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湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)数学(文科)第I 卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg|，{}1|<=x x N ，则=N M （）A ．()10，B ．(]20，C ．[)21，D ．()∞+，02．如果复数i ai +-12)(R a ∈为纯虚数，则=a （）A ．2-B ．0C ．1D ．23．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅众高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若33=a ，216=S ，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．ba c <<B ．a cb <<C ．c a b <<D ．a b c <<6．在长方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，2=AD ，31=AA ，则异面直线11B A 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1438B ．1414C ．1313D ．317．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ,则函数a x y =，[)+∞∈,0x 是增函数的概率为（）A ．53B ．54C ．43D ．738．已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 2)(-=，给出下列四个结论：①函数)(x f 的最小正周期是π；②函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数；③函数)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；④函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．a 实常数,下列图象中可以作为函数a x x x f +=2)(的图象的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A 、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元11．在ABC ∆中，已知3=AB ，32=AC ，点D 为BC 的三等分点（靠近C ），则BC AD ⋅的取值范围为（）A ．()53，B ．()355，C ．()95，D ．()75，12．已知不等式x m x 21-<-在[]20，上恒成立，且函数mx e x f x -=)(在()∞+，3上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．()()∞+∞-，，52B ．()(]352e ，， ∞-C ．()(]252e ，， ∞-D ．()(]351e ，， ∞-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．若角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点)4,3(0--P ，则=αtan ．14．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为．15．设双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左焦点为1F ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线C 于M 、N 两点，其中M 位于第二象限，),0(b B ，若BMN ∠是锐角，则双曲线的离心率的取值范围是．16．定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：①当[)3,1∈x 时，21)(--=x x f ；②)(3)3(x f x f =．设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，…．若()3,1∈a ，则=+++n x x x 221 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a b 32313log log log +++= ,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.18.(本小题满分12分)在多面体ABDE C -中，△ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，2=AB ，3π=∠DBA .（1）求证：CD AB ⊥；(2)求点B 到平面CDE 的距离.19.(本小题满分12分)2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用33+模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.(1)已知抽取的n 名学生中含女生45人,求n 的值及抽取到的男生人数；(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的22⨯列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由；(3)在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名,再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况,求2人中至少有1名男生的概率。
湖南师大附中2019届高三最新模拟考试数学(文)试题（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则(B) A ．A ∩BB ．A ∪B ＝RC ．BA D ．A B【解析】由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，∴A ∪B ＝R ，故选B. 2．若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为(A) A ．1 B ．6 C ．i D ．6i【解析】∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ，∴z ＝6＋i ，故z 的虚部为1.故选A.3．函数f ()x ＝ln ()x ＋1－2x的零点所在的大致区间为(B)A.()0，1B.()1，2C.()2，3D.()3，4【解析】f ()x ＝ln ()x ＋1－2x在()0，＋∞函数单增，且f ()1＝ln 2－2<0，f ()2＝ln 3－1>0.所以函数f ()x ＝ln ()x ＋1－2x的零点所在的大致区间为()1，2.故选B.4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)A.932 B.516C.38D.716【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为6，则所求的概率是P＝616＝38.则选C.5．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若点P(0，2b)、F1、F2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)A．y＝±3x B．y＝±217x C．y＝±33x D．y＝±213x【解析】由双曲线的对称性可知，直角顶点为P，在等腰三角形PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得c2＋4b2＋c2＋4b2＝4c2，化简得8b2＝2c2，即4b2＝c2，把c2＝a2＋b2代入4b2＝c2，得3b2＝a2，即b2a2＝13，则双曲线的渐近线方程为y＝±33x，故选C.6．给出下列四个命题：①“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为真命题；②“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a·b<0；③若命题p：x－1<0，则綈p：x－1>0；x∈R，使得x2＋x＋1<0x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．其中不正确的个数是(A)A．3 B．2 C．1 D．0【解析】“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为：“若f′(x0)＝0，则x0为y＝f(x)的极值点”，为假命题，即①不正确；“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是a·b<0，即②不正确；若命题p：x－1<0，则綈p：x－1≥0，即③不正确；特称命题的否定为全称命题，即④正确．所以不正确的个数是3个．故选A.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是(A)A．(30，42] B．(30，42)C．(42，56] D．(42，56)【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，S＝0＋2×1＝2，k＝2，满足条件，继续运行；第二次，S ＝2＋2×2＝6，k ＝3，满足条件，继续运行； 第三次，S ＝6＋2×3＝12，k ＝4，满足条件，继续运行； 第四次，S ＝12＋2×4＝20，k ＝5，满足条件，继续运行； 第五次，S ＝20＋2×5＝30，k ＝6，满足条件，继续运行；第六次，S ＝30＋2×6＝42，k ＝7，不满足条件，停止运行，输出7.故选A.8．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，不一定正确．．．．．的是(C)A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°【解析】由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；综上C 是不一定正确的，故选C.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为(C)A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．8 3【解析】设准线l 与x 轴交于点N ，所以|FN |＝2，因为直线AF 的斜率为－3，所以∠AFN ＝60°，所以|AF |＝4，由抛物线定义知，|MA |＝|MF |，且∠MAF ＝∠AFN ＝60°，所以△MAF 是以4为边长的正三角形，其面积为34×42＝43，故选C. 10．若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为(B)A.18B.16C.14D.13【解析】因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋2·1－cos 2ωx 2＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1.由函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增知，所以3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2≤T 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2ω，即3π≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2ω，结合ω>0，可得0<ω≤16.所以正数ω的最大值为16，故选B.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)A.236B.72C.76 D ．4【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB 1－DCC 1，挖去一个三棱锥E －FCG ，故所求几何体的体积为12×(2×2)×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝236.故选A. 12．已知函数f (x )在定义域R 上的导函数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )没有零点，且f [f (x )－2 019x ]＝2 019，当g (x )＝sin x －cos x －kx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上与f (x )在R上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是(A)A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)【解析】由函数y ＝f ′(x )没有零点，即方程f ′(x )＝0无解，则f ′(x )>0或f ′(x )<0恒成立，所以f (x )为Rx ∈R 都有f [f (x )－2 019x ]＝2 019，则f (x )－2 019x 为定值，设t ＝f (x )－2 019x ，则f (x )＝t ＋2 019x ，易知f (x )为R 上的增函数，∵g (x )＝sin x －cos x －kx ，∴g ′(x )＝cos x ＋sin x －k ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－k ，又g (x )与f (x )的单调性相同，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g ′(x )≥0恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－1，2]．此时k ≤－1，故选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝__22__017－12__． 【解析】由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 018＝12（1－22 018）1－2＝22 017－12.14．设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →()λ∈R ，则λ＝__－3__．【解析】∵D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，∴B ，C ，D 三点共线．若BC →＝λDC →()λ∈R ，∴AC →－AB →＝λAC →－λAD →，化为：AD →＝1λAB →＋λ－1λAC →，与AD→＝－13AB →＋43AC →，比较可得：1λ＝－13，解得λ＝－3. 15．记命题p 为“点M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a 2(a >0)”，记命题q 为“M (x ，y )满足⎩⎨⎧x －2y ≤4，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0，”若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__45__． 【解析】依题意可知，以原点为圆心，a 为半径的圆完全在由不等式组⎩⎨⎧2x －4y ≤8，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0所围成的区域内，由于原点到直线4x －3y ＋4＝0的距离为45，从而实数a 的最大值为45.16．已知函数f (x )＝||x 2－4＋x 2＋mx ，若函数f (x )在(0，3)上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__－143<m <－2__． 【解析】将函数f (x )在(0，3)上有两个不同的零点等价转化为关于x 的方程f (x )＝0在(0，3)上有两个不同的实数解，等价于函数y ＝m 和函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，0<x ≤2，4x －2x ，2<x <3的图象有两个交点，所以实数k 的取值范围是－143<m <－2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin(A ＋B )．(1)求B 的值；(2)若向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，a ＝4，当m ·n 取得最大值时，求b 的值．【解析】(1)因为△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ， 所以a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin(A ＋B ) 变形为a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C . 由正弦定理得：a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，又因为0<B <π，∴B ＝π4.6分 (2)因为m ·n ＝12cos A －5cos 2A＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435，所以当cos A ＝35时，m ·n 取得最大值，此时sin A ＝45，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝522.12分18．(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ＝AD ＝2BC ＝2，BC ∥AD ，AB⊥AD ，△PBD 为正三角形．且PA ＝2 3.(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A －CDE 的体积．【解析】(1)证明：∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2，∴BD ＝22， 又△PBD 为正三角形，所以PB ＝PD ＝BD ＝22， 又∵AB ＝2，PA ＝23，所以AB ⊥PB ， 又∵AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴AB ⊥BC ，PB ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .6分(2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为BC ∥AD ， 且AD ＝2BC ，所以OD ＝2OB ，连接OE ，因为PB ∥平面ACE ，所以PB ∥OE ，则DE ＝2PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为h ＝23×2＝43，所以V A －CDE ＝V E －ACD ＝13S △ACD ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×43＝89，即四面体A －CDE 的体积为89.12分19．(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：万元)对年销售量y (单位：吨)和年利润z (单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，3，4，5，6)的数据作了初步统计，得到如下数据：y ＝a ·xb (a ，b >0)．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝2y －e14x .若想在2018年达到年利润最大，请预测2018年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据()u 1，v 1，()u 2，v 2，…，()u n ，v n ，其回归直线v ＝β·u ＋α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝错误!，α＝错误!－β·错误!.【解析】(1)对y ＝a ·x b ，(a ，b >0)两边取对数得ln y ＝ln a ＋b ln x ，令u i ＝ln x i ，v i ＝ln y i得v ＝ln a ＋b ·u ，由题给数据，得：u －＝24.66＝4.1，v －＝18.36＝3.05，错误!错误!错误!＝101.4，于是b ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，ln a ＝错误!－b 错误!＝3.05－错误!×4.1＝1， 得a ＝e ，故所求回归方程为y ＝e ·x .8分(2)由(1)知，年利润z 的预报值为z ^＝2y －e 14x ＝e 2x －e 14x ＝－e 14(x －142x )＝－e14(x －72)2＋7e ，所以当x ＝72即x ＝98时，z ^有最大值．故当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.12分20．(本题满分12分)如图，已知圆F 1的方程为(x ＋1)2＋y 2＝498，圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝18，若动圆M 与圆F 1内切，与圆F 2外切．(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过直线x ＝2上的点Q 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，设切点分别是M ，N ，若直线MN 与轨迹C 交于E ，F 两点，求|EF |的最小值．【解析】(1)设动圆M 的半径为r ，∵动圆M 与圆F 1内切，与圆F 2外切， ∴||MF 1＝724－r ，且||MF 2＝24＋r .于是，||MF 1＋||MF 2＝22>||F 1F 2＝2， 所以动圆圆心M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长为22的椭圆．从而，a ＝2，c ＝1，所以b ＝1.故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设直线x ＝2上任意一点Q 的坐标是(2，t )，切点M ，N 坐标分别是()x 3，y 3，()x 4，y 4；则经过M 点的切线斜率k ＝－x 3y 3，方程是x 3x ＋y 3y ＝2，经过N 点的切线方程是x 4x ＋y 4y ＝2，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q (2，t )． 则有⎩⎨⎧2x 3＋ty 3＝2，2x 4＋ty 4＝2，所以经过M ，N 两点的直线l 的方程是2x ＋ty ＝2，①当t ＝0时，有M (1，1)，N (1，－1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22，则||EF ＝2；②当t ≠0时，联立⎩⎨⎧2x ＋ty ＝2，x 22＋y 2＝1，整理得(t 2＋8)x 2－16x ＋8－2t 2＝0；设E ，F 坐标分别为(x 5，y 5)，(x 6，y 6)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋x 6＝16t 2＋8，x 5·x 6＝8－2t2t 2＋8，所以||EF ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 2·（x 5＋x 6）2－4x 5x 6＝22（t 2＋4）t 2＋8＝22－82t 2＋8>2，综上所述，当t ＝0时，|EF |有最小值 2.12分 21．(本题满分12分)已知函数g ()x ＝a ln x ，f ()x ＝x 3＋x 2＋bx .(1)若f ()x 在区间[]1，2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意x ∈[]1，e ，都有g ()x ≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当b ＝0时，设F ()x ＝⎩⎨⎧f （－x ），x <1，g （x ），x ≥1，对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F ()x 上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．【解析】(1)由f ()x ＝x 3＋x 2＋bx ，得f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b ，因f ()x 在区间[]1，2上不是单调函数， 所以f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b 在[]1，2上最大值大于0，最小值小于0， f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋b －13，∴⎩⎨⎧f ′()x max ＝16＋b >0，f ′()x min ＝5＋b <0，∴－16<b <－5.4分(2)由g ()x ≥－x 2＋()a ＋2x ，得()x －ln x a ≤x 2－2x ，∵x ∈[]1，e ，∴ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，∴ln x <x ，即x －ln x >0，∴a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min， 令t ()x ＝x 2－2x x －ln x ，()x ∈[]1，e ，求导得t ′()x ＝()x －1()x ＋2－2ln x ()x －ln x 2， 当x ∈[]1，e 时，x －1≥0，0≤ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而t ′()x ≥0， ∴t ()x 在[]1，e 上是增函数，∴t min ()x ＝t ()1＝－1，∴a ≤－1.8分(3)由条件，F ()x ＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1，假设曲线y ＝F ()x 上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设P ()t ，F ()t ()t >0，则Q ()－t ，t 3＋t 2，且t ≠1， ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴OP →·OQ→＝0，∴－t 2＋F ()t ()t 3＋t 2＝0 (*)是否存在P ，Q 等价于方程(*)在t >0且t ≠1是否有解，①当0<t <1时，方程(*)为∴－t 2＋()－t 3＋t 2()t 3＋t 2＝0，化简t 4－t 2＋1＝0，此方程无解；②当t >1时，方程(*)为－t 2＋a ln t ()t 3＋t 2＝0，即1a＝()t ＋1ln t ， 设h ()t ＝()t ＋1ln t ()t >1，则h ′()t ＝ln t ＋1t ＋1，显然，当t >1时，h ′()t >0，即h ()t 在()1，＋∞上为增函数，∴h ()t 的值域为()h ()1，＋∞，即()0，＋∞，∴当a >0时，方程()*总有解， ∴对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F ()x 上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.12分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试考前演练（五）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B ⋂= （） A. {|12}x x -<< B. {|1x x <-或2x >} C. {|01}x x << D. {|0x x <或}【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}AB x x =<<.故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （）A.25B. 35-C.35D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sina ，再由二倍角公式可得.【详解】因为点P （1，－2）是角a 的终边上一点，所以5sina ==-.所以22321212(55cos a sin a =-=-⨯-=-.故选B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．3.已知i 是虚数单位，复数z 满足(221i z i -∙=-），则|z |= （） A. 1 B.35C.53D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法除法运算法则即可得出．【详解】因为()()()()212214322125i i i i z i i -+--+===--+，所以||1z ==.故答案A 【点睛】本题考查了复数的乘法除法以及求模的运算，考查了计算能力，属于基础题．4.设双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （） A.35B.45C.54D.53【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出5c =,再利用a,b,c 的关系，离心率公式得解.【详解】因为双曲线222109x y a a =>-（）两焦点之间的距离为10，所以210c =，5c =，所以22916a c =-=，所以4a =.所以离心率54e =.故选C.【点睛】本题考查双曲线基本量a,b,c 的关系,离心率的公式,基础题.5.下列关于函数221xf x x =-（）的判断中，正确的是 （） A. 函数f （x ）的图象是轴对称图形 B. 函数f （x ）的图象是中心对称图形 C. 函数f （x ）有最大值 D. 当0x >时，f （x ）是减函数【答案】B 【解析】 【分析】A ，B 两个选项考查函数的奇偶性，所以必须先求出定义域；C,D 两个选项考查函数的单调性，可以利用导数的知识对各选项进行分析、判断．【详解】函数221x f x x =-（）的定义域为1111--+（，-）（，）（，）∞∞，且221xf x f x x ==--（-）（），函数f （x ）是奇函数，所以B 正确，A 错误；0<2222(1)()0(1)x f x x -+'=-，所以函数在11,11∞∞---+（，）（）（，）上是减函数，所以函数f （x ）没有最大值，且当01x ∈（，），1（，）+∞时，f （x ）单调递减，但1423f =（）-，423f =（），122f f <（）（），所以C 、D 错误。
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试解析版数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝(D )A .{}1B .{}1，5C .{}4，5D .{}1，4，5(2)复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数(其中i 为虚数单位)，则z ＝(A ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．－1－2i(3)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A )A .13B .14C .15D .16(4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于(A )A .π4B .3π4 C . π4或3π4D . 以上都不对 (5)为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位 (6)设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是(B ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．b<c<a【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .(7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为(D )【解析】由题意得，函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cosx －sin x ＝x cos x ，显然在⎝⎛⎭⎫0，π2上，y ′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是(B )A ．k>5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.(9)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .14B ．－14C .12D ．－12【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角， 又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°， 则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A .(其它的平移方法均可)(10)如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A )A ．2＋23＋ 6B ．4＋23＋ 6C ．4＋43＋ 6D ．2＋3＋ 6【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ，该几何体的表面积是S ＝12×1×2×2＋34×(22)2＋12×22×3＝2＋23＋ 6.(11)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(－3，t)，|MF|＝1532，则双曲线的离心率为(C )A .22B .33C .52D . 5 【解析】依题意有－p 2＝－3，p ＝6，又|MF|＝1532，∴⎝⎛⎭⎫15322＝t 2＋62，∴t ＝±32，∴b a (－3)＝－32，b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，e ＝52.故选C . (12)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2－2x －2a －32在区间⎣⎡⎦⎤－3，－32上存在次不动点，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，0) B .⎣⎡⎦⎤－14，0 C .⎣⎡⎦⎤－314，0 D .⎣⎡⎦⎤－314，－14 【解析】由题意，存在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2－x －2a －32＝0，解得a ＝x ＋32x 2－2，设h(x)＝x ＋32x 2－2，则由h′(x)＝－x 2－3x －2（x 2－2）2＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝－2，且h(x)在(－3，－2)上递减，在⎝⎛⎭⎫－2，－32上递增，又h(－3)＝－314，h(－2)＝－14，h ⎝⎛⎭⎫－32＝0，所以h(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32的值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝__－3__．(14)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝__－79__．【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79.(15)点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为__－3__．【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.(16)已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0__．【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，2分 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥24分 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，6分故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.8分(Ⅱ) S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n 2－12.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(Ⅰ)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(Ⅱ)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(Ⅲ)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．【解析】(Ⅰ)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，2分由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.4分(Ⅱ)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.7分(Ⅲ)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，b2，8分在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，10分其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710＝0.7.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝DC ＝2，AD ⊥DC ，AC ＝CB ，AB ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ADC ；(Ⅱ)求点A 到平面DMC 的距离．【解析】(Ⅰ)∵AD ＝DC ＝2且AD ⊥DC ， ∴AC ＝CB ＝22，又AB ＝4，满足AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .4分∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC .6分(Ⅱ)取AC 中点N ，连接MN ，DN ，DM ，CM在Rt △ADC 中，DN ⊥AC 且DN ＝2，又平面ABC ⊥平面ADC ， ∴DN ⊥平面ABC .在△ABC 中，MN ∥BC 且MN ＝12BC ＝2，由(Ⅰ)知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN 平面ADC ，∴MN ⊥DN ，即DM ＝DN 2＋MN 2＝2，8分在△ABC 中，AC ＝BC ＝22，AB ＝4，∴CM ＝2，∴S △DMC ＝34×4＝ 3.10分设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由V A －DMC ＝V D －AMC ， 得13×S △DMC ×h ＝13×S △AMC ×DN ， 解得h ＝263，∴点A 到平面DMC 的距离为263.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ) 由e ＝63， 得c a ＝63，即c ＝63a ， ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，8分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋110分要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为⎝⎛⎭⎫73，0.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R )．(Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1(其中e 为自然对数的底数)．【解析】 (Ⅰ)当b ＝1时，f (x )＝12ax 2－(1＋a 2)x ＋a ln xf ′(x )＝ax －(1＋a 2)＋a x ＝（ax －1）（x －a ）x 1分当a ≤0时，x －a >0，1x>0，ax －1<0f ′(x )<0此时函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间2分当a >0时，令f ′(x )＝0x ＝1a或a①当1a ＝a (a >0)，即a ＝1时， 此时f ′(x )＝（x －1）2x≥0(x >0)此时函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间3分②当0<1a<a ，即a >1时，此时在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)上函数f ′(x )>0， 在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上函数f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，a .4分③当0<a <1a，即0<a <1时，此时函数f (x )单调递增区间为(0，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，1a .6分 (Ⅱ)证明：当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1，只需证明：e x－ln x －1>0，(法一)设g (x )＝e x －ln x －1(x >0)， 问题转化为证明x >0，g (x )>0，由g ′(x )＝e x －1x ， g ″(x )＝e x ＋1x2>0，∴g ′(x )＝e x －1x为(0，＋∞)上的增函数，且g ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，g ′(1)＝e －1>0.8分 ∴存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g ′(x 0)＝0，e x 0＝1x 0， ∴g (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增.10分∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1≥2－1＝1，∴g (x )min >0，∴不等式得证.12分 (法二)先证：x －1≥ln x (x >0)，令h (x )＝x －1－ln x (x >0)，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＝0x ＝1，∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝0，∴h (x )≥h (1)x －1≥ln x ．8分 ∴1＋ln x ≤1＋x －1＝x ln(1＋x )≤x ，∴e ln(1＋x )≤e x ，10分∴e x ≥x ＋1>x ≥1＋ln x ，∴e x >1＋ln x ， 故e x －ln x －1>0.12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，1分 C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1. 5分(Ⅱ)设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22|2＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4|，当cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1－22，22.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(Ⅰ) 若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)， 即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，3分由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.5分 (Ⅱ) 原不等式等价于，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立， 即m ≥[|1－2n |＋|1＋2n |＋2]min ，8分而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2， 从而实数m ≥4.10分。
炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－4≤x－1≤4}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．2个B．3个C．1个D．无穷多个2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设i为虚数单位，m∈R，“复数z＝(m2－1)＋(m－1)i是纯虚数”是“m＝±1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A．22y±x＝0 B．22x±y＝0C．8x±y＝0 D．x±8y＝05．下列函数的最小正周期为π的是A．y＝cos2x B．y＝|sin x 2|C．y＝sin x D．y＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214 D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤mx 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P－ABC 中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n}是递增的等差数列，其中的a3＝5，且a1、a2、a5成等比数列．(Ⅰ)设b n＝1（a n＋1）（a n＋1＋1），求数列{b n}的前n项的和T n.(Ⅱ)是否存在自然数m，使得m－24<T n<m5对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离．已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，N(5，0)，点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆M上运动时，试证明|QM|＋|QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围。
2019-2020学年湖南师大附中高三（上）9月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若（1﹣2i）z＝5i，则|z|的值为（）A．3B．5C．D．【解答】解：由（1﹣2i）z＝5i，得，则|z|的值为．故选：D．2．（5分）集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]【解答】解：由M中不等式变形得：lgx＞0＝lg1，解得：x＞1，即M＝（1，+∞），由N中不等式x2≤4，解得：﹣2≤x≤2，∴N＝[﹣2，2]，则M∩N＝（1，2]，故选：C．3．（5分）若“＜0”是“|x﹣a|＜2”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．[1，3]C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【解答】解：由＜0得1＜x＜3，由|x﹣a|＜2得a﹣2＜x＜a+2，若“＜0”是“|x﹣a|＜2”的充分而不必要条件，则，即，得﹣1≤a≤3，故选：B．4．（5分）如图，E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF ＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A．60°B．45°C．0°D．120°【解答】解：取AC的中点G，连接EG，GF，由中位线定理可得：GE∥PC，GF∥AB且GE＝5，GF＝3∴∠EGF是异面直线PC，AB所成的角的补角，在△GBF中由余弦定理可得：cos∠EGF＝＝﹣∴∠EGF＝120°，即异面直线PC，AB所成的角为60°，故选：A．5．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n＝6，i＝2，S＝0满足条件i≤6，S＝0+＝，i＝4满足条件i≤6，S＝+，i＝6满足条件i≤6，S＝++，i＝8不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为++＝．故选：A．6．（5分）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．（5分）实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故m＝2；故选：A．8．（5分）在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为（）A．16B．8C．4D．2【解答】解：∵，由于P为BD上一点，所以，λ+4μ＝1，由基本不等式可得＝，当且仅当时，即当λ＝4μ时，等号成立，因此，的最小值为16．故选：A．9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．10．（5分）若正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则2a+b+c的最小值为（）A．2B．1C．D．2【解答】解：正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则：a2+ab+bc+ac＝（a+b）（a+c）＝2，所以：2a+b+c＝（a+b）+（a+c）＝2．故选：D．11．（5分）点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，所以e＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，f（0）＝1，且f（x）存在唯一的零点x°，且x°＜0，∴a＞0，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2）＝0时的解为x＝0，x＝；∴f（）＝a（）3﹣3（）2+1＝＞0，则a＞2．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝，故答案为：．14．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知，角α的终边上一点P的坐标为（﹣2，m），则sinα＝．【解答】解：∵已知，角α的终边上一点P的坐标为（﹣2，m），∴＝﹣，求得m＝，则sinα＝＝，故答案为：．16．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7＝a6+2a5，得到a6q＝a6+2，解得q＝﹣1，或q＝2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q＝﹣1舍弃，所以，q＝2．因为a m a n＝16a12，∴a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝16，∴2m+n﹣2＝24，∴m+n＝6，（m＞0，n＞0），∴+＝•（+）＝+＝+++≥+2＝+1＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝，【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m＝＝80；由此填写列联表如下；（3）根据（2）中的列联表，计算K2＝＝＝10＞6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD＝BD＝DC＝AB，E为PC中点．（I）证明：平面BDE⊥平面PBC；（II）若V P﹣ABCD＝，求点A到平面PBC的距离．【解答】证明：（I）PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，PD＝DC＝DB，∴PC＝PB＝BC，∵E是PC的中点，∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴PC⊥平面BDE，又PC⊂平面PBC，∴平面BDE⊥平面PBC．（Ⅱ）设PD＝CD＝BD＝＝a，∴S四边形ABCD＝＝a2，则V P﹣ABCD＝＝＝，∴a＝．∴PC＝PD＝BC＝a＝2，∴S△PBC＝＝，又S△ABC＝＝2，∴V P﹣ABC＝＝，设A到平面PBC的距离为h，则V A﹣PBC＝＝．∵V P﹣ABC＝V A﹣PBC，∴h＝，解得h＝．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求证：【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝a n+n2﹣1，∴a1+a2＝a2+22﹣1，∴a1＝3．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+n2﹣1﹣[a n﹣1+（n﹣1）2﹣1]，∴a n﹣1＝2n﹣1．∴a n＝2n+1，当n＝1时a1＝3满足上式，∴a n＝2n+1；（Ⅱ）证明：由（1）可得S n＝2n+1+n2﹣1＝n2+2n，∴，∴＝＝．所以命题得证．20．（12分）已知椭圆E：经过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝，则a2＝4b2，…（2分）将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2＝2，则a2＝8，…（4分）∴椭圆的方程为：；…（5分）（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y＝kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，•则△＝16（8k2﹣t2+2）＞0，x1+x2＝，x1x2＝，…（7分）又直线P A的方程为y﹣1＝（x﹣2），即y﹣1＝（x﹣2），…..（8分）因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），…（9分）由，则+＝0，化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t＝0，则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t＝0，…（10分）化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）＝0，•当且仅当t＝﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）＝2x﹣＝，x＜1，令g（x）＝﹣2x2+2x﹣a，则△＝4﹣4（﹣2）（﹣a）＝4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a＝0的两个根为x1＝，x2＝，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，1），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围[，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）＝0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a＝0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则＝＝＝﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：＝﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣＝（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），＝2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）＝2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）＝﹣2ln[x（1﹣x）]++，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）＝0，则﹣＞0，∴＞成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|＝，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）＝，当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x＝＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x＝∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）＝﹣+﹣1＝；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x＝＜2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max＝，∴m的取值范围为（﹣∞，]．。
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2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学（文科)得分:______________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝｛x错误!≤x－1≤4}和N＝{x｜x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．2个 B．3个 C．1个 D．无穷多个2．已知点P（tan α，cos α)在第三象限，则角α在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设i为虚数单位，m∈R,“复数z＝（m2－1）＋(m－1）i是纯虚数”是“m＝±1”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则其渐近线的方程为A．2错误!y±x＝0 B．2错误!x±y＝0C．8x±y＝0 D．x±8y＝05．下列函数的最小正周期为π的是A．y＝cos2x B．y＝|sin错误!|C．y＝sin x D．y＝tan错误!6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.错误!B.错误!C。
湖南师大附中2019届高考模拟卷(三)数学(文科)命题: 洪利民 王朝霞 钱华 审题;高三文科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ=B. A C C =C. B C B =D. A B C =2.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2i D. 2i - 3.设命题p ：2,420x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“m ≥1”是“命题p 为真命题”的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要4.若3sin()23πα+=，则cos2α= A. 12- B. 13- C. 13 D. 125.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为A.100000元B.95000元C.90000元D.85000元6.已知{}n a 是公差为12的等差数列，S n 为{}n a 的前n 项和.若a 2，a 6，a 14成等比数列，则S 5＝ A. 352 B.35 C. 252D.257.函数(1)()lg x f x -=的大致图象是8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于16cm 2的概率为 A. 23 B. 34 C. 25 D. 139.已知向量a ，b 满足a ＝2，且4(a b a λλ+=＞0)，则当λ变化时，a b ⋅的取值范围是A. (,0)-∞B. (,1)-∞-C. (0,)+∞D. (1,)-+∞10.设点F 1，F 2是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =则△PF 1F 2的面积等于A. B. C. D. 11.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是A. 海里B.C.D.12.已知f (x )与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，g (x )与函数y ＝e x 关于直线y ＝x 对称，若对任意x 1∈(0，1]，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是 A. 1(,]sin1-∞ B. 1[,)sin1+∞ C. 1(,]cos1-∞ D. 1[,)cos1+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.已知函数()ln f x x =的图像在点(1，f (1))处的切线过点(0，a )，则a ＝______。
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）文科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是（ ） A. A C φ⋂= B. A C C ⋃= C. B C B ⋂= D. AB C =【答案】C 【解析】 【分析】先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可．【详解】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B ⋂= 选C .【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A. i B. i - C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得． 【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0， 解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ． 故选：B ．点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x R ∈，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“1m ≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件， 选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若3sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A. 12-B. 13-C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=，所以21cos22cos -1=-3αα= . 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D 【解析】 【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入． 【详解】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，2018∴年的就医费用为8000475012750+=元，∴该教师2018年的家庭总收入127508500015%=元． 故选：D ．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B. 35C. 252D. 25【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以226214111151133,()()()2222a a a a a a a =+=++∴=， 因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=,选C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.7.函数(1)()lgx f x -=的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，【详解】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，选B .【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ）A.23B.34C.25D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9.已知向量a ，b 满足2a =，且()40a b a λλ+=>，则当λ变化时，a b ∙的取值范围是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞- C. (0,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积得1a b λ⋅=-即可求解【详解】由已知，(1)4a b λ-=，则2(1)4a a b λ-=⋅， 因为||2,0a λ=>，则11a b λ⋅=->-， 选D .【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题10.设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积是（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得128,6PF PF ==. 又124F F =，在12PF F ∆中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==.从而12sin 8F PF ∠==，所以11.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒海里方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（ ）A. 海里B.C.D.【答案】A 【解析】 如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B 、C 两点间的距离是10n mile ．考点：解三角形．12.已知()f x 与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，()g x 与函数xy e =关于直线y x =对称，若对任意(]10,1x ∈，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(,]sin1-∞B. 1[,)sin1+∞C. 1(,]cos1-∞D. 1[,)cos1+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先求f （x ）和g(x)的解析式，设()()ln h x g x x x x =-=-求其最大值-1，原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-，分离参数a,构造函数求其最值即可求解详解】依题意得：()sin(1)f x a x =-，()ln g x x =， 设()()ln h x g x x x x =-=-，(0,1]x ∈，1()10h x x'=-≥， 所以()h x 在(0,1]单调递增，所以max ()(1)ln111h x h ==-=-，故原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-， sin(1)0x -≤，1sin(1)a x ∴≤-，故只需max1sin(1)a x ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，而1y sin(1)x =-在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，而max 111sin(1)cos1sin 12x π⎛⎫== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以1cos1a ≤， 故选C .【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）. 13.已知函数()ln f x x =的图像在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____．【答案】32【解析】 【分析】求得函数f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．【详解】1()f x x '=-，1(1)2k f '∴==-， 又因为(1)1f =，切点是()1,1， 切线方程是：11(1)2y x -=--，13122a =+=. 故答案为32【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．14.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是_____ 【答案】()()22211x y -+-= 【解析】试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心(,1)C a .又圆与直线相切.所以可得4315a -=.解得12,2a a ==-，由圆心在第一象限.所以2a =.所以圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=.考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.15.若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π.则()4f π的值为______．【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （4π）的值． 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，所以2ππω=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数的图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，π6∴=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 426f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．16.已知正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在平面BCD 上的射影，则异面直线BM 与OA 所成角的余弦值为_______． 【答案】3【解析】 【分析】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，得O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点，得异面直线BM 与OA所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠.在Rt BMN ∆中求解即可【详解】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，则O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点， 则异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠. 设正四面体的棱长为2，则BM =2OA ==MN = 所以Rt BMN ∆中，cos 3MN BMN BM ∠===.故答案为3【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344,n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）212n n a -=（2）45p E mgh W ''==【解析】分析：（1）由1n =求得1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列{}n b 的前n 项和可用裂项相消法求得． 详解：（1）∵342n n S a =- ① 当1n =时，11342a a =-，∴12a = 当2n ≥时，11342n n S a --=- ② 由①-②得：1344n n n a a a -=- ∴14n n a a -=∴{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列∴1212?42n n n a --== （2）∵()()22111111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴12111111121335212121n n nT b b b n n n ⎛⎫=+++=⨯-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记x 表示总收人，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元 【解析】 【分析】（1）对收入x 的范围分类，求出对应的表达式即可。
