2021-2022年高三数学一轮复习夯实基础练习题(1)

第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。

专题56 二项式定理基础知识要夯实1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝0n C a n ＋1n C a n －1b ＋…＋k n C a n －k b k ＋…＋nn C b n (n ∈N *)❶；(2)通项公式：T k ＋1＝kn C a n －k b k ，它表示第k ＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为0n C ，1n C ，…，n n C ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指0n C ，1n C ，…，nn C ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是k n C ，而该项的系数是kn C a n －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.基本技能要落实一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项.( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1.二项式(x －2)5展开式中x 的系数为( ) A.5 B.16 C.80D.－80解析：选C 由二项式定理知，其展开式中含x 的项为T 5＝45C x (－2)4，故其系数为45C (－2)4＝80.2.x⎛ ⎝6的展开式中的常数项为( ) A.－150 B.150 C.－240D.240解析：选D x⎛ ⎝6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝6k C x 6－k ·⎛ ⎝k ＝6k C x 6－k ·(－2)k·x －2k ＝(－2)k 6k C x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·16C ＝240.3.二项式2x ⎫-⎪⎪⎝⎭10的系数是( ) A.152B.－152C.15D.－15解析：选B 22x ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭10的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝10rC 2⎛ ⎝⎭10－r ·2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭r＝(－1)r 22r－1035210rC x-，令5－32r ＝12，得r ＝3的系数是(－1)3·2－4·310C ＝－152. 4.若3x⎛ ⎝n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________. 解析：由题意，可知2n ＝128，解得n ＝7. 答案：75.若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________. 解析：(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为5n C (3x )5＝5n C 35x 5，展开式中含x 6的项为6n C 36x 6. 由两项的系数相等得5n C ·35＝6n C ·36，解得n ＝7. 答案：7典型例题剖析考点一 二项展开式中特定项或系数问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)22x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知x⎛ ⎝5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1) 22x x ⎛⎫+⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝25C ·(x 2)5－r ·2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭r ＝25C ·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为25C ·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·5r C ·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·5rC ·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r＝3，解得r ＝2，由(－1)2·25C ·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3.(3) 22xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝5r C x 5－r ·r⎛ ⎝＝5r C (－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝05C ×(－a )0＝1，B ＝25C ×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝rn C a n －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量[例2] (1)(1)6(1)4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(16的展开式的通项为6m C ·(m＝6m C (－1)m2m x ，(1)4的展开式的通项为4n C )n＝4n C 2n x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令2m ＋2n＝1，得m ＋n ＝2，于是(1)6(1＋)4的展开式中x 的系数等于06C ·(－1)0·24C ＋16C ·(－1)1·14C ＋26C ·(－1)2·04C ＝－3.法二：(1－)6(1)4＝[(1)(1)]4(1－)2＝(1－x )4(1－＋x ).于是(1－6(1)4的展开式中x 的系数为04C ·1＋14C ·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为46C a 2，含x 项的系数为56C a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－46C a 2＋56C a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2) 25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60(2)将44x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝15C (x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝25C (x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝3k C (x 2)3－k ·x k ＝3kC x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2153C C ＝30.(2)44xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3＝6展开式的通项是66kkkC -⎛⋅ ⎝＝(－2)k·6k C x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是36C (－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考点二 二项式系数的性质及各项系数和[师生共研过关][典例精析](1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )C.4D.或4 (2)若21x x ⎛⎫-⎪⎝⎭n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是24C 22＝.(2) 21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝r n C (x 2)n －r ·1rx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝rn C (－1)r x 2n －3r ，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.[答案](1)A(2)255(3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--. [过关训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或1考点三 二项展开式的应用[师生共研过关][典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝02018C 522 018－12018C 522 017＋…－20172018C 521＋1， 又13整除52， 所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[过关训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3. 2.1－90110C ＋902210C －903310C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C 除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110C ＋902210C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C ＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋110C 889＋…＋910C 88＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1达标检测要扎实一、单选题1．（2020·河南省高三二模（理））已知23450123455(1)a a x a x a x a x x x a =++++++，则34a a +的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16【答案】C【解析】由题得5(1)x +的展开式的通项为515r r r T C x -+=令23553,2,10r r a C -=∴=∴==；令14554,1,5r r a C -=∴=∴==所以3410515a a +=+=.故选：C.2．（2020·辽宁省辽宁实验中学高三其他（理））()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为14，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】11n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()1111n rrrr r r nr nn T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故其常数项为()()111nnnn n T C +=-=-，包含1x -的项为()()111111111n n n n n T C x nx ------+=-=-，所以()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为()()113114n n n --+-=.当n 为奇数时，有3114n -=，解得5n =； 当n 为偶数时，有3114n -+=，解得133n =-（舍） 故正整数n 的值为5.故选：B.3．（2020·山东省高三期末）二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．160【答案】A【解析】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-.故选：A 4．（2019·河北省辛集中学高三月考（理））将二项式6(x +展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式6(x +展开式通项为：36621662r r r r r rr T C x C x --+==，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式6(x +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有4345A A，所以所求概率P=43457727A A A =Ⅲ故选A ． 5．（2020·湖北省黄冈中学高三其他（理））已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x=和ay x =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A .6．（2020·湖南省雅礼中学高三其他（理））如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式()3*1n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式通项为()()334111kk n k k k n kk n n T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令340n k -=，则43n k =，由于展开式中存在正的常数项，则k 为偶数， 设()6k t t N*=∈，8n t ∴=，当1t =时，n 取最小值8.故选：C.7．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在()8311x x ⎛- ⎝的展开式中，含21x 项的系数等于（ ） A ．98 B ．42 C ．98- D ．42-【答案】D【解析】81x ⎛- ⎝二项展开式的通项公式38821881()((1)rr r r r r r T C C xx --+==-, 令3852r-=-，得2r ，则含5x -项的系数为28C ， 令3822r-=-，得4r =，则含2x -项的系数为48C ， 故含21x与项的系数等于248842C C -=-.故选：D. 8．（2020·湖南省湖南师大附中高三三模（理））()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240C ．－80D ．180【答案】D【解析】由题意，62x⎫⎪⎭中常数项为2426260Cx⎛⎫=⎪⎝⎭，62x⎫⎪⎭中31x项为4246321240Cx x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()6321xx⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x⨯31240160180x-⨯=.故选：D9．（2020·湖南省长郡中学高三其他（理））(101-的二项展开式中，x的系数与4x的系数之差为（）A．220-B．90-C．90D．0【答案】D【解析】∵(101的二项展开式中，通项公式为()21101rrrrT C x+=⋅-，故x的系数与4x的系数之差为281010C C-=，故选：D.10．（2020·浙江省高三其他）多项式396xx⎛⎫+-⎪⎝⎭的常数项是（）A．216B．216-C．540D．540-【答案】D【解析】因为332669xx⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+-⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rr rr r rrT C C x--+⎛==-⎝，令30r-=，得3r=，所以常数项为：()3363540C-=-.故选：D.11．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在12202011xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中, 2x项的系数为( )A．10B．25C．35D．66【答案】D【解析】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1，所以其系数为21266C =.故选：D12．（2020·山东省高三其他）若nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ） A ．54 B ．81C ．96D ．106【答案】A【解析】因为nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x⎛+ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==， 由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A.二、填空题13．（2020·河南省高三三模（理））（3x ﹣2x）4的展开式中的常数项为_____． 【答案】216【解析】44421442(3)()3(2)---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅rrr r r r r r T C x C x x令420r -=，解得2r常数项为2422343(2)=216-=⋅⋅-T C故答案为：21614．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）已知()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______. 【答案】128【解析】由题意，通项为：7777177()(1)(1)k k k k k k kk T C ax a C x ----+=-=-， 由于()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：57527(1)189a C --=-，解得：3a =， 故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=． 故答案为：128．15．（2020·河南省高三其他（理））522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为40，则a =_________.【答案】1【解析】522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：()()5253515522 rrrr r r r r a T x a x x C C ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，令351r -=，解得2r．∵含x 项的系数是40，∴()2325240C a -=， 解得1a = ．故答案为：1．16．（2020·河南省高三二模（理））在2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，则2x 项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】28【解析】因为2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，所以令1x =，得()(11)15112n++=， 即：1922n +=， 解得8n =，所以原式为：82(1)x x⎛++ ⎝，所以82x⎛+ ⎝展开式的通项为()516821882rr r r r r x xT C C -+-==，当51612r -=或51622r -=，符合题意， 解得6r =或285r =（舍去），所以2x 项的系数为：2828C =.故答案为：28 三、解答题17．（2019·山东省高三月考）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b Ⅲa 与b 满足137a b =（1）求m 的值； （2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27x y 的系数。

第五章 第四节 复数基础夯实练1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.2．已知复数z ＝2i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD.12－12i 解析：选B ∵复数z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.3．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2解析：选C ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.4．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，32，在第一象限，故选A.5．已知α∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3解析：选C 法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3.故选C.法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋ii＝1－3i ，所以a ＝－3.故选C.6．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若1－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝(2a ＋1)＋2i 的模等于( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选D 因为1－i a ＋i ＝(1－i )(a －i )a 2＋1＝a －1a 2＋1－a ＋1a 2＋1i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.所以|z |＝|(2a ＋1)＋2i|＝|3＋2i|＝32＋(2)2＝11.故选D.7．(多选题)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( ) A ．|z |＝ 2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限解析：选AD 因为z (1－i)＝2，所以z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝2，所以A 正确；z ＝1＋i 的虚部为1，所以B 错误；z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ，所以C 错误；z ＝1＋i 在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D 正确．故选AD.8．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝______.解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.答案：－79．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是__________.解析：复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1，4)．答案：(－1,4)10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3综合提升练11．(多选题)已知复数z ＝8＋i1＋2i ，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．z 的模等于13B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．z 的共轭复数为－2－3iD ．若z (m ＋4i)是纯虚数，则m ＝－6解析：选BD 因为z ＝8＋i1＋2i ＝2－3i ，所以|z |＝13，因此A 项错误；复数z 在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B 项正确；z 的共轭复数z －＝2＋3i ，C 项错误；因为z (m ＋4i)＝(2－3i)(m ＋4i)＝(2m ＋12)＋(8－3m )i 为纯虚数，所以2m ＋12＝0,8－3m ≠0，得m ＝－6，故D 项正确．故选BD.12．(多选题)设复数z ＝－12＋32i ，则以下结论正确的是( )A ．z 2≥0B ．z 2＝z －C ．z 3＝1D ．z 2020＝z解析：选BCD 本题考查复数的运算．因为z 2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－12－32i ，故A 错误，B 正确；z 3＝z 2·⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1，故C 正确；因为z ＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，z 3＝1，z 4＝－12＋32i =z ，所以z 2020＝z 3×673＋1＝z ，故D 正确．故选BCD.13．设复数z 满足|z －i|＝|z ＋i|，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为Z (x ，y )，则下列结论一定正确的是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C．x＝0 D．y＝0解析：选D因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.14．(2021·河北唐山二模)设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A．1 B. 3C. 5 D．3解析：选D设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以x2＋(y－2)2＝1，即x2＋(y－2)2＝1，所以复数z对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，所以|z|max＝2＋1＝3，所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.故选D.15．(多选题)设z为复数，则下列命题中正确的是()A．|z|2＝z·zB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2解析：选ACD对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，所以|z|2＝a2＋b2，z·z ＝a2＋b2，所以|z|2＝z z成立；对于B，z＝a＋b i(a，b∈R)，当a，b均不为0时，z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；对于C，|z|＝1可以看成以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P 到Q(0，－1)的距离，所以当P(0,1)时，可取|z＋i|的最大值为2；对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O、N重合时，|z|＝0最小，当O、M、N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.16．(多选题)(2021·山东济南十一学校联考)欧拉公式e x i＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是()A．复数e2i对应的点位于第三象限B ．e π2i 为纯虚数C ．复数e x i 3＋i 的模长等于12D ．e π6i 的共轭复数为12－32i解析：选BC 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， ∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos 2∈(－1,0)，sin 2∈(0,1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故A 错误；对于B ，e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，可得e π2i 为纯虚数，故B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i ＝(cos x ＋isin x )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ，可得其模长为⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42＝12，故C 正确；对于D ，e π6i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，可得e π6i 的共轭复数为32－12i ，故D 错误，故选BC.17．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为__________.解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋(6－b )i5，z 1z 2是实数，∴6－b 5＝0，∴b ＝6. 答案：618．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z ＋z ＝2；乙：z －z ＝23i ；丙：z ·z ＝4；丁：zz ＝z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z ＝________.解析：设z＝a＋b i(a＞0，b＞0)，则z＝a－b i，∴z＋z＝2a，z－z＝2b i，z·z＝a2＋b2，zz ＝z2a2＋b2.∵z·z＝4与zz ＝z22不可能同时成立，∴丙、丁两人的陈述不能同时正确；当z－z＝23i时，b2＝3＞2，∴zz ＝z22不成立，∴乙、丁两人的陈述不能同时正确；当甲乙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则丙也正确，不合题意；当甲丙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则乙也正确，不合题意；当乙丙两人的陈述正确时，b＝3，a＝1，则甲也正确，不合题意；∴甲丁两人的陈述正确，此时a＝b＝1，∴z＝1＋i.答案：1＋i。

第一章第二节常用逻辑用语基础夯实练1．若b＝10a，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若a能被5整除，则b＝10a必能被5整除；若b能被5整除，则a＝b10未必能被5整除．故选B.2．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C(1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.充分性成立．(2)若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β，故α＝kπ＋(－1)kβ.必要性成立．故应为充分必要条件．故选C.3．(2021·山西大同摸底测试)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由m ⊂α，m ∥β得不到α∥β.由α∥β，m ⊂α，得m 和β没有公共点，所以m ∥β，即由α∥β能得到m ∥β.所以“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．故选B.4．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得－12<x －12<12，所以0<x <1.由x 3<1，得x <1.据此可知“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. 5．(2021·江苏杨州高邮第一中学月考)已知p ：|x －a |<2，q ：1x －2≥1.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)解析：选C 解不等式|x －a |<2，即－2<x －a <2，得a －2<x <a ＋2.解不等式1x －2≥1，即1－1x －2＝x －3x －2≤0，得2<x ≤3.由于p 是q 的必要不充分条件，因此(2,3](a －2，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤2，a ＋2>3，解得1<a ≤4.因此实数a 的取值范围是(1,4]．故选C. 6．(2021·四川绵阳中学月考)对于实数a ，b ，m ，有下列说法：①若a >b ，则am 2>bm 2；②若a >b ，则a |a |>b |b |；③若b >a >0，m >0，则a ＋m b ＋m >a b ；④若a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，则2a＋b 的最小值为2 2.其中是真命题的为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B 对于①，当m ＝0时，am 2＝bm 2＝0，所以①是假命题．对于②，当a >0时，a |a |>b |b |成立；当a <0时，因为b <a <0，所以a 2<b 2，所以a |a |>b |b |成立；当a ＝0时，b <0，所以a |a |>b |b |成立．所以②是真命题．对于③，因为b >a >0，m >0，所以a ＋mb ＋m －a b＝(a ＋m )b －(b ＋m )a (b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，所以a ＋m b ＋m >ab ，所以③是真命题．对于④，因为a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，所以a >1>b >0，且ln a ＝－ln b ，所以ab ＝1.所以2a ＋b ＝2a ＋1a ≥22，当且仅当2a ＝1a ，即a ＝22时取等号．因为22<1，不合题意，所以2a ＋b 的最小值不是2 2.因为⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2，a >1，所以⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2>0，所以y ＝2a ＋1a 是关于a 的增函数，所以2a ＋1a在a >1时没有最小值．所以④是假命题．故选B.7．下列命题，正确的个数是( )①“若α＝β，则tan α＝tan β ”为真命题；②已知m 为直线，α，β为平面，若m ⊂α，则“m ⊥β ”是“α⊥β ”的充分不必要条件；③“∀x >1，x 2>1”的否定为“∃x ≤1，x 2≤1”；④对于两个分类变量X ，Y ，随机变量χ2的观测值越大，则认为这两个变量有关系的把握越大．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中，若α＝β＝π2，则tan α，tan β无意义．③中，“∀x >1，x 2>1”的否定应为“∃x >1，x 2≤1”．故选B.8．(2021·河北张家口期末)已知命题：p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0.若p 为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，7)D ．(－∞，0)解析：选A 本题考查根据存在量词命题的真假求参数的取值范围．已知命题p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0为假命题，则綈p ：∀x ∈(－1,3)，x 2－a －2>0为真命题，所以a <x 2－2在x ∈(－1,3)时恒成立，即a <(x 2－2)min ＝－2.故选A.9．(2021·北京丰台一模)已知非零向量a ，b ，c 共面，那么“存在实数λ，使得a ＝λc 成立”是“(a ·b )c ＝a (b ·c )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 本题考查平面向量数量积的定义及应用，充分、必要条件的判断．假设存在实数λ，使得a ＝λc 成立，所以(a ·b )c ＝(λc ·b )c ＝λ|c ||b |cos 〈c ，b 〉c ， a (b ·c )＝λc ·|b ||c |cos 〈b ，c 〉， 所以(a ·b )c ＝a (b ·c )，故充分性成立． 若(a ·b )c ＝a (b ·c )， 则|(a ·b )c |＝|a (b ·c )|，即|a ||b ||cos 〈a ，b 〉||c |＝|a ||b ||c ||cos 〈b ，c 〉|， 所以|cos 〈a ，b 〉|＝|cos 〈b ，c 〉|. 因为〈a ，b 〉，〈b ，c 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉或〈a ，b 〉＋〈b ，c 〉＝π， 所以a ，c 方向相同或相反，所以存在实数λ，使得a ＝λc 成立，故必要性成立．故选C.10．若“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________.解析：因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以(m ，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m >3.答案：(3，＋∞)综合提升练11．(2021·江苏南通一中抽测)已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，43B.⎝⎛⎭⎫－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选B 本题考查绝对值不等式的求解，利用充分不必要条件求解参数．由题意，不等式|x －m |<1，解得m －1<x <m ＋1.因为不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1>12，解得－12<m <43，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，43.故选B. 12．(2021·江苏淮安期中)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 本题考查充分条件、必要条件的判定．由x 3>8，得x >2，则|x |>2；反之，由|x |>2，得x <－2或x >2，则x 3<－8或x 3>8.即“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件．故选A.13．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立解析：选ABD 原命题为存在量词命题，A 、B 、D 选项均为对应的存在量词命题，C 为全称量词命题，∴A 、B 、D 是原命题的表述方法，故选ABD.14．(多选题)下列式子，可以作为x 2<1的一个充分条件的是( ) A ．x <1 B ．0<x <1 C ．－1<x <1D ．－1<x <0解析：选BCD ∵x 2<1，∴－1<x <1，∴只要选项能推出－1<x <1即可，结合选项知选BCD.15．(多选题)命题p ：存在实数x ∈R ，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p 为真命题，则实数x 的取值集合可以为( )A ．{3,4,5}B ．{x |x >3}C ．{x |x ≥2}D ．{x |3≤x ≤6}解析：选ABD 根据中位数的定义可知，只需x ≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A 、B 、D 中的取值集合均满足x ≥3，故选ABD.16．(多选题)下列四个命题中，属于真命题的是( ) A ．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18B ．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等C ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切D ．∀x ∈R ，都有2x >x 2解析：选AC 对于A ，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18×43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于B ，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于C ，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确；对于D ，当x ＝4时2x ＝x 2，命题不正确．17．(2021·山东济南实验中学月考)已知p ：x －a <0，q ：向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.解析：本题考查向量的夹角，充分条件、必要条件的判断． 由x －a <0，得x <a .由向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角，得a ·b >0且向量a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－x >0，2x ＋3≠0，解得x <6且x ≠－32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以{x |x <a }是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <6且x ≠－32的真子集，所以a ≤－32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32 18．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________. 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题， 当k ＝0时，则有－1<0，满足题意；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0. 综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]。

第03讲等比数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等比数列及其前n 项和（精练）A 夯实基础一、单选题（2022·全国·高二课时练习）1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（）A ．860个B ．1730个C ．3072个D ．3900个（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）2．方程2540x x -+=的两根的等比中项是（）A ．2-和2B ．1和4C ．2和4D ．2和1（2022·辽宁·大连市一0三中学高二期中）3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（）A ．4B ．8C ．32D ．64（2022·全国·高三专题练习（理））4．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末（2022·全国·高二课时练习）5．在各项均为正数的等比数列中{}n a ，32a =，51a =，则1526372a a a a a a ++=（）A ．1B ．9C ．7D ．9（2022·全国·高三专题练习）6．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·福建龙岩·模拟预测）7．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（）(lg 20.3010)≈A ．30010B ．30110C ．30810D ．31010（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3二、多选题（2022·全国·高二单元测试）9．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则1r =-D ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列（2022·吉林·长春十一高高二期末）10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，下列结论一定成立的是（）A ．若30a >，则20210a >B ．若40a >，则20210a <C ．若30a >，则20210S >D ．若40a >，则20210S >（2022·全国·高三专题练习）11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT的最大值三、填空题（2022·湖北十堰·高二阶段练习）12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，919S =，则6S ，9S 的等差中项为__________.四、解答题（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）13．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．（2022·江苏·高二课时练习）14．如图，正三角形ABC 的边长为20cm ，取BC 边的中点E ，作正三角形BDE ；取DE 边的中点G ，作正三角形DFG ……如此继续下去，可得到一列三角形ABC ，BDE △，DFG …，求前20个正三角形的面积和.B 能力提升（2022·河南·模拟预测（文））15．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，下列结论正确的是（）A ．202320211a a >B ．202220211S S ->C ．数列{}n S 存在最大值D ．2021T 是数列{}n T 中的最大值（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）16．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2022·全国·高三专题练习）17．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()0n n S a n λλ=≠-.若数列{}1n a +为摆动数列（从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项），则实数λ的取值范围为_________.（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）19．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)（2022·浙江·高二阶段练习）20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．C 综合素养（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）21．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·全国·高三阶段练习）22．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法正确的是（）．A ．插入的第8B ．插入的第5个数是插入的第1倍C ．3M >D ．7N <（2022·全国·高三专题练习）23．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅（4C 称为“中央C ”）.将每个“八度”（如4C 与5C 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz ）的音可以是此时的钢琴发出的音（）（参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=）A ．110B ．233C ．505D ．1244（2022·全国·高二单元测试）24．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为___________.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（2022·全国·高三专题练习）25．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪()19061967-也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，()1223,n n n n a a n *--≥=+∈N ，则10a =_______．参考答案：1．C【分析】根据题意和等比数列的概念可知该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，进而得出首项和公比，即可求出11a .【详解】由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且13a =，公比2q =．由()263460--=，60106=，得1011323072a =⨯=．故选：C ．2．A【分析】先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知方程2540x x -+=的两根之积为4，又因为()242=±，故方程2540x x -+=的两根的等比中项是2±．故选：A 3．D【分析】依题意5a ，34a ，42a -成等差数列，可求出公比q ，进而由212a =求出4a ，根据等比中项求出17a a 的值.【详解】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．A【分析】由题意可知每小时末的细菌数构成了等比数列，求出其通项公式，列出相应的不等式，求得答案.【详解】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102nm m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭,由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.5．B【解析】利用等比数列的性质：若m n p q r r +=+=+，则m n p q r r a a a a a a == 可解.【详解】因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =-51a =，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++===+故选：B【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6．D【分析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．C【分析】根据题意可知第n 行第i 个数2n i k -的指数为二项式系数，第n 行数字的指数之和为二项式系数之和等于12n -，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=，利用对数运算进行计算估计．【详解】根据题意可得，“数字塔”中第n 行第i 个数均为2n i k -的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积()()()()11212210110210101011021010112122......222....22..22kk k k k k k k k k k k------------+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=根据指数运算可知，则n i k -按原位置排列即构成杨辉三角，可得n i k -为二项式系数，则第n 行数字的和为二项式系数之和等于12n -∴前10层的所有数字之和0191022..221+++=-该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=()102110lg lg 221lg 2308T -==-≈，则30810T ≈故选：C．8．C【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，L 成等比数列求解.【详解】解：因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则62mS =，则632m S S -=-，故633S S S -=966312S S S S -=--，所以964m S S -=，得到934S m =，所以9334S S =.故选：C.9．AD【分析】利用等比数列的定义可判断A ；利用等比数列的通项公式可判断B ；利用等比数列的前n 项和公式可判断C ；由123a a a <<，求出1q >可判断D.【详解】由数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，则222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭是常数，故A 正确；由32a =，732a =，则47316a q a ==，即22q =，所以253248a a q ==⨯=，故B 错误；若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，123,,a a a 成等比数列，2213a a a ∴=，即()461r =+，解得13r =-，故C 错误；若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故D 正确.故选：AD 10．AC【分析】利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出正误即可．【详解】解：A 、若2310a a q =>，则10a >，所以2020202110a a q=>，故本选项正确；B 、3410a a q =>，则无法判定1a 的正负，所以202020211a a q=的正负也无法判定，故本选项错误；C 、2310a a q =>，则10a >，若1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)01a q S q -=>-，故本选项正确；D 、若3410a a q =>，若10a >，1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)1a q S q -=-，当1q <-时，则10a <，所以20210S <，故本选项错误.故选：AC.11．BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =，所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误；B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确；C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，，有12789101a a a a a a >>>>=>>> ，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<，所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>> ，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确.故选：BD 12．292##14.5【分析】利用等比数列部分和的性质求出6S ，然后利用等差中项求解答案.【详解】设6S x =，因为{}n a 为等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列.因为34S =，919S =，所以()()24194x x -=-，解得10x =或6x =-（舍去）.所以6S ，9S 的等差中项为292.故答案为：292.13．(1)26n a n =-(2)6m =【分析】（1）由11252102a d a +=+=，求得14a =-，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知26n a n =-，求得25n S n n =-，912a =，1524a =，根据m S ，9a ，15a 成等比数列，列出方程，即可求解.(1)解：因为252a a +=且2d =，可得11252102a d a +=+=，解得14a =-，所以数列{}n a 的通项公式为4(1)226n a n n =-+-⨯=-.(2)解：由（1）知26n a n =-，可得2(4265)2n S n n n n -+-=-=，912a =，1524a =，因为m S ，9a ，15a 成等比数列，所以2915m a S a =，整理得2560m m --=，解得6m =或1m =-，又因为m N *∈，所以6m =.142201)cm 4-.【分析】由题意可知面积成等比数列，则可求总面积．【详解】设第n 个三角形边长为a ，则第n +1个三角形边长为2a，设第n 个三角形面积为n a ，则24n a =，2214216n a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵114n n a a +=，2120ABC a S === ，所以这些三角形面积成等比数列，且公比14q =，首项1a =所以前20个正三角形的面积和为：20220201)14)cm 1414S -==--．15．D【分析】根据题意可得20211a >，202201a <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，所以20211a >，202201a <<，所以01q <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.对于A ：因为22023202120221a a a =<，所以202320211a a <，故A 不正确；对于B ：()2022202120220,1S S a -=∈，故B 不正确；对于C ：根据上面的分析，等比数列{}n a 中每一项都为正值，所以n S 无最大值，所以数列{}n S 无最大值，故C 不正确；对于D ：因为在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0，所以2021T 是数列{}n T 中的最大值，故D 正确.故选：D.16．D【分析】在等差数列中，由10k k d a a +=->可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比1k ka q a +=知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.【详解】对于①，由10k k a a +>>知：公差10k k d a a +=->，∴自第k 项起，数列{}n a 为递增数列，又0k a >，∴对于任意自然数n k >，都有0n a >，①正确；对于②，由0k a <，10k a +<知：公比10k ka q a +=>，∴数列{}n a 各项符号相同，即对于任意n N *∈，都有0n a <，②正确；对于③，若等差数列{}n a 中，21a =-，33a =-，则公差2d =-，110a ∴=>，③错误；对于④，由10k k a a +⋅<知：公比10k ka q a +=<，∴等比数列{}n a 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，∴对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<，④正确；综上所述：正确的命题的个数为3个.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.17．B【详解】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅所以81333r r +=∴=-，故选B.18．()0,1【分析】由退位相减法求得1()1n n n a a a λ-=--，化简整理后得1111n n a a λλ-+=+-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，要是摆动数列，则有公比小于0，求解即可.【详解】由n n S a n λ=-①，得111(2)n n S a n n λ--=+≥-②，①－②得1()1n n n a a a λ-=--，即()111n n a a λλ--=+，整理得()()()1111n n a a λλ--+=+，当1λ=时，不合题意，当1λ≠且0λ≠时，1111n n a a λλ-+=+-，且1n =时，111S a λ=-，111a λ=-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，若数列{}1n a +为摆动数列，则有01λλ<-，解得01λ<<.故答案为：()0,1.19．6【分析】根据给定条件，分别计算前面每次操作去掉的区间长度和，进而求出第n 次操作去掉的区间长度和n a ，再求数列{}n a 前n 项和，列不等式求解作答.【详解】设n a 为第n 次操作去掉的区间长度和，113a =，第1次操作后剩下两个长度为13的闭区间，则第2次操作去掉的区间长度和222122()33a =⋅=，第2次操作后剩下4个长度为213的闭区间，则第3次操作去掉的区间长度和3231144333a =⋅⋅=，如此下去，第1(2,N )n n n *-≥∈次操作后剩下12n -个长度为113n -的闭区间，则第n 次操作去掉的区间长度和1111122333n n n n n a ---=⋅⋅=，显然，数列{}n a 是等比数列，首项113a =，公式23q =，其前n 项和12[1()]2331()2313n nn S -==--，由910n S ≥得：21()310n ≤，11 5.6786lg 3lg 20.47710.3010n ≥≈≈--，而N n *∈，则min 6n =，所以需要操作的次数n 的最小值为6.故答案为：620．(1)1(1)2n n a n -=+⋅；(2)不存在，证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”变形，构造数列{}nS n即可求解作答.（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n 的单调性推理作答.【详解】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)-⋅-=+⋅n n n n S S n S ，即121-=⋅-n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n nn S S n -=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22-+⋅==+⋅n nn n S a n n.（2）记231=-+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321-=-⋅+=-+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232-=-+-n n m m p p，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=-∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++-≥-p p n n ，因此()1123232323232++-=-+-≥-+-n n m m p p m m n n ，即332n m m -≥-，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项．21．A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A 22．BC【分析】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，根据题意11a =，132a =，即可求出122q =，再根据等比数列的性质和等比数列前n 项和公式，逐项判断，即可得到结果.【详解】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，则11a =，132a =，故121312a q a ==，所以8128912a a q ===A 错误；因为462a q a ==B 正确；()112111212112112111111212a q M q----====-----，要证3M >，即证11211312-->-，即证1121421>-，即证112524>，即证12524⎛⎫> ⎪⎝⎭，而()1265 1.524⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故C 正确；而3N M =+，因()()12636 1.4 1.925⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，所以112625>，1121521>-，所以11211412-->-即4M >,所以7N >，D 错误.故选：BC ．23．ABD 【分析】A.由244042110==可得答案；对于BCD ，通过524C C =⋅求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.【详解】∵A 4=440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确.设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3=220，A 4=440，A 5=880，112233 1.0592220q ===，B 正确；155051.1482440n q ==≠（n ∈N *），C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确.故选：ABD.24．8【分析】根据题设可得第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，则有12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再根据指对数关系及对数运算性质求n 的最大值.【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意知，12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则21330n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则2lg lg 301lg 33n -=--≥，∴()lg 2lg 31lg 3n -≥--，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010≈，lg30.4771≈，可得8n ≤，故最大值为8.故答案为：8.25．682【分析】利用累加法可求得10a 的值.【详解】当3n ≥且n N *∈时，122n n n a a ---=，所以，()()()()()535791024264861082142222268214a a a a a a a a a a -=+-+-+-+-=++++==-.故答案为：682.。