高考文科立体几何证明专题

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... 图 4GEFABCD图 5DGBFCAE立体几何专题

1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC．

(1) 证明：DE//平面BCF；

(2) 证明：CF平面ABF；

(3) 当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV．

【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAE

ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中

也成立，//DEBC ,DE平面BCF，

BC平面BCF，//DE平面BCF；

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC①，12BFCF.

在三棱锥ABCF中，22BC，222BCBFCFCFBF②

BFCFFCFABF平面；

（3）由（1）可知//GECF，结合（2）可得GEDFG平面.

11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF

【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容. .

... 2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=21AB,PH为PAD中AD边上的高．

（1） 证明：PH平面ABCD；

（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；

（3） 证明：EF平面PAB．

解：(1)

ABCDPHPADPADABPAD平面所以平面，面又中的高为AADABABPHPHADPHPH

(2):过B点做BG GCDBG，垂足为；

连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是BPH的中位线

ABCD)1(平面知：由PH

ABCD平面EM

BCF平面ＥＭ

即EM为三棱锥BCF-E底面上的高

BGFC21SBCF=222121

2121PHＥＭ＝12221223131EMSVBCFBCFE.

...

（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ

NFNENFNABNADFAB21DF//ENPABENPADPADABPAD,//是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面ENABPAPAABPACDCDAB

3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，

M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；

（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；

（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．

4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。

求证：（1）C1O∥面AB1D1；

（2）A1C⊥面AB1D1。 NEFABNNENF NFABNADFABEFNEFEFNEFAB平面是距形四边形平面又平面.

... （3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1⊥平面MB1D1

5.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；

(3)求四面体PEFC的体积.

6.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.

(1)求证：平面PCC1⊥平面MNQ； D1ODBAC1B1A1CM .

... (2)求证：PC1∥平面MNQ.

7.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，

E、F分别为1DD、DB 的中点.

（1）求证：EF//平面11DABC；

（2）求证：EFCB1

8.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，

//ECPD，且2PDADEC=2 .

（1）画出该几何体的三视图；

（2）求四棱锥B－CEPD的体积； PABCDE.

... （3）求证：//BE平面PDA．

9.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．

（1）求证：EFPGC面；

（2）求证：；EFGPA面//；

（3）求三棱锥PEFG的体积．

3、解：（Ⅰ）由已知得，MD是ABP的中位线

APMD∥ ……………2分 .

... APCAPAPCMD面面,

APCMD面∥ ……………4分

（Ⅱ）PMB为正三角形，D为PB的中点，

PBMD， …………………5分

PBAP …………………6分

又PPCPBPCAP,PBCAP面 ……………………7分

PBCBC面 BCAP

又AAPACACBC,APCBC面 ………………9分

ABCBC面平面ABC⊥平面APC ………………10分

（Ⅲ）∵PBCMD面，MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝53…11分

又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝221 ………12分

于是12BCDBCPSS＝221， ………………………………………………13分

DBCMV＝71031ShVDBCM …………………………14分

4、证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO

连结1AO， 1111ABCDABCD是正方体

11AACC是平行四边形

11ACAC且 11ACAC

又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO且11OCAO

11AOCO是平行四边形

111,COAOAO面11ABD，1CO面11ABD

1CO面11ABD ……………………………………… 5分

（2）1CC面1111ABCD 11!CCBD

又1111ACBD， 1111BDACC面

111ACBD即

同理可证11ACAB， .

... 又1111DBABB

1AC面11ABD ……………………………………… 9分

（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则

363MNANAM，，

222,ANMNAMAMNRT，是

11,,ANMNANBD面M

1111,ABDBD面面M（也可以通过定义证明二面角是直二面角） ……… 14分

5、.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，

∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FG 12CD，AE12CD

∴FG AE，∴AF∥GE

∵GE⊂平面PEC，

∴AF∥平面PCE；

(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE⊂平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，

所以EG为四面体PEFC的高， .

... 又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG＝AF＝2，GF＝12CD＝2，

S△PCF＝12PD·GF＝2.

得四面体PEFC的体积V＝13S△PCF·EG＝223.

6、证明：(1)∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，

又CC1∥AA1，

AA1⊥平面ABC，

∴CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AB，

又∵CC1∩PC＝C，

∴AB⊥平面PCC1，

由题意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，

MN在平面MNQ内，

∴平面PCC1⊥平面MNQ.

(2)连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，

又BC1∩AB＝B，

∴平面ABC1∥平面MNQ，

∵PC1在平面ABC1内，

∴PC1∥平面MNQ.

解：(1)证明：连接AF，则AF＝22，DF＝22，

又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD2，

∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD，

∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，