2018年高考理科数学校级第二次模拟考试试题

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学（理）试题有答案哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i -2．已知集合A ={x |2()lg(6)f x x x =-+}，B ={x |()g x =x m -}，若A B ≠?I ，则实数m 的取值范围是( )A ．(?∞，3)B ．(?2，3)C ．(?∞，?2)D ．(3，+∞)3．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为( )A ．22145y x -= B ．22154x y -= C ．22145x y -= D ．22154y x -= 4．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( )A ．128B ．108C ．64D ．32 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=( )A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6．已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增；命题q ：“2,23x R x x ?∈+>”的否定是“2,23x R x x ?∈+<”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ∧? D ．p q ?∧?7．函数()f x =2ln ||2x x+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”，执行该程序，若输入6n =，则输出C =( ) A ．5 B ．8 C ．13 D ．219．从,,,,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A ．14π B ．34πC ．12π D ．32π11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．51(0,)- B ．51(,1)- C ．31(,1)- D ． 31(0,)- 12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()f x = 212x ?(0)f x +(1)f '1x e -， ()g x = ()f x ?212x x +，若方程2()x g x a -?x =0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是（）A ． (0，1]B ．(?∞，?1]C ．(?∞，0)∪{1}D ．[1，+∞)第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是．14．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ≤??≤-+??≥?，且22x y μ=++的最小值为4-，则k = ．15．若9290129(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则7a 的值为． 16．已知首项为13的数列{n a }的前n 项和为n S ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()f x ，对任意的x ，y ∈R ，都有()f x ·()f y =()f x y +．若点(n ，n a )(n ∈N *)在函数()f x 的图象上，且不等式2m +23m<="">三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos c b A a B -=．（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且满足2,23BD DC AD ==u u u r u u u r，3,b =求a ．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，112,22EF EB FC EA FD ====，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDF ；（2）若二面角B ?AD ?F 的大小为60°，求EA 的长度．图图1 图219．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。

2018年济宁市高三模拟考试理科数学试题2018.05本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足1zi z=+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合(){}1ln 2,2,2xA x y xB x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-=<⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则A ．{}1x x <-B ．{}2x x <C ．{}12x x -<<D ．{}2x x -1<≤3．设R θ∈，则“sin 2θ=”是“tan 1θ=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个数，则所取2个数之积能被3整除的概率是 A ．25B ．310C ．35D ．455．已知,αβ是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是 A ．,,//m m αβαβ⊥⊥若则B ．//,,m n m n αα⊥⊥若则C ．//,,//m n m n ααβ⋂=若则D ．,,m m αβαβ⊥⊂⊥若则6．已知双曲线2221y x b-=的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为A B C D 7．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A ．11-B ．5-C ．7D ．138．九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．要将九连环中的九个圆环全部从框架上解下或套上，需要遵循一定的规律．解下或者套上所需要的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到．执行该程序框图，输出的结果为 A ．170 B ．256 C ．341 D ．6829．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象 A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=对称D ．关于直线12x π=-对称10．某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为A ．22π+B ．43π+C ．4433π+D ．423π+11．设非零向量,,a b c 满足0,2a b c a ++==，,120b c <>=，则b 的最大值为A ．1B C D ．212．已知(),,122x y f x ππ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭为奇函数，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos f x x >的解 A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)13．已知变量,x y 满足约束条件10310,2310x y x y z x y x y +-≤⎧⎪-+≥=-⎨⎪--≤⎩则的最大值为▲ ．14.2017年底，某单位对100名职工进行绩校考核，依考核分数进行评估，考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100名职工评估得分的中位数是▲ ．15.如图，在平面四边形ABCD中，45,6A B ∠=∠=，150,24D AB BC ∠===，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．16．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNMF的最大值为 ▲ ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足2113,44412n n n a a a a +==+-． (I)证明：1lg 2n a ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是等比数列； (II)记12111222n n R a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求n R ．18. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（I ）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（II ）若直线AB 与平面BCD 所成角为30时，求二面角D AC B --的余弦值. 19．(本小题满分12分)某单位计划组织200名职工进行一种疾病的筛查，先到本单位医务室进行血检，血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为1％，且每个人血检是否呈阳性相互独立．(I)根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检人员随机分成20组，每组10人，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．设进行化验的总次数为X ，试求X 的数学期望；(Ⅱ)若该疾病的患病率为0.5％，且患该疾病者血检呈阳性的概率为99％，该单位有一职工血检呈阳性，求该职工确实患该疾病的概率．(参考数据：0.9910=0.904，0.9911=0.895， 0.9912=0.886．)20．(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点为F x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF BF +=(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得EM EN ⋅是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln f x x t x =-+．(I)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当1t =时，若对任意(]1,0m ∈-，关于x 的方程()(]003f x ax m +-=在，内总有两个不同的根，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线121cos :4sin x C x y C y αα=+⎧+=⎨=⎩，曲线：（α为参数），过坐标原点O 的直线l 交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B(点B 不是原点)．(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线1C 和2C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OBOA的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分) 设函数()21f x x =-．(I)设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；(Ⅱ)已知m 为(I)中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=(其中,,a b c 为正实数)， 求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·渭南质检]设i 是虚数单位，若复数z 的共轭复数为（ ） ABCD【答案】D 【解析】根据共轭复数的概念得到，z故答案为D ．班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封2．[2018·吉林实验中学]若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ）A ．B ．8C ．9D ．64【答案】B【解析】由双曲线性质：21a =，2b m =，219c m ∴=+=，8m =，故选B ．3．[2018·菏泽期末]()f x ）A B C D ．2【答案】D故选D ． 4．[2018·晋城一模]函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】B 【解析】0x >，1012x⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即值域()0,1D =，若在区间()1,2-上随机取一个数x ，x D ∈的事件记为A ，则()()101213P A -==--，故选B ．5．[2018·济南期末]记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．1 B ．2C ．129D ．2188【答案】C【解析】在()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++中，令0x =，可得701272a a a a +++⋅⋅⋅+=，()7711a =-=-，所以01a a a a +++⋅⋅⋅+=7721281129a -=+=，故选C ． 6．[2018·昆明一中]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯=，故选B ．7．[2018·漳州调研]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ） A ．一鹿、三分鹿之一 B ．一鹿 C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且，公差为d ，则，解得，所以B．8．[2018·周口期末]）A．B．C．D．【答案】B-≠，1x≠，即()()x10x∈-∞+∞，，，故排除A，11x=C，故选B．D，当09．[2018·郴州月考]阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．125【答案】C【解析】第一次运行：011a =+=，1i =为奇数，112S =+=，112i =+=； 第二次运行：123a =+=，2i =为偶数，326S =⨯=，213i =+=； 第三次运行：336a =+=，3i =为奇数，6612S =+=，314i =+=； 第四次运行：6410a =+=，4i =为偶数，1012120S =⨯=，415i =+=； 程序终止运行，输出120S =．故选C ．10．[2018·孝感联考]当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．43【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z=，即112p=．区域C的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D的面积为2112612p==，所以121224133p p-=-=．11．[2018·德州期末]已知点1F是抛物线C：22x py=的焦点，点2F为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过2F作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以1F，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB1C1D【答案】C【解析】20,2pF⎛⎫-⎪⎝⎭，设过2F的抛物线C的切线方程为2py kx=-2220x pkx p-+=，令222440p k p∆=-=，解得21k=，即2220x px p±+=，不妨设,2pA p⎛⎫⎪⎝⎭，由双曲线的定义得，122c F F p==，则该双曲线的离心率为1e==．故选C．12．[2018·天津期末]已知函数()e ex xf x-=+（其中e是自然对数的底数），若当x>时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，即()e e e 11x x x m ---+-≤，0x >，1e e 0xx--∴>+()0,+∞上恒成立，设e x t =，()1t >()1,+∞上恒成立，当且仅当2t =B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2018年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B 错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解 (1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解 (1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明 (方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.解 (1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

2018年吉林省学校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={﹣2，﹣1，0，3，4}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{0，3，4}【解答】解：由|≤0得﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，∵B={﹣2，﹣1，0，3，4}，∴A∩B={0，3}，故选：B2．（5分）若复数是虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z==3+2i，则z的共轭复数=3﹣2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限．故选：D．3．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵；；∴；∴；∴向量与的夹角为．故选B．5．（5分）某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：执行程序框图，有S=1，k=1满足条件S＜2014，有S=2，k=2；满足条件S＜2014，有S=4，k=3；满足条件S＜2014，有S=16，k=4；满足条件S＜2014，有S=4049，k=5；不满足条件S＜2014，输出k的值为5．故选：C．6．（5分）若满足x，y约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，目标函数有最大值，由：，可得A（1，），z的最大值为z=1+=．故选：A．7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【解答】解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故选C．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前10项和为（）A．410﹣1 B．（210﹣1）2C．（410﹣1）D．（210﹣1）【解答】解：∵S n=2n﹣1，∴S n+1=2n+1﹣1，∴a n=S n+1﹣S n=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，+1又a1=S1=2﹣1=1，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n﹣1，∴=（2n﹣1）2=4n﹣1，∴所求值为=，故选：C．9．（5分）已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．10．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．11．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且•=0，则|+=（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：由双曲线方程得a2=4，b2=5，c2=9，即c=3，则焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），∵点P在双曲线C的右支上，且•=0，∴△F1PF2为直角三角形，则|+=|2|=|F1F2|=2c=6，故选：B．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x ≥0）交点个数即可．如图所示：当x=1时，0＜＜1观察图象可得：它们有2个交点．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）. 13．（5分）（x3﹣）4展开式中常数项为﹣4．【解答】解：设展开式的通项为T r+1，则T r+1=•（x3）4﹣r•=（﹣1）r••x12﹣4r•令12﹣4r=0得r=3．∴开式中常数项为：（﹣1）3•=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=﹣1或．【解答】解：∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或15．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．16．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为12．【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣4，焦点为F（4，0），过A向准线作垂线，垂足为B，∴|PA|+|PF|≥|AB|=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵又∵α为锐角∴α=∴∴f（x）=2x+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1）（2）∵a n+1∵a1=1∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由上步可得a n+1=2n，∴a n=2n﹣1∴18．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【解答】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．19．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（﹣4，0，0），F（﹣4，4，0），B（0，4，0），C（0，4，4），M（﹣2，2，0），N（0，4，2），D（0，0，4），=（2，2，2），=（0，4，0），=（4，0，4），设平面CDEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），∵=2+0﹣2=0，且MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF．解：（Ⅱ）A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（﹣4，4，0），面CBF法向量为=（0，1，0），=（0，﹣4，﹣4），=（﹣4，0，﹣4），设面ACF法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（1，1，﹣1），设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ，∴cosθ===，∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆C方程为+y2=1．（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，切点的纵坐标y0=kx0+t=，所以=﹣，所以k=﹣，所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）=﹣（x﹣x0），化简得：+=1．当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）设点P（x P，y P）为圆x2+y2=16上一点，PA，PB是椭圆+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，过点B的椭圆的切线为+y2y=1．由两切线都过P点，+y1y P=1，+y2y P=1即有切点弦AB所在直线方程为+yy P=1．M（0，），N（，0），|MN|2=+=（+）•=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=即x P2=，y P2=时取等，则|MN|，即|MN|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四、解答题（共1小题，满分10分）22．（10分）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|，解得：x或x，∴不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）．（2）∵不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|∴原不等式解集为R等价于|a﹣1|≥1，解得：a≥2或a≤0∵a＞0，∴a≥2故得实数a的取值范围为[2，+∞）．。

山东省2018届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，﹣1）C．（1，﹣i）D．（2，﹣2i）2．已知集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={x||2x﹣1|＞1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜0或0＜x＜3} D．{x|x＜0或1＜x ＜3}3．“a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人B．108人C．112人D．120人5．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）A．1 B． C． D．6．在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）A．B．C．D．8．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f （b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）9．已知点M（x，y）为平面区域D：内的一个动点，若z=的最大值为3，则区域D的面积为（）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2+D．ln2﹣10．已知点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，点F是抛物线C的焦点，点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D． +1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：经计算得到随机变量K 2的观测值为8.333，则有 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关（临界值参考表如下）．12．已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 ． 13．在（2x 2﹣）6的展开式中，含x 7的项的系数是 ．14．x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则的最小值为 ．15．已知函数f （x ）=若存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f （a ）=f （b ）=f （c ），则a +b +c 的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若向量=（a +c ，sinB ），=（b ﹣c ，sinA ﹣sinC ），且∥． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数f （x ）=tanAsinωxcosωx ﹣cosAcos2ωx （ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为，现将y=f （x ）的图象上各点向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）在[0，π]上的值域．17．（12分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA=DA=AB=2CB ，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．18．（12分）甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（a n﹣1），数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，且b6=a3，b60=a5，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n b n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足=．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（，0），若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：•为定值；（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足+=λ，求实数λ的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=﹣m（lnx+）（m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当m＞1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，求实数m的取值范围．（Ⅲ）当m=1时，证明：xf（x）+xlnx+1＞x+．山东省2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，﹣1）C．（1，﹣i）D．（2，﹣2i）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=|+i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=|+i|，得=，则在复平面内，z对应的点的坐标是：（1，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={x||2x﹣1|＞1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜0或0＜x＜3} D．{x|x＜0或1＜x ＜3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算直接求出A∩B．【解答】解：A={x|y=log2（3﹣x）}=（﹣∞，3），由|2x﹣1|＞1，得x＞1或x＜0，则B=（﹣∞，0）∪（1，+∞）所以A∩B=（﹣∞，0）∪（1，3），故选：D．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，注意对数的性质及其运算．3．“a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断．①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．【解答】解：∵a＜﹣2，f（x）=ax+3，∴f（0）=3＞0，f（2）=2a+3＜2×（﹣2）+3=﹣1＜0，f（0）•f（2）＜0∴函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0．∴a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的充分条件；反之，若函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点，则f（﹣1）•f（2）≤0，即（﹣a+3）（2a+3）≤0，∴a＜﹣2不是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点的必要条件．故选A．【点评】本题考查充分、充要条件的判断方法，我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断，解题的关键是零点存在性定理的正确使用．4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人B．108人C．112人D．120人【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据分层抽样即可求出答案．【解答】解：由题意可得×300=108，故选：B【点评】本题考查了分层抽样的问题，属于基础题．5．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）A．1 B． C． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得底面圆的半径为=2，圆锥的高为=2，即可求出原圆推的体积．【解答】解：由三视图可得底面圆的半径为=2，圆锥的高为=2，∴原圆推的体积为=，故选D．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．【点评】本题考查程序框图，考查概率的计算，正确求出输出的y≥3时，x的范围是关键．7．在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=t，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设=t，则==（+）=+，=+×t=+（﹣），=（﹣）+，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=， 故选：A ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．8．已知函数y=f （x ）是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）•[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．设，则（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ） 【考点】3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可判断f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）是偶函数，所以f （x ）=f （|x |），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a |，|b |，|c |的大小即可得出f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系．【解答】解：根据已知条件便知f （x ）在（0，+∞）上是减函数； 且f （a ）=f （|a |），f （b ）=f （|b |），f （c ）=f （|c |）；|a |=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a |，c=；∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）． 故选：C ．【点评】考查偶函数的概念，函数单调性的定义，根据对数函数的单调性判断对数的取值情况，以及减函数定义的运用．9．已知点M （x ，y ）为平面区域D ：内的一个动点，若z=的最大值为3，则区域D 的面积为（ ）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2+D．ln2﹣【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由题意求得a值，然后利用定积分求面积．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（a，a），z=的最大值为P（0，﹣1）与A连线的斜率，等于，则a=．∴区域D的面积为==．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．10．已知点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，点F是抛物线C的焦点，点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D． +1【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求得抛物线的方程，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，可得p=2，抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PF|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最小值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：经计算得到随机变量K 2的观测值为8.333，则有 99.5 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关（临界值参考表如下）．【考点】BL ：独立性检验．【分析】根据随机变量K 2的观测值，对照临界值表即可得出结论． 【解答】解：根据表中数据计算得到随机变量K 2的观测值为8.333， 对照临界值表知8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．12．已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 3 ． 【考点】GR ：两角和与差的正切函数．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tanα=﹣2，tan （α+β）=， 可知tan （α+β）==，即=，解得tanβ=3． 故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．13．在（2x 2﹣）6的展开式中，含x 7的项的系数是 240 ．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于7求出r 的值，计算展开式中含x 7的项的系数即可．【解答】解：（2x 2﹣）6的展开式中，通项公式为：T r +1=•（2x 2）6﹣r •=（﹣1）r •26﹣r ••，令12﹣=7，解得r=2；∴展开式中含x 7的项的系数是：（﹣1）2•24•=240．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．14．x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则的最小值为．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【分析】先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径，根据x 2+y 2+2ax +a 4﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，得出两圆外切，圆心距等于两半径之和，得出a ，b 的关系式；a 2+4b 2=25，再利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线， ∴两圆外切，∴圆心距等于两半径之和，即得：a 2+4b 2=9，∴=（5++）≥（5+4）=1当且仅当a=2b时取等号，则的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要把握住基本不等式中的“一正”，“二定”，“三相等”的特点．15．已知函数f（x）=若存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2018π）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的函数图象，判断a，b，c的关系和范围，从而得出答案．【解答】解：f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，则0，，令log2017=1得x=2017π，∴π＜c＜2017π，∵f（x）在[0，π]上的图象关于直线x=对称，∴a+b=π，∴a+b+c∈（2π，2018π）．故答案为（2π，2018π）．【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2017•济宁二模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量=（a+c，sinB），=（b﹣c，sinA﹣sinC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为，现将y=f（x）的图象上各点向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；96：平行向量与共线向量．【分析】（Ⅰ）利用两个向量共线的性质求得b2+c2﹣a2=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量=（a+c，sinB），=（b﹣c，sinA﹣sinC），且∥，则（a+c）•（sinA﹣sinC）﹣sinB（b﹣c）=0，即（a+c）•（a﹣c）=b（b﹣c），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=．（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0）=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为==，∴ω=1，现将y=f（x）=sin（2x﹣）的图象上各点向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）=sin（x+）的图象，在[0，π]上，x+∈[，]，g（x）=sin（x+）∈[﹣，1]，即g（x）在[0，π]上的值域为[﹣，1]．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）（2017•济宁二模）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由题意可得AE、AB、AD两两垂直，以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面MBD的一个法向量，由可得FN∥平面MBD；（Ⅱ）设，把M的坐标用λ表示，求出平面BDM的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求得λ值，则答案可求．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，∴以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N为BE的中点，M是EC的中点，AF=3FD，得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），C（0，8，4），E（8，0，0）．∴，，．设平面MBD的一个法向量为，由，取z=1，得．∵=，∴，则FN∥平面MBD；（Ⅱ）解：设，M（x1，y1，z1），则=（x1，y1﹣8，z1﹣4），，∴（x1，y1﹣8，z1﹣4）=（8λ，﹣8λ，﹣4λ），∴，得M（8λ，8﹣8λ，4﹣4λ），∴．设平面BDM的一个法向量为，由，取z2=1，得．平面ABD的一个法向量为，由|cos＜＞|=||=||=，得8λ2﹣6λ+1=0，解得或．∵平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，∴，即M为EC中点．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查存在性问题的求解方法，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．（12分）（2017•济宁二模）甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，利用互斥事件概率加法公式能求出甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，则甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率：P（A）==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）=（）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19．（12分）（2017•济宁二模）已知数列{a n}的前n项和S n=（a n﹣1），数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，且b6=a3，b60=a5，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n b n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）S n=（a n﹣1），可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=3a n﹣1．n=1时，a1=，解得a1．利用等比数列的通项公式可得a n．b6=a3=33=27，b60=a5=35．数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，即b n+2+b n=2b n+1，利用等差数列通项公式即可得出．（II）c n=（﹣1）n b n b n+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．计算c2k﹣1+c2k，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（I）∵S n=（a n﹣1），∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣，化为：a n=3a n﹣1．n=1时，a1=，解得a1=3．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为3．∴a n=3n．b6=a3=33=27，b60=a5=35．数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，即b n+2+b n=2b n+1，∴数列{b n}是等差数列，设公差为d，则b1+5d=27，b1+59d=243．联立解得b1=7，d=4．∴b n=7+4（n﹣1）=4n+3．（II）c n=（﹣1）n b n b n+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．c2k﹣1+c2k=﹣（8k﹣1）（8k+3）+（8k+3）（8k+7）=48k+18．∴n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和T n=T2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k﹣1+c2k）=48×（1+2…+k）+18k=+18k=24k2+42k=6n2+21n．n=2k﹣1时，T2k﹣1=T2k﹣2+c2k﹣1=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（8k﹣1）（8k+3）=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（4n+3）（4n+7）=﹣10n2﹣31n﹣36．∴T n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•济宁二模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足=．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（，0），若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：•为定值；（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足+=λ，求实数λ的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可知：c=1，=，a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，即可求证•为定值；（Ⅲ）分类讨论，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得k2＞，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得4=（1+2k2），即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由=，则Q为PF1的中点，则PF1⊥F1F2，则c=1，=，a2=b2﹣c2，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线l的方程y=k（x﹣1），k≠1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2，由=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），则•=（x1﹣，y1）（x2﹣，y2）=（1+k2）x1x2﹣（k2+）（x1+x2）++k2，=（1+k2）×﹣（k2+）×++k2，=+，=﹣，∴•为定值，定值为﹣；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．当λ=0时，由+=λ， +=，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立；当λ≠0时，联立，得（1+2k2）x2+8kx+6=0，由△=（8k）2﹣4×6（1+2k2）＞0，解得k2＞，…（*），∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）+4=．由+=λ，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，，由Q在椭圆上，代入，整理得4=（1+2k2），代入（*）式，得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．综上可知：λ∈（﹣2，2）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）（2017•济宁二模）已知函数f（x）=﹣m（lnx+）（m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当m＞1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，求实数m的取值范围．（Ⅲ）当m=1时，证明：xf（x）+xlnx+1＞x+．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），=．令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm分①m=e，②m＞e，③1＜m＜e分类讨论其单调性；（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xe x=﹣e x﹣m（x﹣1）在（，3）内有两个零点，⇔方程﹣e x﹣m（x﹣1）=0在（，3）内有两个实根，即m=﹣在（，3）内有两个实根，令h（x）=﹣，可得h（x）在（）递增，在（2，3），递减，要使g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，则可得实数m的取值范围为（﹣，﹣e2）．（Ⅲ）当m=1时，要证xf （x ）+xlnx +1＞x +．只证x （﹣lnx ﹣）+xlnx +1＞x +在（0，+∞）恒成立．只证，易得e x ＞x +1在（0，+∞）恒成立，故只需证1＞，即证x ＞ln （x +1）即可，【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），=．∵m ＞1，令f′（x ）=0，可得x=1，或x=lnm①当m=e 时，f′（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，∴此时f （x ）在（0，+∞）递增；②当m ＞e 时，x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0，x ∈（1，lnm ）时，f′（x ）＜0，x ∈（lnm ，+∞）时，f′（x ）＞0此时f （x ）在（lnm ，+∞），（0，1）递增，在（1，lnm ）递减．③当1＜m ＜e 时，x ∈（0，lnm ）时，f′（x ）＞0，x ∈（lnm ，1）时，f′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＞0此时f （x ）在（1，+∞），（0，lnm ）递增，在（lnm ，1）递减．（Ⅱ）g （x ）=x 2f′（x ）﹣xe x =﹣e x ﹣m （x ﹣1）在（，3）内有两个零点，⇔方程﹣e x ﹣m （x ﹣1）=0在（，3）内有两个实根，即m=﹣在（，3）内有两个实根，令h （x ）=﹣，h′（x ）==0，可得x=2，x时，h′（x ）＞0，x ∈（2，3）时，h′（x ）＜0，∴h （x ）在（）递增，在（2，3），递减，要使g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，则可得﹣＜m＜﹣e2，∴实数m的取值范围为（﹣，﹣e2）．（Ⅲ）证明：当m=1时，要证xf（x）+xlnx+1＞x+．只证x（﹣lnx﹣）+xlnx+1＞x+在（0，+∞）恒成立．只证，易得e x＞x+1在（0，+∞）恒成立，故只需证1＞，即证x＞ln（x+1），令F（x）=x﹣ln（x+1），F′（x）=1﹣＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，而F（0）=0∵F（x）＞0在（0，+∞）恒成立．∴xf（x）+xlnx+1＞x+成立．【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想、函数与方程思想，放缩法证明函数恒等式，属于难题．。

2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣43．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．34．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．1895．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．67．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝08．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，则A∪B＝{x|x∈R}．故选：B．2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【解答】解：由（1﹣mi）（m+i）＝2m+（1﹣m2）i＜0，得，即m＝﹣1．故选：A．3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．3【解答】解：根据题意，向量＝（2，3），＝（x，4），则﹣＝（2﹣x，﹣1），若⊥（﹣），则有•（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，解可得：x＝故选：B．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．189【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，∵a5是a3和a8的等比中项，∴（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d），化为d（d﹣1）＝0，d≠0．联立解得：d＝1，则S18＝18×2+×1＝189．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，即，∴ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+），对于A和C：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝1，∴A不对，C对．对于B：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝，∴B不对．对于D：：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝0，∴D不对．故选：C．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝100满足条件S＞0，执行循环体，S＝97，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝91，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝82，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝70，k＝5满足条件S＞0，执行循环体，S＝55，k＝6满足条件S＞0，执行循环体，S＝37，k＝7满足条件S＞0，执行循环体，S＝16，k＝8满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣8，k＝9此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为9．故选：A．7．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝0【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，故圆心是（2，3），半径是4，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，显然x+2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是，直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b＝0，故，解得：，故切线方程是7x+24y+14＝0，故选：C．8．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．△ABC的面积为S1＝，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝π，∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1﹣＝1﹣．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，可得sin x sin（x+3θ）是偶函数，∵θ∈（0，），∴3θ＝，可得θ＝．那么：f（x）＝sin x sin（x+）＝sin x cos x＝sin2x．∵sin2x的最大值为1；∴f（x）的最大值为1×．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则：△ABC为直角三角形．所以：r＝＝．所以：V＝．故选：D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．【解答】解：把x＝代入双曲线方程可得y＝±，∴|PF1|2＝（）2+，|PF2|2＝（﹣c）2+，∵F1P⊥F2P，|F1F2|＝2c，∴（）2++（﹣c）2+＝4c2，化简可得：16a2+7b2＝9c2，∴9a2＝2c2，∴e＝＝．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）＝0在（0，+∞）上有解，即e﹣x+2﹣ln（x+a）﹣2＝0在（0，+∞）上有解，即函数y＝e﹣x与y＝ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx的图象向左平移且平移到过点（0，1）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，1）代入y＝ln（x+a）得，1＝lna，∴a＝e，∴a＜e故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是210．【解答】解：由＝．令，得r＝6．∴二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．故答案为：210．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为12．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴函数f（log26）＝f（log26+1）＝＝6×2＝12．故答案为：12．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．【解答】解：f′（x）＝，设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m＝0，则＝2，解得x0＝1．∴P（1，0）．∴点P到直线l的距离的最小值为切点P到直线l的距离d＝＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，在△ABC中，，则有＝1﹣，即+＝1，变形可得：b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，又由b＝5且•＝5，即有bc cos A＝5，则c＝2，则△ABC的面积S＝bc sin A＝，故答案为：．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n＝n﹣4．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）＝n﹣4，化为：S n﹣n+2＝2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n＝1时，a1﹣2a1＝1﹣4，解得a1＝3，∴S1﹣1+2＝4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2＝2n+1，可得：S n＝2n+1+n﹣2．于是T n＝（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n＝+﹣2n＝2n+2﹣4+．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）【解答】解：（1）由直方图可得：20（x+0.0175+0.0225+0.005+x）＝1，∴x＝0.0025．（2）新手中上学时间不少于 1 小时的频率为：20（0.005+0.0025）＝0.15，∴新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15＝180人．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为20（0.0025+0.0175）＝0.4．∴P（X＝0）＝（1﹣）4＝，P（X＝1）＝••（1﹣）3＝，P（X＝2）＝•（）2•（1﹣）2＝，P（X＝3）＝•（）3•（1﹣）＝，P（X＝4）＝（）4＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A＝AB，所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…（2分）因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，所以CB⊥侧面A1ABB1，因为AB1⊂平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…（4分）又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC．…（6分）（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，所以AB＝＝4，又菱形A1ABB1中，因为∠A1AB＝60°，所以△A1AB为正三角形，如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z轴建立如图空间直角坐标系，则A1（2，0，0），B（﹣2，0，0），C（﹣2，0，3），B1（0，﹣2，0），C1（0，﹣2，3），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，2，﹣3），设＝（x，y，z）为平面A1CC1的法向量，则，取x＝3，得＝（3，，4），又＝（0，﹣2，0）是平面A1BC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值为﹣．…（12分）20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为+＝1 （a＞b＞0），F（c，0）；由题意知，解得b＝，c＝1；所以椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝＝；（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）；由，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0；设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝，所以x0＝，y0＝k（x0+2）＝；因为点F坐标为（1，0），当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2），此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2＝1与直线PF相切；当k≠±时，则直线PF的斜率为k PF＝＝，所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），点E到直线PF的距离为d＝＝＝2|k|；又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF相切；综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，∴f′（x）＝ae x+2x，g′（x）＝cos x+b，f（0）＝a，f′（0）＝a，b，，曲线C1：y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝ax+a，曲线C2：y＝g（x）在点（，g（））处的切线为，即y＝bx+1，依题意有a＝b＝1，直线l方程为y＝x+1．证明：（2）由ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0，得ae x+x2＞sin x+bx，∴ae x+x2﹣（x+1）＞sin x+bx﹣（x+1）由（1）知a＝b＝1，则e x+x2﹣（x+1）＞sin x+x﹣（x+1），设F（x）＝e x+x2﹣x﹣1，则F′（x）＝e x+2x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，∵0＜e x＜1，∴F′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴F（x）≥F（0）＝0，当x＝0时，等号成立，∴设G（x）＝sin x+x﹣（x+1）＝sin x﹣1，等号成立，又∵F（x）与G（x）不同时为0，∴F（x）＞g（x），∴e x+x2﹣x﹣sin x＞0，∴ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，转换为参数方程为：（t 为参数）．曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将（t为参数）代入y2＝2x，得到：3t2﹣2t﹣4＝0，设A、B对应的参数为t1和t2，则：，A（x1，y1）B（x2，y2），中点N（x0，y0），则：＝2+＝，＝．故中点坐标为：N（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．【解答】解：（1）a＝0时，原不等式为|x+2|﹣3|x|≥0，故|x+2|≥3|x|，故x2+4x+4≥9x2，解得：﹣≤x≤1，故不等式的解集是{x|﹣≤x≤1}；（2）令F（x）＝|x+2|﹣3|x|，由题意得F（x）max≥a，∵F（x）＝|x+2|﹣|x|﹣2|x|≤|x+2﹣x|﹣2|x|＝2﹣2|x|≤2，当且仅当x＝0时，上述不等式等号同时成立，∴F（x）max＝2，∴a∈（﹣∞，2]时，该不等式成立．。

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。

2018年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．已知函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＜1且x≠0}B．{x|x≤1且x≠0}C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}2．复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边长分别为a，b，c，且满足a：b：c=6：4：3，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣6．若函数y=kx的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数k的最大值为（）A．B．2 C．D．17．若函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴方程为x=，则实数a的一个可能的取值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．过点M（2，0）作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB（A，B为切点），则•=（）A．B．C．D．9．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．011．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1 D．12．已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（）A．（4，16） B．（0，12） C．（9，21） D．（15，25）二、填空题（每题5分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是______．14．已知m＞0，（1+mx）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，若a1+a2+…+a10=1183，则实数m=______．15．若关于x的函数f（x）=（t≠0）的最大值为a，最小值为b，且a+b=2018，则实数t的值为______．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于______．三、解答题17．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n与1的等差中项等于S n与1的等比中项．（1）求a1的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+（﹣1）n﹣1×3n+1t，对于n∈N*有b n+1＞b n恒成立，求实数t的取值范围．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，3“”X X19．已知如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线﹣y2=1渐近线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AB：y=kx+m（k＜0）与椭圆C交于不同的A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线AB的距离为，求直线AB的方程．21．已知函数f（x）=e x sinx，F（x）=mx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[0，]时，f（x）≥F（x），求实数m的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣m|+m．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}，求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使f（x）≤a﹣f（﹣x）有解的实数a的取值范围．2018年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．已知函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＜1且x≠0}B．{x|x≤1且x≠0}C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】由函数y=lgx的定义域是{x|x＞0}和y=的定义域是{x|x≠0}，即可求出答案．【解答】解：∵1﹣x＞0，得x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域M={x|x＜1}．∵x≠0时，函数有意义，∴函数的定义域N={x|x≠0}．∴M∩N={x|x＜1}∩{x|x≠0}={x|x＜1，且x≠0}．故选A．2．复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（2﹣i）2=3﹣4i在复平面内对应的点（3，﹣4）所在的象限是第四象限．故选：D．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜1）=P（0＜ξ＜2），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴μ=1，得对称轴是x=1．∵P（ξ＜2）=0.8，∴P（ξ≥2）=P（ξ＜0）=0.2，∴P（0＜ξ＜2）=0.6∴P（0＜ξ＜1）=0.3．故选：C．4．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A ．i ＜101？B ．i ＞101？C ．i ≤101？D ．i ≥101？ 【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S 的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i ≤101， 故选：C ．5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足a ：b ：c=6：4：3，则=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由于a ：b ：c=6：4：3，不妨设a=6，b=4，c=3，利用正弦定理余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC 中，由于a ：b ：c=6：4：3，不妨设a=6，b=4，c=3，∴cosA===﹣．则====﹣．故选：A ．6．若函数y=kx的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数k的最大值为（）A．B．2 C．D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用函数的几何意义，求解最值即可．【解答】解：约束条件的可行域如图阴影部分：函数y=kx中，k的几何意义是经过坐标原点的直线的斜率，由题意可知：直线经过可行域的A时，k取得最大值，由解得A（1，2）．K的最大值为：2．故选：B．7．若函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴方程为x=，则实数a的一个可能的取值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）=acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线x=对称，就是x=时，函数取得最值，求出a即可．【解答】解：函数f（x）=acosx+sinx=sin（x+θ），其中tanθ=a，θ∈（﹣，），其图象关于直线x=对称，所以+θ=，θ=，所以tanθ=a=1．故选：A．8．过点M（2，0）作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB（A，B为切点），则•=（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】根据直角三角形中的边角关系，求得MA、MB的值以及∠AMO=∠BMO的值，再利用两个向量的数量积的定义求得•的值．【解答】解：由圆的切线性质可得，OA⊥MA，OB⊥MB．直角三角形OAM、OBM中，由sin∠AMO=sin∠BMO==，可得∠AMO=∠BMO=，MA=MB===，∴•=×cos=，故选D．9．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，即可得到答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选A．12．已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（）A．（4，16） B．（0，12） C．（9，21） D．（15，25）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：当2≤x≤10，时，f（x）=sin x，则函数的图象如图，则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴x1x2（x3﹣2）（x4﹣2）=（x3﹣2）（x4﹣2）=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12，∴x3=﹣x4+12，则x3x4=（12﹣x4）x4=﹣（x4）2+12x4=﹣（x4﹣6）2+36，∵8＜x4＜10，∴20＜x3x4＜32则0＜x3x4﹣20＜12，故选：B．二、填空题（每题5分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是4．【考点】函数的值．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案为：4．14．已知m＞0，（1+mx）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，若a1+a2+…+a10=1183，则实数m=1．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意令x=0，求得a0=1．再令x=1，结合a1+a2+…+a10=1183，求得m的值．【解答】解：∵m＞0，（1+mx）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，故令x=0，可得a0=1．再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=1184=（1+m）10，∴m=1，故答案为：1．15．若关于x的函数f（x）=（t≠0）的最大值为a，最小值为b，且a+b=2018，则实数t的值为1018．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数f（x）可化为t+，令g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），设g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N=0，由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t=1018．【解答】解：函数f（x）=（t≠0）===t +，令g （x ）=，则g （﹣x ）==﹣g （x ），设g （x ）的最大值为M ，最小值为N ，则M +N=0，即有t +M=a ，t +N=b ， a +b=2t +M +N=2t=2018， 解得t=1018． 故答案为：1018．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于 8π ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA 1，再求出△ABC 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA 1=2∵BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC 外接圆的半径为R ，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π三、解答题17．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项．（1）求a 1的值及数列{a n }的通项公式； （2）设b n =+（﹣1）n ﹣1×3n+1t ，对于n ∈N *有b n+1＞b n 恒成立，求实数t 的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过4S n =1+2a n +与4S n ﹣1=1+2a n ﹣1+作差，进而计算可知数列{a n }时首项为1、公差为2的等差数列，计算即可；（2）通过（1）化简可知对于n ∈N *有2•9n ＞（﹣3）n+1t 恒成立，分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（1）依题意， =，即4S n =1+2a n +，∴当n ≥2时，4S n ﹣1=1+2a n ﹣1+，两式相减得：4a n =2a n +﹣2a n ﹣1﹣，整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）=2（a n +a n ﹣1）， 又∵a n ＞0， ∴a n ﹣a n ﹣1=2，∵4a 1=1+2a 1+，即a 1=1，∴数列{a n }时首项为1、公差为2的等差数列， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1； （2）由（1）可知b n =+（﹣1）n ﹣1×3n+1t=9n +（﹣3）n+1t ，∵对于n ∈N *有b n+1＞b n 恒成立， ∴9n+1+（﹣3）n+2t ＞9n +（﹣3）n+1t ， 整理得：2•9n ＞（﹣3）n+1t ，①当n 为奇数时，即：2•9n ＞3n+1t ， ∴t 小于2•3n ﹣1的最小值， ∴t ＜2；②当n 为偶数时，即：2•9n ＞﹣3n+1t ， ∴t 大于﹣2•3n ﹣1的最大值， ∴t ＞﹣6；综上所述，实数t 的取值范围是：（﹣6，2）．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2． （1）确定x ，y ，p ，q 的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，3“”X X【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意，有：，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．19．已知如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）在平面ABC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD，则AH⊥平面BDC，HD⊥BC，由三垂线定理能证明AD⊥BC．（2）在平面BDC内作HR⊥BD，连AR，则∠ARH是二面角A﹣BD﹣C的平面角的补角，由此能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：在平面ABC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD．因为平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．HD是AD在平面BDC的射影．依题设条件得HD⊥BC，∴由三垂线定理得AD⊥BC．（2）解：在平面BDC内作HR⊥BD，R是垂足，连AR．HR是AR在平面BDC的射影，∴AR⊥BD，∴∠ARH是二面角A﹣BD﹣C的平面角的补角，设AB=a，得AH=，HR=BH=，∴cos==．∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线﹣y2=1渐近线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AB：y=kx+m（k＜0）与椭圆C交于不同的A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线AB的距离为，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率以及点到渐近线的距离建立方程关系求出a，b即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系以及设而不求的思想进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∵双曲线﹣y2=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，椭圆C的左焦点F1（﹣c，0），∵椭圆C的焦点F1到双曲线﹣y2=1渐近线的距离为．∴d==得c=1，则a=，b=1，则椭圆C的方程为y2=1；（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由原点O到直线AB的距离为，得=，即m2=（1+k2），①将y=kx+m（k＜0）代入y2=1；得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，则判别式△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵以线段AB为直径的圆经过点F2，∴=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0即（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣1）（x1+x2）+m2+1=0，∴（1+k2）•+（km﹣1）•（﹣）+m2+1=0，化简得3m2+4km﹣1=0 ②由①②得11m4﹣10m2﹣1=0，得m2=1，∵k＜0，∴，满足判别式△=8（2k2﹣m2+1）＞0，∴AB的方程为y=﹣x+1．21．已知函数f（x）=e x sinx，F（x）=mx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[0，]时，f（x）≥F（x），求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x sin（x+），分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣mx=e x sinx﹣mx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣m，令h（x）=e x（sinx+cosx），利用导数研究函数h（x）的单调性可得：在[0，]上单调递增，1≤h（x）≤，对m分类讨论，即可得出函数g（x）的单调性，进而得出m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x sin（x+），当x∈（2kπ﹣，2kπ+）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，x∈（2kπ+，2kπ+），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．（2）令g（x）=f（x）﹣mx=e x sinx﹣mx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣m，令h（x）=e x（sinx+cosx），h′（x）=e x（sinx+cosx）+e x（cosx﹣sinx）=2e x cosx．∵x∈[0，]，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，]上单调递增，1≤h（x）≤，当m≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；当m≥时，g′（x）≤0，g（x）在[0，]上单调递减，g（x）≤g（0），与题意不合；当1＜m＜时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1﹣k＜0，g′（）=﹣k＞0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g′（x0）=0，当x∈[0，x0）时，g′（x）≤0，从而g（x）在此区间上单调递减，从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，综上所述：m的取值范围为（﹣∞，1]．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12[选修4-4坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴d min==2，则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣m|+m．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}，求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使f（x）≤a﹣f（﹣x）有解的实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求得不等式f（x）≤6的解集为m﹣3≤x≤3，再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}，可得m﹣3=﹣1，由此求得m的范围．（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（﹣x）=|2x﹣2|+|2x+2|+4的最小值，可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x﹣m|+m，不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}，∴|2x﹣m|≤6﹣m 的解集为{x|﹣1≤x≤3}．由|2x﹣m|≤6﹣m，可得m﹣6≤2x﹣m≤6﹣m，求得m﹣3≤x≤3，故有m﹣3=﹣1，m=2．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣m|+2，令g（x）=f（x）+f（﹣x）=|2x﹣2|+|2x+2|+4=，故g（x）的最小值为8，故使f（x）≤a﹣f（﹣x）有解的实数a的范围为[8，+∞）．2018年9月16日。

2018年广西高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2＞0}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）以下关于双曲线M：x2﹣y2＝8的判断正确的是（）A．M的离心率为2B．M的实轴长为2C．M的焦距为16D．M的渐近线方程为y＝±x4．（5分）若角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（）A．512﹣96πB．296C．512﹣24πD．5126．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值是（）A．9B．8C．3D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k＝11，则输出的S＝（）A．12B．13C．15D．188．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝．若a2sin C＝24sin A，a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A，则用“三斜求积公式”求得的S＝（）A．B．C．D．9．（5分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90，110]内），将这些数据分成4组：[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]，得到如下两个频率分布直方图：已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为．若以上面数据的频率作为概率，分别从用A配方和B配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0的概率为（）A．0.125B．0.195C．0.215D．0.23510．（5分）设3a＝8，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．（5分）将函数y＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在（π，）上单调递减，则φ的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．[，]D．[，）12．（5分）过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：y2＝3x相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（）A．B．2C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则mn＝．14．（5分）的展开式中x3的系数为．15．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2﹣a（a≠0）只有2个零点，则a＝．16．（5分）在等腰三角形ABC中，，，将它沿BC边上的高AD翻折，使△BCD为正三角形，则四面体ABCD的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和S n，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S4，S6，S n成等比数列，求n及此等比数列的公比．18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F，G分别是棱CC1，AA1的中点，E 为棱AB上一点，且GM∥平面B1EF．（1）证明：E为AB的中点；（2）求平面B1EF与平面ABC1D1所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|•|MB|，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣k（x3﹣3x）（k∈R）．（1）当k＝3时，求曲线y＝f（x）在原点O处的切线方程；（2）若f（x）＞0对x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）＜15的解集；（2）若f（x）≥a﹣x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．2018年广西高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2＞0}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2＞0}＝{x|x＜﹣或x＞}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B＝（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝．故选：A．3．（5分）以下关于双曲线M：x2﹣y2＝8的判断正确的是（）A．M的离心率为2B．M的实轴长为2C．M的焦距为16D．M的渐近线方程为y＝±x【解答】解：由x2﹣y2＝8，得，∴，则c2＝a2+b2＝16，c＝4．∴双曲线的离心率，渐近线方程为y＝±x，实轴长为，焦距为8．∴正确的判断是D．故选：D．4．（5分）若角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点，∴x＝﹣1，y＝2，tanα＝＝﹣2，则＝＝＝﹣，故选：B．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（）A．512﹣96πB．296C．512﹣24πD．512【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为一个正方体掏去一个圆柱而得，圆柱下底面离正方体下底面距离为2，则该几何体的体积为83﹣π×22×6＝512﹣24π．故选：C．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值是（）A．9B．8C．3D．4【解答】解：如图即为x，y满足约束条件的可行域，由图易得：由，解得A（3，2），同理可得B（0，1），C（4，0），当x＝3，y＝2时z＝x+3y的最大值为9，故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k＝11，则输出的S＝（）A．12B．13C．15D．18【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝11，n＝1，S＝1不满足条件S＞11，执行循环体，n＝2，S＝3不满足条件S＞11，执行循环体，n＝3，S＝6不满足条件S＞11，执行循环体，n＝4，S＝10不满足条件S＞11，执行循环体，n＝5，S＝15此时，满足条件S＞11，退出循环，输出S的值为15．故选：C．8．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝．若a2sin C＝24sin A，a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A，则用“三斜求积公式”求得的S＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝24sin A得ac＝24，则a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A可得a（c﹣b）（c+b）＝（27﹣a2）a，则c2﹣b2＝27﹣a2，即c2+a2﹣b2＝27，∴S＝＝，故选：D．9．（5分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90，110]内），将这些数据分成4组：[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]，得到如下两个频率分布直方图：已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为．若以上面数据的频率作为概率，分别从用A配方和B配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0的概率为（）A．0.125B．0.195C．0.215D．0.235【解答】解：分别从用A配方和B配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0的概率：p＝0.06×5×0.07×5+0.04×5×0.02×5+0.04×5×0.07×5＝0.195．故选：B．10．（5分）设3a＝8，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：3a＝8，a∈．b＝log0.50.2＝＝log25＝log425＞c＝log424＞log416＝2．则a＜c＜b．故选：A．11．（5分）将函数y＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在（π，）上单调递减，则φ的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．[，]D．[，）【解答】解：y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），将函数y＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到f（x）的图象，则f（x）＝sin[2（x+φ）+]＝sin（2x+2φ+），由2kπ+≤2x+2φ+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+﹣φ≤x≤kπ+﹣φ，k∈Z，若f（x）在（π，）上单调递减，则，得﹣，即kπ﹣≤φ≤kπ﹣，k∈Z，当k＝1时，≤φ≤，即φ的取值范围为[，]，故选：C．12．（5分）过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：y2＝3x相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（）A．B．2C．D．【解答】解：圆P：的圆心P（﹣1，0），半径为r＝，设过P的直线的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程y2＝3x，可得t2sin2α﹣3t cosα+3＝0，由，可得t2＝3t1，又t1+t2＝，t1t2＝，即有4t1＝，3t12＝，可得tan2α＝，即有t12＝＝＝，得t1＝，则点A到圆M上任意一点的距离的最大值为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则mn＝7．【解答】解：根据题意，向量，，则＝+，则有（m，n）+（2，1）＝（3，8），即解可得m＝1，n＝7，则mn＝7；故答案为：714．（5分）的展开式中x3的系数为﹣140．【解答】解：由＝．取r＝3，可得的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣140．15．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2﹣a（a≠0）只有2个零点，则a＝0或﹣4．【解答】解：f（x）＝f（x）＝x3﹣3x2﹣a则f′（x）＝3x2﹣6x，令3x2﹣6x＝0，可得x＝0或x＝2，即函数有两个极值点，函数f（x）＝x3﹣3x2﹣a（a≠0）只有2个零点，由f（0）＝﹣a＝0得a＝0，由f（2）＝8﹣12﹣a＝0得a＝﹣4，综上a＝0或﹣4时，f（x）有且只有2个零点．故答案为：0或﹣4．16．（5分）在等腰三角形ABC中，，，将它沿BC边上的高AD翻折，使△BCD为正三角形，则四面体ABCD的外接球的表面积为15π．【解答】解：由已知可得四面体ABCD中AD垂直底面BCD，由等腰三角形ABC中，，，可得：AD＝，△BCD中，边长BC＝3，故底面的外接圆半径r＝＝，四面体ABCD的外接球的球心到底面的距离d＝＝，故四面体ABCD的外接球的半径R＝＝，故四面体ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝15π，故答案为：15π三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和S n，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S4，S6，S n成等比数列，求n及此等比数列的公比．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，∴2S3＝S1+1+S4，＝a1a5，即a2+a3＝1+a4，＝a1（a1+4d），d≠0．可得a1＝1，d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由（1）可得：S n＝＝n2，∴s4＝42＝16，s6＝62＝36．∵s4，s6，s n成等比数列，∴＝S4•S n，∴362＝16×n2，化为：36＝4n，解得n＝9．此等比数列的公比＝＝．18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以这两名学生来自同一个小组的概率．（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，，，．∴X的分布列为：．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F，G分别是棱CC1，AA1的中点，E 为棱AB上一点，且GM∥平面B1EF．（1）证明：E为AB的中点；（2）求平面B1EF与平面ABC1D1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取A1B1的中点N，连接AN，因为，所以M为A1N的中点，又G为AA1的中点，所以GM∥AN，因为GM∥平面B1EF，GM⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面B1EF＝B1E，所以GM∥B1E，即AN∥B1E，又B1N∥AE，所以四边形AEB1N为平行四边形，则AE＝B1N，所以E为AB的中点．解：（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．不妨令正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），E（2，1，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），∴，，设是平面B1EF的法向量，则．令z＝2，得．同理，得平面ABC1D1的一个法向量为，所以＝．故所求锐二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|•|MB|，求λ的取值范围．【解答】解：（1）原点到直线的距离为d＝＝，所以（b＞0），解得b＝1，又，得a＝2，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0即x轴，λ＝|MA|•|MB|＝12；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（m2+4）y2+8my+12＝0，由△＝64m2﹣48（m2+4）＞0，得m2＞12，所以，λ＝|MA|•|MB|＝•|y1|••|y2|＝＝12（1﹣），由m2＞12，得，所以．综上可得：，即．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣k（x3﹣3x）（k∈R）．（1）当k＝3时，求曲线y＝f（x）在原点O处的切线方程；（2）若f（x）＞0对x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）当k＝3时，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣3（x3﹣3x），导数，可得切线的斜率为f′（0）＝11，故曲线y＝f（x）在原点O处的切线方程为y＝11x；（2）f（x）的导数为，当x∈（0，1）时，（1﹣x2）2∈（0，1），若，2+3k（1﹣x2）2＞0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上递增，从而f（x）＞f（0）＝0．若，令，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，∴，则不合题意．故k的取值范围为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴由直线l的参数方程消去t，得l的普通方程为x sinα﹣y cosα+cosα＝0，由，得∴曲线C的直角坐标方程为；（2）点P（0，1）在直线l上，∴，∴∴l的参数方程为，代入中，得t2+16t+4＝0．设A，B，M所对应的参数分别为t1，t2，t0．则，∴|PM|＝|t0|＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）＜15的解集；（2）若f（x）≥a﹣x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|＝；当时，有﹣4x﹣1＜15，解得x＞﹣4，即；当时，5＜15恒成立，即；当x≥1时，有4x+1＜15，解得，即；综上，不等式f（x）＜15的解集为；（2）由f（x）≥a﹣x2+x恒成立，得a≤|2x﹣2|+|2x+3|+x2﹣x恒成立，∵|2x﹣2|+|2x+3|≥|（2x﹣2）﹣（2x+3）|＝5，当且仅当（2x﹣2）•（2x+3）≤0，即是等号成立；又因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，所以a的取值范围是．。