2019届高三理科数学好教育单元训练金卷(A)立体几何综合(解析版附后)

2019届高三好教育3月份内部特供卷理科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()26i i z z +=+是虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U =R ，1218x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}31x x -<<-B ．{}30x x -<<C ．{}10x x -≤<D ．{}3x x <-此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()10081010,a a在直线20x y +-=上，则2017S =（ ） A ．4034B ．2017C ．1008D ．10104．设3log 2a =，ln2b =，125c -=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男、女至少各有一人，则不同的选法共有（ ） A ．140种B ．70种C ．35种D ．84种6．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ）A ．1B ．2 D ．32 7．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1009i ≤B ．1009i >C ．1010i ≤D ．1010i >8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（ ）A．B ．4C ．6 D．9．若实数x ，y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥-⎧+≥+-≤⎪⎨⎪⎩，则目标函数24x y z x -+=-的最大值是（ ）A ．1B ．14-C ．54-D ．5410．已知()πsin 2019cos 201963πf x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．π2019B ．4π2019C ．2π2019D ．π403811．已知双曲线()22221,0x y a b a b -=>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB=，则双曲线的离心率为（ ）A．BC．212．在正方体1111ABCD A B C D -1A DB 与面11A DC 的重心分别为E 、F ，求正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若a ，b 为正实数，且1a b +=，则122a b +的最小值为______． 14．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑________．15．已知AB 为圆22:1O x y +=的直径，点P 为椭圆22143x y +=上一动点，则PA PB ⋅的最小值为______．16．已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c +=++++，且ABC △的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b的前n 项和n T ．18．（12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图． （1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=︒，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点． （1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为π6？若存在，求出AP 的长h ，若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若60AMN ∠=︒，求点M 的坐标．21．（12分）已知函数()2ln f x ax bx x x=++在()()1,1f 处的切线方程为320x y --=．（1）求实数a ，b 的值； （2）设()2g x x x=-，若k ∈Z ，且()()()2k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是x t y =⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =-+．（1）解不等式()20f x x -+>；（2）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围．2019届高三好教育3月份内部特供卷 理科数学（三）答 案 一、选择题． 1．【答案】D 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，由26i z z +=+，得()i 2i 6ia b a b ++-=+，即3i 6i a b -=+，36 1a b =⎧∴⎨-=⎩，解得2a =，1b =-．∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选D ．2．【答案】C【解析】图中阴影部分表示的集合U NM ð，由{}121308x N x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，(){}{}ln 11M x y x x x ==--=<-，则{}1U M x x =≥-ð，{}10U NM x x =-≤<ð，故选C ．3．【答案】B 【解析】点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，所以100810102a a +=．B ．4．【答案】C【解析】∵ln 20>，ln 31>，∴ln2ln2ln3a b =<=，即a b <．又31log 2log 2a =>=，12c =<=．∴a c >． 综上可知c a b <<，故选C ． 5．【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有2145C C 30⋅=种；（2）1男2女，有1245C C 40⋅=种，所以共有21124545C C C C 70⋅+⋅=种，故选B ．6．【答案】A【解析】平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，不妨设()1,0=a ，14⎛= ⎝⎭b ，则12,2⎛- ⎝⎭a b =，故21-=a b ，故选A ． 7．【答案】A【解析】由算法流程图所提供的算法程序可知：当1009i =时，2100912017i =⨯-=，运算程序结束，所以当1009i >时运算程序不再继续，故应填1009i ≤，应选答案A ． 8．【答案】C【解析】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断：该四棱锥的最长棱为AO ，6AO ．故选C ．9．【答案】B【解析】实数x ，y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥-⎧+≥+-≤⎪⎨⎪⎩的可行域如图：目标函数26144x y y z x x -+-==---；64y x --的几何意义是可行域内的点与()4,6P 连线的斜率，目标函数24x y z x -+=-的最大值转化为64y x --的最小值， 由图形可知最优解为()0,1A ，所以目标函数24x y z x -+=-的最大值是14-，故选B ．10．【答案】C【解析】依题意()sin2019cos cos2019sin cos2019cos sin2019sin66ππ3ππ3f x x x x x =+++cos20192sin 2019π6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 2A ∴=，2π2019T =，12min ||22019πT x x ∴-==，12A x x ∴-的最小值为2π2019，故选C ．11．【答案】C 【解析】由图像，利用几何关系解得,22c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2BF AB=，利用向量的坐标解得2,33c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点B在双曲线上，故2222223313c bc a e e a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒=⇒=C ．12．【答案】D【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则)A，1A、)B、(1C 、()0,0,0D 、E ⎝⎭、F ⎝⎭、O ⎝⎭，6OE ⎛=⎝⎭，EF ⎛=- ⎝⎭，∴点O 到直线EF 的距离2OE d OE EF ⎛⎪=-=⎪，而球O的半径为R =，因此，正方体外接球被EF所在直线截的弦长为．故选D ． 二、填空题．13．【答案】92【解析】1a b +=，且0a >，0b >，则()121252592222222b a a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =且1a b +=，即13a =，23b =时取得最小值92．故答案为92． 14．【答案】21nn +【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，()423210S a a =+=，可得22a =，数列的首项为1，公差为1，()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111112212122334111nk kn S n nn n =⎡⎤⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭∑，故答案为21nn +．15．【答案】2【解析】方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，()2cos P x x，()1,0A -，()1,0B ． 从而()()222cos 12cos 13sin 2cos 2PA PB x x x x ⋅=-++=+≥，故答案为2．方法二：()()22222441144PA PB PA PBPO PA PB PO PO +---⋅===-=-，而min PO 2．16．【答案】(]12,24【解析】由ABC △的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c +++++=++，1c aa b b c ∴+=++，可知()()()()c b c a a b a b b c +++=++，222ac a c b =+-，2221cos 22a c b B ac +-∴==，π3B =， 2π3πR =，R =2sin sin sin a b c R A B C ∴===，a A ∴=，c C =，)23sin sin sin sin πsin 32a c A C A A A A ⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭π6sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2π03A <<，ππ5π666A ∴<+<，π36sin 66A ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，可知36a c <+≤，()()()222sin 22f x x a c a c =--++++⎡⎤⎣⎦，1sin 1x -≤≤，可知当sin 1x =时，()()max 4f x a c =+，()12424a c ∴<+≤，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为(]12,24．三、解答题．17．【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+．【解析】（1）由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⨯+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得11a =，2d =，所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-．（2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==-⎪-⋅+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-++⎝⎭．18．【答案】（1）520；（2）5人，2人；（3）分布列见解析，()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则()305237C C 207C P X ===，()215237C C 417C P X ===，()125237C C 127C P X ===，故X 的分布列为：∴()240127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）当AP =时，二面角P EC D --的大小为π6．【解析】（1）如图：连接BN ，设CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知，MN AD BC ∥∥，MN AD BC ==，故四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点，又因为E 是AB 的中点，所以AN EF ∥．因为EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC ．（2）假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为π6．延长DA 、CE 交于点Q ，过A 做AH EQ ⊥于H ，连接PH ．因为ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以MA ⊥平面ABCD ， 又EQ ⊂平面ABCD ，所以MA EQ ⊥，EQ ⊥平面PAH ， 所以EQ PH ⊥，PHA ∠为二面角P EC D --的平面角．由题意π6PHA ∠=．在QAE △中，1AE =，2AQ =，120QAE ∠=︒，则EQ =所以·sin120AE AQ AH EQ ︒==又在Rt PAH △中，π6PHA ∠=，所以·tan301AP AH =︒===<．所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为π6，此时AP ．20．【答案】（1）椭圆C 的方程：22162x y +=；（2）⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】（1）因为椭圆C 的短轴长为所以2222b c a a b c ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪==⎨=⎪⎪⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）因为A 为椭圆C的上顶点，所以(A ．设()(),00M m m >，则AM k =又AM AN ⊥，所以AN k =，所以直线AN的方程为y x由22162y x y ⎧⎪⎪⎨=+=⎪⎪⎩消去y 整理得()2223120m x mx ++=，所以21232N m x m -=+，所以21232N A mAN x m =-=+，在直角AMN △中，由60AMN ∠=︒，得AN ，21232m m =+m =．所以点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）1a =，0b =；（2）4． 【解析】（1）()21ln f x ax b x=+++'，所以213a b ++=且1a b +=，解得1a =，0b =．（2）由（1）与题意知()()ln 22f x g x x x xk x x -+<=--对任意的2x >恒成立，设()()ln 22x x x h x x x +=>-，则()()242ln 2x xh x x '--=-，令()()42ln 2m x x x x =-->，则()2210x m x x x ='-=->，所以函数()m x 为()2,+∞上的增函数．因为()2842ln842lne 440m =-<-=-=，()31062ln1062lne 660m =->-=-=，所以函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立，所以0042ln 0x x --=， 故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当0x x <时，()0m x >，即()0h x '>，所以函数()h x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000min0041ln 2222x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，所以2x k <，因为()08,10x ∈，所以()04,52x ∈，又因k ∈Z 所以k 最大值为4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()π3θρ=∈R ；（2【解析】（1）直线l的普通方程为y =，∴直线l 的极坐标方程为()π3θρ=∈R ．（2）cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴曲线C 的直角坐标方程为22230x y y +--=． 曲线()22:14C x y +-=，圆心()0,1到直线y =的距离12d ==，圆的半径2r =，2221154244AB r d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，AB ∴=23．【答案】（1）{}313x x x -<<>或；（2）1a ≤-或3a ≥．【解析】（1）不等式()20f x x -+>可化为21x x x -+>+．当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-； 当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >， 综上所述，不等式()20f x x -+>的解集为{}313x x x -<<>或．（2）由不等式()22f x a a ≤-，可得232x x a a -+≤-， ()333x x x x -+≤-+=，223a a ∴-≥，即2230a a --≥， 解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥．。

2019届好教育高三第三次模拟考试卷理科数学（二）解析附后一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12- B ．12C ．1-D ．1 2．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25 B ．25- C ．0 D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．230x y --= D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种 B ．50种 C ．60种 D ．90种6．[2019·汕尾质检]直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9 B ．π3 C ．π6 D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1- 9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．．1 C ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ） A．2 C ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，抛物线22:4C y x=-的准线被椭圆1C（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ． （ ）求t 的值；（ ）若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）解析版注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（三）解析附后第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．123．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．244．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．25．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51 D ．)519．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；（3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥-中，已知四边形ABCDS ABCD形，点O是AC的中点，点S在底面ABCD上的射影为点O，点P在棱SD上，且四棱锥S ABCD-的体．积为23（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）若SP SDλ=，且二面角P AC D--，求λ的值．20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a+-=-+，a ∈R ． （1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+．2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理 科 数 学（三）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤ 【答案】D【解析】∵{}1B x x =≥R ，∴(){}12AB x x =≤≤R，故选D ．2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．12【答案】D【解析】∵()()()()2i 1i 2121i a a a ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上， ∴210a -=，即12a =．故选D ． 3．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24 【答案】C【解析】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖， 则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为3618⨯=种；故选C ． 4．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．2 【答案】D【解析】∵()2,0=a ，∴2=a ，∴πcos 13⋅==a b a b ，∴22-==a b ．故选D ．5．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤【答案】D【解析】初始值12S=，k=，1执行框图如下：k=-=；k不能满足条件，进入循环S=⨯=≠，12111112121320k=-=；k不能满足条件，进入循环；S=⨯=≠，1111012111321320k≤．k=-=，此时要输出S，因此k要满足条件，∴9S=⨯=，1019132101320故选D．6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．729 B．428 C．356 D．243【答案】D【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD-，底面是边长为9的正方形，高9PA=，∴几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅．故选D ．7．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b 【答案】C【解析】∵01b a <<<，∴x y a =和x y b =均为减函数，∴b a a a >，a b b b <，又∵b y x =在()0,+∞为增函数，∴b b a b >，即在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是b a ，故选C ．8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51D ．)51【答案】A【解析】以()0,1M 的圆的方程为()2215x y +-=，联立()2236015x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2,0A ，()1,3B ，∴AB 中点为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 而直线2l ：22330kx y k +--=恒过定点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，要使四边形的面积最大， 只需直线2l 过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，AB =，∴四边形ACBD 的面积最大值为1122S AB CD =⨯⨯=A ．9．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于D ，则32CD OC =．∵O 是三棱锥P ABC -的外接球球心，∴1OP OC ==，∴32CD =，∴BC =∴211133P ABC ABC V S OP -⋅=⨯=△．故选C ． 10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【答案】B【解析】由()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，()f x 的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因其图象关于y 轴对称，∴πππ32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，则π6ϕ=，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 即()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选B ．11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】圆心()0,0O 到直线y x =-0x y --的距离2d ==，由22212n n d A B r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且214n n n S A B =，得2222n n S a =++，∴()1422n n n S S S -=-++，即()1222n n S S -+=+且2n ≥；∴{}2n S +是以12a +为首项，2为公比的等比数列． 由2222n n S a =++，取1n =，解得12a =，∴()11222n n S a +=+⋅﹣，则122n n S +=-； ∴()11222222n n n n n n a S S n +-=-=--+=≥，12a =适合上式，∴2nn a =；设()2311232322232122n n n n T a a a n a n n -=++++⋅=+⨯+⨯++-⋅+⋅，()2341222232122n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅，∴()()1231111121222222222212212n n n n n n n n T n n n +++++--=++++-=-⋅=--⋅=-⋅--；∴()1122n n T n +=-⋅+，若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，即()()2112222n n n λ+-⋅+<+对任意*n ∈N 恒成立，即112n n λ-->对任意*n ∈N 恒成立． 设112n n n b --=，∵1112222n nn n n n n nb b +----=-=，∴12341n n b b b b b b +=>>>><>，故n b 的最大值为23b b =， ∵2312b b ==，∴1λ2>．故选B ． 12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】∵()()1xf x f x '>-，∴()()10xf x f x '-+>，令()()1F x x f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又∵()f x 是在R 上的偶函数，∴()F x 是在R 上的奇函数， ∴()F x 是在R 上的单调递增函数，又∵()()e e e x x x f axf ax ax ->-，可化为()()e e 11x xf ax f ax ⎡⎤->-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()e x F F ax >，又∵()F x 是在R 上的单调递增函数，∴e 0x ax ->恒成立， 令()e x g x ax =-，则()e x g x a '=-，∵0a >，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， ∴()min ln 0g x a a a =->，则1ln 0a ->， ∴0e a <<，∴正整数a 的最大值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．【答案】11-【解析】作出不等式组1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示．平移直线20x y +=，可知当直线过点C 时，z 有最小值，联立223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得58x y =⎧⎨=-⎩，故()5,8C -，则z 的最小值为()52811+⨯-=-．故答案为11-．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______． 【答案】10092【解析】根据等比数列的性质可得120182201732016100910102a a a a a a a a ===⋯==， ∴这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为10092．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______． 【答案】()2,+∞【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，0x -<， ∴()26f x x -=-，由奇函数可()26f x x =-+， ∴不等式()f x x <可化为206x x x>⎧⎨-+<⎩，解得2x >；∴0x >时，不等式()f x x <的解集为()2,+∞，故答案为()2,+∞．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______． 【答案】2【解析】如图，由112cos cos F MN F F M ∠=∠可得112F MN F F M ∠=∠，∴1122F M F F c ==，1124F N F M c ==，由双曲线的定义可得222MF c a =-，242NF c a =-，∴64MN c a =-，在1F MN △中由余弦定理得()()()()()()2222212644362cos 226432c c a c c ac a F MN c c a c c a +---+∠==⨯⨯--，在12F F M △中由余弦定理得()()()()()222122222cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⨯⨯-， ∵112cos cos F MN F F M ∠=∠，∴()22362322c ac a c ac c a c -+-=-，整理得223720c ac a -+=，∴23720e e -+=，解得2e =或13e =（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-， ∵sin 0A >，故1cos 2C =-，又0πC <<，∴2π3C =． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，∴周长的最大值为224+++．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率； （3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望． 【答案】（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）()715P A =；（3）见解析． 【解析】（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天． ∴这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， ∵330910⨯=，∴11月中平均有9天的空气质量达到优良． （2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A ，则()1228310C C 7C 15P A ⋅==，即恰好有一天空气质量良的概率715．（3）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，()0328310C C 70C 15P ξ⋅===；()1228310C C 71C 15P ξ⋅===；()2128310C C 12C 15P ξ⋅===． ∴ξ的分布列为：∴77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD形，点O 是AC 的中点，点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，点P 在棱SD 上，且四棱锥S ABCD -的体积为23．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）若SP SD λ=，且二面角P AC D --，求λ的值． 【答案】（1）见解析；（2）14λ=． 【解析】（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， 又四边形ABCDS ABCD -的体积为23，∴1233SO =，即1SO =，∴SC ，又CD =P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥． 又AP CP P =，∴SD ⊥平面PAC ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ．（2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -，∵SP SD λ=，点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤，又()1,0,1SD =--，∴(),0,SP λλ=--，∴(),0,1P λλ--，设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∵(),1,1AP λλ=--，()0,2,0AC =，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ， 又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =，二面角P AC D --，∴,cos OS OS OS ⋅===⋅n n n，即28210λλ+-=， 解得14λ=（负值舍去）． 20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）126NF MF ⋅=． 【解析】（1）∵点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，∴12AF BF =， 又114AF BF +=，∴2124BF BF a +==，∴2a =， 又12F AF ∠的最大值为π3，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， ∴2a c =，∴1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线NA 存在斜率，设直线NA 的方程为()4y k x =+，由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +++-=．∵直线与椭圆交于两点，∴()()()22223244364120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<．设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k -+=+，2122641243k x x k -=+，①直线A E '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()1212211112211121212248M x x x x x y x y x y x y x x y y y y x x ++-+=+==++++，② 由①②得()()222226412128132843M k k x k k --==--++．∴点M 为左焦点()11,0F -，因此13NF =，22MF =，∴126NF MF ⋅=．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数． 【答案】（1）存在；（2）见解析．【解析】（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+， 则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→，∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内； 当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e a a -<<<， ∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内．∴函数()f x 有三个不同零点． 综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ． （1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域． 【答案】（1）2a =，()(2214x y -+=，40x +-=；（2）⎡⎣． 【解析】（1）21ππ:4cos cos sin sin 33C ρρθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即222x y x +=+，化为直角坐标方程为()(2214x y -+=．把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，∵1C 曲线关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(，解得2a =， 故2C 的直角坐标方程为40x +-=． （2）当ππ63α≤≤时，ππ4cos 4sin 63OA αα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π4cos 3OB α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ4cos 4cos 33OC αα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，πππ4cos 4sin 233OD αα⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()ππ16sin cos 16cos sin 33f OA OB OC OD ααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π8sin 28sin 212sin 2πn 2263ααααα⎛⎛⎫=+⎫=-- ⎪⎝=+⎪⎝⎭⎭ ， 当ππ63α≤≤时，ππ5π2626α≤+≤，π26α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 故()f α的值域为⎡⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+． 【答案】（1）1a =或5-；（2）见解析．【解析】（1）∵()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+， （当且仅当()()20x a x +-≤时取=号） ∴23a +=，解得1a =或5-．（2）当2a =时，()2,2224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩， 当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-；又2x <-，∴不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，∴22x -≤<； 当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x =； ∴()4f x ≤的解集为[]2,2A =-．()()()()2222224481642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++()()()()22222222221644416444m n m n m n m n m n =+--=-+-=--．∵m ，[]2,2n ∈-，∴()240m -≤，()240n -≤，∴()()22440mn m n +-+≥，即()()2244mn m n +≥+，∴42mn m n +≥+．。

1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案一、解答题 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥B-EFC 的体积； （3）求二面角P-EC-D 的正切值．2.如图，三棱柱ABF-DCE 中，∠ABC=120°，BC=2CD ，AD=AF ，AF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥EC ；（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF 的体积．3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点． （1）求证：B 1D 1⊥AE ；（2）求三棱锥A-BDE 的体积．4.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M 在PC 上，且PA ∥面MBD ． （1）求证：M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积．25.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，△PAB 是等边三角形，AB=2，PC= ，AB 的中点为E.（1）证明：PE ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥D-PBC 的体积．6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V 表示为x 的函数.（2）若x =6，求图2的主视图的面积.7.如图，矩形ABCD 中，BC=2，AB=1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE=PA ，F 为PA 的中点．（1）求证：PC ∥平面BDF ．（2）记四棱锥C-PABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求的值．8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2 ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF．（1）求证：直线EF∥平面PAD；（2）求三棱锥F-PBE的体积．10.如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．（Ⅰ）求证：AE⊥EB；（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．3413.如图在三棱锥A-BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B-AC-D 的余弦值； （3）点E 在直线AC 上，当直线ED 与平面BCD 成30°角若时，求点C 到平面BDE 的距离．14.如图所示，在边长为 的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M 为PC 的中点，点N 在线段AD 上．（I ）点N 为线段AD 的中点时，求证：直线PA ∥BMN ； （II ）若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为，求平面PBC 与平面BMN 所成角θ的余弦值．16.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求证： （1）AC 1⊥BD ；（2）AC 1∥平面BDE ．17.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； （2）求三棱锥B-CD 1B 1的体积．18.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC（2）求证：PB⊥AC．19.如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．5622.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B 1-A 1BE 的体积；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥面A 1BE ？若存在，试确定点F 的位置，并证明你的结论．23.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC=CA=AA 1=2，∠CAA 1=60°．（1）求证：AC 1⊥A 1B ；（2）求直线A 1B 与平面BAC 1所成角的正弦值．24.在图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2，N 为线段PB 的中点． （1）证明：NE ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥B-CEPD 的体积．25.已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．G 是BC 的中点．（1）当x =2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D-BCF 体积的最大值．26.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E=D 1F=4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．727.在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，∠ABF 为直角， ，，平面ABCD ⊥平面ABFE ． （1）求证：DB ⊥EC ；（2）若AE=AB ，求二面角C-EF-B 的余弦值．28.如图，四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．29.如图所示，四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；（Ⅱ）求三棱锥M-PAB 的体积．30.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD 且PO=6，M 为BD的中点．（1）证明：AD ⊥平面PAC ； （2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．31.如图，多面体EF-ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．32.如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA ．（1）求证：PA ⊥BC ；8 （2）当PC 的值为多少时，满足PA ⊥平面PBC ？并求出此时该三棱锥P-ABC 的体积．33.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，AB ⊥BC ，且N 是A 1B 的中点．（1）求证：直线AN ⊥平面A 1BC ；（2）若M 在线段BC 1上，且MN ∥平面A 1B 1C 1，求证：M 是BC 1的中点．34.．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC （2）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1．35.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ． （1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ； （2）若二面角M-BQ-C 大小的为60°，求QM 的长．36.如 图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别为 AB 、BB 1、B 1C 1 的中点． （1）求证：A 1D ⊥FG ；（2）求二面角 A 1-DE-A 的正切值．37.四棱锥P-ABCD 的直观图与三视图如图，PC ⊥面ABCD（1）画出四棱锥P-ABCD 的侧视图（标注长度） （2）求三棱锥A-PBD的9 体积．38.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为棱DD 1上一点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1；（2）若P 是棱DD 1的中点，求CP 与平面BDD 1B 1所成的角大小．39.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M 是线段PD 上的一点（不包括端点）．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D-PC-A 的正切值； （Ⅲ）试确定点M 的位置，使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦值为．40.已知四棱锥P-ABCD 中，AD=2BC ，且AD ∥BC ，点M ，N 分别是PB ，PD 中点，平面MNC 交PA 于Q ． （1）证明：NC ∥平面PAB（2）试确定Q 点的位置，并证明你的结论．41.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体10 积．42.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．43.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、G 、H 分别是BC 、C 1D 1、AA 1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D 1H 与A 1B 所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG ∥平面BB 1D 1D ．44.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=AP=2CD=2，M 是棱PB 上一点． （Ⅰ）若BM=2MP ，求证：PD ∥平面MAC ； （Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B-AC-M 的余弦值为，求 的值．45.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA 1=4点D 是AB 的中点． （1）求证：AC 1∥平面B 1DC ；11 （2）求三棱锥A 1-B 1CD 的体积．46.如图，以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos ＜， ＞=-． （1）求的值；（2）求二面角B-VC-D 的余弦值．47.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=1，BC=2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥ABED ．（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P （端点除外）使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．48.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，∠B 1A 1A=∠C 1A 1A=60°，AA 1=AC=4，AB=1． （Ⅰ）求证：A 1B 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）求三棱锥ABC-A 1B 1C 1的侧面积．49.在四棱锥中P-ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD 、E 、F ，分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若AB=2，求三棱锥E-DFC 的体积．1250.如图，四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAD 所成角为45°，求二面角A-DE-C 的余弦值．51.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； （Ⅱ）求四棱锥P-BFDE 的体积．【答案】1.（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG ，∵GF 为△PDC 的中位线，∴GF ∥CD 且， 又AE ∥CD 且，∴GF ∥AE 且GF=AE ，13 ∴EFGA 是平行四边形，则EF ∥AG ， 又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ， ∴EF ∥面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，∴PO ⊥面ABCD ，且 ， 又PC 为面ABCD 斜线，F 为PC 中点，∴F 到面ABCD 距离，故；（3）解：连OB 交CE 于M ，可得R t △EBC ≌R t △OAB ， ∴∠MEB=∠AOB ，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM ⊥EC ．连PM ，又由（2）知PO ⊥EC ，可得EC ⊥平面POM ，则PM ⊥EC ， 即∠PMO 是二面角P-EC-D 的平面角，在R t △EBC 中，，∴， ∴，即二面角P-EC-D的正切值为．2.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE 中，AF ⊥平面ABCD ．∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ， 又ABCD 是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°． ∵BC=2CD ，故∠BDC=90°．故BD ⊥CD ． ∵ED∩CD=D ，∴BD ⊥平面ECD ． ∵EC ⊂平面ECD ， ∴BD ⊥EC ；（Ⅱ）解：由BC=2CD ，可得AD=2AB ，∵AB=1，∴AD=2，作BH ⊥AD于H ，∵AF ⊥平面ABCD ，∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC=120°， ∴BH=，∴．3.解：（1）证明：连接BD ，则BD ∥B 1D 1， ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ． ∵CE ⊥面ABCD ， ∴CE ⊥BD ． 又AC∩CE=C ， ∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ， ∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE ．-----------（6分）（2）S △ABD =2 △．-----------（12分） 4.证明：（1）连AC 交BD 于E ，连ME ．14∵ABCD 是矩形，∴E 是AC 中点．又PA ∥面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线， ∴PA ∥ME ，∴M 是PC 的中点． 解：（2）取AD 中点O ，连OC ．则PO ⊥AD ， 由平面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，∴ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴．5.证明：（1）由题可知PE ⊥AB ，CE ⊥AB ． ∵AB=2，∴PE=CE= ．又∵PC= ，∴PE 2+EC 2=PC 2， ∴∠PEC=90°，即PE ⊥CE ． 又∵AB ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ；解：（2）S △BCD =×22×sin 120°= ，PE= ． 由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，V P-BCD =•S △BCD •PE=1．∵V D-PBC =V P-BCD ，∴三棱锥D-PBC 的体积为1． 6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm ． 在R t △EOF 中，EF=5cm ，OF=x cm ，所以EO=． 于是V=x 2（cm 3）．依题意函数的定义域为{x |0＜x ＜10}．（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，S==12（cm 2）7.（1）证明：连结BF ，连接BD 交AC 与点O ，连OF ， 依题得O 为AC 中点，又F 为PA 的中点， 所以OF 为△PAC 中位线，所以OF ∥PC因为OF ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF 所以PC ∥平面BDF ． ∴V 1=梯形 =（2）解：设BE=a ，则PA=2BE=2a ， V 2=△ =（a +2a ）×1×2=a ． =． ∴．8.解：（Ⅰ）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结DO ，则O 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥BC 1，又因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD…（4分） （Ⅱ）由 ， ，可知AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，方向为x 轴正方向， 方向为y轴正。

2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题1. 已知向量a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)，则|a →−b →|=( ) A.25 B.17 C.√17 D.52. 已知向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →，则实数λ的值是( ) A.2 B.6 C.−2 D.−63. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点A (−1,0,3)关于坐标原点的对称点为B ，则|AB|=( ) A.2 B.√10 C.2√10 D.104. 如图所示，在空间四边形OABC 中， OA →=a →，OB →=b →，OC →=C →，点N 在AB 上，且AN →=2NB →，M 为OC 中点，则MN →=( )A.12a →−23b →−12c →B.−23a →+12b →+12c →C.13a →+12b →−12c →D.13a →+23b →−12c →5. 设P (1,−2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P 关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为( ) A.(1,2,−5) B.(−1,−2,5) C.(−1,−2,−5) D.(1,−2,−5)6. 已知平面α内有一点A (2,−1,2)，平面α 的一个法向量为n →=(12,16,13)，则下列四个点中在平面α内的是( ) A.P 1(1,−1,1) B.P 2(1,3,32)C.P 3(1,−3,32)D.P 4(−1,3,−32)7. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则MN →=( )A.−13a →+13b →+13c →B.a →+13b →−13c →C.13a →−13b →−23c →D.−13a →+b →+13c →8. 空间直角坐标系中A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定9. 已知A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为（ ） A.2√23B.1C.√2D.2√210. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.[√63，1] B.[√23，1] C.[√23，2√23] D.[√63，2√23]11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD，点E是PC 的中点，则PD与BE所成角的余弦值是()A.√33B.√36C.√63D.√6612. 如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A.√510B.√1010C.12D.√105二、填空题13. 已知直线l的一个法向量是n→=(√3,−1)，则l的倾斜角的大小是________．14. 已知平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，若α // β，则实数k的值为________.15. 给出下列命题：①直线l 的方向向量为a →=(1, −1, 2)，直线m 的方向向量b →=(2, 1, −12)，则l 与m 垂直； ②直线l 的方向向量a →=(0, 1, −1)，平面α的法向量n →=(1, −1, −1)，则l ⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，则α // β；④平面α经过三点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，则u +t =1．其中真命题的是________.（把你认为正确命题的序号都填上）16. 如图所示的一块长方体木料中，已知AB =BC =2，AA 1=1，设F 为线段AD 上一点，则该长方体中经过点A 1，F ，C 的截面面积的最小值为________．三、解答题17. 已知向量b →=(−2,1,1)，点A(−3,−1,4)，B(−2,−2,2)，点E 在直线AB 上，使得OE →⊥b →，则点E 的坐标为多少.18. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，若∠C 1EF =90∘，则点F 的坐标是多少.19.如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =1，D 1D =λ(λ>0)，若棱C 1C 上存在唯一的一点P 满足A 1P ⊥PB ，求实数λ的值．20.在如图所示的几何体中，△FCB是等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB，平面FCB⊥平面ABCD.CB=CD=12(1)求证：AC⊥平面FCB；(2)求二面角F−BD−C的余弦值.21. 在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=√3，BC=1，AD=AA1=3．(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．22. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD的中点，O为BE中点.将△ABE沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE（如图2）.(1)求证：A′O⊥CD；(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值；(3)在线段A′C上是否存在点P，使得OP//平面A′DE？若存在，求出A′P的值；若不存在，A′C请说明理由.参考答案与试题解析2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题 1.【答案】 D【考点】空间向量运算的坐标表示 向量的模向量的减法及其几何意义 【解析】先求出a →−b →=(0,−3,−4)，再利用模长公式求解即可. 【解答】解：∵ a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)， ∴ a →−b →=(0,−3,−4)，∴ |a →−b →|=√02+(−3)2+(−4)2=5. 故选D . 2.【答案】 C【考点】共线向量与共面向量 【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【解答】解：∵ 向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →， ∴ λ−1=63=21，解得λ=−2， ∴ 实数λ的值是−2. 故选C . 3.【答案】 C【考点】空间中的点的坐标 空间两点间的距离公式求出B 点的坐标，再根据空间中两点间的距离公式即可得解. 【解答】解：设B (a,b,c )， 由中点坐标公式可得：a−12=0，b+02=0，c+32=0，解得a =1，b =0，c =−3， 所以B (1,0,−3)，所以点|AB |=√(−1−1)2+(0−0)2+(3+3)2=2√10. 故选C ． 4. 【答案】 D【考点】空间向量的加减法 【解析】利用向量的加法，MN →=MO →+OB →+BN →，利用中点公式代入． 【解答】解：MN → =MO → +OB → +BN →，MO → =−12OC →，BN → = 13BA → = 13(OA → −OB →)， 所以MN →=−12OC → + 23OB → + 13OA →=−12c →+23b →+13a →. 故选D . 5. 【答案】 B【考点】空间直角坐标系 【解析】根据空间点的对称性分别进行判断即可． 【解答】解：因为点P(a, b, c)与点P ′关于坐标平面yOz 对称，则y ，z 不变，x 相反， 所以对称点P ′(−a, b, c)，所以P (1,−2,5)关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(−1,−2,5). 故选B . 6.【答案】 B【考点】 平面的法向量向量的减法及其几何意义若点P 在平面α内，则P 2A →⋅n →=0，经过验证即可判断出结论． 【解答】解：由题意得P 1A →=(1,0,1)，P 1A →⋅n →=56≠0，排除选项A ． 同理，可排除选项C ，D ． 因为P 2A →=(1,−4,12)，所以P 2A →⋅n →=0． 故选B ． 7.【答案】 A【考点】空间向量的基本定理及其意义 向量的加法及其几何意义 【解析】充分利用向量加法、减法的平行四边形、三角形法则以及数乘运算，将MN →表示出来，易知MN →=MA →+AA 1→+A 1N →，然后将三个向量分别用基底表示出来代入即可． 【解答】解：因为M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ， 所以AM →=13AC →，A 1N →=23A 1D →． 又由已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1， 且AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →得： AC →=a →+b →，A 1D →=b →−c →，所以MN →=MA →+AN →=−AM →+AA 1→+A 1N →=−13(a →+b →)+c →+23(b →−c →)． 化简得MN →=−13a →+13b →+13c →．故选A ． 8. 【答案】 A【考点】共线向量与共面向量 【解析】由已知得AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)，AB →=−2CD →，从而得到直线AB 与CD 平行． 【解答】解：在空间直角坐标系中，A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)， ∴ AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)， ∴ AB →=−2CD →， ∴ 直线AB 与CD 平行． 故选A ． 9. 【答案】 A【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】求出|AB →|=(1,0,0)， |BC →|=(−1,2,−2)，根据空间向量的夹角与距离公式即可求解点A 到直线BC 的距离. 【解答】解：∵ A (0,0,2) ，B (1,0,2) ，C (0,2,0), ∴ AB →=(1,0,0)， BC →=(−1,2,−2)， ∴ 点A 到直线BC 的距离为： d =|AB →|√1−(cos <AB →，BC →>)2 =|AB →|√1−(AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|)2=1×√1−(−11×3)2=2√23. 故选A . 10.【答案】 C【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sin α的取值范围． 【解答】解：设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2, 0, 2)，B(2, 2, 0)，D(0, 0, 0)，O(1, 1, 0)，P(a, 2, 2)，0≤a ≤2，DA 1→=(2, 0, 2)，DB →=(2, 2, 0)，OP →=(a −1, 1, 2)，设平面A 1BD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BD →=2x +2y =0，n →⋅DA 1→=2x +2z =0，取x =1，得n →=(1, −1, −1)，∴ sin α=|cos <OP →,n →>|=|OP →⋅n →|OP →|⋅|n →|| =√(a−1)2+5⋅√3=√33⋅√(a−1)2+5， ∵ 0≤a ≤2，∴ a =2时，sin α取最小值 (sin α)min =√33√(2−1)2+5=√23， a =0时，sin α取最大值 (sin α)max =√33×√(0−1)2+5=2√23． ∴ sin α的取值范围是[√23,2√23]． 故选C ．11. 【答案】D【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示，设PD =CD =AD =2，则E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)，D(0, 0, 0)，∴ PD →=(0, 0, −2)，BE →=(−2, −1, 1)，设PD 与BE 的夹角为θ，则cos θ=|PD →⋅BE →||PD →|⋅|BE →| =22√6 =√66. 故选D .12.【答案】C【考点】点、线、面间的距离计算向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1F 的长．【解答】解：以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意A 1(1, 0, 0)，B 1(0, 1, 0)，D(12,12, 0)，C 1(0, 0, 0)，A(1, 0, 2)，设F(0, 1, t)，0≤t ≤2，C 1D →=(12,12, 0)，AB 1→=(−1, 1, −2)，C 1F →=(0, 1, t)，因为AB 1⊥平面C 1DF ，{AB 1→⋅C 1D →=0，AB 1→⋅C 1F →=0，所以1−2t =0，解得t =12，所以B 1F →=(0,0,12)，所以线段B 1F 的长为12．故选C .二、填空题13.【答案】π3【考点】直线的方向向量直线的倾斜角【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=0，可得tan θ=y x ．【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →⋅n →=√3x −y =0，∴ tan θ=y x =√3， 解得θ=π3．故答案为：π3.14.【答案】−1【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】设平面α的法向量为a →，平面β的法向量为b →．由于α // β，可得a → // b →，因此∃实数λ使得a →=λb →．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．【解答】解：∵ 平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，且α // β， ∴ a → // b →，∴ 存在实数λ使得a →=λb →．∴ {2=kλ，−4=2λ，−2=λ，解得k =−1．故答案为：−1.15.【答案】①④【考点】平面的法向量共线向量与共面向量数量积判断两个平面向量的垂直关系用向量证明平行【解析】①根据直线l 、m 的方向向量a →与b →垂直，得出l ⊥m ；②根据直线l 的方向向量a →与平面α的法向量n →垂直，不能判断l ⊥α；③根据平面α、β的法向量n 1→与n 2→不共线，不能得出α // β；④求出向量AB →与BC →的坐标表示，再利用平面α的法向量n →，列出方程组求出u +t 的值．【解答】解：①，∵ a →=(1, −1, 2)，b →=(2, 1, −12)，∴ a →⋅b →=1×2−1×1+2×(−12)=0，∴ a →⊥b →，∴ 直线l 与m 垂直，故①正确；②，a →=(0, 1, −1)，平面法向量为n →=(1, −1, −1)，∴ a →⋅n →=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，∴ a →⊥n →，∴ l // α或l ⊂α，故②错误；③，∵ n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，∴ n 1→与n 2→不共线，∴ α // β不成立，故③错误；④，∵ 点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，∴ AB →=(−1, 1, 1)，BC →=(−1, 1, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，∴ {n →⋅AB →=0,n →⋅BC →=0,即{−1+u +t =0,−1+u =0,∴ u +t =1，故④正确．综上，以上真命题的序号是①④.故答案为：①④.16.【答案】6√55【考点】空间向量的数乘运算空间直角坐标系棱柱的结构特征【解析】根据题意，建立建立空间直角坐标系O −xyz ，用坐标表示向量， 通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值．【解答】解：如图所示，以DA 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，设截面与交B 1C 1点K ，F(−2λ, 0, 0)，则FC →=(−2+2λ, 2, 0)，FA 1→=(2λ, 0, 1)；∴ S =|FC →|⋅|FA 1→|sin θ，S 2=|FC →|2⋅|FA 1→|2−(FC →⋅FA 1→)2=[(−2+2λ)2+4](4λ2+1)−[(−2+2λ)⋅2λ]2=20λ2−8λ+8=20(λ−15)2+365， 当λ=15时，S 2取最小值365，∴ S 的最小值为6√55． 故答案为：6√55． 三、解答题17.【答案】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25). 【考点】空间向量运算的坐标表示共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25).18.【答案】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)． 【考点】空间向量的数量积运算空间中的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)．19.【答案】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．【考点】空间向量的数量积运算【解析】以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出实数λ的值．【解答】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．20.【答案】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313. 21.【答案】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角向量语言表述线线的垂直、平行关系两条直线垂直的判定【解析】(Ⅰ)以AB →,AD →,AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算AC →⋅B 1D →=0，证明AC ⊥B 1D ．(Ⅱ)求出平面ACD 1的法向量，设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，求出B 1C 1→=(0,1,0)，利用向量的数量积求解直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．【解答】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 22.【答案】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0). 设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D→=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0), 所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23. (3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE .设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′PA ′C =λ(0≤λ≤1)，则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ，所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)，若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)，即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]，所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .【考点】用空间向量求直线与平面的夹角用向量证明平行直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0).设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D →=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0),所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23.(3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE . 设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′P A ′C =λ(0≤λ≤1)， 则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ， 所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)， 若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)， 即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]， 所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .。

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十四单元 空间几何体注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（ ） A ．一个圆台B ．两个圆锥C ．一个圆柱D ．一个圆锥2．—个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO △的面积是（ ）A B C D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+4．网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是最某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3108cmB ．384cmC ．392cmD ．3100cm6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2πB ．3πC ．5πD ．7π7．已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．2a πB ．273a πC ．2113a π D ．25a π10．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π11．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺．问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺．如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）（ ） A ．24642B ．26011C ．52022D ．7803312．正方体内切球和外接球半径的比为（ ）A ．B ．CD ．1:2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知球的表面积为16π，则该球的体积为____________．14．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．15．一个底面积为1表面积为__________．16．已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为24cm π 的球面上．如果该四棱柱的底面边长为1cm ，则其侧楞长为____________cm ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，ABC △中，8AB ＝，10BC ＝，6AC ＝，DB ⊥平面ABC ，且AE FC BD ∥∥，3BD =，4FC =，5AE =，求此几何体的体积．18．（12分）一几何体按比例绘制的三视图如图所示： （1）试画出它的直观图；（2）求它的表面积和体积．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱111ABC A B C -的体积．20．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，20AB =，13BC =，112AA =，过点11A D 的平面α与棱AB 和CD 分别交于点E F 、，四边形11A EFD 为正方形．（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE 的长； （2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．21．（12分）在正方体1111ABCD A B C D -中挖去一个圆锥，得到一个几何体M ，已知圆锥顶点为正方形ABCD 的中心，底面圆是正方形1111A B C D 的内切圆，若正方体的棱长为cm a ． （1）求挖去的圆锥的侧面积； （2）求几何体的体积．22．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -的直观图和三视图如图所示，E 是棱1CC 上一点，（1）若12CE EC =，求三棱锥1E ACB -的体积； （2）若E 是1CC 的中点，求C 到平面1AEB 的距离．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十四单元 空间几何体一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】依题意可知，这是一个圆锥．故选D ． 2．【答案】C【解析】根据斜二侧的原理可得ABO △是直角三角形，两直角边1BO O B ''==，故原ABO △的面积是C ．3．【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2， 因此表面积为211212+223+42π⨯+⨯π⨯⨯⨯=π，选D ．4．【答案】A【解析】由三视图，可知该几何体是如图所示的四面体ABCD ， 其中底面BCD △和侧面ABD △是底边为4AB =的等腰直角三角形， 侧面ABC △，ACD △为底边的等腰三角形，取BC 的中点F ，连接EF ，AFA ．5．【答案】D【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，D ．6．【答案】B【解析】故选B ． 7．【答案】D 【解析】如图，为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．这是两个底面半径为，母线长4的圆锥，故224S rl =π=π⨯=． 故答案为D ． 8．【答案】C【解析】俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在度面上有一条对角线， 对角线是由左上角到右下角的线，故选C ． 9．【答案】B【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心， 如图：则其外接球的半径为R = 球的表面积为22774123a S a =π⋅=π球；故选B ．10．【答案】C【解析】设球的半径为r ，则34433r π=π，解得1r =，所以圆柱的底面半径1r =，母线长为22l r ==， 所以圆柱的侧面积为22124S rl =π=π⨯⨯=π，故选C ． 11．【答案】B【解析】，一个秋B ． 12．【答案】B【解析】作正方体与其内切球的截面如图甲，设正方体棱长为a ，则有2r a =(r 为内切球半径)．作正方体与其外接球的截面如图乙，则有2R (R 为外接球半径)，得1:r R ＝B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【解析】因为2416s r =π=π，所以2r =，14．【答案】43π【解析】该几何体由一个半球和一个圆锥组成，则该几何体的体积：32214112333V =π⨯+⨯π⨯⨯=π．15．【答案】20π【解析】 为2420r π=π．16．【解析】一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，则此四棱柱的外接球的球心为体对角线的中点，因为球的表面积为24cm π ，所以球的半径为1cm ，故体对角线长为2，设侧棱长为h h =三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】96 【解析】如图，取CM AN BD ＝＝，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V V V 几何体三棱柱四棱锥＝＋，由题知三棱柱-ABC NDM 的体积为11863722V ⨯⨯⨯＝＝．四棱锥-D MNEF 的体积为2111·126824332()MNEF V S DN ⨯⨯⨯⨯梯形＝＝＋＝， 则几何体的体积为12722496V V V ＝＋＝＋＝．18．【答案】（1）见解析；（2）表面积为(7，体积为32． 【解析】（1）直观图如图所示．（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以1A A ，11A D ，11A B 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B 中，作11BE A B ⊥于E ，则四边形1AA EB 是正方形，11AA BE ＝＝，在1Rt BEB △中，1BE ＝，11EB ＝，所以1BB ， 所以几何体的表面积11111111112ABCD A B C D AA B B BB C C AA D D S S S S S S 正方形正方形矩形矩形梯形＝＋＋＋＋()(112121211172⨯⨯⨯⨯＝＋＋＋＋． 几何体的体积3312142V ⨯⨯⨯＝＝． 所以该几何体的表面积为()72＋，体积为32． 19．【答案】（1）4π；（233 【解析】（1）设底面圆的直径为2r ，由题可知222V r r =π⋅=π圆柱， ∴1r =∴圆柱的侧面积224S r r =π⋅=π．（2）因为ABC △为正三角形，底面圆的半径为1，∴可得边长AB =∴三棱柱111ABC A B C -的体积 20．【答案】（1）见解析，5；（2）几何体是以11A EBB 和为底面的直四棱柱，体积为2730．【解析】（1）交线围成的正方形11A EFD 如图所示（不分实虚线的酌情给分）， ∵11113A D A E ==,112A A =，在1Rt A AE △中，由勾股定理知5AE =．（2）几何体是以11A EBB 和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分） 由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积：()1112015121327302V S BC =⨯=⨯+⨯⨯=梯形ＡEBB ． （由体积之差法也不扣分）．21．【答案】（1()22cm a ；（2）()331cm 12a π⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）圆锥的底面半径2a r =，高为a ，母线l ==，∴挖去的圆锥的侧面积为()22cm 224a rl a a π=π⋅⋅=π． （2）∵M 的体积为正方体体积减去圆锥的体积，∴M 的体积为()233311cm 3212a a a a π⎛⎫⎛⎫-π⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）49；（2． 【解析】（1）由三视图得，该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱， 底面ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB =， ∴AC ⊥平面11BB C C ， BC ⊥平面11AA C C ，∵12CE EC =， 12CC =，∴43CE =，又AC =，∴1111443239E ACB A CEB V V --==⨯⨯=． （2）∵E 是1CC 的中点，∴=1CE ，∴1AE B E ==，即1AEB △为等腰三角形，∵1AB =，∴1AEB △， 设C 到平面1AEB 的距离为d ，∵11C AEB A CEB V V --=，∴1111113232⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2d =．。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小．【答案】（1）见详解；（2）30． 【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，专题19 立体几何综合则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG =（1，0），AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷，理数1】如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BCCM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ．当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点．由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n ．DA 是平面MCD 的法向量，因此5cos ,||||DA DA DA ⋅==n n n2sin ,5DA =n ， 所以面MAB 与面MCD ．【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷，理数1】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由题设可得，ABD CBD △≌△，从而AD DC =． 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒． 取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO =AO ． 又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥． 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角． 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+==， 故90DOB ∠=． 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 故()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即0,10.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取1,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ．设m 是平面AEC 的法向量，则00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m同理可取(0,=-m ．则cos ,7⋅==n m n m n m ． 所以二面角D -AE -C． 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,||θ=⋅=m m n nm n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【命题意图】用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力，以及转化与化归思想的应用．【命题规律】立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查．本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查．【答题模板】1．一个平面的法向量是与平面垂直的向量，有无数多个，任意两个都是共线向量．若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设平面的法向量为n=（x，y，z）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组·0·0=⎧⎨=⎩，；n an b（4）解方程组，取其中的一组解，即得法向量．注意：求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值（常赋值–1，0，1），即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n=（0，0，0）不能作为法向量．2．用空间向量解决立体几何问题的步骤如下：（1）建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；（2）定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；（3）向量运算：进行相关的空间向量的运算；（4）翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．【方法总结】1．利用向量法证明平行问题（1）证明线线平行：证明两条直线的方向向量共线．（2）证明线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．（3）证明面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题．注意：用向量法证明平行问题时，要注意解题的规范性．如证明线面平行时，仍需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外．2．利用向量法证明垂直问题（1）证明线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．（2）证明线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；③证明直线的方向向量与平面α内的任一条直线的方向向量垂直．（3）证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直．3．求线面角（1）定义法：①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．（2）公式法：sinθ=hl（其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角）．（3）向量法：sinθ=|cos<AB，n>|=|?|||||ABABnn（其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角）．4．求二面角（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图（1），∠AOB为二面角α–l–β的平面角；（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角，如图（2），∠AOB 为二面角α–l –β的平面角；（3）垂线法（三垂线定理法）：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理（线面垂直的性质）即可找到所求二面角的平面角或其补角，如图（3），∠AOB 为二面角α–l –β的平面角；（4）利用射影面积公式：cos θ=S S 射原，该法主要用来解决无棱二面角大小的计算，关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影；（5）向量法：利用公式cos<n 1，n 2>=1212·||||n n n n （n 1，n 2分别为两平面的法向量）进行求解，注意<n 1，n 2>与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断．如图（2）（4）中<n 1，n 2>就是二面角α–l –β的平面角的补角；如图（1）（3）中<n 1，n 2>就是二面角α–l –β的平面角．5．求空间距离（1）直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．（2）间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．（3）向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解． 求点P 到平面α的距离的三个步骤：①在平面α内取一点A ，确定向量PA 的坐标； ②确定平面α的法向量n ； ③代入公式d =||||PA n n 求解．1．【广西省南宁市2019届高中毕业班第二次适应性模拟测试高三数学】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥===M 为侧面11AA CC 的对角线的交点，D E 、分别为棱,AB BC 的中点．（1）求证：平面MDE //平面11A BC ； （2）求二面角C ME D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明D E 、分别为边,AB BC 的中点，可得DE AC ∥， 又由直三棱柱可知侧面11AAC C 为矩形，可得11AC AC ∥故有11AC DE ∥， 由直三棱柱可知侧面11AAC C 为矩形，可得M 为1A C 的中点， 又由E 为BC 的中点，可得1A BME ．由DE ，ME ⊂平面MDE ，11A C ，1A B ⊂平面MDE ，得11A C 平面MDE ，1A B平面MDE ，11A C 1A B 1=A ，可得平面MDE 平面11A BC ．（2）以CA ，CB ，1CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,0,01,0,0,0,2,0,0,0,4,,0,2,,1,00,1,022C A B C M D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，（），111,1,2,,0,2,,0,0222ME CM ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面CME 的一个法向量为()11,,,22022x y z x y z x z =-+-=+=则m ， 取1z =-，有4,0,(4,0,1)x y ===-m ， 同样可求出平面DME 的一个法向量(0,2,1)=m ，cos ,||||⋅〈〉===m n m n m n ，结合图形可知二面角C ME D --的余弦值为85． 【名师点睛】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式cos ,||||⋅〈〉=m nm n m n 求解二面角．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（1）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（2）若2A B F O ==，BD =点H 在线段BF 上，且3BF HF =，求平面ACH 与平面DEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）9【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，∴AO FO ⊥． 又四边形OAEF 为平行四边形，∴EF ∥AO ，∴EF BD ⊥，EF FO ⊥， ∵BDFO O =，∴EF ⊥平面BDF ．∵EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ． （2）∵FO ⊥平面ABCD ，∴FO AO ⊥，FO BO ⊥．∵2AB AD ==，BD =，∴AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则()0,0,0O，)A，()B，()C，()0,D，)E，()0,0,2F ，∴()2,DE=，()DF =，()0,2BF =，()2,CB=，()AC =-，∵3BH HF =，∴2242,,333CH CB BF ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎭， 设平面DEF 的法向量为()1111,,x y z=n ，则111112020z z +=+=⎪⎩，令11z =，得()10,=n．同理可求得平面ACH 的一个法向量()20,=-n ．∴211212cos,⋅===nn nnn n，∴12sin,9==nn，∴平面ACH与平面DEF．【名师点睛】（1）用向量法解决空间角问题的关键是建立适当的空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标，求出直线的方向向量或平面的法向量，然后利用向量的运算进行求解．（2）向量法求二面角大小时，可分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．3．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB BC PD CD⊥⊥，，且2PA E=，为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A BE C--的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）∵底面ABCD为正方形，∴BC AB⊥，又BC PB AB PB B⊥=，，∴BC⊥平面PAB，∴BC PA⊥．同理CD PA BC CD C⊥=，，∴PA⊥平面ABCD．（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz-，则()()()()000220011200A C E B，，，，，，，，，，，，设()x y z =，，m 为平面ABE 的一个法向量，又()()011200AE AB ==，，，，，，∴020y z x +==⎧⎨⎩， 令11y z =-=，，得()011=-，，m ．同理()102=，，n 是平面BCE 的一个法向量，则cos ,||||5⋅〈〉===m n m n m n ．∴二面角A BE C -- 【名师点睛】本题考查了线面垂直的的判定与性质及二面角的计算，属于中档题．4．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】如图，等边三角形PAC 所在平面与梯形ABCD 所在平面互相垂直，且有AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）513． 【解析】（1）取BC 中点M ，连接AM ， 则四边形AMCD 为菱形，即有12AM MC BC ==，∴AB AC ⊥．又AB Ì平面ABCD ，平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，∴AB ⊥平面PAC ，又AB Ì平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAC ．（2）由（1）可得AC =取AC 中点O ，连接PO ，则PO AC ⊥，3PO =， 又PO ⊂平面PAC ，平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，∴PO ⊥平面ABCD ．以A 为原点建系如图，则()2,0,0B，()P，()C，()D -，()BC =-，()3PC =-，()1,CD =-，设平面BPC 的法向量为()1,,x y z =n ，则2030x z ⎧-+=⎪-=，取1z =，得()1=n ． 设平面PCD 的法向量为()2,,x y z =n ，则030x z ⎧-=⎪-=，取1z =，得()2=-n ，212112513cos ,⋅===-n n n n n n ．∴二面角B PC D --的余弦值为513． 【名师点睛】本题考查面面垂直的判定与求二面角．在立体几何证明中，得出结论时，注意定理的条件要写全，否则证明过程不全面．求空间角问题，可用向量法求解，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角与空间角的关系求解，这里对学生的计算能力要求较高．5．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试（理科）数学】如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面90ABCD ABC ∠=︒，，2160SA AB BC AD ACD E ====∠=︒，，，为CD 的中点．（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）7．【解析】（1）因为190AB BC ABC ==∠=︒，， 所以260AC BCA ∠=︒=，，在ACD △中，260AD AC ACD ==∠=︒，，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠，解得4CD =， 所以222AC AD CD +=，所以ACD △是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE ==， 又60ACD ∠=︒，所以ACE △为等边三角形， 所以60CAE BCA ∠=︒=∠，所以BCAE ，又AE ⊂平面SAE BC ⊄，平面SAE ，所以BC平面SAE ．（2）由（1）可知90BAE ∠=︒，以点A 为原点，以AB AE AS ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则002000S B C D （，，，），，），（，）．所以30231232SB SC SD =-=-=--（，，），（，，），（，，）． 设x y z =（，，）n 为平面SBC 的法向量，则·0 ·0SB SC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即2020z y z -=+-=设1x =，则0y z ==，，即平面SBC的一个法向量为10=（，n ，所以cos ,7||||7SD SD SD ⋅〈〉===-n n n ， 所以直线SD 与平面SBC ． 【名师点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题．6．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且23ABC π∠=，M ，N 分别为棱AP ，CD 的中点．（1）求证：MN 平面PBC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，2PB AB =，求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见证明；（2． 【解析】（1）设PB 的中点为G ，连接MG ，GC ． ∵M ，G 分别是AP ，PB 的中点，∴MG AB ，且12MG AB =． 由已知得12CN AB =，且CN AB ．∴MG CN ，且MG CN =．∴四边形MGCN 是平行四边形．∴MNGC ．∵MN ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，∴MN平面PBC ．（2）连接AC ，BD ，设AC BD O =，连接CO ，连接OG ．设菱形ABCD 的边长为a ，由题设得2PB a =，PD =，OGPD ，OG ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OG 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设得0,2a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,02a B ⎛⎫⎪⎝⎭，,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()0,,P a B =，3,,02a CB ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，则00PB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，化简得0y y ⎧-=⎪+=，令1x =，则y =1z =-，∴()1,1=-n ．同理可求得平面PAD 的一个法向量()1,=m ．∴||cos ,||||5⋅==mn m n m n． ∴平面PBC 与平面PAD【名师点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理转化能力．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l B C BC ，Q 是1A B 的中点，112AC BC B C ==，23ACB π∠=．（1）求证：1//QB 平面11A ACC ； （2）求二面角11A BB C --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ． 因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC ，且12MQ BC =， 又因为11B C BC ，且112BC B C =，所以11MQ B C ，且11MQ B C =，所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M ，因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q平面11A ACC ．（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，则)1,0A -，)11,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，所以()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-．设平面11A BB 的法向量为(),,x y z =m ，则111·0·0B A B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即2020y y z -=-=⎪⎩，取4x=，则(4,=m ，平面1CBB 的一个法向量()1,0,0=n，所以cos ,||||31⋅〈〉===m n m n m n ． 故二面角11ABB C --．【名师点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行．空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．8．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】如图（1）ABC △中，9024C AC BC E F =︒==，，，分别是AC 与AB 的中点，将AEF △沿EF 折起连接AC 与AB 得到四棱锥A BCEF -（如图（2）），G 为线段AB 的中点．（1）求证：FG平面ACE ；（2）当四棱锥A BCEF -体积最大时，求直线FG 与平面AFC 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取AC 的中点H ，连接EH GH ，，由于G 是AB 的中点，GH BC ∴，且12GH BC =， 又E F ，分别为AC 与AB 的中点，FE BC ∴，且12FE BC =， FE GH FE GH ∴=，，∴四边形EFGH 为平行四边形，FGEH ∴，又FG ⊄平面ACE EH ⊂，平面ACE ，FG∴平面ACE ．（2）当四棱锥ACE 体积最大时，平面ACE 平面ACE ， 由于AE EF AE ⊥∴⊥，平面BCEF ， 建立如图所示的坐标系，002220020100111A B C F G ∴（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）． 022120011CA CF FG ∴=-=-=（，，），（，，），（，，）．设平面ACE 的法向量x y z （，，）n ，则0CA CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22020y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取一组解211x y z ==（，，）（，，）n ，记FG 与平面AFC 所成角为θ，则sin cos 3||||6FG FGFG θ⋅===⨯，n n n ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查了空间向量法解决空间角的问题，考查计算求解能力，属于中档题．9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】如图所示，三棱锥P ABC -放置在以AC 为直径的半圆面O 上，O 为圆心，B 为圆弧AC 上的一点，D 为线段PC 上的一点，且3AB BC PA ===，PB =PA BC ⊥．（1）求证：平面BOD ⊥平面PAC ；（2）当二面角DAB C --的平面角为60︒时，求PD PC的值．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】（1）由3AB PA ==，PB =∴222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥，又PA BC ⊥且ABBC B =，∴PA ⊥平面ABC ．∵BO ⊂平面ABC ，∴PA BO ⊥，由BA BC =，圆心O 为AC 中点，∴BO AC ⊥．∵ACPA A =，∴BO ⊥平面PAC ，又BO ⊂平面BOD ， 所以平面BOD ⊥平面PAC ．（2）由（1）知PA ⊥平面ABC ，且BA BC ⊥，过点B 作PA 的平行线， 建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知()0,0,0B ，()3,0,0A ，()0,3,0C ，()3,0,3P ， 设(01)PD PC λλ=<<，则()3,0,0BA =，()()3,0,33,3,3BD BP PD λ=+=+--()33,3,33λλλ=--， 设(),,x y z =m 为平面BAD 的一个法向量，则()()3003333300x BA x y z BD λλλ=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨-++-=⋅=⎪⎩⎩m m ，令1z =，则11y λ=-，所以10,1,1λ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ， 取平面ABC 的一个法向量为()0,0,1=n ． 因为二面角D AB C --的平面角为60︒，所以1cos60cos ,2︒===m n ，解得λ=0λ=<（舍去）， 所以当二面角D AB C --的平面角为60︒时，PD PC=【名师点睛】本题考查由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，利用空间坐标系表示二面角，求线段比，属于中档题．10．【四川省棠湖中学2019届高三4月月考数学】如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的余弦值为4，求三棱锥11C A CD -的体积． 【答案】（1）见解析（2）4．【解析】（1）连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD △中，2,60AD CD ADC =∠=︒， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅︒，所以AC =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ， 所以1CD AC ⊥，又因为1,CDA C C =AC 1⊥平面A 1B 1CD ；（2）如图建立直角坐标系，则()()()()112,0,0,,,D A C A()()112,0,23,DC DA λ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,x y z =n ，由111100DC DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即111112020x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩， 解得)11113,0,0,1x z y λ==∴=，n ，设平面1A CD 的法向量为()2222,,x y z =n ，由12200CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得222200x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得()22220,,0,,1x y z λλ==-∴=-n ，由1212cos ||||4θ⋅===⋅n n n n得1λ=，所以1,AA AC =此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．11．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，12AB AA D ==，是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BCA --的余弦值． 【答案】（1）详见解析（2【解析】（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点，故1tan tan 22AB B ABD ∠=∠=， 所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=︒， 于是190BAB ABD ∠+∠=︒，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥， 1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥．（2）如图，建立空间直角坐标系，则000000A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭，，，，，，， 可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为(11=n ， 而平面BCD 的一个法向量为()2010=，，n ， 设二面角D BC A --的大小为θ，则1212cos θ⋅==n n n n【名师点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且EF =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求锐二面角E AC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ， 由∠PAD =120°，得∠PAO =60°，∴在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO=2sin60°=2×2∵∠BAO =120°，∴∠BAO =60°，AO =AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴BO =PO∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EFEF 是△PBD 的中位线， ∴PB =2EF=2×2， ∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABC D ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，1，0），P （0，0B0，0），D （0，3，0），∴E （0，32F302，），AE =（0，12AF ==，12，0），易得平面ABCD 的一个法向量m =（0，0，1），设平面ACE 的法向量n =（x ，y ，z），则10223102AE y z AF x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩n n ，取x =1，得n =（11），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cos θ=|||cos ,|||||⋅〈〉=m n m n m n ，∴锐二面角E –AC –D ．【名师点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及基本论证与求解能力，属中档题．。

2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（B ）不等式（解析版附后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．x b x a lg lg > B ．22bx ax >C ．22b a >D ．xx b a 22⋅>⋅2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） ①a b ab +<；②22a b >；③a b <；④2b a a b +>；⑤33a b >；⑥1ba<； A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若函数()f x =[1,2]，则a b +的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-4．已知0a >，0b >，a ，b 的等差中项是12，设1x a a=+，1y b b =+，则x y +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．在R 上定义运算⊗：2xx y y⊗=-，若关于x 的不等式()()10x a x a -⊗+-≥的解集是集合}{22x x-<≤的子集，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21a -<< B ．21a -≤< C ．21a -<≤ D ．21a -≤≤6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩内，则圆的面积的最大值为（ ）A ．18π5B ．9π5C ．2πD ．π7．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则满足1()3f x >的x 的取值范围（ ）A．)+∞ B ．(,1)-∞- C ．3(1,0](2,)-+∞ D ．(1,)-+∞8．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（ ） A．B．C ．4D ．39．若2()f x x -=，2m f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，n f =，2a b r f ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（a ，b 为正数）， 则m ，n ，r 的大小关系是（ ） A ．m n r ≥≥B ．m r n ≥≥C ．r n m ≥≥D ．n r m ≥≥10．若正数a ，b ，c 满足42=+++bc ac ab a ，则c b a ++2的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．9D ．1611．设x ，y 满足约束条件10100x y y x --≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．812．若1>a ，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则nm 11+的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．),4(+∞D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．若关于x 的不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围 是_________． 14．已知1(3)3m a a a =+>-，214x n -=，则m ，n 之间大小关系是_________． 15．对于任意的实数2x >-，不等式2452x x a x ++≥+恒成立，a 的取值范围是_________．16．已知x ，y 满足354e xx y x y y ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩，则x y 的取值范围为是_________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解关于x 的不等式()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，0a a ∈≠R 且．18．（12分）已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+；（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值； （2）解关于a 的不等式(1)0f >．19．（12分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围； （2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．20．(12分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的一个零点为1=x ，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．（1）求c b a ++的值； （2）求ab的取值范围．21．(12分)某宾馆有一房间，室内面积共计2180m ，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为218m ，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．22．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求出最小值．2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（B）不等式（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．x b x a lg lg > B ．22bx ax > C ．22b a > D ．xx b a 22⋅>⋅【答案】D【解析】∵02>x，b a >，x x b a 22⋅>⋅，∴x x b a 22⋅>⋅，故选D ．2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） ①a b ab +<；②22a b >；③a b <；④2b a a b +>；⑤33a b >；⑥1ba<； A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】∵110a b <<，∴0b a <<，∴0a b +<，0ab >，22a b <，33a b >，1ba>， 又b a 与a b 为正且不等，∴2b aa b+>，∴①④⑤正确，②③⑥错误，故选C ．3．若函数()f x =[1,2]，则a b +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】依题意，20x ax b -++≥的解集为[]1,2，∴1212a b +=⎧⎨⨯=-⎩，即3a =，2b =-，∴1a b +=，故选A ．4．已知0a >，0b >，a ，b 的等差中项是12，设1x a a=+，1y b b =+，则x y +的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由题意知，1a b +=，∴1a b +=，故14ab≥，∴11x y a b a b +=+++111145a b ab ab +=+=+≥+=，当且仅当12a b ==是取等号，故选C ． 5．在R 上定义运算⊗：2xx y y ⊗=-，若关于x 的不等式()()10x a x a -⊗+-≥的解集是集合}{22x x-<≤的子集，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21a -<<B ．21a -≤<C ．21a -<≤D ．21a -≤≤【答案】C【解析】由()()()1021x a x a x a x a --⊗+-=≥-+-得1x ax a -≤--0，解得1a x a ≤<+，由题设知212aa -⎧⎨+≤⎩，解得21a -<≤，故选C ．6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩内，则圆的面积的最大值为（ ）A ．18π5B ．9π5C ．2πD ．π【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知当圆的面积最大时，它与直线20x y -+=相切，此时圆的半径r∴圆的面积为2π，故选C ．7．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则满足1()3f x >的x 的取值范围（ ）A．)+∞ B ．(,1)-∞- C ．3(1,0](2,)-+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】当0x >时，由1()3f x >得，21log 3x >，∴x 当0x ≤时，由1()3f x >得133x >， ∴10x -<≤，综上知，x 的取值范围是3(1,0](2,)-+∞，故选C ．8．已知平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（） A．B ．C ．4D ．3【答案】C【解析】作出不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域D ，如图所示，由题设知，(,)OM x y =，(2,1)OA =，∴2z OM OA x y=⋅=+，由图形可得，目标函数z y +过点A 时，取得最大值为4，故选C ．9．若2()f x x -=，2m f a b ⎛⎫=⎪+⎝⎭，n f =，2a b r f ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（a ，b 为正数）， 则m ，n ，r 的大小关系是（ ） A ．m n r ≥≥ B ．m r n ≥≥ C ．r n m ≥≥ D ．n r m ≥≥【答案】A【解析】∵0a>，0b >，a b+≥∴2a b ≤+，又由a b+≥得，2a b ab +≥， 即2a b ab+≥，∴有202a ba b ab+<≤≤+，∵2()f x x -=在0x >时为减函数， ∴22a b f f f a b ab +⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，即m n r ≥≥，故选A ． 10．若正数a ，b ，c 满足42=+++bc ac ab a ，则c b a ++2的最小值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．9 D ．16【答案】B【解析】∵4))((2=++=+++c a b abc ac ab a ， ∴2()()4a b c a b a c ++=+++≥，故选B ．11．设x ，y 满足约束条件10100x y y x --≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】作出可行域，如图所示，当直线z a x b y =+过直线10x y --=与直线1y =的交点(2,1)A 时，目标函数z ax by =+(0,0)a b >>取得最大值4，∴24a b +=，∵0a >，0b >，∴24a b +=，则2ab ≤，当且仅当1a =，2b =时取等号，故选B ．12．若1>a ，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则nm 11+的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．),4(+∞D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数4)(-+=x a x f x的零点m 为xa y =与x y -=4图象交点的横坐标，4log )(-+=x x x g a 的零点n 为x y a log =与x y -=4图象交点的横坐标，因为函数xa y =与函数x y a log =互为反函数，其图像关于直线x y =对称，所以4=+n m ，111111111()(2)()1442424m n m n m n m n m n n m n m ++=+=++=+++⨯=≥， 故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．若关于x 的不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围 是_________． 【答案】(5,7)【解析】由题意得，443443433b b x b x b x -+-<⇒-<-<⇒<<，若不等式的整数解只有1、2、3，则b 应满足：40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即4758b b ≤<⎧⎨<≤⎩，解得57b <<．14．已知1(3)3m a a a =+>-，214x n -=，则m ，n 之间大小关系是_________． 【答案】m n >【解析】∵3a >，∴30a ->，∴113323533m a a a a =+=-++≥+=--， 又211x -≤，∴由指数函数的性质知，2144x n -=≤，故m n >．15．对于任意的实数2x >-，不等式2452x x a x ++≥+恒成立，a 的取值范围是_________．【答案】(,2]-∞【解析】∵2x >-，∴20x +>，故2245(2)11(2)2222x x x x x x x ++++==++≥+++， 即2452x x x +++的最小值为2，当且仅当1x =-时取等号，∵不等式2452x x a x ++≥+恒成立，∴2a ≤． 16．已知x ，y 满足354e xx y x y y ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩，则x y 的取值范围为是_________．【答案】[e,7]【解析】作出),(y x 所在平面区域，如图所示，求出e x y =的切线的斜率e ，设过切点),(00y x P 的切线为()e 0y x m m =+≥， 则00000e e y x m m x x x +==+，要使它最小须0=m ，∴yx的最小值在00(,)P x y 处为e ； 此时，点00(,)P x y 在e x y =上A ，B 之间，当),(y x 对应点C 时，由45205775342012y x y x y y y x y xx =-=-⎧⎧⇒⇒=⇒=⎨⎨=-=-⎩⎩，∴y x 的最大值在C 处为7，∴y x 的取值范围为[]e,7，即ba的取值范围是[]e,7．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解关于x 的不等式()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，0a a ∈≠R 且． 【答案】见解析．【解析】当10a -<<时，不等式的解集为11|x a x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩＜＜－；当1a =-时，不等式的解集为∅； 当0a >或1a <-时，不等式的解集为11|x x a ⎧⎫⎨⎬⎭⎩－＜＜． 18．（12分）已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+；（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值；（2）解关于a 的不等式(1)0f >．【答案】（1）39a b ⎧=+⎨=⎩39a b ⎧=-⎨=⎩（2）(3． 【解析】（1）不等式()0f x >，即为：23(6)0x a a x b -+-+>，∵不等式()0f x >的解集为(1,3)-，∴不等式23(6)0x a a x b -+-+>与(1)(3)0x x +-<同解， 即23(6)0x a a x b ---<的解集为(1,3)-； ∴(6)133133a ab -⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，即26609a a b ⎧-+=⎨=⎩，解得39a b ⎧=+⎨=⎩39a b ⎧=-⎨=⎩（2）∵2()3(6)f x x a a x b =-+-+，∴(1)3(6)f a a b =-+-+，故(1)0f >，即为3(6)0a a b -+-+>，即2630a a b -+-<；则364(3)244b b ∆=--=+；当6b ≤-时，0∆≤，此时不等式(1)0f >解集为∅； 当6b >-时，2630a a b -+-<的解集为(3．19．（12分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围；（2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）26≤≤-a ；（2）27≤≤-a ．【解析】（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，即a ax x ≥++32，对x ∈R 恒成立， ∴032≥-++a ax x ，∴24(3)0a a ∆=--≤，解得26≤≤-a ．（2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，即]2,2[-∈x ，a x f ≥min )(．函数3)(2++=ax x x f 的对称轴为2a x -=． 当22-<-a ，即4>a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递增， ∴min ()(2)423f x f a =-=-+，由a a ≥+-324，解得37≤a ，此时无解； 当222≤-≤-a ，即44≤≤-a 时，函数2min 12()()24a a f x f -=-=，由a a ≥-4122， 解得26≤≤-a ，此时24≤≤-a ； 当22>-a ，即4-<a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递减， 函数min ()(2)423f x f a ==++，由a a ≥++324，解得7-≥a ，此时47-<≤-a ． 综上所述，a 的取值范围为27≤≤-a ．20．(12分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的一个零点为1=x ，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．（1）求c b a ++的值；（2）求ab 的取值范围． 【答案】（1）1-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由0)1(=f 得10a b c +++=，得1a b c ++=-．（2）由1c a b =---，∴()3221(1)[(1)1]f x x ax bx a b x x a x a b =++---=-+++++， 从而另外两个零点是方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个根，且一个根大于1，一个根小于1大于零．设1)1()(2+++++=b a x a x x g ，由零点的分布可得(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩， 作出可行域如图所示，因为0--=a b a b 表示可行域内的点),(b a 与原点)0,0(连线的斜率k ， 直线OA 的斜率为211-=k ，直线032=++b a 的斜率为22-=k ， 所以12,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭． 21．(12分)某宾馆有一房间，室内面积共计2180m ，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为218m ，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．【答案】应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．【解析】设隔出大房间x 房间，小房间y 间，收益为z 元，则有18151801000600800000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，设目标函数为：200150z x y =+， 作可行域656053400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，作直线:430l x y +=，由图可以看出，l 过B 点时，目标函数200150z x y =+时取得最大值，B 点坐标是直线1l ：1815180x y +=与直线2l ：10006008000x y +=的交点， 解得2060,77B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，但是它不是整点，可以验证取得最大值时，经过的整点是()0,12和(3,8)，此时可取得最大值为1800元，即应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．22．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求出最小值．【答案】（1）82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．【解析】（1）设AN 的长为x 米（2>x ）， 由题意知：AMDC AN DN =，2-=x DN ，3==AB DC ． 所以23-=x x AM ，∴232AMPN x S AN AM x =⋅=-矩形． 由32>AMPN S 矩形，得32232>-x x ，又2>x ，于是0643232>+-x x ， 解得382<<x 或8>x ，即AN 长度的取值为82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）2233(2)12(2)12123(2)121224222x x x y x x x x -+-+===-++≥=---， 当且仅当212)2(3-=-x x ，即4=x 时，232-=x x y 取得最小值是24 ∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。

专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=， 又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===， 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴3112312cm 3O EFGHV -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m （如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α也对） 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，是不正确的，有可能m 在平面α内；但是已知了直线在平面外，故正确。

第 1 页 共 20 页单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线70ax y ++＝与430x ay +-＝平行，则a 为（ ） A ．2 B ．2或2-C ．2-D ．12-【答案】B【解析】由直线70ax y ++＝与70ax y ++＝平行， 可得1743a a =≠-，解得2a =±，故选B ． 2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程的（ ） A ．221824x y -= B ．221248x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -= 【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线的方程是y，可得b =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，可得4c =，即2216a b =+，2a =，b = 所求的双曲线方程为：221412x y -=．故选C ． 3．已知椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞经过点)A，()03B ，，则椭圆E 的离心率为（ ）此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．23BC ．49 D ．59【答案】A【解析】由椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞，经过点)A，()03B ，，可得3a =，b =2c =，其离心率23e =，故选A ． 4．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为（ ） A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】圆224640x y x y ++-+=，即()()22239x y ++-=．圆心为()2,3-，半径为3 设圆C 的半径为r53r =+．所以2r =．错误！未找到引用源。