欧拉七桥问题

格尼斯堡七桥问题解法

一、问题背景

格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。

二、传统解法

1.暴力搜索

最简单直观的方法是暴力搜索。遍历所有可能情况，判断是否符合条件。但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。

2.欧拉回路算法

欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。

通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

三、新解法

1.图论与拓扑学结合

将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。

首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

2.基于网络流的解法

基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。

通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。

具体步骤如下：

（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。

（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。

数学家欧拉和七桥问题

18世纪，欧洲有一位伟大的数学家名字叫欧拉。欧拉是有史以来拥有最多遗产的数学家，全欧洲的科学家都以他为师表，都称自己是他的学生。他实际上支配了18世纪的数学。作为数学教授，他任教于圣彼得堡和柏林。

七桥问题

这是18世纪著名的古典数学问题之一。在哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结。（如图）城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是举世闻名的七桥问题。当时的人们始终没有能找到答案。欧拉想出了好办法，他将桥搬到纸上画出图。将南、北两岸和小岛分别用点来表示，用线表示桥，将点与线连接起来。（如图）他用一支笔，笔尖从起点开始沿着线画，代表人行走的路线，每条线只画一次。欧拉通过对七桥问题的研究，解决了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明一笔画的三条结论，即欧拉定理。

“七桥问题”教案

教学目标：1、让学生了解图论发展的起源及其应用广泛性。

2、让学生知道“一笔画”问题的解决方法。

3、以此来激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和创新精神。

教学重、难点：“一笔画”问题的解决方法。

教学过程：

一、创设情景

教师在轻柔的音乐声中，绘声绘色地给学生讲起了“故事”： 今天这节课要解决的是数学史上一个非常著名的问题——七桥问题。故事发生在欧洲波罗的海沿岸的哥尼斯堡城。（多媒体展示地图简单介绍）

18世纪的哥尼斯堡是一座美丽的城市，布勒格尔河从这里流过，这条河有两条支流在城中交汇，汇合处有两座小岛，人们在这里建起了一座公园，公园中七座桥把河两岸和小岛连接起来。当时。那里的居民们热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能一次走完七座桥，每座桥只能经过一次，最后又回到出发点呢？

这个题目似乎不难，谁都愿意试一试，但是谁也没有成功，答案究竟是什么？你是否也想尝试一下呢？（多媒体展示七桥问题的简图）

二、探究新知：

1、 建立模型

（1） 学生尝试七桥问题。

（2） 问：你知道为什么我们无法完成这个问题吗？你能用学过的数学知识解释吗？

（3） 介绍七桥问题模型的建立：

两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此应该把这四块陆地抽象成什么呢？” （学生答出抽象为点。）

“7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。那么这七座桥又该抽象成什么呢？”

（4） 在教师的引导和学生的探索、讨论下，把七桥问题变成4个点和7条线. 问题也转变为从任意点出发，笔不离纸，又不重复任意条边，“一笔画”出图形，且回到起点的“一笔画”游戏。如图 2、 尝试一笔画：教师在讲解了“一笔画”的要求之后，对于下面几个图，提出了这样的要求：（1）能一笔画的，请标注上起点和终点，路线用箭头表示。

（2） 小组内交流：a、有几个图的起点和终点能重合，大家都是同一个点吗?

七桥问题和一笔画

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

图 1 图 2

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：