模糊数学---华中农业大学共97页文档

1 0.8
50 60
90
类似，Y = 年轻，Y : X → [0,1]规定为：
1 x ≤ 25 2 −1 Y ( x) = x − 25 25 < x ≤ 100 1 + 5
随着x增加，Y (x)减小 Y (25) = 1, Y (30) = 0.5 Y (60) = 0.02
hgt ( A)
X
第二节 模糊集运算的推广
A, B ∈ P( X ) A, B ∈ F ( X )
χ A∩ B ( x) = min( χ A ( x), χ B ( x))
( A ∩ B )( x) = min( A( x), B ( x))
χ A∩ B ( x) = χ A ( x) χ B ( x) χ 事实上， A∩ B ( x) = 1 ⇔ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A且x ∈ B
∀x ∈ X , ( A ∩ ( A ∪ B ))( x) = min( A( x), ( A ∪ B )( x)) = min( A( x), max( A( x), B( x))) = A(x)
再证： A ∪ B )c = Ac ∩ B c ( ∀x ∈ X , ( A ∪ B)c ( x) = 1 − ( A ∪ B )( x) = 1 − A( x) ∨ B( x) = (1 − A( x)) ∧ (1 − B( x)) = Ac ( x) ∧ B c ( x) = ( Ac ∩ B c )( x) 故( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
T 规定： 规定： ≤ T ' ⇔ ∀x, y ∈ [0,1], T ( x, y ) ≤ T ' ( x, y ).
则 T0 ≤ TL ≤ Tπ ≤ Tmin

转置矩阵，其中 aijT a ji 。
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn, 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
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1 0.5 0.2 0
定义：设 R (rij )nn是n阶模糊方阵， I 是n阶 单位方阵，若 R满足 （1）自反性： I R； （2）对称性： RT R； 则称 R为模糊相似矩阵。
定理：设 R是n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数k(k n)，使得Rk 为模糊等价矩 阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有Rl Rk .
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
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几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b}
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
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（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成 xij，即
xij
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输入数据：
输出结果（部分）：
A=[1 0.4 0.8 0.5 0.5; 0.4 1 0.4 0.4 0.4; 0.8 0.4 1 0.5 0.5; 0.5 0.4 0.5 1 0.6; 0.5 0.4 0.5 0.6 1]

模糊矩阵方程有解的判断方法法-定理4
将修改系数矩阵中第j列上逐元素与 x j xj 划掉大于 者，得到 比较，
x1
x2 xn X
b1 b2 行简化系数矩阵 bm
得到结论：模糊矩阵方程A。X=B有解的充要条件是简 化系数矩阵的所有行至少有一个非空白元素。
模糊矩阵方程法-例
P169 例1
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
设模糊关系方程X。R=B，其中
X=(x1,x2,…,xn),R=(rij)n×m,B=(b1,b2,…,bm) 对k(k=1,2,…,n),令
xk {b j | rkj b j }
j 1
m
则方程X。R=B有解的充要条件是
一、模糊矩阵方程
称满足模糊关系方程X。R=B的X为模糊关系方程的解.
若方程有解，则称模糊关系方程相容. 若模糊关系方程的某个解X’，对于其他任何一个解X，
均有X 包含于X’，则称X’为模糊关系方程的最大解。
二、模糊矩阵方程一般解法-定理1
（ ） 首先考虑一元一次方程 x a b, 1 a, b [0,1]已知，x [0,1] 未知。 显然，当a b时，方程无解，即 ; x 当a b时，x b是方程的解； 当a b时，x [b,1], 即闭区间 b,1]上任一实数都是方程的 [ 解得集合，即解集。
X R B, 其中X ( x1 , x2 ,..., xn ), 且X为最大解
定理3表明，若模糊矩阵方程有解，则一定有最大解。
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
定理3给出了求最大解的方法，将这种方法用表
格的形式表现出来，如下。 设模糊矩阵方程为A°X=B，其中

P p1 , p2 ,, pm
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统 具体方法与步骤如下： 设系统有n个样本组成样本集：
X x1 , x2 ,, xn
A 样本 x j 有m个目标就模糊概念“优越性” 对样本进行识别。 ~
设目标对 的相对隶属度矩阵为： A
~
r11 r12 r1n r21 r22 r2 n R rij rm1 rm 2 rmn
~
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
1 r11 1 r12 1 r1n 1 r21 1 r22 1 r2 n W ij 1 rm1 1 rm 2 1 rmn
(2-41)
（“和”中均不包括对角线0.5） 归一化即可得到目标集P的权向量，其中：
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
i
2 it
t 1
m
m(m 1)
i 1,2,, m, i t
§2.5 确定目标权重的相对隶属度理论与方法
这是确定目标权重的另一方法。“重要”与“不重要”是一对 相对概念，具有中间过渡性。因此确定目标权重，可以确定目标隶 属于”重要性”这一模糊概念的相对程度，简称目标相对重属度。 在论域P中，理想重要目标I=（1，1…，1）。理想不重要目标 O=（0，0，…，0），作为重要与不重要的相对比较标准。 设P为论域，即m个目标组成的目标集：
i d k i d l , 记标度i ekl 1, i elk 0 i d k i dl , i ekl i elk 0.5 d d i ekl 0, i elk 1 i k i l

B∈F (U )
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。

§5.1 关系
z 定义 设U，V是两个非空集合，U ×V 的任 何一个子集 R 称为从 U 到 V 的二元关
系，简称关系。
z 若(u , v )∈R，则称 u 与 v 有关系，记为
z
R (u , v ) = 1；
z 若(u , v )∉R，则称 u 与 v 没有关系，记为
z
R (u , v ) = 0.
设R=(rij)m×n,S=(bij)m×n都是关系矩阵， 相等：R = S ⇔ rij = sij； 包含：R≤S ⇔ rij≤sij； 并：R∪S = (rij∨sij)m×n； 交：R∩S = (rij∧sij)m×n； 余：Rc = (1- rij)m×n.
关系的合成
设 R 是 U 到 V 的关系, S 是 V 到 W 的关系, 则 R 与 S 的合成 RоS 是 U 到 V 上的一个关系.
E
=
⎜⎛1 ⎜M
...
1⎟⎞ M⎟
还原律：(Ac)c = A；
⎜⎝1 ... 1⎟⎠
对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
模糊关系与普通关系
模糊关系向普通关系的转化（相应地，模糊矩阵
向布尔矩阵的转化），由λ截集来实现。
定义 设R ∈ F(U×V), ∀ λ ∈[0, 1], R的λ截集 Rλ 是U与V之间的一个普通关系, 称为λ截关系, 它
A 0.3
=
⎜1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0 1
0 1 1
1⎟ 11 ⎟⎟⎟⎠
模糊关系的合成
z 定义 设U，V，W是三个论域，Q∈F(U×V), R∈ F(V×W), Q与R的合成QоR∈F(U×W), 隶 属函数规定为

(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老

模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。

模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。

这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。

而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。

清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。

模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。

实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。

传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。

但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。

如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。

根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。

这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。

类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。

它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。

隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).

1.5 模糊模式识别理论模型
一、指标特征值与指标标准特征值 个样本集合X对模糊概念 设n个样本集合 对模糊概念 A 作识别 个样本集合
~
相对隶属度基础理论
r11 r12 K r1n r21 r22 K r2n R= =（ （ M M M r m1 rm2 K rmn
rij ）
相对隶属度基础理论
式中， 为决策j目标 目标i对 的相对隶属度，简称目标相对优属度。 式中， 为决策 目标 对“优”的相对隶属度，简称目标相对优属度。 rij 由于“ 由于“优”，“劣”分别处于参考连续统的两极，则应有： 分别处于参考连续统的两极，则应有： 目标相对劣属度向量： 目标相对劣属度向量： b=（0，0，……，0)T （ ， ， ， 目标相对优属度向量： 目标相对优属度向量： g=(1，1，……，1)T ， ， ，
绪
②层次计算为线性模型，不能反映非线性本质。 结构性决策方面：运筹学
论
遇到自然、社会经济、生态环境等软系统特征时，只能作简化处 理，不能反映定性现象的本质。 研究含有人的因素，特别是决策者因素兼有自然、社会经济、生 态环境的复杂系统优化时，要发展与创立新的模糊识别决策理论、模 型与方法。
相对隶属度基础理论 第一章 相对隶属度基础理论 1.1 概述
一、模糊优选 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性， 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性，即 是优选的模糊性，故称模糊优选。 是优选的模糊性，故称模糊优选。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 二、优选模型 1、相对优属度矩阵 、 设某复杂系统有几个决策，每个决策有 个目标特征值评价其优 设某复杂系统有几个决策，每个决策有m个目标特征值评价其优 劣，则有目标特征值矩阵： 则有目标特征值矩阵：

A B B A
(3) 结合律(associativity)
A B பைடு நூலகம்B A
A (B C) (A B) C (A B) C A (B C)
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
例2:
在例 1中，f1 ({1, 2, 3}) {a,b,c},f2 ({1, 2, 3}) {a}.
二、映射与扩张
（2） 特殊映射
单射(injection)：
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
满射(surjection)： f 为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y. 双射(bijection)：
2
二、课程认识
在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清
晰概念多得多。
对于这类模糊现象，过去已有的数学模 型难以适用，需要形成新的理论和方法，即 在数学和模糊现象之间架起一座桥梁——模 糊数学。
2
二、课程认识
教学目的
通过本课程的学习，掌握模糊数学的
基本思想，基础理 论；从而进一步了解 模糊理论的基本应用，能够应用模糊理 论解决信息领域与工程技术中的实际问 题。
空集: 不含任何元素的集合, 记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集，或A包含
于B, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A，则称 A与B 相等，且A=B 真子集: A B且A与B不相等且A ，称A是B的真子集， 或A真包含于B, 记A B
交(int ersection) A B {x | x A且x B}

注意： 注意： (1)合成运算不满足交换律 ，即 A o B ≠ B o A
的行数时， ( 2)只有在 A的列数等于 B的行数时，合成运算 A o B才有意义！ 才有意义！
< >
《模糊数学》
第二章
模糊关系与模糊聚类分析
第一节
模糊矩阵
模糊方阵的幂
【定义5】若A为 n 阶方阵， 定义 】 为 阶方阵，
< >
《模糊数学》
第二章
模糊关系与模糊聚类分析
第一节
模糊矩阵
1 0.2 0.7 0.6 0.9 0.8 例1 设A = 0.8 0.1 0.3 , B = 0.4 0.5 0.1 求A ∪ B , A ∩ B , AC
<
>
《模糊数学》
< >
《模糊数学》
第二章
模糊关系与模糊聚类分析
第一节
模糊矩阵
此外， 此外，还有以下包含性 质： 9. A ≤ B ⇒ A ∪ B = B , A ∩ B = A, A ≥ B 10 . A ≤ B , C ≤ D ⇒ A ∪ C ≤ B ∪ D , A∩C ≤ B∩ D
C C
证明8，10 证明 ， 注意： 注意：模糊矩阵的 ∪ ， 运算不满足排中律， ∩ 运算不满足排中律，
《模糊数学》
第二章
模糊关系与模糊聚类分析
第一节
模糊关系与模糊矩阵
第二章
模糊聚类分析
聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事 物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类， 物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类， 模糊聚类分析的实质就是根据研究对象本身的 属性来构造模糊矩阵， 属性来构造模糊矩阵， 在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关 系。

两点说明：
模糊关系－example3
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 A×B罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算 法则
运算
设R, S F ( X Y )
包含： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 相等： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 并： 交： 余：
(2)包含：A B <=>对任意i, j 有 aij ≤ bij
因此，对任何
R m n , 总有：
ORE
模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 例：
则称O为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系E满足
E ( x, y ) X Y , E ( x, y ) 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩 阵为全称矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系R，定义
1 0.7 R 0 0.5
0.7 1 0 0.4
0 0 1 0
0.5 0.4 0 1
模糊矩阵－mple
例1.
X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 0.9 1 0.9 0.3 1

• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标

（1）将因素集U = { u1 , u2 ,⋯, un }划分成若干组得到 ）
U = {U 1 , U 2 ,⋯ , U k }，
其中U = ∪ U i , U i ∩ U j = Φ( i ≠ j )
i =1 k
为第一级因素集。 称U = {U 1 , U 2 ,⋯ , U k }为第一级因素集。 （2）设评判集V = {v1 , v 2 ,⋯ , v m }, 先对第二级因素集 评判集 因素集
B3 = A3 R3 = (0.3,0.28,0.3,0.2)
（4）对第一级因素U = {U 1 , U 2 , U 3 }, 设权重为 ） A = (0.2,0.35,0.45). 因素评判矩阵为 评判矩阵 令总单因素评判矩阵为 B1 0.30 0.32 0.26 0.27 R = B2 = 0.26 0.36 0.20 0.20 B 0.30 0.28 0.30 0.20 3 模糊综合评判， 综合评判 作二级模糊综合评判，得 B = A R = ( 0.30,0.35,0.30,0.20) 隶属原则 原则， 产品属 按最大隶属原则，此产品属二级品。
类似于 情形， 结论前通常将 对于类似于 B2 的情形，在下结论前通常将其归一化为
′ B2 = (
0.35 0.4 0.2 0.1 , , , ) = (0.33,0.38,0.19,0.1) 1.05 1.05 1.05 1.05
输入数据： 输入数据： R=[0.2 0.5 0.2 0.1;0.7 0.2 0.1 0;0 0.4 0.5 0.1;0.2 0.3 0.5 0] A1=[0.1 0.2 0.3 0.4] A2=[0.4 0.35 0.15 0.1] 调用函数： 调用函数： [B]=fuzzy_zhpj(1,A,R) 输出结果： 输出结果： B= 0.2000 0.3000 0.4000 0.1000 调用函数： 调用函数： [B]=fuzzy_zhpj(1,A2,R) 输出结果： 输出结果： B= 0.3500 0.4000 0.2000 0.1000

A : U {0,1} u A(u),
其中
A (u)
1, 0,
u A u A
非此即彼
函数 A 称为集合A的特征函数。
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模糊集合及其运算
亦此亦彼
A U
模糊集合 A , 元素 x ~
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
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模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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模糊集合及其运算
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A A( x)
A(4) A(6) 0.5，不太合理，故改变α
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模糊集合及其运算
取
A(
x
)
1
1
1 (x
5)2
,
5
此时有 A 0.24 0.36 0.56 0.83 1 1 2 3 45

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1.4.3 分解定理
(Ⅰ) 数与模糊集的截积运算 Ⅰ 定义1.4.3 设λ∈ λ∈[0,1], A∈ F( U ), 定义 ∈ 的截积(记作 则λ与A的截积 记作λA)定义为 的截积 记作λ 定义为 (λA)(u)=λ∧A(u),∀u∈U. λ λ ∀ ∈ 其中 λ ∧ A (u ) = λ
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目录
1.4.2 正规模糊集 在实际应用中, 这两个截集很有用, 在实际应用中 A1和AS0这两个截集很有用 我 们分别称A 支集, 们分别称 1和AS0为A的核和支集 分别记作 的 kerA={u∈U | A(u)=1} ∈ 和 suppA={u∈U | A(u)＞0} ∈ ＞ 而称A 而称 S0－A1为A的边界 记作 的边界,记作 bonA={u∈U | A(u)＞0且A(u)≠1} ∈ ＞ 且
第一章 模糊集合及其运算
第二讲 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理(1) 复习有关内容: 复习有关内容 经典集合与特征函数; 模糊集合与隶属函数; 经典集合与特征函数 模糊集合与隶属函数 模糊集合的运算,运算律 运算律, 模糊集合的运算 运算律 一族模糊集合的 运算. 运算
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目录
定理1.4.2 设A,B∈ F( U ), λ∈ λ∈[0,1],则有 定理 ∈ 则有 (1) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ; (2) (A∩B)λ=Aλ∩Bλ; ∪ (3) (A∪B)Sλ=ASλ∪BSλ; (4) (A∩B)Sλ=ASλ∩BSλ. ∪ λ λ λ λ λ λ 证明:(1) ∵ ∀u∈U , u∈(A∪B)λ 当且仅当(A∪B)(u)≥λ 证明 ∈ ∈ ∪ ∪ λ 当且仅当 A(u)∨B(u)≥λ当且仅当 ∨ λ当且仅当A(u) ≥λ or B(u)≥λ λ λ 当且仅当u∈ 当且仅当 ∈Aλ 或 u∈Bλ 当且仅当u∈Aλ ∪Bλ ∈ ∈ ∴(A∪B)λ=Aλ∪Bλ. ∪ 同理可证(2)~(4). 同理可证 定理1.4.2中的 与(4)对于无限个模糊集的情形不成立 一 中的(1)与 对于无限个模糊集的情形不成立 对于无限个模糊集的情形不成立. 定理 中的 般地,我们有 般地 我们有