欧拉七桥问题

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欧拉(Euler 1707-1783)出生于瑞士的一个牧师家庭，二十八岁一只眼睛失明，五十九岁另一只眼睛也失去了光明，但仍以极大的热情继续科学探索，直到生命的最后一息。

欧拉的研究涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等诸多领域，获得的数学和自然科学成果极为丰富。在数学方面更是做了非常重要的贡献，如在微分方程、曲面微分几何、组合数学、拓扑学等多个数学领域的研究都具有开创性。由于他的贡献，很多重要的公式、方程都以欧拉命名：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理（微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式。

教科书中介绍的是欧拉关于多面体的一个研究成果，也称为多面体的欧拉公式，数学上还发现在一些变换下，一个多面体的v-e+f的值不变，因而将该数称为欧拉示性数，数学上还根据几何体的欧拉示性数的不同对几何体进行分类呢，这些将是高中选学内容。

中学生了解欧拉的最简单、最经典的问题，莫过于哥尼斯堡七桥问题了。

问题是这样的：18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城，城内一条河的两支流绕过河中间的一个岛，有七座桥横跨这两支流把全城连接起来。当时城内流传一个问题：一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过一次再返回原处。

欧拉在1736年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并不存在。欧拉把每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样问题就转化为：能不能从图中A，B，C，D中任意一点出发，连续地（笔不离纸）经过每条线恰好一次最后回到出发点？这就是我们熟悉的“一笔画”问题。

2 / 2 要一笔画成某个图形，必须选择某个点作为起始点，某个点作为终点，这是“两个”（也可能一个）特殊点，其余点是中途经过的点，不妨称为中间点。对于中间点而言，画图可以发现，有一条线“进入”该点，同时必须有一条线“走出”该点，有进有出，因而与该点相连的线的数目是偶数，称该点为偶点。相应地，称与某点相连的线的数目为奇数的点为奇点。由以上分析可知，可以一笔画成的图中偶点数目可以任意，奇点数目是0或2个。现在你知道为什么不可能不重复地走过七桥又回到出发点了吧。

哥尼斯堡七桥问题简介

在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。你说，他是不是特别酷？

于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！

欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。

可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的

问题。很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。

最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。就像是看到了黑暗中的一丝光明，人人心中都燃起了对数学的热爱，开始琢磨着自己的“桥”的故事。虽然走遍所有的桥有点难，但这不妨碍他们在生活中尝试更多的可能性。

七桥问题的通用规则

七桥问题，也被称为哥尼斯堡七桥问题，是一道著名的数学难题。该问题最早由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，并成为图论的开端之一。七桥问题描述了一个位于哥尼斯堡的岛屿上的一系列桥梁以及这些桥梁连接的方式。解决这个问题需要运用到图论中的一些基本原理和规则。

在七桥问题中，岛屿上有一些桥梁，而我们的目标是从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。然而，这个问题的挑战在于，岛屿上的桥梁连接方式并不是一个简单的环，而是一个复杂的图。因此，我们需要运用一些通用规则来解决这个问题。

首先，我们需要了解一些图论的基本概念。在图论中，桥梁被表示为图中的边，而岛屿则被表示为图中的顶点。七桥问题中的桥梁连接方式可以被看作是一个图，我们需要将其转化为数学模型，以便进行分析和解决。在这个过程中，我们可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示桥梁和岛屿之间的连接关系。

接下来，我们可以运用欧拉路径的概念来解决七桥问题。欧拉路径是指一条路径，该路径恰好经过图中的每一条边一次。对于七桥问题，我们的目标是找到一条欧拉路径，使得我们可以从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。根据欧拉路径的特性，我们可以得出以下的通用规则。

首先，欧拉路径存在的条件是：图中所有顶点的度数为偶数，或者恰好有两个顶点的度数为奇数，其余顶点的度数为偶数。度数是指与顶点相连的边的数量。因此，在七桥问题中，如果岛屿上的每一座桥的连接点的度数都是偶数，或者有且只有两座桥的连接点的度数为奇数，我们就可以找到一条欧拉路径。

其次，如果图中存在度数为奇数的顶点，那么我们的欧拉路径的起点和终点一定是这些顶点中的一个。因为每条桥梁的连接点度数为偶数，除了起点和终点外，其余所有顶点的度数一定是偶数，无法成为欧拉路径的起点和终点。因此，在七桥问题中，如果岛屿上存在两座或更多的桥梁连接点的度数为奇数，我们就可以从其中一个度数为奇数的连接点出发，找到一条欧拉路径。

“七桥问题”教案

教学目标：1、让学生了解图论发展的起源及其应用广泛性。

2、让学生知道“一笔画”问题的解决方法。

3、以此来激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和创新精神。

教学重、难点：“一笔画”问题的解决方法。

教学过程：

一、创设情景

教师在轻柔的音乐声中，绘声绘色地给学生讲起了“故事”： 今天这节课要解决的是数学史上一个非常著名的问题——七桥问题。故事发生在欧洲波罗的海沿岸的哥尼斯堡城。（多媒体展示地图简单介绍）

18世纪的哥尼斯堡是一座美丽的城市，布勒格尔河从这里流过，这条河有两条支流在城中交汇，汇合处有两座小岛，人们在这里建起了一座公园，公园中七座桥把河两岸和小岛连接起来。当时。那里的居民们热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能一次走完七座桥，每座桥只能经过一次，最后又回到出发点呢？

这个题目似乎不难，谁都愿意试一试，但是谁也没有成功，答案究竟是什么？你是否也想尝试一下呢？（多媒体展示七桥问题的简图）

二、探究新知：

1、 建立模型

（1） 学生尝试七桥问题。

（2） 问：你知道为什么我们无法完成这个问题吗？你能用学过的数学知识解释吗？

（3） 介绍七桥问题模型的建立：

两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此应该把这四块陆地抽象成什么呢？” （学生答出抽象为点。）

“7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。那么这七座桥又该抽象成什么呢？”

（4） 在教师的引导和学生的探索、讨论下，把七桥问题变成4个点和7条线. 问题也转变为从任意点出发，笔不离纸，又不重复任意条边，“一笔画”出图形，且回到起点的“一笔画”游戏。如图 2、 尝试一笔画：教师在讲解了“一笔画”的要求之后，对于下面几个图，提出了这样的要求：（1）能一笔画的，请标注上起点和终点，路线用箭头表示。

（2） 小组内交流：a、有几个图的起点和终点能重合，大家都是同一个点吗?