芝罘区数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题10模块选讲之推理与证明

第10课时 归纳推理一、知识盘点1．推理的概念：根据 得出一个新结论，这种思维方式叫做推理.推理一般有两个部分组成， .推理一般分为 与 两类. 2．合情推理：所谓的合情推理，就是 ，数学中常见的合情推理是 与 . 3．归纳推理：由某类事物的 具有某种特征，推出该事物的 都具的这种特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ； (2) . 二、基础训练1．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+2．观察一下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________.三、例题分析：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

［变式训练］1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________.例2．观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000=⋅+⋅+⋅ ；②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。

推理与证明知识回顾对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一、推理部分1．知识结构框图：2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．③推理过程：从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．集合简述：ⅰ大前提：且x具有性质P；ⅱ小前提：且；ⅲ结论：y也具有性质P；４．合情推理与演绎推理的关系：①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；二、证明部分１．知识结构框图２．综合法与分析法①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．三、考查要求“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．推理与证明复习指导对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力一．推理部分1．知识结构：演绎推理推理归纳和情推理类比2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知，可以，，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；集合简述：ⅰ大前提：且具有性质；ⅱ小前提：且；ⅲ结论：也具有性质；例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D 上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是．解答：由（大前提）因为在上是凸函数（小前提）得（结论）即因此，的最大值是注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型４．和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例２．设，（其中且）（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由＝＋＝又＝因此，＝（2）由＝即＝于是推测＝证明：因为：，（大前提）所以＝，＝，＝，（小前提及结论）所以＝＋＝＝解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝．二．证明部分１．知识结构数学归纳法综合法证明直接证法分析法间接证法反证法２．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例３．已知：，求证：证明：因为所以又由已知，因此，成立．由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)这里表示了,( )是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切.证明：（如图）作AA／、BB／垂直准线，取AB的中点M，作MM／垂直准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切只需证｜MM／｜＝｜AB｜[om]由抛物线的定义：｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当时命题也成立。

高中数学推理与证明知识点归纳在高中的学习中，推理和证明是有很多的知识点的，这类的知识点需要学好。

下面就是店铺给大家整理的推理与证明知识点内容，希望大家喜欢。

推理与证明知识点数学推理与证明知识点总结:推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。

利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。

②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。

第一讲推理与证明1.知识方法梳理一、考纲解读：本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。

新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。

高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。

二、要点梳理：1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。

3.演绎推理三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。

4.直接证明与间接证明①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。

②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结汇编推理与证明推理证明推理与证明知识归纳总结归纳推理合情推理类比推理演绎推理综合法直接证明分析法数学归纳间接证明反证法第一部分合情推理学习目标：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理：1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究：1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?题型1用归纳推理发现规律1、观察：7 15211；____；3-3 19 3cosA cosB cosC2AQy=sin_在(0,)上是增函数，sinAsin(解析QDABC为锐角三角形，A Bppp22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinA sinB sinCcosA cosB cosC考点2分析法p2B)=cosB 已知ab0,求证ab解析要证a-b更多a-b，只需证(a-b)2(a-b)2即a b-2aba-b，只需证bab，即证ba显然ba成立，因此a-b1)，证明方程f(_)=0没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾解析假设_是f(_)=0的负数根，则_0且_-1且a_0=-000_-20_ 10_ 120a_0102101，解得_2，这与_0矛盾，00故方程f(_)=0没有负数根总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

高中数学推理证明知识点总结数学是一门精确的科学，其中推理证明是其重要组成部分。

在高中数学学习中，掌握推理证明的知识点是非常关键的。

本文将对高中数学推理证明的知识点进行总结，以帮助同学们更好地了解和掌握数学推理证明的技巧和方法。

一、直接证明法直接证明法是最常用也是最简单的证明方法之一。

它的基本思路是通过逻辑推理，直接给出所需要证明的结论。

例如，证明命题“对于任意实数a和b，若a＞b，则a-b＞0”。

证明过程如下：假设a＞b，则a-b是一个实数，可以写成a-b=x，其中x为实数。

由a＞b可得，a-b＞0。

综上所述，命题成立。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学推理中有着重要的应用。

它的基本思路是通过假设命题的反面，并推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。

例如，证明命题“在任意整数中，不存在最大的整数”。

证明过程如下：假设存在一个最大的整数n，即对于任意整数x，若x＞n，则矛盾。

考虑整数n+1，显然n+1＞n，与n为最大整数的假设矛盾。

因此，原命题成立。

三、归纳法归纳法是一种常用于证明数列和命题的方法。

它的基本思路是通过证明当命题在某个条件下成立时，它在下一个条件下也成立，进而通过数学归纳推理证明命题在所有条件下成立。

例如，证明命题“对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。

证明过程如下：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1，成立。

假设当n=k时，命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

则当n=k+1时，左边为1+2+3+...+k+(k+1)，右边为(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2。

由归纳假设可得，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，成立。

综上所述，原命题成立。

四、递推法递推法是一种通过已知条件推导出下一个条件成立的方法，常用于证明数列的性质。

例如，证明命题“证明斐波那契数列性质：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)”。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象）所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010Λ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos -【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f x x x f xx x f xx x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+ΛΛ 故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++ x f x f xx f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

《推理与证明》知识归纳总结推理合情推理推理比推理推演推理理与合法直接明分析法明数学明接明反法第一部分合情推理学目：了解合情推理的含（易混点）理解推理和比推理的含，并能运用它行的推理（重点、点）了解合情推理在数学展中的作用（点）一、知：合情推理可分推理和比推理两：推理 :1.推理 :由某事物的部分象具有某些特征，推出事物的全部象具有些特征的推理，或者由个事概括出一般的推理，称推理.言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理 .2.推理的一般步:第一步，通察个情况某些相同的性;第二步，从已知的相同性中推出一个明确表述的一般命（猜想）.思考探究 :1.推理的一定正确?2.学中，从体中抽取本，然后用本估体，是否属推理?型 1用推理律、察： 7 15 2 11； 5.516.5 2 11；33193211；⋯于1.任意正数 a, b ，写出使a b 211 成立的一个条件可以是____.点：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和22，故a b222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图 . 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图 有 7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以f ( n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数 .则 f (4) =_____; f ( n) =___________.【解题思路】找出 f (n) f (n 1) 的关系式[解析 ] f (1)1, f (2) 1 6, f (3) 1 6 12, f (4) 1 6 12 18 37 f (n) 16 12186(n1) 3n 2 3n 1总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理1.类比推理 :由两类对象具有某些类似特征和其中象也具有 这些特征的推理 .简言之，类比推理是由一类 对象的某些已知特征，推出另一类对特殊到特殊的推理 .2.类比推理的一般步骤:第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 ；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想 .思考探究 :1.类比推理的结论能作为定理应用吗 ?2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径 .由此结论如何类比到球体 ?(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?题型 2 用类比推理猜想新的命题[例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的 1 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 ______.3【解题思路】从方法的类比入手[解析 ]原问题的解法为等面积法，即S 1 ah 3 1arr1 h ，类比问题的解法应为2 23等体积法， V1Sh 4 1Srr1h 即正四面体的内切球的半径是高13344总结：（ 1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（ 2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等合情推理1.定义 : 归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想发思考探究 :1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。