高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析 y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析 yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为g(3)-g(2)3-2=(23-3)-(22-3)1=2.∵a+2=22，a=2.第三章导数及其应用专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家取得更好的成绩。
高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)；(sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x; (a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )． 法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.如果当Δx →0时，ΔyΔx 有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim ΔyΔx＝lim f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝ lim f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________； 当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________ (g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )， u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠： 1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x(3)1x 1x ln a (4)e x a x ln a 4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x(2014·全国卷)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为 a－1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( )A ．y ＝e xB ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e .故函数 y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.故选D .(2016·山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在此两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝sin x 解：选项A 、B 、C 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，排除A 、B 、C.或由y ′＝cos x ，cos0cosπ＝－1知D 正确，故选D .(2014·广东)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．解：因为y ′＝－5e－5x，所求切线的斜率为－5e 0＝－5，故所求切线的方程为y －3＝－5x ，即 y ＝－5x ＋3(或5x ＋y －3＝0)．故填y ＝－5x ＋3(或5x ＋y －3＝0)．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解：x >0时，－x <0，f (－x )＝ln x －3x ＝f (x )，所以当x >0时，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.故填y ＝－2x －1(或2x ＋y ＋1＝0)．类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在 x＝1处的导数．解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以 ΔyΔx ＝lim （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx ＝lim[(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0. 解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2， 所以 Δy Δx ＝ Δx 2Δx ＝Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)．(1)求航天飞机在第1 s内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s内的平均速度为h（1）－h（0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s末高度的平均变化率为h（1＋Δt）－h（1）Δt＝5（1＋Δt）3＋30（1＋Δt）2＋45（1＋Δt）＋4－84Δt＝5Δt3＋45Δt2＋120ΔtΔt＝5Δt2＋45Δt＋120，当Δt→0时，5Δt2＋45Δt＋120→120，所以航天飞机在第 1 s末的瞬时速度为120 m/s.类型二求导运算求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln xx2＋1；(5)y＝ln(2x－5)．解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(3)y′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3x e x ln3＋3x e x－2x ln2＝(ln3＋1)(3e)x－2x ln2.(4)y′＝（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2x ln x（x2＋1）2＝x2（1－2ln x）＋1x（x2＋1）2.(5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y＝e x cos x；(2)y＝x⎝⎛⎭⎫x2＋1x＋1x3；(3)y＝ln xe x；(4)y＝ln1＋x2.解：(1)y′＝(e x)′cos x＋e x(cos x)′＝e x(cos x－sin x)．(2)因为y＝x3＋1＋1x2，所以y′＝3x2－2x3.(3)y′＝（ln x）′e x－（e x）′ln x（e x）2＝1x ex－e x ln x（e x）2＝1x－ln xe x＝1－x ln xx e x.(4)y＝ln1＋x2＝12ln(1＋x2)，所以y′＝12·11＋x2(1＋x2)′＝12·11＋x2·2x＝x1＋x2.类型三导数的几何意义已知曲线y＝13x3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)， 故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋ 43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝ y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋ 2＝0.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解：设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设 x 1＞1，0＜x 2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得 k 1k 2＝－1，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝1x 1.所以切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝⎛⎭⎫x －1x 1.分别令 x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0，1＋ln x 1)．易得l 1与l 2的交点P 的横坐标x P ＝21x 1＋x 1，因为x 1＞1，所以S △P AB ＝12|y A －y B |·|x P |＝21x 1＋x 1＜1，所以0＜ S △P AB ＜1.故选A .1．“函数在点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的两种常用求法(1)利用导数的定义，即求lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx的值；(2)求导函数在x0处的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代入导函数f′(x)，得f′(x0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一，如本节例3(3)，就极易漏掉切线x－y＋2＝0.1．(2016·衡水调研)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解：因为y＝1－2x＋2＝xx＋2，所以y′＝x＋2－x（x＋2）2＝2（x＋2）2，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.2．(2016·武汉模拟)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2 B．0C．－2 D．－4 解：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.故选D.3．(2016·济南模拟)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1 B．2 C．－1 D．－2解：设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝1x＋a知0x xy='＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x0＋a＝1，y0＝ln（x0＋a），y0＝x0＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝0，a＝2.故选B.4．(2016·丽水模拟)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A．9x－y－16＝0 B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0解：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，由于f′(x)是偶函数，所以a＝0，此时f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.故选A .5．下面四个函数图象中，有函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝()A.13 B ．－23 C.73 D ．－13或53 解：因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，所以f ′(x )的图象开口向上，则排除②④.若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，所以a ＝－1，所以f (－1)＝－13.故选D .6．(2015·杭州质检)若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．－1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164解：易知点O (0，0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上，(1)当O (0，0)是直线l 与曲线f (x )的切点时，易求出切线方程y ＝2x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a 消y 后，令Δ＝0，得a ＝1.(2)当O (0，0)不是直线l 与曲线f (x )的切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②联立，得x 0＝32或x 0＝0(舍)，所以k ＝－14，所以所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ， 得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，所以a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.故选C .7．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝x －a ＋1x.因为f (x )存在垂直于y 轴的切线， 所以f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，x ＞0，则a ＝x ＋1x ≥2.故填[2，＋∞)．8．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故填0. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，常数a ∈R.(1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l ； (2)是否存在常数a ，使(1)中的切线l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，g (1)＝0，又g ′(x )＝1x ， g ′(1)＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1.(2)f ′(x )＝a ＋1x 2，设y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线为l ，则有⎩⎨⎧ax 0－1x 0＝x 0－1，a ＋1x 20＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，a ＝34，此时f (2)＝1，即当a ＝34时，l 是曲线y ＝f (x )在点Q (2，1)处的切线．11．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线 y ＝f (x )相切，求l 的方程．解：(1)f ′(x )＝1－ae x ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ ae ＝0，解得a ＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，因为f (x 0)＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，①f ′(x 0)＝1－1e x 0＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，所以x 0＝－1，k ＝1－e. 所以l 的方程为y ＝(1－e)x －1.(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x解：对于①，y ′＝(x 3)′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，l ：x ＝－1显然不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝(sin x )′＝cos x ，y ′|x ＝0＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝sin x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫si nx cos x ′＝1cos 2x ， y ′|x ＝0＝1cos 20＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝tan x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝(ln x )′＝1x ，y ′|x ＝1＝1，在点P (1，0)处的切线为l ：y ＝x －1，令h (x )＝x －1－ln x (x ＞0)，可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以 h (x )min ＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，可知曲线C ： y ＝ln x 在点P (1，0)附近位于直线l 的下方，⑤错误．故填①③④.3．2 导数的应用(一)1．函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____________；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____________；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是________．2．函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则________为函数在[a ，b ]上的最小值， 为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 为函数在[a ，b ]上的最大值， 为函数在[a ，b ]上的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．自查自纠：1．单调递增 单调递减 常数函数 2．(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0 (2)②f ′(x )＝0 ③极大值 极小值 3．(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b ) 最大值 最小值(2016·宁夏模拟)函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调递增区间是(0，＋∞)．故选A .(2016·四川模拟)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()解：由函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象从左到右先增后减，知y ＝f (x )图象切线的斜率对应先增后减．故选B .(2016·武汉模拟)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时， (x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b .故选C.(2016·九江一模)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax－ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，因为g (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减，所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫13＝83，所以2a ≥83，即a ≥43.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.函数f (x )＝x ＋2cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝12，从而x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝π6处取得极大值，即最大值π6＋ 3.故填π6＋3.类型一 导数法判断函数的单调性已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：由题意得函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则其导函数在(0，＋∞)上恒小于0，排除B ，D ；又因为函数y ＝f (x )在(－∞，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(－∞，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除C ，故选A .点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值解：由y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )的大致图象如图．由图可知，A ，B ，D 均错．故选C .类型二 导数法研究函数的单调性(2015·嘉兴质检)已知函数f (x )＝ex2－1ex －ax (a ∈R)． (1)当a ＝32时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[－1，1]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ，f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12ex (e x －1)(e x－2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln2.令f ′(x )＞0，则x ＜0或x ＞ln2； 令f ′(x )＜0，则0＜x ＜ln2.所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(ln2，＋∞)；递减区间是(0，ln2)．(2)f ′(x )＝e x 2＋1ex －a ，令e x＝t ，由于x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e .令h (t )＝t 2＋1t ⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ， h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t2，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，2时，h ′(t )≤0， 函数h (t )为单调减函数；当t ∈(2，e]时，h ′(t )＞0，函数h (t )为单调增函数．故h (t )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的极小值点为t ＝ 2. 又h (e)＝e 2＋1e ＜h ⎝⎛⎭⎫1e ＝12e ＋e ，h (2)＝ 2. 所以2≤h (t )≤e ＋12e.因为函数f (x )在[－1，1]上为单调函数，若函数f (x )在[－1，1]上单调递增， 则a ≤t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≤2； 若函数f (x )在[－1，1]上单调递减，则a ≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≥e ＋12e . 综上可得a 的取值范围是(－∞，2]∪⎣⎡⎭⎫e ＋12e ，＋∞. 点拨：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)存在单调区间问题可类似地转化为不等式有解问题．(1)(2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R. (Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)略．解：(Ⅰ)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．①0＜a ＜2时，2a＞1， 当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②a ＝2时，2a＝1， 在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ③a ＞2时，0＜2a＜1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1 内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．(2)(2016·兰州模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝x 2－e x －ax ，所以f ′(x )＝ 2x －e x －a ，因为函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2，则当x <ln2时， g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >ln2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以当x ＝ln2时，g (x )取得最大值，且g (x )ma x ＝g (ln2)＝2ln2－2，所以a ≤2ln 2－2.故填(－∞，2ln 2－2]．类型三 导数法研究函数的极值问题(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋ax－ln x－32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝ 12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2.(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)f ′(x )＝2a (x －5)＋6x，依题意，f ′(1)＝6－8a ＝2，得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x )＝0，得x ＝2或3.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调减区间为(2，3)． f (x )的极大值f (2)＝92＋6ln2，极小值f (3)＝2＋6ln3.类型四 导数法研究函数的最值问题(2015·衡水中学二调)已知函数 f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝1×(x －1)，即y ＝x －1.(2)当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：①当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 综上所述，当t ≥1e 时，f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为t ln t ，当0＜t ＜1e 时，f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为－1e.点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝⎛⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 时取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2，等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．类型五 实际应用问题(优化问题) (2016·山东质检)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )万元与每件产品的售价x 元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大，并求出L (x )的最大值．解：(1)由题意，该产品一年的销售量为y ＝ke x .将x ＝40，y ＝500代入，得k ＝500e 40.故该产品一年的销售量y (万件)关于x (元)的函数关系式为y ＝500e 40－x .所以L (x )＝(x －30－a )y ＝500(x －30－ a )e 40－x(35≤x ≤41)．(2)由(1)得，L ′(x )＝500[e 40－x －(x －30－a )e 40－x]＝500e 40－x (31＋a －x )．①当2≤a ≤4时， L ′(x )≤500e 40－35(31＋4－35)＝0，当且仅当a ＝4，x ＝35时取等号． 所以L (x )在[35，41]上单调递减． 因此，L (x )ma x ＝L (35)＝500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，L ′(x )>0⇔35≤x <31＋a ， L ′(x )<0⇔31＋a <x ≤41.所以L (x )在[35，31＋a )上单调递增， 在[31＋a ，41]上单调递减． 因此，L (x )ma x ＝L (31＋a )＝500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5时，每件产品的售价为(31＋a )元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500e 9－a万元．点拨：解此类应用问题，应以读题、建模、求解、作答这四个步骤为主线，同时还应注意实际问题中函数的定义域．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值， 此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．3．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．4．实际问题中的最值(1)要从问题的实际意义出发确定函数的定义域．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：由条件知由q 可推出p ，而由p 推不出q .故选C .2．(2015·潍坊期末)函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1解：因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＞0；x ＜0时，f ′(x )＝e x －1＜0，即函数f (x )在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1，又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，比较得函数f (x )＝e x －1在区间[－1，1]上的最大值是e －1.故选D .3．(2015·安徽)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解：f (0)＝d ＞0；当x 无限增大时f (x )无限增大，因此a ＞0；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由图知x 1及x 2均大于0，而x 1与x 2为f ′(x )＝0的两根，所以x 1＋x 2＝－2b 3a ＞0且x 1x 2＝c3a ＞0，结合a ＞0得 b ＜0，c ＞0.所以a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0.故选A .4．(2016·西安模拟)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥ 32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518.故选C . 5．(2016·陕西模拟)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解：因为f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎫e －x－1e x ＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)． 又f ′(x )＝e x －1ex ＋x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＝e 2x （x ＋1）＋x －1e x，当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 21＜x 22.故选D .6．(2016·江西五校联考)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4B.2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝⎛⎭⎫π3D ．f (0)>2f ⎝⎛⎭⎫π4 解：令g (x )＝f （x ）cos x，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）si nxcos 2x，由题意可得g ′(x )＞0在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数，所以g ⎝⎛⎭⎫－π3＜g ⎝⎛⎭⎫－π4，即f ⎝⎛⎭⎫－π3cos ⎝⎛⎭⎫－π3＜f ⎝⎛⎭⎫－π4cos ⎝⎛⎭⎫－π4，所以2f ⎝⎛⎭⎫－π3＜f ⎝⎛⎭⎫－π4.故选A.7．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________.解：f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0得a ＝12，经检验满足题设条件．故填12.8．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝________cm 时，圆柱的表面积最小．解：圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝16π⇒r 2h ＝16，圆柱的表面积S ＝2πrh ＋2πr 2＝32πr＋2πr 2＝2π⎝⎛⎭⎫16r ＋r 2，由S ′＝2π·⎝⎛⎭⎫－16r 2＋2r ＝0，得r ＝2.因此小．故填2.9．(2015·安徽)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．解：(1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)． f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2， f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0； 当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，无极小值点．所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100. 10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝2x ＋ax，x ＞0.(1)因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点．(2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．11．(2016·广东模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在(－∞，1)上的极大值点和极小值； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的极大值点为x ＝23；当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在 [－1，0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427， 所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a ＞0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .综上所述，当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a ＜2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0， ＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1， 即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1，①，设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0， g (－m )≤0，即①式成立．当m >1时，由g (t )的单调性知，g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上，m 的取值范围是[－1，1]．。
第2讲 导数的应用(一)一、选择题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )． A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案 D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )．A ．(－2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)解析 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈(－2，＋∞)． 答案 A3．函数f (x )＝(4－x )e x的单调递减区间是 ( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)解析 f ′(x )＝e x＋(4－x )·e x＝e x(3－x )，令f ′(x )<0，由于e x>0，∴3－x <0，解得x >3.答案 D4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析 f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D.答案 D5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )． A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析 不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≤0.可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．答案 C6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数有( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 依题意得，函数f (x )不可能是周期函数，因此①不正确；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在[0,2]上是减函数，②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，依题意，结合函数f (x )的可能图象形状分析可知，此时t 的最大值是5，因此③不正确；注意到f (2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f (x )的图象向下平移a (1<a <2)个单位后相应曲线与x 轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D. 答案 D 二、填空题7．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．解析 y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．答案 29．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．解析 y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 三、解答题11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x·f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． 因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1， 经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点， 所以g (x )＝e x(x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x.因为e x>0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a由Δ≤0，即12a ≤0，解得a ≤0，因此当f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增时，a 的取值范围是(－∞，0]． (2)若f (x )在(－1,1)上单调递减，则对于任意x ∈(－1,1)不等式f ′(x )＝3x 2－a ≤0恒成立 即a ≥3x 2，又x ∈(－1,1)，则3x 2<3因此a ≥3函数f (x )在(－1,1)上单调递减，实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)根据题意知，f ′(x )＝a 1－xx(x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0 时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1＜0，g ′2＜0，g ′3＞0，∴－373＜m ＜－9.14．设函数f (x )＝ln x ＋ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1e .注：e 是自然对数的底数．(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝1x－ax －12＝x －12－ax x x －12＝x 2－a ＋2x ＋1x x －12.由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值，可知方程f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有解，令g (x )＝x 2－(a＋2)x ＋1＝(x －α)(x －β)．不妨设0<α<1e，则β>e ，又g (0)＝1>0，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e2－a ＋2e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2. (2)证明 由(1)知f ′(x )>0⇔0<x <α或x >β，f ′(x )<0⇔α<x <1或1<x <β，所以函数f (x )在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减． 由x 1∈(0,1)得f (x 1)≤f (α)＝ln α＋aα－1， 由x 2∈(1，＋∞)得f (x 2)≥f (β)＝ln β＋aβ－1， 所以f (x 2)－f (x 1)≥f (β)－f (α)． 由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a ＋2，所以f (β)－f (α)＝ln β－ln 1β＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1β－1－1α－1＝2lnβ＋a ·α－ββ－1α－1＝2ln β＋a ·1β－β2－a ＋2＝2ln β＋β－1β.记h (β)＝2ln β＋β－1β(β>e)， 则h ′(β)＝2β＋1＋1β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1β＋12>0，所以函数h (β)在(e ，＋∞)上单调递增， 所以f (x 2)－f (x 1)≥h (β)>h (e)＝2＋e －1e .。
