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四年级下册简单的数列在我们四年级下册的数学学习中，数列这个概念悄然走进了我们的视野。
它看似有些神秘，其实呀，并没有那么复杂。
数列，简单来说，就是按照一定规律排列的一组数。
就好像我们排队一样，每个数都有自己固定的位置，而且它们的排列是有规则可循的。
比如说，1，3，5，7，9 这样的一组数，就是一个简单的数列。
我们很容易就能发现，相邻的两个数之间，差值都是 2。
这种相邻两个数的差值相等的数列，我们叫做等差数列。
再看 2，4，8，16，32 这个数列，相邻两个数之间的比值都是 2，像这样相邻两个数的比值相等的数列，我们叫做等比数列。
那学习数列对我们有什么用呢？用处可大啦！假设我们要在一条路上种一排树，如果知道了树的间隔和总长度，我们就可以通过数列的知识算出能种多少棵树。
又比如，我们在做一些找规律的数学题时，如果能快速找出数列的规律，就能轻松地得出答案。
在实际生活中，数列也常常出现。
比如我们去商场买东西，如果遇到打折活动，折扣的计算可能就和数列有关。
咱们再来说说如何找数列的规律。
首先，要仔细观察相邻的数之间有什么关系。
是差值固定，还是比值固定，或者是有其他更复杂的规律。
然后，可以试着计算相邻两个数的差值或者比值，看看能不能发现规律。
如果还是找不到，也别着急，可以多算几个相邻数之间的差值或比值，说不定就能发现其中的秘密。
有时候，数列的规律可能不是相邻两个数之间的关系，而是每隔几个数才有相同的变化规律。
这就需要我们更加细心和耐心地去寻找。
对于等差数列，我们可以通过公式来计算其中的某个数。
比如说，一个等差数列的首项是 a1，公差是 d，第 n 项可以用公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 来计算。
等比数列也有类似的公式，不过稍微复杂一些。
学习数列，不仅能锻炼我们的观察能力和逻辑思维能力，还能让我们更加善于发现生活中的数学之美。
当我们掌握了数列的规律，解决数学问题就会变得更加轻松有趣。
在做数列相关的练习题时，我们要认真读题，仔细分析题目中给出的数列，找到规律后再进行计算。
找出数列中的规律数列是数学中一种重要的概念，它是有序数的排列。
在数列中，每个数都有其特定的位置，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系，找出数列中的规律。
本文将向读者介绍数列及其规律的相关概念，以及如何通过观察数列中的数字来寻找规律。
一、数列的定义和性质数列是按一定规则排列的数的序列。
数列可以用列表的形式表示，将数按照顺序排列并用逗号分隔。
例如，数列1, 3, 5, 7, 9就是一个递增的奇数数列。
数列中的每个数称为数列的项，项的位置称为项数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列是指数列中只有有限个项的数列，而无限数列是指数列中有无穷多个项的数列。
数列可以是等差数列或等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数，称为公差。
等比数列是指数列中相邻两项之比都是一个常数，称为公比。
二、找出数列规律的方法要找出数列中的规律，我们可以通过观察数列的数字之间的关系来进行推测。
下面将介绍一些常用的方法来找出数列规律。
1. 求差或求比对于等差数列，我们可以通过求相邻两项的差来找到公差；对于等比数列，我们可以通过求相邻两项的比来找到公比。
通过求差或求比，我们可以判断数列是等差数列还是等比数列，从而进一步找出数列的规律。
2. 观察数列项之间的关系观察数列中的数字之间的关系是找出数列规律的重要方法之一。
我们可以观察数列中的数字之间的模式或规律，例如加减规律、乘除规律或其他特定的模式。
这种方法需要我们对数学规律有一定的敏感度和思维能力。
3. 推算法在观察数列中的数字时，我们可以根据已有的数字推算出后面的数字。
通过不断推算，并验证我们的推算结果，我们可以找到数列的规律。
4. 列方程有时，我们可以通过列方程的方式来找出数列中的规律。
我们可以将数列中的项用代数表示，并通过解方程来确定未知的规律。
这种方法需要我们对代数知识的掌握。
三、数列中的常见规律在数列中，有许多常见的规律。
下面将介绍一些常见的数列规律。
1. 等差数列的规律等差数列的规律是每一项与前一项之和等于后一项。
简单的数列和规律在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列的规律往往可以用递推公式表示，并且数列中的每个数字都是根据前面的数字计算得出的。
本文将介绍数列的基本概念、常见类型以及一些常见的数列规律。
一、数列的概念数列是指由一系列按照特定规律排列的数字所构成的序列。
数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母a、b、c等表示。
数列的第一项记作a₁，第二项记作a₂，依此类推。
数列中的项按顺序排列，可以是无限个，也可以只有有限个。
二、数列的分类根据数列的性质和规律的不同，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等几种常见类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
差值常被称为公差，用字母d表示。
例如，一个等差数列的第一项是a₁，公差是d，则这个数列的递推公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d，其中n表示数列中的第n项。
等差数列的求和公式是一个常用的数学公式，可以用来快速计算等差数列的和。
对于首项为a₁，末项为aₙ，项数为n的等差数列，它的和可以表示为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比都相等的数列。
相邻项之间的比常被称为公比，用字母q表示。
例如，一个等比数列的第一项是a₁，公比是q，则这个数列的递推公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n - 1)，其中n表示数列中的第n项。
等比数列的求和公式也是一个常用的数学公式，可以用来求解等比数列的和。
对于首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，前n项的和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
也就是说，斐波那契数列的递推公式可以表示为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的生长规律、兔子繁殖等。
2019-2020年三年级数学奥数讲座找简单数列的规律在日常生活中，我们经常会碰到一定排列的数，比如：一列自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，……年份：1980，1981，1982，1983，1984，1985，1986，……某工厂全年产量（按月份排）：400，450，500，450，50 0，550，……像上面的这些例子，都是按某种法则排列的一列数，这样的一列数就叫做数列。
数列里的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1个数叫做数列的第1项，第2个数叫做数列的第2项，第n个数叫做数列的第n项。
比如在年份数列中，第4项是1983，第7项就是1986。
研究数列的目的是为了发现数列中的数排列的规律并依据这个规律来解决问题。
例题与方法例1 找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。
（1）3，6，9，12，（），18，21（2）28，26，24，22，（），18，16（3）60，63，68，75，（），（）（4）180，155，131，108，（），（）（5）196，148，108，76，52，（）（6）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）（7）0，1，1，2，3，5，8，（），（）（8）10，98，15，94，20，90，（），（）例2 在下面数列中填出合适的数。
（1）1，3，9，27，（），243（2）1，2，6，24，120，（），5040（3）1，1，3，7，13，（），31（4）0，3，8，15，24，（），48，63例3 在下面数列的每一项由3个数组成的数组成的数表示，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……。
问第50个数组内三个数的和是多少？例4 先找规律，再填数。
1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=（）12345×9+6=（）123456×9+7=（）1234567×9+8=（）附送：2019-2020年三年级数学奥数讲座找规律（一）这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
数列的规律与求和数列作为数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，它是由一组按照一定规律排列的数字组成。
研究数列的规律和求和方法，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能在解决实际问题时提供便利。
本文将从数列的基本概念、规律探索和求和方法三个方面，详细介绍数列的规律与求和。
一、数列的基本概念数列是由一串数字按照一定规律排列组成的序列，通常用字母和下标表示。
一个数列可以是有限个数或者无穷多个数。
我们以数列{1, 2, 3, 4, 5, ...}为例，这个数列是从1开始，每次加1得到下一个数。
数列中的每个数称为项，用an表示，其中n为项的位置。
二、数列的规律探索在数列中，有些规律是显而易见的，而有些规律则需要通过观察和推导来发现。
例如，斐波那契数列就是一个经典的数列，它的规律是每个数等于它前两个数的和，即an = an-1 + an-2。
通过不断将前两项相加，我们可以得到斐波那契数列：{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。
除了递推关系，数列的规律还可以通过一些特殊的运算得到。
例如，等差数列的规律是每个数与前一个数的差等于一个常数，即an - an-1 = d。
通过这个特点，我们可以轻松地构造等差数列。
同样地，等比数列的规律是每个数与前一个数的比值等于一个常数，即an / an-1 = q。
通过这个规律，我们可以得到等比数列。
三、数列的求和方法对于数列的求和问题，我们常常会遇到等差数列和等比数列两种情况。
下面将介绍这两种数列的求和公式。
对于等差数列，求和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
例如，对于等差数列{2, 4, 6, 8, 10}，首项a1=2，末项an=10，项数n=5，则前5项和Sn = (2 + 10) * 5 / 2 = 30。
对于等比数列，求和的公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
认识简单的数列和等差数列了解数列中的规律和特征数列是数学中非常重要的概念，它在各个方面都有着广泛的应用。
其中，简单的数列和等差数列是我们在学习数列时首先要认识和了解的内容。
本文将详细介绍什么是数列，简单的数列和等差数列的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方式数列是按照一定规则排列的一系列数的集合。
数列中的每个数叫做该数列的项，通常用字母a₁, a₂, a₃, ... 表示。
例如，下面是一个数列的例子：3, 5, 7, 9, 11, ...在这个数列中，每个项都比前一个项大2。
数列的表示方式可以使用列表或者通项公式。
列表表示法将数列的每个项依次列出，通项公式则给出了数列的每一项的表达式。
二、简单的数列简单的数列是数列中最基本也是最常见的形式。
它们的规律往往比较简单明了，易于理解。
简单的数列可以分为等差数列和等比数列两种形式。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
等差数列的通项公式可以写为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ代表第n个项，a₁代表第一个项，d代表公差，n代表项的序号。
比如，数列2, 5, 8, 11, 14, ... 就是一个等差数列，其中的公差为3。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
等比数列的通项公式可以写为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，aₙ代表第n个项，a₁代表第一个项，r代表公比，n代表项的序号。
比如，数列2, 6, 18, 54, ... 就是一个等比数列，其中的公比为3。
三、等差数列的规律和特征等差数列在数学中有着重要的地位，它们具有以下的规律和特征：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值为常数，称为公差。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以根据首项和公差求得。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来计算：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)4. 性质：等差数列的性质包括数列中每一项是前一项加上公差得到的，以及数列中共有n项。
学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第六讲：找规律填数（二）我们常将一个数列与一些规律简单的数列进行比较，例如，偶数数列2，4，6，8…的第100项显然是200，而1 990址第995项，将奇数数列1，3，5，7，…与偶数列比较，就知道第100个奇数是200 -1= 199．而1 989是第995个奇数下面的例1显示一个数列与它的“差数列”间的关系．．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：1，2，4，7，l1，16，( )，( ) ．从第2项起，每一项减去前一项得数列l，2，3，4，5，…，这个由差组成的“差数列”，第6、7项分别是6、7．所以原数列的第7、8项分别是16+6=22．22+7=29．即括号内应填入22，29．找规律，在括号内填入适当的数：2，6，12，20，30，42，( ) ．．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：25，3，22，3，l9，3，( )，( )由观察可以知道，所有偶数项数的项全由3组成．再来看一下奇数项数的项25，22，19，…．从22起，每一个都比前一个少3．所以括号内应该填入16，3．发现规律，并在括号内填入适当的数：15，6，3，7，11，8，( )，( ) ．例2表示，有些数列可以拆成两个数列（或者说，由两个数列组成），分别由奇数项数的项和偶数项数的项构成．而这两个数列的规律都不难发现．）已知算式：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…．问：第几个算式的得数是1 992？不难看出，各个算式中，被加数是l，2，3，4，每4个循环一次．加数是1，3，5，7，9，11，13，15，17，…，正好是奇数数列，如果和是1992，那么被加数是l或3（因为2或4加上奇数，不会等于偶数1 992），从而加数是1 991或1 989．因为(1 989 +1)÷2=995所以1989是上面奇数数列的第995项．1 991是第996项又因为995=4×248+3．所以，第995个算式是3+1 989第996个算式是4+1 991没有算式1+1 991．所以第995个算式的得数是1 992．发现规律，在括号内填入适当的数：2，5，8，11，10，13，16，19，18，( )，( )自然数按一定规律排成下表，问第200行的第5个数是多少？12 34 5 67 8 9 10……第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，第199行199个数，因此前199行共有1+2+3+…+199=(1+199)×199÷2=19 900个数，即前199行的最末一个数是19 900.第200行第5个数是19 900 +5=19 905上面的表中，100是第几行第几个数？．如右图，将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7，10，…的位置处拐弯，如果2算第1次拐弯，3算第2次拐弯，那么第13次拐弯处的数是什么？首先，注意到第1次拐弯在东北，笫2次拐弯在东南，第3次拐弯在西南，第4次拐弯扯西北，依此类推，每过4次拐弯就使方向循环出现．因为13=3×4+1所以第13次拐弯在东北其次，东北拐弯处的数组成数列2，10，26，…，它的每一项比数列1，9，25，…的相应项多1．数列1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，…也就是1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，6×6，…叫做平方数数列．数列1，9，25，40，…也就是1×1，3×3，5×5，7×7，…是由奇数平方组成的数列，因此，上述数列（即东北拐弯处的数列）中，26的后一项是7×7 +1=50．即第13个拐弯处的数是50．上图中第21个拐弯处的数是多少？。
小学数学简单数列的规律与推算知识点在我们的小学数学学习中，有一个特别有趣的部分，那就是简单数列的规律与推算。
这可不像听上去那么枯燥，其实充满了惊喜和乐趣呢！记得有一次，老师在课堂上给我们出了一道数列题：“2，4，6，8，（），12”。
当时，教室里一下子安静下来，大家都开始冥思苦想。
我也不例外，眼睛紧紧盯着黑板上的数字，心里琢磨着：这后面到底该填个啥呢？我先试着用加法，2 加上 2 等于 4，4 加上 2 等于 6，6 加上 2 等于8，那 8 加上 2 不就等于 10 嘛！心里一阵小激动，觉得自己找到了答案。
可又有点不放心，万一不是这么简单的规律呢？再看看周围的同学，有的皱着眉头，嘴里还念念有词；有的拿着笔在草稿纸上不停地写着画着；还有的一脸迷茫，好像完全被这道题给难住了。
这时候，老师开始在教室里走动，查看大家的思考情况。
我心里有点紧张，怕自己的答案不对。
老师走到我的身边，看了看我的草稿本，微笑着点了点头。
这一点头，让我心里踏实了不少。
接着，老师开始讲解这道题。
她说：“同学们，这个数列的规律就是后一个数都比前一个数大 2，所以括号里应该填 10。
”听到老师的答案和我想的一样，我别提多高兴了，感觉自己像个小英雄似的。
通过这道题，我发现原来数列的规律有很多种呢。
比如说，有的数列是依次增加相同的数，就像刚刚那道题；有的数列是依次减少相同的数，比如“15，12，9，6，（）”，这里就是每次都减少 3，括号里应该是 3。
还有一种常见的规律是相邻两个数的差值不一样。
比如“1，3，6，10，（）”，3 减去 1 等于 2，6 减去 3 等于 3，10 减去 6 等于 4，那下一个差值就应该是 5，所以 10 加上 5 等于 15，括号里就填 15 啦。
除了差值有规律，有的数列是倍数关系。
像“2，4，8，16，（）”，4 除以 2 等于 2，8 除以 4 等于 2，16 除以 8 等于 2，后面的数都是前面数的 2 倍，那括号里就应该是 16 乘以 2 等于 32 。
数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,,144,196,…（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系（3）取每组的第7个数,求这三个数的和2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
第六讲找简单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…⑥1，3，4，7，11，18，（），47…⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
②同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.③1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：因此，括号中填4，代入后符合规律。
综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（）， 21， 34…首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（），47…在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。
⑦1，3，6，10，（）， 21， 28， 36，（）。
方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1＋2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6第7项：28=1+2+3+4+5+6+7第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9项：（）即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1第2项 2=1×2第3项 6=1×2×3第4项 24=1×2×3×4第5项 120=1×2×3×4×5第6项（）第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720⑨1，1，3，7，13，（），31与⑦类似：可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
则：因此，括号中的数应填为63。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。
事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括号中为26-1即63。
（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。
(12)0，3，8，15，24，（）， 48， 63。
仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即 35= 6×6-1。
(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：1，2，3，4，5偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。
(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：偶数项：2，4，6，8，10奇数项：1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。
像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。
例2下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。
例3 按下图分割三角形，即：①把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C））…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.分析与解答第4次分割后的图形如左图：因此，数列的第5项为121。
