论文标准格式
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论文格式要求与评定标准
论文格式要求与评定标准一、编写及打印要求1、学位论文必须打印，不接受手写稿。
2、学位论文必须用A4纸打印，左侧装订。
3、学位论文打印时，要求纸的四周留足空白边缘，以便装订和指导教师批注。
每一页的上方和左侧应分别留边25mm，下方和右侧分别留边20mm，论文全文采用两边对齐格式，每段开始左缩进3个字符。
4、英语专业学位论文须用英文撰写，概不接受汉语论文。
论文中的中文部分（如汉语摘要）采用小四号宋体字，1.5倍行距打印。
论文正文部分采用五号Times New Roman 字体，1.5倍行距打印。
学位论文一律单面印刷。
论文必须附中英文摘要。
论文不得少于6000词，以6000-8000单词为宜。
二、论文编写基本格式1、封面与首页：具体字体、字号要求见论文模板。
2、Acknowledgement（致谢）: Times New Roman三号粗体内容:Times New Roman 五号3、摘要：宋体小二号粗体摘要内容：宋体小四号Abstract: Times New Roman三号粗体Content of Abstract: Times New Roman五号4、关键词：宋体小四号粗体关键词内容：宋体小四号Key Words: Times New Roman 五号粗体Content of Key Words: Times New Roman 五号5、目录：Times New Roman三号粗体目录内容：Times New Roman 五号6、正文每部分标题：Times New Roman 三号粗体小标题：Times New Roman 小四号粗体正文部分：Times New Roman 五号7、参考文献：Times New Roman 三号粗体内容：英文部分Times New Roman 五号汉语部分宋体五号8、注释（本部分可选可不选）：注释可用脚注，也可用尾注。
用脚注时，字体为Times New Roman，小五号，标注时用上标的阿拉伯数字；用尾注时，字体为Times New Roman 五号字，标注时用带圈的阿拉伯数字即①②（上标）等符号。
论文格式要求及字体大小
论⽂格式要求及字体⼤⼩论⽂格式要求及字体⼤⼩（通⽤8篇） 论⽂既是探讨问题进⾏学术研究的⼀种⼿段，⼜是描述学术研究成果进⾏学术交流的⼀种⼯具。
以下是⼩编为⼤家收集的论⽂格式要求及字体⼤⼩（通⽤8篇），仅供参考，欢迎⼤家阅读。
（点击对应⽬录可以直接查阅该论⽂格式要求及字体⼤⼩的相关内容哦）▼※论⽂格式要求及字体⼤⼩※▼论⽂格式要求及字体⼤⼩篇1 ⼀、封⾯ 题⽬：⼩⼆号⿊体加粗居中。
各项内容：四号宋体居中。
⼆、⽬录 ⽬录：⼆号⿊体加粗居中。
章节条⽬：五号宋体。
⾏距：单倍⾏距。
三、论⽂题⽬： ⼩⼀号⿊体加粗居中。
四、中⽂摘要 1、摘要：⼩⼆号⿊体加粗居中。
2、摘要内容字体：⼩四号宋体。
3、字数：300字左右。
4、⾏距：20磅 5、关键词：四号宋体，加粗。
词3-5个，每个词间空⼀格。
五、英⽂摘要 1、ABSTRACT：⼩⼆号 Times New Roman. 2、内容字体：⼩四号 Times New Roman. 3、单倍⾏距。
4、Keywords：四号加粗。
词3-5个，⼩四号 Times New Roman. 词间空⼀格。
六、绪论 ⼩⼆号⿊体加粗居中。
内容500字左右，⼩四号宋体，⾏距：20磅 七、正⽂ (⼀)正⽂⽤⼩四号宋体 (⼆)安保、管理类毕业论⽂各章节按照⼀、⼆、三、四、五级标题序号字体格式 章：标题⼩⼆号⿊体，加粗，居中。
节：标题⼩三号⿊体，加粗，居中。
⼀级标题序号如：⼀、⼆、三、标题四号⿊体，加粗，顶格。
⼆级标题序号如：(⼀)(⼆)(三)标题⼩四号宋体，不加粗，顶格。
三级标题序号如：1.2.3.标题⼩四号宋体，不加粗，缩进⼆个字。
四级标题序号如：(1)(2)(3)标题⼩四号宋体，不加粗，缩进⼆个字。
五级标题序号如：①②③标题⼩四号宋体，不加粗，缩进⼆个字。
医学、体育类毕业论⽂各章序号⽤阿拉伯数字编码，层次格式为：1xxxx(⼩2号⿊体，居中)xxxxxxxxxxxxxx(内容⽤4号宋体)。
论文格式要求
千里之行，始于足下。
论文格式要求
论文格式要求
论文格式是指论文在纸张布局、页码、标题、文字字体、字号、段落缩进等方面的具体要求。
以下是一般状况下的论文格式要求：
1. 纸张布局：
- 接受A4纸尺寸；
- 页面上、下、左、右边距均为2.5厘米；
- 页面排列为横向布局。
2. 页码：
- 论文首页不编页码；
- 从其次页开头，页码位于页眉右上角。
3. 标题：
- 题目居中排布，使用黑体字，字号一般为四号字体（小四号字体）；
- 使用标题号进行编号，例如：“1. 引言”。
4. 字体和字号：
- 正文使用宋体，字号一般为五号字体（小五号字体）；
- 部分特殊状况，例如标题、重点内容或者转引其他文献，可以使用黑体或者楷体字体。
5. 段落缩进：
- 每一段的开头进行2个字符的空格缩进。
第1页/共2页
锲而不舍，金石可镂。
6. 行距：
- 一般状况下，行距为1.5倍行距。
7. 名目：
- 名目要求对应正文章节编号，并附上页码。
8. 参考文献：
- 参考文献应以标准格式列出，并依据引用的挨次进行编号。
9. 网页链接和注释：
- 网页链接和注释一般放在论文的末尾。
总之，以上是一般状况下论文的格式要求。
具体的格式要求可能会依据学校、学院或者专业的要求有所不同。
因此，在写论文之前，最好先了解所在学校或学院的具体格式要求，以确保论文格式符合要求。
毕业论文格式标准及字数要求
毕业论⽂格式标准及字数要求毕业论⽂格式标准及字数要求 ⼀段充实⽽忙碌的⼤学⽣活即将结束，毕业前要通过最后的毕业论⽂，毕业论⽂是⼀种的检验⼤学学习成果的形式，快来参考毕业论⽂是怎么写的吧！以下是⼩编帮⼤家整理的毕业论⽂格式标准及字数要求，希望能够帮助到⼤家。
毕业论⽂格式标准及字数要求篇1 1.引⾔ 1.1毕业论⽂应采⽤最新颁布的汉语简化⽂字，符合《出版物汉字使⽤管理规定》，由作者在计算机上输⼊、编排与打印完成。
1.2毕业论⽂作者应在选题前后阅读⼤量有关⽂献，⽂献阅读量不少于10篇，将其列⼊参考⽂献表，并在正⽂中引⽤内容处注明参考⽂献编号(按出现先后顺序编排)。
2.编写要求 2.1页⾯要求：毕业论⽂须⽤A4(210×297mm)标准、70克以上⽩纸，⼀律采⽤单⾯打印;毕业论⽂页边距按以下标准设置：上边距(天头)为：30mm;下边距(地脚)25mm;左边距和右边距为：25mm;装订线：10mm;页眉：16mm;页脚：15mm。
2.2页眉：页眉从摘要页开始到论⽂最后⼀页，均需设置。
页眉内容：济宁职业技术学院毕业论⽂，居中，打印字号为5号宋体，页眉之下有⼀条下划线。
2.3页脚：从论⽂主体部分(引⾔或绪论)开始，⽤阿拉伯数字连续编页，页码编写⽅法为：第x页共x页，居中，打印字号为⼩5号宋体。
2.4前置部分从内容摘要起单独编页。
2.5字体与间距：毕业论⽂字体为⼩四号宋体，字间距设置为标准字间距，⾏间距设置为固定值20磅。
3.编写格式 3.1毕业论⽂章、节的编号：按阿拉伯数字分级编号。
3.2毕业论⽂的构成(按毕业论⽂中先后顺序排列)： 前置部分：封⾯ 中⽂摘要，关键词⽬次页(必要时)主体部分：引⾔(或绪论)正⽂ 结论 致谢(必要时)参考⽂献 4.前置部分 4.1封⾯：封⾯格式按如下。
封⾯内容各项必须如实填写完整。
其中论⽂题⽬是以最恰当、最简明的词语反映毕业论⽂中最重要的特定内容的逻辑组合;论⽂题⽬所⽤每⼀词必须考虑到有助于选定关键词和编制题录、索引等⼆次⽂献可以提供检索的特定实⽤信息;论⽂题⽬⼀般不宜超过30字。
标准论文格式+要求+范文超全)
标准论文格式一：1、题目。
应能概括整个论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不宜超过20个字。
论文摘要和关键词。
2、论文摘要应阐述学位论文的主要观点。
说明本论文的目的、研究方法、成果和结论。
尽可能保留原论文的基本信息，突出论文的创造性成果和新见解。
而不应是各章节标题的简单罗列。
摘要以500字左右为宜。
关键词是能反映论文主旨最关键的词句，一般3-5个。
3、目录。
既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应页码。
4、引言（或序言）。
内容应包括本研究领域的国内外现状，本论文所要解决的问题及这项研究工作在经济建设、科技进步和社会发展等方面的理论意义与实用价值。
5、正文。
是毕业论文的主体。
6、结论。
论文结论要求明确、精炼、完整，应阐明自己的创造性成果或新见解，以及在本领域的意义。
7、参考文献和注释。
按论文中所引用文献或注释编号的顺序列在论文正文之后，参考文献之前。
图表或数据必须注明来源和出处。
（参考文献是期刊时，书写格式为：[编号]、作者、文章题目、期刊名（外文可缩写）、年份、卷号、期数、页码。
参考文献是图书时，书写格式为：[编号]、作者、书名、出版单位、年份、版次、页码。
）8、附录。
包括放在正文内过份冗长的公式推导，以备他人阅读方便所需的辅助性数学工具、重复性数据图表、论文使用的符号意义、单位缩写、程序全文及有关说明等。
二：本科毕业论文格式要求：1、装订顺序：目录--内容提要--正文--参考文献--写作过程情况表--指导教师评议表参考文献应另起一页。
纸张型号：A4纸。
A4 210×297毫米论文份数：一式三份。
其他（调查报告、学习心得）：一律要求打印。
2、论文的封面由学校统一提供。
(或听老师的安排）3、论文格式的字体：各类标题（包括“参考文献”标题）用粗宋体；作者姓名、指导教师姓名、摘要、关键词、图表名、参考文献内容用楷体；正文、图表、页眉、页脚中的文字用宋体；英文用Times New Roman字体。
正式发表论文格式
4作者简介、基金项目在文稿首页地脚处写明作者简介（包括：姓名，出生年份，性别，籍贯，职称，最后学位（或在读学历）。如果论文涉及的是有关基金项目的研究内容，须在地脚处写明：基金或资助机构的名称，项目编号
论文题目（黑体三号加粗）
（宋体小四）作者（加粗）***学号**指导老师（加粗）***
(华中师范大学计算机科学系邮编430079)（宋体五号）
[2] …………
[3] …………
个人简历（宋体五号）100-150字左右
注:论文用16k纸排版和打印
【篇二：正规期刊发表论文需要的格式】
正规期刊发表论文需要的格式
论文目（黑体：3号子）
作者姓名、单位、地址、邮编
主题词（关键字）：xxx（黑体，4号）
内容摘要：xxx（黑体，4号，300字以内）
正文：......(宋体，小4号字，2200-6000字符数为宜)
英文题目(timesnewroman小三加粗)
author：zhang xue-yang supervisor:zhang xue-yang (宋体五号)
(department of computer science, central china normal university,wuhan, 430079) abstract:（宋体五号）
key words:（宋体五号）
摘要（黑体五号加粗）：********（宋体五号）
关键字（黑体五号加粗）：********（宋体五号）
1 (宋体四号加粗)
1.1（宋体小四加粗）
正文（宋体五号）……
1.1.1（宋体小四加粗）
(1)正文（宋体五号）
①……正文（宋体五号）
②……
……
(2)
(3)……
论文题目（黑体三号加粗）
（宋体小四）作者（加粗）***学号**指导老师（加粗）***
(华中师范大学计算机科学系邮编430079)（宋体五号）
[2] …………
[3] …………
个人简历（宋体五号）100-150字左右
注:论文用16k纸排版和打印
【篇二：正规期刊发表论文需要的格式】
正规期刊发表论文需要的格式
论文目（黑体：3号子）
作者姓名、单位、地址、邮编
主题词（关键字）：xxx（黑体，4号）
内容摘要：xxx（黑体，4号，300字以内）
正文：......(宋体，小4号字，2200-6000字符数为宜)
英文题目(timesnewroman小三加粗)
author：zhang xue-yang supervisor:zhang xue-yang (宋体五号)
(department of computer science, central china normal university,wuhan, 430079) abstract:（宋体五号）
key words:（宋体五号）
摘要（黑体五号加粗）：********（宋体五号）
关键字（黑体五号加粗）：********（宋体五号）
1 (宋体四号加粗)
1.1（宋体小四加粗）
正文（宋体五号）……
1.1.1（宋体小四加粗）
(1)正文（宋体五号）
①……正文（宋体五号）
②……
……
(2)
(3)……
论文的标准格式
论文的标准格式
1.标题页：
-论文标题：应简明地描述研究内容；
-关键词：列出三到五个与论文主题相关的关键词。
2.摘要：
-摘要：简洁地总结研究的目的、方法、结果和结论，通常不超过300字；
-关键词：与论文主题相关的关键词。
3.引言：
-背景和目的：引入研究领域的背景，提出研究的目的和重要性；
-文献综述：对已有研究的概述，指出现有研究的不足和有待解决的问题；
-研究假设或研究问题：明确研究的假设或问题。
4.方法：
-参与者：描述被纳入研究的参与者的特征；
-测量指标/变量：详细说明用于测量和记录数据的工具和技术；
-数据分析方法：描述对数据进行的统计分析方法。
5.结果：
-数据呈现：以表格、图表或图像的形式展示研究结果；
-描述性统计：对结果进行简要描述，例如平均值、标准差等；
-统计分析：报告统计检验的结果，包括显著性水平。
6.讨论：
-结果解释：对研究结果进行详细解释与讨论，与前人研究进行对比；
-结果的含义：讨论结果对研究领域的贡献，提出新的观点或解释；
-解释限制：描述研究的局限性，并提出未来可能的改进方法；
-结论：总结研究的主要发现和论点。
- 引用格式：根据不同学科和学术期刊的要求，使用适当的引用格式，如APA、MLA或Chicago Style等；
8.附录（可选）：
-附录：若论文中有大量数据、问卷调查或其他补充材料，可以在附
录部分提供更详细的信息。
请注意，以上内容只是一般论文格式的参考，并可能会因不同学科和
学术期刊的要求而有所变化。
因此，在撰写论文之前，务必了解并遵循提
交论文的目标期刊或学校的要求。
论文格式(国家标准)
论文格式(国家标准)一、封面1. 论文题目：应简洁、明确，能够概括论文的主题和内容。
2. 作者姓名：应包括所有作者的姓名。
3. 作者单位：应包括所有作者的单位。
4. 论文提交日期：应包括论文提交的日期。
6. 论文关键词：应包括35个关键词，能够概括论文的主题和内容。
二、摘要1. 论文的目的：应简洁、明确，能够概括论文的目的。
2. 论文的方法：应简洁、明确，能够概括论文的方法。
3. 论文的结果：应简洁、明确，能够概括论文的结果。
4. 论文的结论：应简洁、明确，能够概括论文的结论。
三、引言1. 论文的研究背景：应简要介绍论文的研究背景。
2. 论文的研究目的：应明确阐述论文的研究目的。
3. 论文的研究方法：应简要介绍论文的研究方法。
4. 论文的研究内容：应简要介绍论文的研究内容。
5. 论文的研究意义：应简要介绍论文的研究意义。
四、1. 论文的研究方法：应详细描述论文的研究方法。
2. 论文的研究内容：应详细描述论文的研究内容。
3. 论文的研究结果：应详细描述论文的研究结果。
4. 论文的研究讨论：应详细描述论文的研究讨论。
五、结论1. 论文的研究结果：应简洁、明确，能够概括论文的研究结果。
2. 论文的研究结论：应简洁、明确，能够概括论文的研究结论。
3. 论文的研究展望：应简要介绍论文的研究展望。
论文格式(国家标准)七、致谢八、附录1. 数据表格：应包括论文中使用的所有数据表格。
2. 图片：应包括论文中使用的所有图片。
3. 公式：应包括论文中使用的所有公式。
4. 其他：应包括论文中使用的其他材料。
九、注释1. 解释性注释：应包括对论文中某些内容的解释性注释。
2. 引用性注释：应包括对论文中引用的文献的引用性注释。
3. 其他注释：应包括对论文中其他内容的注释。
十、排版要求1. 论文应使用标准的A4纸打印。
2. 论文应使用宋体或黑体字，字号为小四号。
3. 论文应使用1.5倍行距。
4. 论文应使用页眉和页脚，页眉应包括论文题目和页码，页脚应包括作者姓名和单位。
国家标准学术论文格式
国家标准学术论文格式各大期刊杂志和高校院系对论文格式的规范性标准日趋严格,小编整理了国家标准学术论文格式，欢迎阅读!国家标准学术论文格式篇一一、论文的书写格式规范化要求论文本身由论文题目、作者、中文摘要、关键词、正文、参考文献等几部分组成。
1.论文题目：简明、确切地表述研究的对象和内容，一般不超过25个字，可分两行书写。
2.作者：处于论文题目正下方，须写明院系、专业、年级、班别、学号、姓名。
3.摘要：摘要应反映文章的主要观点，重点表述研究内容及结论，必须重点突出、文字简练，中文摘要字数不超过300字。
4.关键词：要符合学科分类及专业术语的通用性，并注意与国际惯例一致，中文关键词限制在3～8个。
5.正文：论文的主体。
论文须符合学术论文的格式，正文要标明各级标题，设计合理，文稿中应采用规范化名词术语。
6.参考文献：必须是本人真正阅读过的，应选用公开发表的资料。
以近期发表的学术期刊文献为主，图书类文献不能过多，且要与论文内容直接相关，参考文献应按文中引用出现的顺序列全。
关于物理教育的学术论文对物理素质教育的思考我国素质教育已经倡导了许多年，但是进展比较慢，原因在哪里?什么是素质教育呢?素质教育主要包括品德素质、智能素质、身体素质和专业美感素质，素质教育的核心是培养创造力。
创造力包含了许多非智力因素，如个性和独立性等等。
一个智商很高的人，可能是依赖性很强、性格很脆弱的人。
但一个创造力很强的人，必须有独到见解，在困难面前百折不挠的人，同时还应该具有很强的记忆力、丰富的想象力、敏锐的观察力、清晰的判断力。
素质教育是一种教育思想，这种思想是在人的遗传素质基础上，进一步提高人的素养，以达到提高全民族的道德素质和科学文化素质的目的。
那么在物理学科中如何实施素质教育才能充分发挥教育功能、提高学生素质?实施教育目标?本文想从以下两个方面谈一些看法。
一、如何进行物理学科的创造教育开展创造教育，发展学生的创造力，这是物理教育面向现代化、面向未来的需要。
论文的标准格式
论文的标准格式篇一：标准论文格式模板浅谈动画与民族文化及动画发展题目楷体GB2312一号、居中系别：专学业生名姓称：名：艺术系艺术李杨讲师学号：指导教师姓名、职称：题目楷体GB2312三号、加粗、居中完成日期年月日四号黑体剧中毕业论文（设计）要求纵向打印，页边距的要求为：（一）页面设计上（ T）：2.5 cm 下（B）：2.5 cm 左（L）：2 cm 右（R）：2 cm 装订线（T）：0.5 cm 装订线位置（T）：左文本内容采用多倍行距，设置为1.25（二）字体和字号：文章题目：楷体GB2312一号、居中。
摘要：摘要题头用三号黑体，居中；然后隔行用小四号宋体书写摘要的内容部分。
关键词：关键词题头用小四号宋体，左侧顶格；然后在同一行用小四号宋体书写关键词，各词之间用分号隔开。
英文题目、摘要、关键词参照中文题目、摘要、关键词样式书写。
目录：目录题头用小三号黑体，居中；目录内容用小四号宋体，左右对齐，中间隔以小圆点。
正文：小四号宋体。
一级题序及标题：三号黑体。
二级题序及标题：小三号黑体。
三级题序及标题：四号黑体。
四级题序及标题：小四号黑体。
表序表题：小五号宋体。
图序图题：小五号宋体。
注释：文科类论文用到注释。
注释的序号用①、②、③等数码表示，采用上标符号，注文采用宋体（小五），标注于该页面的下端。
参考文献：题头用小四号黑体，居中；然后隔行用五号宋体书写内容,内容左对齐。
注释：文科类论文用到注释。
注释的序号用①、②、③等数码表示，采用上标符号，注文采用宋体（小五），标注于该页面的下端。
参考文献：题头用小四号黑体，居中；然后隔行用五号宋体书写内容,内容左对齐吉林大学珠海学院本科毕业论文开题报告（宋体小三加粗）浅谈动画与民族文化及动画发展（宋体三号居中）摘要（宋体三号居中）400字左右隔一行动画艺术是一种世界性的文化，从动画诞生以来，各国的动画交流就十分广泛。
中国作为世界动画的重要组成部分也闪耀着它的光辉。
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多元广义岭估计优于LS估计的一个充分条件杨代胜(孝感学院数学系031114223，湖北孝感432000)摘要：本文运用矩阵的拉直运算方法考虑了多元线性回归模型，提出了设计阵呈现“病态”时，其参数 的广义岭估计形式，并给出了广义岭估计优于最小二乘估计的一个充分条件。
关键词：广义岭估计；最小二乘估计；多元线性回归模型；均方误差A Sufficient Condition Of Multivariate Generalized RidgeEstimator Being Better Than Least Square EstimatorY ang Daisheng(Department of Mathematics 031114223, Xiaogan University, Xiaogan 432000,Hubei) Abstract:This paper studies multivariate linear regression model by adopting the straightened algorithm of matrix , and shows the generalized ridge estimator of the parameter of the modle in abnormality programming matrix, and then gives one sufficient condition under which generalized ridge of the parameter is better than their least square estimator .Key W ords: generalized ridge estimator; least square estimator; multivariate linear regression model; mean-square deviation0 引言自从1794年Gauss创立最小二乘法以来，特别是Gauss-Markov模型的建立，最小二乘（LS）估计一直作为一个良好的估计而被广泛地采用。
然而，在实际应用中，人们逐渐发现由于设计阵的“病态”性往往引起LS估计性质的显著变坏。
因此，许多学者致力于改进LS估计，提出了有偏估计这一新兴的理论和方法。
尽管有偏估计问世的时间不太长，但它已在许多领域显示出勃勃生机和强大的生命力。
近二十年来，影响较大的有偏估计有：岭估计，Stein 压缩估计，根方估计及主成分[]9--11估计等。
[]9文献在广义均方误差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein 估计优于最小二乘(LS)估计的充分必要条件,然后在Pitman Closeness(PC)准则下比较了Stein 估计相对于LS 估计的优良性。
[]10文献 在连续测量数据情况下,给出了混合系数线性模型参数的局部根方估计并证明了通过参数k 的选取,可使局部根方估计在均方误差意义下优于LS 估计,并讨论了局部根方估计的参数k 的选取,最终得到了参数k 的最优估计。
[]11文献讨论了广义岭型主成分估计的一些性质,引入一种估计的相对效率,证明了广义岭型主成分估计比岭型主成分估计和主成分估计的效率高,并且在Pitman 准则下也优于岭型主成分估计和主成分估计。
[1]文献考虑了线性回归模型2,(),()ny X E C ov I βεεεσ=+=并得到结论：总存在某个常数k ，当2'20k σββ<<时，参数β的岭估计'1'()n X X kI X y β∧-=+优于最小二乘（LS ）估计。
本文主要研究了多元线性回归模型，并用[1]文献的思想推导给出了其参数β的广义岭估计满足一定条件时优于LS 估计的一个充分条件。
1 广义岭估计优于最小二乘估计的充分条件考虑Gauss-Markov 模型，y=X β+ε，E(ε)=0，Cov(ε)=2σn I （1.1）其中y 是n ⨯1观察向量，X 是n ⨯p 列满秩矩阵，β是p ⨯1未知参数向量，ε是n ⨯1随机误差向量，2σ是未知参数。
[1]文献用最小二乘（LS ）估计β∧='1'()X X X y-作为未知参数β的估计量，并讨论了最小二乘估计β∧='1'()X X X y -具有许多良好的性质，其中最重要的是Gauss-Markov 定理，它表明在一切线性无偏估计中，LS 估计β∧是β的最优线性无偏估计。
定义[1] 1.1 设θ为未知参数向量，θ 为θ的一个估计，则θ 的均方误差为 2'()()().M S E E E θθθθθθθ=-=-- 它度量了估计θ 跟未知参数向量θ平均偏离的大小，显然，有越小的均方误差，则估计就越好。
引理[1]1.1 设θ为未知参数向量，θ 为θ的一个估计，则 θ 的均方误差为2()()M SE trCov E θθθθ=+- ,其中，trA 表示方阵A 的迹，即A 的对角元之和。
由引理1.1可知，因为最小二乘估计β∧是β无偏估计，所以20E ββ∧-=，又2'1()(),C ov X X βσ∧-=故2'1()()M SE tr X X βσ∧-=，因为'X X 是对称正定阵，则存在p p ⨯正交阵Q 将'X X 对角化，即'X X =1'0p Q Q λλ⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 这里12p λλλ≤≤≤ 为'X X 的特征值。
容易证明1111,,,p λλλ--- 为'1()X X -的特征值。
再利用t r A Bt r =以及'Q Q I =，得到'11()pi itr X X λ==∑,从而有211()p i iM SE βσλ∧==∑，从这个表达式我们可以看出，如果'X X 至少有一个特征值非常小，即非常接近于零时，()M SE β∧就会很大，即使β∧为β的最优线性无偏估计，从均方误差的标准来看, 这时的最小二乘估计β∧就不是一个好的估计。
此时，我们-也称设计阵X 为“病态”的。
因此当设计阵呈现病态时，Hoerl 与Kennard 于1970年提出β的岭估计： '1'()()nK X X k I X y β∧-=+（1.2）来改进β∧，其中k>0是岭参数。
[2]文献得出这样一个结论：岭估计是一种有偏估计，对于Gauss-Markov 模型，总存在某个数k ，当0<k<2'2σββ时,参数β的岭估计'1'()()n K X X kI X y β∧-=+优于最小二乘（LS ）估计。
[8]文献在此基础上提出回归参数β的广义岭估计'1'()()K X X K X y β∧-=+， （1.3）其中12(,,,),0(1,2).p i K diag k k k k i p =≥= 特别是，当n K kI =时，()k β∧即为岭估计，且讨论了广义岭估计优于最小二乘估计的充分条件以及可容许性。
引理[8] 1.2 当'22K ββσ<时， (())()M S E M K M S E M ββ∧∧<（1.4）其中(())M SEM K β∧指广义岭估计()K β∧的均方误差矩阵。
引理[8]1.3 当'22K ββσ<时()1对一切0D≥，有 )ˆ())(ˆ(ββGMSE K GMSE ≤)ˆ())(ˆ()2(ββMSE K MSE ≤ 这里(.)(.),MSE GMSE 分别表示广义均方误差和均方误差，D 是矩阵。
即)]ˆ()ˆ[()ˆ()],ˆ()ˆ[()ˆ(ββββββββββ-'-=-'-=E MSE D E GMSE 引理1.3表明，对于一个线性模型，总存在K ，使广义岭估计()K β∧优于最小二乘估计β∧. 但条件'202K ββσ<<与未知参数2,βσ有关，对于固定的K ，()K β∧不能在整个参数空间上一致优于最小二乘估计β∧，而仅对满足条件'22K ββσ<的那部分2,βσ优于最小二乘估计。
引理[8]1.4 在线性估计类中，广义岭估计()K β∧是β的可容许估计，即()K β∧β~.证明: 由于'1''1'()(),()K K K X X K X X A A X X K X Xβββ∧∧∧--=+==+据[]2文献王松桂的推论[2](P211), K A β∧是β的可容许估计的充要条件为''1'1()()K K K A X X A A X X --≤即'1''1'''()()()()0.X X K X X X X K X X K X X X X K K ---++≤+⇔≤+⇔>此定理得证。
2 多元广义岭估计优于最小二乘估计的充分条件考虑多元线性回归模型εε⎧⎨⎩Y=XB+ 的行向量互不相关,均值为零,有共同的协方差阵V（2.1） 其中，n qY ⨯为随机观测阵,,n pX ⨯为设计阵,p qB ⨯为未知参数阵,n qε⨯为随机误差阵,q qV ⨯为正定阵。
为了使讨论简便, 令},,,{22221q diag V σσσ =，利用拉直运算，模型(2.1)可化为一元线性模型：()()()()()(0,)q n Vec Y I X Vec B Vec Vec N V I εε=⊗+⎧⎨⊗⎩ （2.2） 其中，()Vec A 表示把矩阵A 拉直的列向量，“⊗”表示矩阵的ker K ronec 积。
令)(B Vec =β，则)(B Vec =β的最小二乘估计为：==)ˆ(ˆB Vec β)(])([1Y Vec X X X I q''⊗- 令',Z XQ A Q B ==,（这里Q 为使得''1(,,)p Q X XQ diag λλ=Λ= 的正交阵） 我们可以得到模型（2.1）的典则形式：Y Z Aεε=+⎧⎨⎩ 的行向量互不相关,均值为零,有共同的协方差阵V（2.3）于是（2.3）式可以化为一元线性模型()()()(()(0,)q n V e c Y I Z V e c A V e c V e c N V I εε=⊗+⎧⎨⊗⎩ （2.4）令(),Vec A α=则 βα)(Q I q '⊗=，典则参数α的最小二乘估计为：1'()()q I Z Vec Y α∧-=⊗Λ显然，1)()ˆ(,)ˆ(,ˆ)(ˆ-'⊗==⊗=X X V Cov E Q I qβββαβ，所以β∧的均方误差为：11()()()pii M S E M S E t r V βαλ∧∧-===∑， （2.5）这里，12p λλλ≥≥≥ 为'X X 的特征根，因为'0X X >，所以0,1,2,,.i i p λ>= 由(2.5)可知，若'X X 至少有一特征根很小时，则)ˆ(βMSE 就很大,此时虽然最小二乘估计β∧的方差在线性无偏方估计类中最小，但其值很大，使得估计精度很差，表现出相当的不稳定。