．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为________．【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＋PB ＝0.8，P A ＝3P B ，∴P (A )＝0.6. 【答案】 0.65．某学校成立了舞蹈、美术、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图3­4­1所示．随机选出一个成员，求：图3­4­1(1)他至少参加2个小组的概率； (2)他参加不超过2个小组的概率．【解】 由图知3个课外兴趣小组的总人数为60.(1)用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A －表示“选取的成员至少参加2个小组”．于是P (A －)＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35.(2)用事件B 表示“选取的成员参加不超过2个小组”，则B －表示“选取的成员参加3个小组”，所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.。

3．4互斥事件及其发生的概率（二）【新知导读】1．某人玩飞镖,连射两次,设”恰有一次击中”为事件A,”恰有两次击中”为事件B,”没有一次击中”为事件C,问A+B,B+C,A+C 各表示什么?2.甲,乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙输的概率为多少?3.随着信息技术的发展,网际网络已经深入到每个家庭,电话是不可缺少的通讯工具.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第1声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响的第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率为多少?【范例点睛】例1：一盒中装有各色球12只,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球,从中随机取出1球,求:(1)取出的1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.思路点拨：可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解.方法点评：在解决此类问题时首先依据定义分清是否为互斥事件,是否为对立事件,再确定用哪一种方法,该例还体现了转化思想.例2：将6群鸽子任意分群放养在甲、乙、丙3片不同的树林里,求甲树林恰有3群鸽子的概率. 思路点拨：对于古典概型中的复杂问题,可以拆分成简单互斥事件来求解,当然这个题直接用古典概型处理也行.方法点评: 设”甲树林恰有3群鸽子”为事件A,将”甲树林3群,乙树林3群”记为事件1A ,”甲树林3群,丙树林3群”记为事件2A ,”甲树林3群,乙树林2群,丙树林1群”记为事件3A ,”甲树林3群,乙树林1群,丙树林2群”记为事件4A ,则1234A A A A A =+++,且1234,,,A A A A 彼此互斥,1620()3P A =,2620()3P A =,36203()3P A ⨯=,46620360()33P A ⨯==. 【课外链接】1. 某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山,衡山,张家界3个景区中任选一个.假设各部门选择每个景区是等可能的.(1) 求3个景区都有部门选择的概率;(2) 求恰有2个景区有部门选择的概率.【自我检测】1.若事件A,B 互斥,则下列等式成立的是 ( )A. ()()1P A P B +=B. ()1P A B +=C. ()1P A B +=D. ()1P A B +=2.将两枚均匀的正六面体的骰子各掷一次,出现点数之和不小于8的概率是( )A ．512 B.518 C ．16 D ．7183.一个人在打靶中连续射击2次,事件”至少有1次中靶”的对立事件是( )A ．至少有1次中靶 B.2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶4.从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,有事件:①”取出2只红球和1只白球”与”取出1只红球和2只白球”;②”取出2只红球和1只白球”与”取出3只红球”;③”取出3只红球”与”取出3只球中至少有1只白球”;④”取出3只红球”与”取出3只白球”.其中是对立事件的有( )A.①④B.②③C.③④D.③5.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为______________.6.某产品分甲,乙,丙三级,其中乙,丙两级均属次品,在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3％和1％,抽验一只是正品(甲级)的概率为__________________.7.在公交汽车站,等候某条线路车的时间及其概率如下:则至多等候3min的概率为_______,至少等候5min的概率为_________.8.从标有1,2,3,…,9的9张纸片任取2张,那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为多少?9.从4双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配对的概率为多少?3.4 互斥事件及其发生的概率(二)【新知导读】1. A+B 表示至少有一次击中;B+C 表示全中或全不中;A+C 表示不全中.2.163. 0.9 【范例点睛】 例1. (1)34 (2)1112 例2. 12341234()()()()()()P A P A A A A P A P A P A P A =+++=+++ 61601603729== 【课外链接】 1. (1)4123439P ⨯== (2)4114192727P =--= 【自我检测】1.C2.A3.C4.D5.0.356.96％7. 0.55, 0.28. 13189. 2735 10.(1)116807(2) 20412401。