分数的基本性质及约分

第四章分数的意义和性质-约分【知识梳理】1.公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

重点提示：每个数的因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。

2. 求两个数最大公因数的方法。

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个。

（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大。

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

（4）短除法：先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

方法提示：用列举法和筛选法求两个数的最大公因数，一般适合较小的数，而分解质因数法和短除法适合任意的数。

3.最大公因数的表示方法。

例.20和12的最大公因数是4，可记作：（20，12）=4。

即用小括号将两个数括起来，中间用逗号隔开，小括号后面是等号，将它们的最大公因数写在等号的后面。

4.求两个数最大公因数的特殊情况。

（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。

（2）当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。

5.互质数的意义和判断方法。

公因数只有1的两个数叫做互质数。

判断两个数是不是互质数，要看它们是不是只有公因数1。

易错提示：互质的两个数不一定都是质数。

6.互质数的特殊情况。

（1）1和任意非0的自然数都是互质数。

（2）2和任何奇数都是互质数。

（3）相邻的两个非0自然数是互质数。

（4）相邻的两个奇数是互质数。

（5）不相同的两个质数是互质数。

7.互质数和质数的区别。

质数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互质数是对于两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互质数。

分数的基本性质、约分与通分知识梳理1、 分数的分类及基本性质（1） 分数的分类：真分数与假分数真分数：分子比分母小的分数称为真分数；例如：45 等。

假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数；例如：54,等。

带分数：带分数是假分数的另外一种表现形式；它由整数和真分数相加得到。

例：1+45 =145 。

（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的大小不变。

2、约分（1）约分的概念：把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值（大小）不变，这样的过程叫约分。

约分的依据为分数的基本性质。

如：2430 =45（2）最简分数的概念：分子、分母的公因数只有1的分数称为最简分数。

（3）最大公因数的求法 ①列举法例如：求12和18的最大公因数；12的因数有：1、2、3、4、6、12；18的因数有：1、2、3、6、12、18；12和18的公因数有：1、2、3、6；所以12和18的最大公因数是：6.② 短除法例如：求12和18的最大公因数（如下图所示）：12和18的最大公因数为：2×3=6 ③分解质因数法如：12=2x2x3,18=2x3x3,公有的质因数是2,3，所以12和18的最大公因数是2x3=6（4）实际应用当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。

3、通分（1）通分的概念：把分母不相同的分数化成和原来分数大小相等且分母相同的分数，这个过程叫通分。

通分的依据是分数的基本性质。

（2）最小公倍数的求法：①列举法例如：求6和8的最小公倍数。

6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。

②短除法例：用短除法求16和24的最小公倍数；用短除法求6、8、12的最小公倍数。

16和24的最小公倍数是：6、8和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48；2×3×2×2=24③分解质因数法例如：求6和15的最小公倍数。

分数的意义和性质【分数的产生和意义】1、单位“1”：一个物体、一个计量单位和一些物体都可以看作一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。

2、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。

【分数与除法的关系：】除法中的被除数相当于分数中的分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。

由于除数不能为0，所以分数中分母不能为0。

“求一个数A是(占)另一个数B的几分之几”的问题的解题办法：用一个数A除以另一个数B。

(A÷B=)。

【分数的分类：】（真分数和假分数）1、真分数的意义：分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数的特征：真分数﹤1。

2、假分数的意义：分子比分母大或等于分母的分数叫做假分数。

假分数的特征：假分数≦1。

假分数化成整数或带分数（1）假分数的分子等于分母或分子是分母的倍数时可以化成整数。

（2）假分数分子是分母的倍数时可以化成带分数带分数的意义：由整数(不包括0)和真分数合成的数叫做带分数。

带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加“又”字。

假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母。

当分子是分母倍数时，能化成整数;当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

【分数的基本性质：】1、分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

这叫做分数的基本性质。

2、利用分数的基本性质可以比较分数的大小、约分和通分。

还要注意：分母不变，分子扩大n倍，分数也跟着扩大n倍，分子缩小n倍，分数也跟着缩小n倍；如果是分子不变，分母扩大n倍，分数缩小n倍，分母缩小n倍，分数扩大n倍。

3、分数基本性质的运用：可以把不同分母的分数化成同分母分数，也可以把一个分数化成指定分母的分数。

【约分：】1、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数;其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。

分数知识点总结分数就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，所以小编给各位同学带来了分数知识点总结，请阅读下面内容。

分数知识点总结【1】1.把整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数.把1平均分成分母份,表示这样的分子份.2.分子在上分母在下,也可以把它当做除法来看,用分子除以分母,相反乘法也可以改为用分数表示3.分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；4.分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2.其中,1 分子等于被除数,－分数线等于除号,2 分母等于除数,而0.5 分数值则等于商5.小数化分数小数化分数,小数部分有几位分母就有几个零.例：0.45=45/100=9/20如是纯循环小数,循环节有几位,分母就有几个9.例：0.3（3循环）=3/9=1/3如是混循环小数,循环节有几位,分母就有几个9；不循环的数字有几位,9后面就有几个0,而分子是用循环节减去不循环的部分.例：0.12（2循环）=2-1/90=1/90注意：最后一定要约分.6.分类分数一般分成：真分数,假分数,带分数,百分数；或分成正分数和负分数.介绍正真分数的值小于1.分子比分母小,例：1/3假分数的值大于1,或者等于1.分子比分母大或相等（假分数包括带分数）例：5/3、7/7、带分数的值大于1.注意事项①分母不能为0,否则无意义.②分数中的分子或分母经过约分后不能出现无理数（如2的平方根）,否则就不是分数.③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数.（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数,分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）7.分数加减法1、同分母分数相加减,分母不变,即分数单位不变,分子相加减,最后要化成最简分数.例1：2/9+5/9=2+5/9=7/9例2：1/8+3/8=1+3/8=4/8=1/2例3：5/9-1/9=5-1/9=4/9例4：3/4-1/4=3-1/4=2/4=1/22、异分母分数相加减,先通分,即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数,改变其分数单位而大小不变,再按同分母分数相加减法去计算,最后要化成最简分数.例1：3/4+5/7=21/28+20/28=21+20/28=41/28例2：5/24+1/8=5/24+3/24=5+3/24=8/24=1/3例3：7/8-1/4=7/8-2/8=7-2/8=5/8例4：8/15-1/5=8/15-3/15=8-3/15=5/15=1/38.分数乘除法1、分数乘整数,分母不变,分子乘整数,最后要化成最简分数.例1：4/5×3=4×3/5=12/5例2：3/22×2=3×2/22=6/22=3/112、分数乘分数,用分子乘分子,用分母乘分母,最后要化成最简分数.例1：5/6×1/3=5×1/6×3=5/18例2：2/5×1/4=2×1/5×4=2/20=1/103、分数除以整数,分母不变,如果分子是整数的倍数,则用分子除以整数,最后要化成最简分数.例1：4/15÷2=4÷2/15=2/15例2：42/30÷7=42÷7/30=6/30=1/54、分数除以整数,分母不变,如果分子不是整数的倍数,则用这个分数乘这个整数的倒数,最后要化成最简分数.例1：3/8÷2=3/8×1/2=3×1/8×2=3/16例2：4/5÷6=4/5×1/6=4×1/5×6=4/30=2/155、分数除以分数,等于被除数乘除数的倒数,最后不是最简分数要化成最简分数.例1：2/3÷3/4=2/3×4/3=2×4/3×3=8/9例2：2/15÷1/3=2/15×3=2×3/15=6/15=2/5分数知识点总结【2】1、在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

分数的意义和性质单元知识点一、分数的意义1、一个物体或是几个物体组成的一个整体都可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。

2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

3、把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

4、分数和除法的关系是：分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数，分数的分数值相当于除法中的商。

二、真分数和假分数1、分子比分母小的分数叫真分数。

真分数小于1。

2、分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。

假分数大于1或等于1。

3、带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。

带分数大于1。

4、把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。

5、把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。

三、分数的基本性质1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

这叫做分数的基本性质。

四、约分1、几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。

最小公因数一定是1。

2、如果两个数都是质数他们的最大公因数是1。

3、相邻的两个数是最大公因数是1。

4、两个数是倍数关系，最大公因数是小的那个数。

5、公因数只有1的两个数叫做互质数。

6、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。

7、分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。

（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。

）最简分数不一定是真分数。

五、通分1、几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数叫作它们的最小公倍数。

没有最大的公倍数。

2、如果两个数都是质数他们的最小公倍数是它们的乘积。

3、相邻的两个数是最小公倍数是它们的乘积。

4、两个数是倍数关系，最小公倍数是大的那个数。

5、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

五年级数学（下）第八讲分数的性质和约分一、知识点回顾1、分数的基本性质：2、分数的基本性质的运用：可以把一个分数化成分母不同大小相同的分数。

3、公因数和最大公因数的概念：4、求两个数的最大公因数的方法：适合较小的数：列举法，集合法适合较小的数；分解质因数法，短除法。

5、互为质数：只有公因数是1的两个数叫做互质数。

6、求两个数的最大公因数的特殊情况：成倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，1是它们的最大公因数。

7、约分：8、最简分数：9、约分的方法：（1）逐次约分（2）一次约分10、约分技巧：（1）当分子是分母的因数时，约分时，分子与分母同时除以分子，约分后，分子是1. （2）当分数的分母和分子都是整十、整百数时、约分时可以划去分子和分母末尾同样多的0后再约分。

（3）当分数的分子和分母都是偶数时，可以先用2去约。

（4）遇到带分数时，只要把它的分数部分约分，整数照写下来。

10、用公因数解决实际问题二、典型、易错题型2、20（）＝25＝25÷（）＝（）÷18( )÷16 = ) (12= 28) ( = 41例2、85的分子增加5，要使分数大小不变，分母应怎样变化？练习：1、72的分子增加4 ，要使分数的大小不变，分母应增加多少？ 2、72的分母增加14 ，要使分数的大小不变，分子应增加多少？ 例3、如果a ×b=32,那么a 和32的最大公因数是（ ）。

练习：1、已知m=4n(m 、n 都是不为0)，那么m 、n 的最大公因数是( )。

2、如果A=2×3×7,B=2×3×5,那么A 和B 的最大公因数是（ ）。

例4、李阿姨家要在自家厨房长35dm,宽20dm 的一面墙上贴瓷砖，选用边长是几分米的正方形的瓷砖正好把这面墙贴满又不浪费瓷砖？最大的正方形瓷砖的边长是多少？练习：一块砖底面长22厘米,·宽是10厘米,要铺成一个正方形地面(不要折断,只能铺整砖)至少要多少块砖?三、巩固与提高一、填空：1、72的分子增加4 ，要使分数的大小不变，分母应增加( ). 2、在a 5这个分数中，当a 是（ ）时，分数值是1 ；当a 是（ ） 时，分数值是5,当a 是( )时,这个分数的分数单位是51。

教案标题：2.4 分数的基本性质（2023-2024学年数学五年级下册）一、教学目标1. 让学生理解分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

2. 培养学生运用分数的基本性质进行约分和通分的能力。

3. 通过实际操作和例题讲解，让学生掌握分数的基本性质在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 分数的基本性质2. 约分和通分的概念及方法3. 分数基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：分数的基本性质，约分和通分的方法。

2. 教学难点：分数基本性质在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过复习分数的概念和性质，引出本节课的主题——分数的基本性质。

2. 讲解：讲解分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

结合实例进行讲解，让学生更好地理解分数的基本性质。

3. 演示：通过实际操作，演示如何运用分数的基本性质进行约分和通分。

同时，讲解约分和通分的概念及方法。

4. 练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

在练习过程中，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 应用：通过实际问题的讲解，让学生掌握分数的基本性质在实际问题中的应用。

例如，计算分数的加减乘除、比较分数的大小等。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调分数的基本性质在实际问题中的重要性。

7. 作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和注意力。

2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成情况，了解学生对知识的掌握程度。

3. 课后作业：评价学生课后作业的完成情况，检验学生对课堂所学知识的运用能力。

4. 单元测试：通过单元测试，全面评估学生对本节课知识的掌握程度。

六、教学反思1. 及时总结课堂教学中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。

2. 关注学生的学习情况，针对不同学生的特点，调整教学方法和策略。