高等代数试题及参考答案

《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。

(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。

(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。

(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。

(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。

(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。

(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。

(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。

(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。

(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。

(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。

(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。

(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。

(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。

(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。

(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。

(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。

(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

北京大学数学科学学院期末试题考试科目 高等代数I 考试时间 姓 名 学 号一．（10分）设F 4 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111, F 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111, D 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡i 001.1) 求矩阵C , 使得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F C = F 4 ; 2) 求F 4 的逆矩阵.解: 1) 比较 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=222222F D F F D F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i i 111111i i 111111 与 F 4 得 C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001001000001. 2) 由 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4000040000400004知 414F 41F =-.二. （10分）设n 阶方阵A n = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010010100110010 . 记θ = π / ( n+1 ) .1) 对1 ≤ j ≤ n, 证明 α j = [ sin( j θ ) sin( 2 j θ ) . . . sin( n j θ ) ] T是A n 的特征向量 ;2) 对 a ∈ R , 求矩阵a I + A n 的行列式. 解: 1) 对每个 1 ≤ j ≤ n, 我们有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(θ)2cos(j )θj 1)(n sin()θj 4sin()θj 2sin()θj 3sin()θj sin()θj sin(2)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(01001010011001即 A n α j = 2cos( j θ ) α j .于是α j ( 1 ≤ j ≤ n ) 是A n 的特征向量, 它们对应的特征值2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n )互异.2) a I + A n 的特征值为a + 2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n ) , 故| a I + A n | = ( a + 2cos θ ) ( a + 2cos( 2θ ) ) ...( a + 2cos( n θ ) ) .三. （10分）设A : XA X 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110110101101.1) 求A 的秩 r 及可逆矩阵P , Q , 使得 A = P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0I rQ , 这里 I r 是r 阶单位矩阵.2) 求R 4的一组基α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与 R 3的一组基β 1 , β 2 , β 3 ,使得 A α i = β i , ∀ 1 ≤ i ≤ r 且 A α i = 0 , ∀ i > r . 解: 1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101000000100001101010001000010101101101010001110110101101于是A 的秩为 2 , 可取 P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001, Q = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101. 2) 在上式两边右乘Q -1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000010*********, 得A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000001000011010100011000010010101101. 令α 1 , α 2 , α 3 , α 4 依次为Q -1的列向量, β 1 , β 2 , β 3 依次为P 的列向量, 则有 A α 1 = β 1 , A α 2 = β 2 , A α 3 = 0 , A α 4 = 0 . 三.（32分）填空题 .1．设 B, C, D 是n 阶矩阵, 其中D 可逆, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D CB C D B 1的秩 = n . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D C 00D C B C D B I 0D B I 11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D 000I D C 0ID C 0012. 当t < - 1/4 时, 二次型 f = 5 t x 2 + t y 2 – z 2 + 2 t xy + 2 x z 负定 ; 当t >0 时, 二次型 f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 . 通过成对行列变换, 二次型 f 的矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000t 0001t 41000t t 0t 1t 51010t t 1t t 5f 负定 ⇔ 4 t + 1 < 0 且t < 0 ⇔ t < – 1 / 4f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 ⇔ 4 t + 1 > 0 且t > 0 ⇔ t > 0 .3. 已知 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12222121231 是行列式为1的正交矩阵, 则线性变换X A X 是绕单位向量α = 的旋转, 旋转角为 .解特征方程组 ( A – I ) X = 0 , 得特征值1 的特征子空间基底 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011. 于是α = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡±01121. 取与α垂直的向量β = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011, 由A β =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-41131 求得β与A β 夹角的余弦值为 ( β, A β )/ ( | β| | A β| )= 1/3 . 故旋转角为 arccos( 1 / 3 ).4. 在欧氏空间R 4中,子空间 < ( 1,0,0,0) T, ( 0,1,0,0 ) T> 到⎩⎨⎧==+1x 2x x 321的解集合的最小距离是 1 .四. （18分）设f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 8 x 12 –7 x 22 + 8 x 32 + 8 x 1 x 2 – 2 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 . (1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得 A = P D P T .解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==321321Tx x x 841474148x x x X A X f8λ4147λ49λ09λ8λ4147λ4148λ|A λI |---+-+--=---+---=-)9λ()9λ()3249λ()9λ(7λ4187λ4009λ22+-=---=---+--=A 的特征值为λ = 9 (二重), – 9 . 对λ = 9解齐次方程组 ( A – 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0000001411414164141 通解为x 1 = 4 x2 - x3 , x 2 、x 3为自由变量. 解的向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101x 014x x x x 4x x x x 323232321于是α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 构成λ = 9特征子空间的一组基. 对λ = -9解齐次方程组 ( A + 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00041010100036901741000212174117414241417 通解为 x 1 = x 3 , x 2 = - 4 x 3 , x 3为自由变量. 解的向量形式:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141x x 4x x x x x 3333321于是α3 = [ 1 -4 1 ] T 构成λ = -9特征子空间的一组基. (2) 将α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 正交化: 令 β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=21210124014β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21231β||β||1γ,10121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 -4 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=141231γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--23132212343102313221为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==T 3T 2T1321Tγγγ999]γγγ[P D P A五.（10分）设β是欧氏空间R n 的单位向量, V 是子空间 < β > 的正交补. (1) 求矩阵A , 使得对任意列向量X ∈ R n , AX 是X 向V 所作的正交投影; (2) 求正交矩阵B , 使得线性变换 X B X 是R n 关于V 的镜面反射. 解: (1) 对任意列向量X ∈ R n , X 在一维子空间 < β > 上的正交投影为 ( X , β ) β = β βT X .于是X 在正交补 < β >⊥上的正交投影为X – ( X , β ) β = X – β βT X = ( I – β βT ) X .故所求矩阵为A = I – β βT .(2) 向量X ∈ R n , 关于 < β >⊥ 的镜面反射为X – 2 ( X , β ) β = X – 2 β βT X = ( I – 2 β βT ) X . 故所求正交矩阵为B = I – 2 β βT .六.（10分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是实对称矩阵, B 是实反对称矩阵, 则A + i B 的特征多项式在复数域上的根都是实数. 正确.证明: 设λ是A + i B 在复数域上的特征值, α是属于λ的复特征向量, 即 ( A + i B ) α = λ α , α ≠ 0 .则有 αT ( A – i B ) = λ αT , TT αλ)B i A (α=+.于是 ααλα)B i A (αααλTTT=+=, 由α ≠ 0 知0ααT≠, 于是 λλ=, λ 为实数.2) 在数域K 上, 若 n 阶方阵A 有 n + 1 个特征向量, 且其中任意 n 个都线性无关, 则 A 一定是数量矩阵. 正确.若A 不是数量矩阵, 则A 的特征子空间维数都小于n. 又因为A 有 n 个 线性无关的特征向量, A 可对角化, 故A 的特征子空间的维数之和等于n. 任给n + 1 个特征向量, 必存在A 的一个特征子空间 V , 包含其中至少 dim V + 1≤ n 个特征向量, 这dim V + 1 个特征向量线性相关, 矛盾!。

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2A x x x B=--<=-，则{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。

A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。

2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。

A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。

A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。

00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。

A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。

A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。

一、单选题（32 分. 共8 题, 每题4 分）1) 设b 为3 维行向量，V ={(x1 , x2 , x3 ) | ( x1 , x2 , x3 ) =b}，则。

CA) 对任意的b ，V 均是线性空间；B) 对任意的b ，V 均不是线性空间；C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。

2)已知向量组I：α1 ,α2 ,...,αs 可以由向量组II：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。

AA)若向量组I 线性无关，则s t ；B) 若向量组I 线性相关，则s >t ；C) 若向量组II 线性无关，则s t ；D) 若向量组II 线性相关，则s >t 。

3)设非齐次线性方程组AX =⎭中未定元个数为n，方程个数为m，系数矩阵A 的秩为r，则。

DA)当r <n 时，方程组AX =⎭有无穷多解；B) 当r =n 时，方程组AX =⎭有唯一解；C) 当r <m 时，方程组AX =⎭有解；D) 当r =m 时，方程组AX =⎭有解。

4)设A 是m ⨯n 阶矩阵，B 是n ⨯m 阶矩阵，且AB =I ，则。

AA) r( A) =m, r(B) =m ；B) r( A) =m, r(B) =n ；C) r( A) =n, r(B) =m；D) r( A) =n, r(B) =n 。

5)设K 上3 维线性空间V 上的线性变换ϕ在基⋂,⋂{1 1 1,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。

C1 2 3|||1 1 1|{1 2 1112222{ 1 11| | |2||  || 2 |A) |2 0 2 |；B) | 11 10 1 |；C) |10 1 ；D)|2 0 2 |。

|1 2 1 || 1 | 2|1 2 1 || 1 |26)设ϕ是V 到U 的线性映射，dim V =n, dim U =m 。

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高等代数习题及答案篇一：高等代数试题及答案中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷共2页第2页五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.a七(10分)设2n阶矩阵Ababbab,ab,求A的最小多项式.a八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式px,qx互素,且满足pfqf0(零变换),Skerqf求证：VWS,Wkerpf中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)答案一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：1A=1111111111111113，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：1＝(12,12,112,2)'，2＝(-0,0)'，3＝(-0)'，4＝(-6662'.126111所以正交阵T2641而T'AT0206122三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01 1(2)令D0En110，D为循环阵，E11Dk0EnkEk0，(Ek为k阶单位阵)则D,D2,,Dn1,DnE在P上线性无关..0且Aa1Ea2Dan1Dn2anDn1，令f(x)a1a2xanxn1,有Af(D).BM，必P上n1次多项式g(x)，使Bg(D)，反之亦真.ABf(D)g(D)g(D)f(D)BA(3)由上可知：E,D,D2,,Dn1是M的一组基，且dimMn.四.解：A的行列式因子为D3()(2)3,D2()D1()1.所以，不变因子为d3()(2)3,d2()d1()1，初等因子为(2)3，2因而A的Jordan标准形为J1221五．证："":f(x)g(x)q(x)""：f(A)0,g(A)0f(A)g(A)q(A)0设f(x)g(x)q(x)r(x),r(x)0或(r(x))(g(x)).所以0＝f(A)g(A)q(A)r(A),因而r(A)0.因为g(x)为最小多项式，所以r(x)0.g(x)|f(x).六．证：在B的核V0中任取一向量，则()A(BB(A)BA)AB(A)0所以A在B下的像是零，即AV0．即证明了V0是A的不变子空间．在B的值域BV中任取一向量B，则A(B)B(A)BV.因此，BV也是A的不变子空间．综上，B的值域与核都是A的不变子空间．七．解：EA(a)b22n篇二：高等代数习题及答案(1)高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、p(x)若是数域F上的不可约多项式，那么p(x)在F中必定没有根。

高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。

第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。

1山东师范大学成人高等教育期末考试试题（时间：120分钟 共100分）年级： 专业： 考试科目： 高等代数试题类别： A (A/B/C) 考试形式___(开、闭卷)一、选择题 （每题4分共20分） 1、 以下行列式中（ ）的值必为零（A ）n 阶行列式中有一行的元素全是0 （B ）行列式中有两行含有相同的公因子 （C ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例 （D ）行列式D 的转置行列式D D T -= 2、n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是：（ ）（A ）n A R =)( （B ）n A R <)( （C ）n A R >)( （D ）)(A R 与n 无关 3、 设有矩阵23⨯A ，33⨯B ，32⨯C ，则下面（ ）运算可行 （A ）BC （B ）ABC （C ）AC （D ）BC AB -4、 一个n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中（ ）（A ）含有零向量 （B ）有两个向量的对应分量成比例（C ）至少有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）每一个向量是其余向量的线性组合5、 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110A ，则矩阵A 的特征值为（ ） （A ）1,1- （B ）1,0 （C ）1,0- （D ）2,0二、填空题（每题2分共12分）1、5000054000543005432054321的值为______________ 2、已知行列式543432321---=D ，其转置行列式_____________________=T D 3、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=625972413A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6297213y x B ，已知B A =，则_____________________==y x4、设A 为4阶方阵，且A =2，则_________________2=A5、1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性____________________的6、线性方程组B AX =有解的充分必要条件是__________________________ 三、判断题 （每题4分共20分）1、任何两个矩阵都可以相加减 ( )2、333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k ka ka ka ka ka ka ka ka ka = ( ) 3、若齐次线性方程组0=AX 有非零解，则系数矩阵的行列式为0 ( )4、在一个向量组s ααα,,,21Λ中，如果有部分向量组线性相关，则向量组s ααα,,,21Λ 必线性相关 ( )5、对于矩阵B A ,，有TTTB A AB =)( ( ) 四、计算下列各题（每题6分共18分）1、求行列式122305403--中元素2的余子式和2-的代数余子式。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。

2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。

3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。

2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。

3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。

2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。

3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。

四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。

2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。

3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。

五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。

2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。

3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。

六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。

2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。

3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。

4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。

七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。

2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。

2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． 下列说法正确的是（）A ． 任何多项式都不整除零多项式B ． 零多项式与任何多项式都互素C ． 零次多项式与任何多项式都互素D ． 零次多项式与零多项式不互素2． 设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则 一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3． 设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（ ）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（ ）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5． 设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（ ）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6． 任意多项式都定义有次数．（）7． 任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（ ）8． 任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（ ）9． 任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10． 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11． 含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所 含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13． 如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14． 方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列 式_____ _____．15． 多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16． 如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋ ＋ － Bx Ax x ，求 A ，B ．17． 计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18． 设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19． 用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20． 已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ． 五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22． 设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能 由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13． 线性相关 14． 为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16． 解 设 1 ) ( 24＋ ＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ． （2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ， （8 分） 解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17． 解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18． 解 按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ． （2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ． （8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向 量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19． 解 构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1． 令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2． 令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ． （10分）20． 解 构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证 充分性 若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端 平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性 若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立． 若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。

国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案（试卷代号:1079）一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 下列运算中」 ）是有理数域Q 上的代数运算.B.D. a v b __«/2a2. 按通常教的加法与乘法.复数域C 可以者成实数域R 上的蛾性空间,则它的维数是《4. 设A 是正交矩曲,则F 列选项中惜误的是（A. /V = EB. A T =A 1C. A 的苛一行的元素的平万和等于1 0. A 的不同行的对应元素乘积之和等于。

5.设人是“阶实对称矩阵.则人是正定的充分必要条件是（）.A. A 的行列式大于零 R .存在矩阵C .使得AgC C A 的特征值全为正 D.存在村维非零向用X ・使得X r AX>0二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 实敝域上的不可约多项式的次数是 次的.7. 向匿组（, = （0.0,1 ）^=（0.1,2）3.5）线性相关,则 a =・8. 设A 是线性空间V 的线性变换.则A 的属于不同特祉值的特征向51线性9.设a 是欧氏空间V 的对林变换,姻。

在V 的坏准正交基下的矩阵是 ・10. 埃性空间V 上.的双线性函数在不同.基下的度度疤阵•三、计算题（本题共45分，每小题15分）11. 没R'的线性变换D 定义如下口.，工1> = （2卫L 工SI —七.心+上$），求a 在基j ==,D)・j = (0・0・D 下的矩阵.2-2012 .设人一 一2 I -2 .求一个正交矩阵丁.使丁 ‘,4丁=丁「人丁为对用炬阵.0 T0A ・0 G 23. 矩阱A 与B 拇似的允分必要条件是（ A ・A 与3的持祉多瑚式相等C. 人与B 的秩相等 B. 1D. 无限）.H.人与8的行列式相句D.存在可逆炬阵丁，使T '/Vf-B13. 求人取何值时，下面的实二次型是正定的J (xi >x： fXi)卜4工；4-4xx b 2A TIX2~ 2xixj + 4x2四、证明题(本题15分)14. 设/GH,gCt)是数域P上的一元多项式，且</S〉,gCr)) = 】,证明：</(x) ,/(x)-Fg(jr)) = 1.试题答案及评分标准：-.■项»i*n(本BI共20分小m 4分｝t B2.CID4. A5.C二■堵空01(本幌共20分.符小IR 4分), 6. I 或 27.0&光关9. Xj林炬阵10. 相含三,计鼻81(本01共45分,梅小H IS分)；1L «hxi・«・0.0〉・2^.,■(Ot —lel)«—1|+g|.……(7分) IM此.。