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奥运场馆中临时商业网点设计中的数学模型化方法
孟大志
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2004(021)0z1
【摘要】本文简述2004年全国大学生数学建模竞赛A题的命题过程以及题目的立意与设计,给出了该题命题人的解题思路与基本解法,并对选择该题的大学生的论文进行介绍和评论.
【总页数】5页(P71-75)
【作者】孟大志
【作者单位】北京工业大学,北京,100022
【正文语种】中文
【中图分类】O221.6
【相关文献】
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4.新加坡小学数学教学中模型化方法的应用 [J], 罗洪峰
5.模型化方法在数学教学中的渗透 [J], 张德勤
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108奥运会临时超市网点的优化设计黄兰香、凌康林、李灿明[摘要]:本文针对奥运会临时超市网点的设计这一实际问题，我们给出了一个设计方案．首先，我们应用统计学知识，采取定量与定性相结合的分析方法，对题中所给的三个调查数据表作了详细的分析，得出观众的出行和用餐的需求方式及购物消费之间的比例关系表，并用直观图描述出来，较好的反映了观众在出行、用餐和购物等方面的规律．其次，用最短路算法求出奥运会期间每位观众平均出行两次的最短路径，并依据所得的不同出行方式和餐饮方式及消费额档次的观众占总人数的平均比例，用Matlab 软件编程测算出20个商区的人流量分布情况如表7所示，同时得到不同消费档次观众在各商区的人流量．然后，根据这20个商区的人流量分布，建立了关于20个商区内MS 网点的设计的数学规划模型．用Matlab 软件编程及通过上网查得的相关数据对模型进行求解，调试修正后得到20个商区内大小型MS 个数如表8所示，总共有149个超市，此时，这20个商区总的商业盈利额最大为1061.29万元．最后，我们对模型方案的科学性进行了讨论，代入具体的数据对模型进行检验，效果良好，所得结果与实际较贴近．关键词：人流量；人流量分布；最短路径1 问题的提出北京赢得2008年奥运会的承办权，为北京乃至全国的发展都增添了新的强大动力．目前，北京市筹办奥运的建设工作已进入全面设计和实施阶段．对于在进行场馆规划过程中，场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，那么，如何根据观众在出行、用餐和购物等方面的规律以及各商区的人流量分布，在商区内合理设计大小规模不同临时超市个数，以满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利呢？2 基本假设(1) 假设奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径．(2) 假设奥运会期间C B A ,,三区的观众席位都被订满，且观众订票后一定会去观看比赛．(3) 假设观众从各个入口进场后均匀分布在各个看台观看比赛． (4) 由于场馆中每个看台容量均为1万人，且出口对准一个商区，故我们可以认为在散场时进入每个商区的人数相同．(5) 每一个超市销售的物品包含所有满足顾客需求的商品类型.3 符号约定N 观众数．k e 消费额档次)6,5,4,3,2,1(=k ．i S 第i 类型超市面积)2,1(=i ,21S S >． S 商区面积．i x 第i 个商区内大型超市的个数，20,2,1 =i . i y 第i 个商区内小型超市的个数，20,2,1 =i ．b 超市单位面积的商品最大供应量平方米）单位：元/(. d 超市单位面积的固定成本平方米）单位：元/(． r 每种商品出售时所获得的毛利率．i N 第i 个商区人流量(单位：人次)，20,2,1 =i ．i P 第i 个商区内超市一天可共销售商品总额，20,2,1 =i ． i Q 第i 个商区观众的消费总额，20,2,1 =i ． ki a 消费档次为k 的观众在第i 个商区的人流量．109i q 第i 个商区内的人流量与超市总面积之比． 4 模型的建立与求解4.1 反映观众在出行、用餐和购物等方面规律的应用统计分析在题中，给出了在某运动场所举办的三次运动会中对观众发放的问卷调查数据，因此，为得到观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律，我们可以应用统计学的知识，对这些数据进行分析．首先，我们用Matlab 软件通过编程求出观众在出行方式、用餐和购物消费之间的比例关系表，然后将所得比例关系表通过条形图描述出来，直观的反映出其规律．(1) 观众出行与其性别、年龄及购物消费之间的关系及所反映的规律由比例关系表得到观众的出行方式与其年龄及消费额档次的关系图如下：在图1中我们可以看出各年龄档次观众选择出行方式的所具有的规律：各年龄档次观众乘私车的人最少，乘出租车的次之；不同的是，1年龄档次观众乘公交车的人最多，乘地铁的次之，而2年龄、3年龄及4年龄档次的观众则是乘地铁的人最多，乘公交车的次之．总体上，观众所在年龄档次对其出行方式的影响并不大．在图2中我们可以看出各消费档次观众选择出行方式所具有的规律：各消费档次观众表1 图1 图2110乘私车的人最少，乘出租车的次之；不同的是，消费档次为1和3 的观众乘公交车的人最多，乘地铁的次之，而消费档次为2、4、5及6的观众则是乘地铁的人最多，乘公交车的次之．总体上，观众的消费档次对其出行方式的影响也不是很大．(2) 观众用餐与其性别、年龄和购物消费之间的关系及所反映的规律观众用餐与其性别、年龄和消费额档次之间的比例关系表及关系图见附录1．从图3我们可看出各年龄档次观众选择餐饮方式所具有的规律:1、2及3年龄档次观众选择吃西餐的人最多，而4年龄档次观众多选择吃中餐．从图4我们可看出各消费档次观众选择餐饮方式所具有的规律：1、2、3、4及5消费档次观众选择吃西餐的人最多，而消费档次为6的观众多选择去商场．(3) 观众购物消费与其性别和年龄的关系及所反映的规律不同消费额档次观众与其性别和年龄档次之间的比例关系表及关系图见附录2.从图5我们可看出2和3年龄档次观众的购物消费多集中在200至300元之间，而1年龄档次观众的购物消费多集中在100元至200元之间，4年龄档次观众的购物消费多集中在0至100元之间；各年龄档次观众消费在500元以上的观众均最少．(4) 观众出行与购物之间的关系及所反映的规律观众出行方式与消费档次的比例关系表及关系图见附录3．从图6中我们可以看出乘不同交通工具出行的观众的购物消费总的变化规律相同．最多集中在200至300元之间，其次是0至100元之间，500元以上的最少．这说明观众的出行方式对其购物消费无影响． 4.2 各商区内人流量分布4.2.1 奥运会期间每位观众平均出行两次的最短路算法由假设1每位观众在奥运会期间的某一天都平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径.我们考虑观众一天的行程，其具体路线如下：首先是进场馆，根据表1所求得的观众乘各种交通工具占总的比例及观众以各种出行方式进到C B A ,,三个区的最短路径，求出从6个入口进到最近商区的人流量．其次是出场馆，假设进到C B A ,,三个区的观众均匀分布到各个看台观看比赛，比赛完后观众从离看台最近的出口进到出口对准的商区，此时各商区人流量均相同．最后是去餐饮，根据观众表2所求的观众餐饮方式占总的比例及观众去到不同餐饮部门的最短路径，求出从各商区去用餐时商区的人流量． 4.2.2观众平均两次出行的最短路径(1) 进场馆时观众从公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场到C B A ,,三区的最短路径如下表5(2) 去餐饮时观众到从商区到不同餐饮部门的最短路径如表6表5表64.2.3 20个商区人流量分布通过对观众出行时最短路径的分析易知，当观众出行经过某商区时，该商区的人流量会增大．由假设2知在奥运会期间观众席位是满座的，又由表1和表2中观众某天每次出行占总的比例，应用Matlab软件编程我们得到20个商区人流量分布(单位：%),如表7所示表7111112不同消费额档次的观众在20个商区的人流量(单位：人次)为⎝⎛=210237324410136341032423721093235642354867322206735484233561358232127313357398312815398333572731232187401208213640161841872863608187281618413640120824063072117747890210057344371005789027747721124277551359166885785527238785568855916551318708a⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫5941472871471014328241612241328916225433225146744932482732444956281382266513828056247818525216185224782824166081141166083945911561901723732901711561158873721644037212172364665312142355312646612546291749592917175615226425611129425652264.3 迷你超市网点设计的数学规划模型由于MS 的设置在地点、大小类型和总量方面需满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利．易知，这三个基本要求分别是从顾客、超市的合理布局和商家角度考虑商区内MS 的设计． 4.3.1 对购物需求的理解要满足顾客的购物需求，即要求超市商品的供应量不能低于顾客的需求量，否则会出现供不应求的现象．因此，我们可以考虑成各商区内超市每天的共销售的商品总额i P 不能小于观众的消费总额i Q .4.3.2 对分布基本均衡的理解由于20个商区的面积均为S ,故要使商区MS 分布基本均衡,我们可以考虑各商区内的人流量与超市总面积之比iii y S x S N q 211+=,使各商区的i q 值相差不大.具体反映在i q 中的最大值与最小值之比要小于某一定数μ，要求各商区内超市总面积不能超过商区的面积．4.3.3 满足三个基本要求商区内MS 的设计方案通过对三个基本要求的分析，我们可以将问题归结为求解下面的优化问题：以20个商区商家所获总利润为目标函数，观众的购物需求及超市分布基本均衡作为约束条件，两类超市个数为决策变量的数学规划模型进行求解．μ≤∈≥≥≤+≥+-=∑=i i i i i i i ii i i i i q Z y x y x S S y S x Q P t s S y S x d r Q R ,.0,0..)(max 2120121其中，21S by S bx P i i i +=∑∑===20161i kik kik i aa Ne Q113通过上网查得的相关数据，见参考文献[3][4][5],取),/(320),/(1000022m d m b 元元==3.1,500,20,4522221====μm S m S m S用Matlab 软件进行编程(程序见附录4)求解得20个商区大小型MS 个数如表8所示，此时商家在20个商区所获得的总利润最大为1061.29万元．4.4 方案的科学性讨论(1)本模型首先应用统计学知识对所给的数据表进行分析，较好的统计出了观众的出行和用餐的需求方式及购物消费之间的比例关系表，为问题的进一步解决建立了较为合理的基础．(2)本模型在计算奥运会期间每位观众平均出行两次的最短路径时，对路线的最短路选择不考虑坐车跟步行的速度差别，即假设只按路程长度来计算最短路，使问题的求解简化了许多．这也是合理的．(3)商区内MS 网点的设计应满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利三个基本要求，本文将商家的赢利作为主要目标，从而转化为一个单目标规划问题，模型简单，容易编程求解且适用性强． 5 模型的推广本模型给出了以商家的利益为目标函数，观众的需求与商区的合理布局作为约束条件的数学模型．我们可以考虑以观众的需求或商区的合理布局作为目标函数进行求解． 参考文献:[1].王沫然．MATLAB6.0与科学计算．西安：电子工业出版社，2001 [2].姜启源．数学模型(第三版)．北京：高等教育出版社，2003 [3].白延龙．奥运鸟巢、水立方开建.奥运会场馆建设全面启动. /newshtml/56878.html ．2004年9月19日 [4].北京市国有资产经营有限责任公司提供．国家体育场简介(附图)./80/67/article211616780.shtml ．2004年9月19日 ［5］杨涌、黄红芳．苏果筹开百家“迷你店”/GB/14781/21702/2375419.html ．2004年9月19日附录：附录1：观众用餐与其性别、年龄和消费档次之间的比例关系表及其关系图表8附录2：观众消费额档次与性别和年龄的比例关系表及关系图图3 图4表2表3114115附录3：观众出行方式与消费档次的比例关系表及关系图附录4：网点设计求解程序%d 为超市单位面积的固定成本,s1为大型超市面积,s2为小型超市面积 %s 为商区面积,c 为超市单位面积的最大销售量 d=320;s1=45;s2=20; s=500;c=10000; f=zeros(40,1); f(1:20)=d*s1; f(21:40)=d*s2;图5图6 表4a=zeros(40,40);for i=1:20a(i,i)=-c*s1;a(i,20+i)=-c*s2;endfor i=21:40a(i,i-20)=s1;a(i,i)=s2;endk=[4.3562 1.2586 1.4150 1.6869 1.9587 6.6003 1.9587 1.6869 1.4150 1.2586 1.2367 0.9649 2.5697 0.9649 1.2367 4.1534 0.6959 1.2325 0.6959 2.9427]; %k矩阵为各个商区的消费额b=-1000000*k';b(21:40)=s;lb=zeros(40,1);[x,fval]=linprog(f,a,b,[],[],lb,[]);x=ceil(x); % 超市的个数为整数,所以要取整for i=1:20y(i)=x(i)*s1+x(i+20)*s2; %各个商区的超市的总面积ende=[94650 27695 30697 36201 41705 141676 41705 36201 30697 27695 26505 21001 55752 21001 26505 89272 15000 26196 15000 63812]; %e矩阵为各个商区的人流量h=e./y; %超市单位面积上的人流量max(h)/min(h); %检验超市分布是否均衡本文已获2004年全国数模竞赛广东赛区一等奖、国家一等奖(上接100页)测出具体时间，及时更改热水器倾角及方向，此问题较复杂．5.2 模型的推广本模型只考虑北半球中纬度地区太阳能热水器的利用问题，而对于南半球和其他纬度地区可类似的求解．另外，本模型在计算太阳有效辐射量时，考虑到在实际中太阳有效辐射强度B是随着时间的变化而连续变化，在正午时刻达到最大值，在日出和日落时刻最小，故可以考虑B是关于时间的二次曲线来求解．参考文献[1].刘玉琏、傅沛仁编．数学分析讲义上册(第三版)．北京.高等教育出版社.2000[2].王沫然编.Matlab6.0与科学计算.北京.电子工业出版社.2001.9116。
A题：奥运会临时超市网点设计摘要对于问卷所提供的数据，用ACCESS和SPSS统计和制表，得出同一人群的不同的乘车分布表、餐饮分布表、消费额分布表，并作出相应分布的直方图。
从直方图可以形象地看出，乘车除私车人数较少外，其余乘车方式基本均衡，吃西餐比吃中餐人少，尤其是年龄段2的人群。
用餐和出行视为两个不同时间段，分别就每个时间段进行计算。
用餐和出行均采用最短路径，然后列出具体路径表，再由此表和已统计出的规律计算经过每个商区人数，然后把用餐和出行计算出的人数相加即得通过该商区人数，也即为通过该商区的人数，该人数除以总人数得人流量，最后绘制出人流量分布表。
根据第一二问的结果，并根据人购物欲望值与商区提供的效用值对应，大MS和小MS在每个商区所提供的效用是不同的，视商区的人流量而定，人流量越大所提供的效用越大。
运用著名的经济学中的生产函数的思想：柯布.道格拉斯生产函数理论，建立起商区效用产出与各商区的大、小MS个数的关系模型。
根据生产函数的产出均衡条件，得出各商区大、小MS的数量近似分布。
根据最后的结果分析总结出经济可行的MS布局方案。
关键字：个人倾向，生产函数，边际效益，效用函数。
一、问题重述2008年北京奥运会中，为了满足观众、游客、工作人员等的购物须求，要在比赛主场馆的周边地区建设临时商业网点，称为迷你超市（MS）网，主要经营食品、奥运纪念品等。
设置时要满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上盈利。
图1和图2给出了相应的信息在规定的20个商区内设计MS网点。
图3是预演运动的运动场，从问卷调查中，可以得到人流量的归律。
问题1 根据调查数据，找到观众在出行、用餐和购物等方面的归律。
问题2 在奥运期间每位观众每天平均出行两次，并且采用最短路径，算出20个商区的人流量分布。
问题3 要求满足三个基本要求，得出20个商区内MS网点的设计方案。
并且阐明其方法的科学性，是否符合实际。
二、问题分析题1需要找出观众在出行、用餐、购物等方面的规律，附录中给出了某体育场馆的相关调查数据，通过对调查结果的分析发现三次调查的结果基本相似，于是采取按人数求加权平均值。
北京2008奥运会临时超市网点设计的优化模型
汪天飞;李彬
【期刊名称】《乐山师范学院学报》
【年(卷),期】2005(20)12
【摘要】本文对2008年奥运场馆周边地区各临时商业网点(MS)的优化设置问题进行了详细讨论.文章在对access数据库中提供的调查表数据统计的基础上,得出了观众在出行、用餐及购物三方面的规律,采用离散化方法,建立了统计各商业区总的人流量百分比的代数模型;对MS网点的优化设计问题,在充分考虑到顾客购物需求,网点分布的均衡性和赢利需求的约束等条件下,引入成本因子并以所有商区总成本最小为目标函数建立了线性规划模型,并在MATLAB中编程求解出了相应结果.【总页数】4页(P29-32)
【作者】汪天飞;李彬
【作者单位】乐山师范学院,数学系,四川,乐山,614004;乐山师范学院,数学系,四川,乐山,614004
【正文语种】中文
【中图分类】O141.4;O221.1
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1.奥运会临时超市网点设计模型 [J], 张秀兰
2.奥运会临时超市网点设计的风险分析 [J], 沈崇圣
3.奥运会临时超市网点设计 [J], 陶金;段学昭;江小平
4.奥运会临时超市网点设计模型 [J], 胡春华
5.奥运会临时超市网点最佳设计 [J], 李敏
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奥运场馆中临时商业网点设计中的数学模型化方法盂大志(北京工业大学，北京100022)摘要：本文简述2004年全国人学生数学建模竞赛A题的命题过程以及题闩的立意与设计，给出该题命题人的解题思路与基本解法，并对选择该题的大学生的论文进行介绍和评论。
1 引言2001年中国申奥成功，举国上下一片欢腾。
当时我在香港中文大学访问，在电视中看到这一消息时就想，我能为2008年北京奥运会做些什么呢?A题的产生基于这样一种环境，这样一种热情。
2002年在大学生数学建模竞赛全国组委会的老师的支持下，我开始构思这一课题。
当时的目的，不仅是为全国大学生数学建模比赛出一道贴近时事的赛题，也希望能通过全国大学生的集体智慧，为北京奥运会“科技奥运”目标贡献一份力量，那时候还只是希望，通过本届参赛大学生的共同努力，现在我们已经可以拿出有充分科学依据且切实可行的设计提供给北京奥组委。
我想，参赛的大学生们因此可以自豪地说：我们也在为北京奥运会做贡献!在筹备和举办奥运会的工作中，科技奥运的份量应当是很重的。
．这不仅是表现在奥运场馆的建设，媒介工作，各个比赛项日的器材，周边环境与整个城市建设，以及开、闭幕式的表演等显而易见的“硬件”建设中，而且也必然要表现在整个筹备与比赛实施全过程的管理工作中。
这是一个复杂系统的管理和控制问题，它不仅包括每项工作的细微的管理，也包括整个系统的宏观调控，“管理出效益”将在这项长达六年的奥运筹备工作中充分体现其作用。
而这个复杂系统的科学管理的核心是数字化的信息管理，因此数学、信息科学与管理科学的结合将在其中发挥不可或缺的作用。
但是，这样一个信息管理并不是所有管理人员都能理解与付诸实施的，本赛题设计的另外一个初衷就是想通过涉及面很大的大学生数学建模竞赛，针对一个奥运会筹备过程巾的具体的管理规划和设计的问题，向奥组委提供“科学管理奥运”的一个建议。
出于以上初衷，本赛题在2002年已经开始设计，恰逢2003年的SARS，为配合当年的时事，把这个题目又搁置下来。
奥运会临时超市网点设计摘要本文通过对消费主体的具体分析，构造各商圈人流量增加的状态转移矩阵的模型，采用数组分组的分析方法来确定各商圈不同规模的MS 的个数，并且得到较为合理的MS 网点设计方案。
在第一个问题上我们利用表格和直方图表示在奥运会期间观众在出行、用餐和购物方面反映的规律。
针对第二个问题，提出每个体育馆中各商区的人流量取决于体育馆的人员输入量和体育馆内部人流量增加的“状态向量”。
首先根据出行方式的地理位置的不同将其分为两组，再由最短路径的原理，将用餐方式分为两组，每组出行及用餐方式对应唯一一种进出入口的选择，从而得到了出行及用餐方式与入口的一一对应的“双向连通图”，见图5，根据图5可以得到观众进出体育馆的过程中，每个入口的人员流通量。
然后，给出体育馆内部各商区的人流量增加的状态向量，提出在体育馆内部描述各商区人流量增加的状态向量不变的观点。
依据我们的观点，得到20个商区)~~~~~(4161101C C B B A A 的人流量分布百分比为[5.41% 3.62% 3.95% 4.28% 4.61%8.38% 4.61% 4.28% 3.95% 3.62% 4.05% 3.72% 4.72% 3.72% 4.05% 6.37% 1.66% 1.86%1.66% 3.68%]。
而对于第三个问题，引入了虚拟消费人数的概念，确定了每个商区的大、小规模MS 的个数与人流量的函数关系，从而得到人流量与MS 和ms 规模大小的比值应该接近于一个常数。
结合第二问的结果，简化20个商区的设计方案，并指出相同人流量的商区应采取相同的设计方案。
对每一组人流量与相对小规模的MS 的个数进行数据拟合，得出选择方案。
然后，对人流量进行逐步分组，来减少大、小规模的MS 的个数的总和，得到相应的方案。
最后，根据优选法原则对提供的不同的大小规模的MS 的个数总和N 和大小规模MS 的转换比例系数k 值下的设计方案，同时考虑到 N ，k 对设计方案的影响，和其他的设计不同要求，选择不同情况下的设计方案。
2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题奥运会临时超市网点设计2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。
奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
图1给出了比赛主场馆的规划图。
作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。
为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。
3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。
4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。
说明1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。
影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。
奥运场馆问题2008年北京奥运会地区临时超市点网设计摘要：本文所要讨论的问题可以归结为一个二元整数规划问题。
首先我们通过分析三次预演运动会的调查结果，推断出奥运会期间观众在出行方式、餐饮、消费水平三个方面的行为规律以及不同性别、年龄的人群在这三个方面所存在的差异。
随后我们根据这些规律和差异对奥运会期间各主要场馆周围商业区的人流分布情况进行大致估计。
但是，为了更好地反映出各商业区的商业价值，在人流分布的基础上我们还对各商业区消费潜力的分布情况也做了进一步的讨论，并据此设计各商业区的超市群分布方案。
具体设计思路如下：第一，我们分别从招租方（组委会）、经营商和顾客三个不同角度出发，依据地租总收入、单位面积上的平均利润和安全经营率、顾客满意度等量化指标来衡量大、小规模MS 对三者各自利益的影响。
此时，问题转化为一个二元整数规划问题：确立各商业区的大MS 数目和小MS 数目，在模型满足经营商和顾客利益一定的前提下（约束条件），使得组委会所获利益最大。
通过计算，我们求解得到了全部商区的规划设计方案，例如在A6 区（面积约为15000m2）中需要建设5 个大MS（面积为450m2）和17 个小MS（面积为150 m2），则该商业区内的超市的总建筑面积为4800 m2，约占整个商业区面积的三分之一。
在模型建立后，我们从顾客满意度、零售单位与人口分布的一致性指数、公平竞争原则和共同盈利原则这四个方面对模型的合理性进行了分析说明。
而且在模型推广中，我们讨论了经济增长、旅游人口等因素对设计方案可能产生的影响。
此外，为了避免同一商业区内的超市间盲目竞争，同时也为在奥运会结束后能更好地利用和二次开发现有的临时商业点，我们利用商圈理论对各商区内超市的布局原则做了讨论并得出“大店分散，小店聚集”的规律。
最后，我们根据模型求解的结果给北京奥组委提出几点建议：关注市场规模的增长、流动人口对市场的影响以及及时制定临时商业用地的二次开发方案。
奥运会临时超市网点设计摘要本题是解决奥运会比赛主场馆的商区内迷你超市MS网点的设计问题。
首先，通过对预演的运动会的问卷调查表，统计出观众的出行规律、饮食习惯、人均消费金额和各年龄段占总人数的百分比，再用互信息熵和相关系数分析观众的年龄段、出行、用餐以及购物任意两者之间的关系。
由于观众按照最短路径方式抵达目的地，因此可根据图论的Dijkstra算法来求其最短路径，然后根据其最短路径来分析所经过的商区，每个商区的人流量按照所经过的人次累加。
由观众的出行规律和饮食习惯分别统计进出体育场馆时的人流量和饮食用餐时的人流量，相加之和为各个商区的人流量。
已知设置商区MS的地点、大小类型和总量有三个基本要求：满足购物需求、分布基本均衡和商业赢利。
又根据参考资料，可估算出小MS日销售额为2万，而大MS 为小MS的5倍，且规模越大，赢利越多。
据此，我小组建立了2个模型：模型一假定就近消费原则，确定每个观众都在看台对应的商区进行消费，再根据MS规模与赢利有关，得出商区的小MS需20个和大MS 需400个的规划方案。
由于模型一没有考虑人流量的因素，我们在模型一的基础上提出模型二，认为人们基本上遵循就近消费原则，但还是有一部分的人不遵循这个原则，此时就考虑各个商区的人流量，在人流量多的地方设置较多的MS，同时还考虑各商区MS的分布均衡性，得到小MS需345个，大MS需333个的规划方案。
关键词：互信息熵 Dijkstra算法整数线性规划消费欲望与需求一、问题简述北京奥运会期间在比赛主场馆的周边地区需要建设迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
为了得到人流量的规律，在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
奥运会临时网点设计摘要随着雅典奥运圣火的熄灭，五环旗从爱琴海边来到了万里长城下，世人关注的目光也从雅典投向了北京。
北京奥运会的相关设施正如火如荼地进行着。
在奥运会3个主场地周边要建立一些临时性的商业网点，且网点的建设要满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利三个要求。
对于问题1，首先根据问卷调查数据，把每个人看作一个样本，将年龄、出行方式、用餐方式和消费等级看作四个指标，简单地统计了各个指标在样本中所占的比例来讨论其内在规律。
结果中发现观众的年龄构成以20—30岁的青年人为主；各种出行方式构成比较均匀；用餐方式构成以西餐为主；消费额构成以200—300元（第3等级）为主。
对于问题2，求20个商区的人流量，我们仅考虑有购买能力的人流量。
模型中假定了每位观众的出行流程：进场馆→出场馆→购物→用餐→回家。
并且以绝对物理距离来确定最短路径，在此基础上给定了两条人流走向规则，从而得出每一商区的人流量。
模型中以国家体育场为例给出了人流量的具体算法。
对于问题3商业网点的设计，它既跟该商业区的人流量有关又与消费欲望有关，但消费欲望与人的心理有关，为减少不确定因素模型中将消费欲望转化为消费实力（因为消费实力是确定了的）。
再将选择三个不同用餐地点的人群看作一个整体，定义了平均消费等级和消费实力两个概念。
模型中在一定的假设基础上给出了平均消费等级和消费实力的具体算法。
有了各商区人流量和消费实力之后，以赢利最大为目标函数，以满足购物需求和分布基本均匀为约束条件，建立一规划模型。
由于题中所给的关于商区的信息量太少，为了能够更具体地说明问题，模型中通过对一些变量赋值后来对问题进行模拟求解。
问题4对于模型科学性的分析，以问题3的模拟结果来进行分析。
经过分析得出结论：在人流量和消费实力大的商区设有大MS，在人流量和消费实力小的商区MS的总数（将大MS按一定比例折合成小MS）要多于人流量和消费实力大的商区，因为大小MS的成本和服务能力不一样（大MS大于小MS）,所以当人流量和消费实力较小时，我们只设小MS就能满足要求那么就不考虑设成本高的大MS，从而保证赢利最大。
以上结论与实际是相符合的。
（一）问题重述2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。
奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
图1给出了比赛主场馆的规划图。
作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。
为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。
3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS 网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。
4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。
（二）基本假设1.每个场馆看台上的观众均匀分布；2.每个人的出行方式、餐饮方式、消费额都是较稳定的，在奥运会期间不发生变化；3.两次出行指的是进出场馆一次和餐饮一次；4.超市里的顾客来源全部为观众；5.每个商区里的商品种类齐全且无价格和质量上的差别，所有商品不打折，购物者的购物行为仅与个人喜好和需求有关；6.每个人进场馆观看比赛时不购物，在出场馆时进行购物，然后去用餐，最后选择自己的出行方式回家；7.凡购物者均在其所观看比赛场馆的周边商区一次性将其消费额消费掉；8.每个观众对场馆、周边商区及各出行方式站点都足够熟悉，其在选择最短路径时以绝对的物理距离作为标准，且每个人都直接去往自己的用餐点；9.考虑一天之内进出场馆总人数为场馆的最大容量。
（三）基本符号说明i A ——国家体育场周边的第i 个商区（102,1 =i ） i B ——国家体育馆周边的第i 个商区）（62,1 =i i C ——国家游泳中心周边的第i 个商区)4,3,2,1(=ij K ——第j 种人的平均消费等级)3,2,1(表示到商场用餐表示用西餐表示用中餐===j j jij A ——经过第个商区的第j 种人的数量j P ——第j 种人占总人数的比值 i A L ——第i A 个商区的人流量 i B L ——第i B 个商区的人流量 i C L ——第i C 个商区的人流量i A D ——第i A 个商区的消费实力 i B D ——第i B 个商区的消费实力 i C D ——第i C 个商区的消费实力（四）模型的建立与求解问题1题中给出了三次调查的有关数据，直接从这些庞大的数据中我们无法看出什么规律。
因此首先对数据进行简单的统计处理后再去找规律。
不妨将每个人看成一个样本，将年龄、出行、用餐和消费看成样本4个指标。
先将题中所给的每个指标的看成独立的简单地统计每个指标在样本中所占的比例。
然后考虑各个指标之间的相关系数。
结果如下：注：1～4分别表示各年龄段注：1~6表示对应的消费额档次图3（观众选择用餐比例）注：1表示中餐，2表示西餐，3表示商场图3（观众选择不同交通工具的比例）注：1~6分别表示公交南北、公交东西、出租、私车、地铁东、地铁西由上面的数据和图表可以很直观地看出在总的观众中年龄以20—30岁的中年人为主；各种出行方式比较均匀；用餐方式以西餐为主；消费额以200—300（第3等级）为主。
问题2问题1给出了图3的人流量规律。
虽然图3和图2的结构并不相同，但我们认为图3的规律同样适用于图2。
首先不考虑在商区里行走和在人行道上走的差别，仅考虑用物理距离来定义最短路径，于是我们可以由规划图大致的判断出从场馆每一出口出来观众的走向。
并且在这里对人流量的定义为购物人流量。
即凡是有购买能力的人经过该商区，则该商区的人流量增加一个单位。
对于已经购物和用餐完毕的观众，当其再次经过商区的时候对商区的人流量不产生影响。
下面以国家体育场周边商区为例，简单阐述商区里的人流走向进而确定每个商区的人流量。
首先给出人流走向的两条原则：第一、从商区到用餐点最短路径很明显的观众全部采取该最短路径；第二、从商区到用餐点最短路径不明显的观众平均分成两部分采取不同的路径1）对于用中餐者中餐馆→1A 中餐馆→→12A A中餐馆→→→123A A A 中餐馆→→→→1234A A A A 中餐馆→→→→→12345A A A A A中餐馆→→→→→→12345621A A A A A A 中餐馆→→→→→→110987621A A A A A A 中餐馆→→→→→110987A A A A A 中餐馆→→→→11098A A A A 中餐馆→→→1109A A A2）对于用西餐者情况与用中餐者类同，全部通过同一商场6A 3）对于去商场用餐者 商场→1A 商场→→110A A商场→→→110921A A A 商场→→→→678921A A A A商场→→12A A3A 同9A其余各商区中去商场用餐的人均从6A 中出去则 )(10111万P A ⨯= 它表示的是经过1A 商区中吃中餐的人数 （万）2121P A ⨯= 它表示的是经过1A 商区中吃西餐的人数（万）313)5.05.0111(P A ⨯++++=它表示的是经过1A 商区中商场用餐的人数则经过第i A 个商区的总人流量为：1312111A A A L A ++=对于i B 和i C 可以按同样的方法和原理进行。
求得结果如下：问题3根据题意要想确定MS 网点的设计，必须考虑人流量和购物欲望。
其中购物欲望与人们的购物心理和消费能力有关，具有很大的不确定性。
模型中假设每一商区内商品的种类是齐全的，也就是说人们可以在任何一商区进行购物，那么我们不考虑心理因素而将购物欲望转化成具体的消费能力。
由于模型中假设观众出行路线为回家。
用餐购物出场馆进场馆→→→→为了简化模型不妨将选择3种不同餐饮方式的人视为一个整体，求出其平均消费等级。
简单定义平均消费等级：∑=⨯=61i j i i K 总的消费人数等消费等级第个消费等级人数第 ）（3,2,1=j依据题中数据库调查结果统计得附表1，并由此求得： 去中餐馆的观众的平均消费等级3539.21=K ； 去西餐馆的观众的平均消费等级58973.22=K ； 去商场用餐观众的平均消费等级50207.23=K 。
有了平均消费等级之后我们再来进一步求每一商区的消费实力。
具体的计算方法如下：假设每位观众的消费等级平均分布在其所经过的商区，每个商区的消费实力为所有经过该商区的观众与其在该商区所对应的消费等级的乘积之和。
求得结果如下：因为MS 网点的设计要满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业赢利。
而影响其选址的主要因素是人流量及消费实力，那么可以赢利为目标函数，以满足购物需求和分布均衡及建MS 所占面积不能超过商区面积为约束条件构造规划函数。
在这里我们假设大MS 的面积为小MS 面积的1K 倍下面以国家体育场周边商区为例来阐述模型：)(2211101Q X Q X D MaxZ i i i A i --=∑=.st02211≥-+i A i i D P X P X )102,1( =i112S K S =S S X S X i i ≤+2211 )102,1( =i 121≥+i i X X )102,1( =i 211i i i X K X C += )102,1( =iE C j <-i C )102,1,,( =≠j i j irse P PP P --+=)1(10max max)(21P P P 或代表 （1）bS a Q += )(21Q Q Q 或代表 （2）1i X ——第i 个商区小MS 的个数2i X ——第i 个商区大MS 的个数 1S ——小MS 占商区面积的比例 2S ——大MS 占商区面积的比例S ————每一个商区总的面积1P ———— 小MS 的服务能力 2P ———— 大MS 的服务能力i C ——将大MS 折合成小MS 后第i 个商区所拥有的总的小MS 的个数E ——不同商区MS 的个数的距离其中S P 与，S Q 与的函数关系是对现实情况的一种假设。
