大学物理 CH1.4-5 质点运动学

M
v
aτ
a
an an
a
N a τ
v
结论： 结论：行星在M点速率增加； 点速率增加；行星在N点速率减小
第五节 运动学的两类问题
一、运动学的第一类问题 第一类问题是已知质点运动方程 r (t ) ，求任意时刻质点 的位矢、 的位矢、速度和加速度， 速度和加速度，主要是进行微分运算。 主要是进行微分运算。 例1 一质点在xy平面上运动， 平面上运动，运动方程为： 运动方程为：x=t+5， y=t2+3t-4。式中， 式中，t的单位为秒（ 的单位为秒（s），坐标 ），坐标x、y的单 位为米（ 位为米（m），求 ），求： （1）质点运动的轨迹方程； 质点运动的轨迹方程； （2）t=2s时质点的位置矢量； 时质点的位置矢量； （3）质点从t=1s到t=2s间的位移； 间的位移； （4）质点的速度和加速度。 质点的速度和加速度。
平面直角坐标系： 平面直角坐标系：
平面自然坐标系： 平面自然坐标系：
dv a= = ax i + a y j dt dv y dvx = i+ j dt dt 大小:a = a + a
2 x 2 y
dv a= = aτ + an dt v2 dv = τ+ n dt ρ 大小:a = aτ + a
n
τ
曲率圆的概念： 曲率圆的概念：
y ′′( x ) = 曲率： 曲率： ρ [1 + ( y′( x ))2 ]3/2 1
l1
在平面自然坐标系中， 在平面自然坐标系中，加速度可以表示为： 加速度可以表示为：
dv dτ dv v a = τ +v = τ+ n dt dt dt ρ
2
= aτ + an
dv 已知： 已知： a = = −ky dt 变形： 变形： dv dy dv = v = −ky dy dt dy
vdv = −kydy 整理： 整理：
v y v0 2 y0
积分： 积分： ∫ vdv = ∫ −kydy
2 2 2 v − v = − k y − y 结果： 结果： 0 0
(
)
第四节 质点的曲线运动 一、平面自然坐标系
适用于： 适用于：质点在平面内作曲线运动且运动轨道已知
n
P
s o
τ
∆s
Q
n
法向单位矢量 n： τ： 切向单位矢量
τ
二、位移、 位移、速度和加速度在自然坐标系中的表示
n
P
∆t → 0时：
s o
τ
∆s
Q
dsτ 位移dr = ？
dr ds 速度v = ？ = τ = vτ dt dt dv d ( vτ ) dv dτ = τ +v 加速度a = ？ = dt dt dt dt
5 3 v = v0 + ∫ adt = ( ∫ 5t dt )i + ( ∫ 3dt ) j = t i + 3tj 0 0 0 3
t t 2 t
速度
位置矢量(运动方程)
t 53 5 4 3 2 r = r0 + ∫ vdt = ( ∫ t dt )i + ( ∫ 3tdt ) j = t i + t j 0 0 3 0 12 2 t t
平面自然坐标系： 平面自然坐标系：
dr v= = vx i + v y j dt dx dy = i+ j dt dt 大小:v = v + v
2 x 2 y
dr ds v= = τ = vτ dt dt ds 大小：v = dt 方向：切向矢量方向
vx 方向:cos α = , v vx cos α = v
二、运动学的第二类问题
第二类问题是已知加速度 a (t )及运动的初始条件(即t = 0 时的位矢 r0 及初速度 v0 )，求任意时刻质点的速度和位矢。 求任意时刻质点的速度和位矢。 这是第一类问题的逆运算， 这是第一类问题的逆运算，需要用积分求解。 需要用积分求解。
t dv ⇒ v = v0 + ∫ a ( t ) dt a (t ) = t0 dt t dr v (t ) = ⇒ r = r0 + ∫ v ( t ) dt t0 dt
x = t + 5 （1）已知参数形式的运动方程 2 y = t + 3t − 4
消去时间即得轨迹方程： 消去时间即得轨迹方程：y = x − 7 x + 6 （2）已知矢量形式的运动方程
2
r (t ) = (t + 5)i + (t 2 + 3t − 4) j
t =2 s → r (t ) |t = 2s = 7 i + 6 j (m)
（3）∆r = r
t = 2s
−r
t =1s
= (7i + 6 j ) − 6i = i + 6 j (m)
dv −2 a= = 2 j (m ⋅ s ) dt
dr = i + (2t + 3) j （4） v = dt
运动学第一类问题中， 运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程， 有时没有显含时间的运动方程， 这时需要通过一些几何关系 这时需要通过一些几何关系构造等式 几何关系构造等式， 构造等式，通过求导 通过求导得到质 求导得到质 点运动的速度或加速度。 点运动的速度或加速度。 例2 如图所示 如图所示， ，湖中一小船， 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水 收绳，试求船 面高h处的滑轮拉船， 处的滑轮拉船，人以恒定速率v0收绳， 离岸的距离为 3h 时，船的速度和加速度。 船的速度和加速度。 解： 建立如图所示坐标 系，设小船位置为 x，船到滑轮的距离 为l，小船可看作质 点在x方向上运动。 方向上运动。 v0 h o l x
轨迹方程
5 4 3 2 消去参数t 5 2 x = t ，y = t →x = y 12 2 27
注：加速度不仅可以是时间的函数， 加速度不仅可以是时间的函数，也可能是速度的函 数或者位置的函数 例如： 例如：一物体悬挂在弹簧上作竖直振动， 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，已知 a = − ky 式中k为常数， 为常数，y是以平衡位置为原点所测得的坐标， 是以平衡位置为原点所测得的坐标，假 定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标 y的函数关系式。 的函数关系式。
2 2 n
ax 方向:cos α = ， a ay cos β = a
an 方向:α = arctan a
根据开普勒第一定律， 根据开普勒第一定律，行星的轨道为椭圆， 行星的轨道为椭圆，太阳处于 椭圆的一个焦点上， 椭圆的一个焦点上，分析行星的在不同位置的速率是 在增大还是在减小。 在增大还是在减小。
v0
由勾股定理得 ：
x +h =l
2
2
2
h
l o x
2 2
对等式两边同时求导得 ：
dx dl 2 x = 2l dt dt
dx l dl x +h v= v0 = =− dt x dt x
dv h 2 a= = − 3 v0 dt x
2
v |x =
2 =− v0 , a |x = 3h 3
1 2 =− v0 3h 3 3h
dv aτ : 切向加速度 aτ = dt
表示速度大小的变化
α
anoBiblioteka Paaτan : 法向加速度 an =
大小： 大小： a
v
2
ρ
表示速度方向的变化
= aτ + a
2
2 n
an 方向： 方向：α = arctan a
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证明
lasayin, 2011-11-2
平面直角坐标系： 平面直角坐标系：
2 a = 5 t i +3j。 例3 一质点在xy平面上运动， 平面上运动，其加速度为 已知 t =0 时，质点静止于坐标原点。 质点静止于坐标原点。求在任一时刻 该质点的速度、 该质点的速度、位置矢量（ 位置矢量（运动方程） 运动方程）和轨迹方程。 和轨迹方程。
2 解： 已知 a = 5t i + 3 j 且t = 0时, v0 = 0, r0 = 0