最新北师大版九年级数学上册《图形的相似》综合测试题及答案解析(精品试卷).docx

第四章图形的相似（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若23a b =，则a a b +等于（）A ．15B ．25C ．35D ．452．如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（）A ．81:16B ．27:12C ．9:4D ．3:23．已知，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），若线段2AB cm =，则线段AP 的长是（）Acm B ．1）cm C ．（3cm D ．（2cm4．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，4AB =，9AC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．165B ．169C ．5D ．95．如图，下列条件不能判定BDC ABC ∽ 的是（）A ．∠=∠BDC ABCB ．DBC BAC ∠=∠C ．2D C A B C C =⋅D ．AD AB AB BC=6．如图，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是（）A ．21：B ．13：C ．12：D ．31：7．如图，BE 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区BE 的长度是6米，则车宽FA 的长度为（）米．A ．117B ．127C ．137D ．28．如图，在平面直角坐标中，已知()()1030A D ，，，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若 1.5AB =，则DE 长为（）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．99．如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且60ADE ∠=︒，6AB =，2BD =，则CE 的长等于（）A ．1B ．43C ．53D ．210．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ∠=︒，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③13412DEC S =-△；④12DH HC =．则其中正确的结论有（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，则a ∠的度数是．12．如图，在ABC 中，DE CB ∥，DE 分别与AC AB 、相交于点D 、E ，若4=AD ，8DC =，则:AE EB 的值为．13．如图，在ABC ∆中，点P 为AB 上一点，连接CP .若再添加一个条件，使APC ACB ∆∆∽，则需添加的一个条件是.14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边0.6=DE 米，0.3EF =米，测得边DF 离地面的高度 1.5AC =米，10CD =米，则树高AB 为米．15．如图，已知ABC 和A B C ''△是以点()1,0C -为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点B 的对应点B '的横坐标为a ，则点B 的横坐标为．16．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，那么AF AC =．17．如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F ．若6AC =，则EF 的长为．18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 是AB 的中点，点M 是BC 的动点．将BEM △沿EM 翻折至PEM △．再将CFM △沿MF 翻折至QFM △，使点M ，P ，Q 在同一直线上，折痕MF 交射线CD 于点F ．则：（1）EMF ∠=°；（2）当点M 是BC 的中点时，DF 的长为．三、解答题（本大题共9小题，共66分）19．（1）若234x y z ==，且328x y z -+=，求234x y z -+的值；（2）若23a eb f ==，则a e b f +=+______．20．如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．若4AB =，8BC =，10EF =，求DF 的长．21．如图，在ABC ∆中，点D ，E 在AB 上，点G 在AC 上，连接,,DG CE EG ，DG EC EG BC ∥∥,．求证：AE AD AB AE=22．如图，线段BD 、CE 是ABC 的两条高．(1)求证：ACE ABD ∽；(2)若6AD =，5DE =，10AB =，求BC 的长．23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB 的上下边沿A ，B 上发出的光线经平面镜'MM 的上下边反射后射入人眼C 处．已知视力表AB 的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？24．图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．(1)在图①中，在ABC 的边BC 上找一点D ，连结AD ，使BAD BCA △∽△；(2)在图②中，在ABC 的边AB 上找一点P ，在边BC 上找一点Q ，连结PQ ，使BPQ BAC ∽，且相似比为1:2；(3)在图③中，在ABC 的边BC 上找一点E ，连结AE ，使2ABE ACE S S = ．25．在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ''△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B '，C '，请画出OB C ''△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M '的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）26．已知四边形ABCD 的一组对边AD DC ，的延长线相交于点E ．(1)如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，求证：••ED EA EC EB =；(2)如图2．若12060510ABC ADC CD AB ∠=︒∠=︒==，，，，CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．27．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，以BC 为边在ABC 右侧作正方形DEFG ．(1)问题提出：图I 中线段AF 与线段BE 的数量关系为（直接写出答案）；(2)深入探究：如图2，将正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转，连接AF BE ，．判断线段AF 与线段BE 的数量关系并说明理由；(3)拓展延伸：若2AC =，正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转的过程中，当点A ，E ，请直接写出线段BE 的长．28．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 为边BC 上一点，将CDE 沿DE 翻折得到C DE ' ，连接AC '并延长交DE 于点F ，交BC 于点G ．(1)设2ADC α'∠=，探究AFD ∠的大小是否为定值，请说明理由；(2)在DF 上截取FH FA =，连接AH ，求证：DH C F '=；(3)若54AC FG '=，5BE =，求菱形的边长．第四章图形的相似（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题1．若23a b =，则a a b +等于（）A ．15B ．25C ．35D ．452．如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（）A ．81:16B ．27:12C ．9:4D ．3:2【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4，∴两个相似三角形的相似比为3:2，∵相似三角形的周长比等于相似比，∴这两个三角形的周长之比为3:2，故选：D ．3．已知，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），若线段2AB cm =，则线段AP 的长是（）Acm B ．1）cm C ．（3cm D ．（2cm4．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，4AB =，9AC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．165B ．169C ．5D ．95．如图，下列条件不能判定BDC ABC ∽ 的是（）A ．∠=∠BDC ABCB ．DBC BAC ∠=∠C ．2D C A B C C=⋅D ．AD AB AB BC=【答案】D 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解析】解：A 、∵∠=∠BDC ABC ，C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；B 、∵DBC BAC ∠=∠，C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；C 、∵2D C A B C C =⋅，∴BC AC DC BC=，又∵C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；D 、AD AB AB BC=不能判定BDC ABC ∽ ，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.6．如图，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是（）A ．21：B ．13：C ．12：D ．31：【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到AB CD =，进而推得12BE CD =，再证明BEF DCF ∽△△，根据相似三角形的性质，即得答案．7．如图，BE 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区BE 的长度是6米，则车宽FA 的长度为（）米．A ．117B ．127C ．137D ．2则 1.6PM =，设FA x =米，由32FD FA =得，8．如图，在平面直角坐标中，已知()()1030A D ，，，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若 1.5AB =，则DE 长为（）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．99．如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且60ADE ∠=︒，6AB =，2BD =，则CE 的长等于（）A ．1B ．43C ．53D ．210．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ∠=︒，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③14DEC S =-△；④12DH HC =．则其中正确的结论有（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④ ≌，ABE ADE(SAS)∴．∠=∠ABE ADE∴∠=∠，CBE CDE，BC CF=在Rt ADC 中，根据勾股定理求出由面积公式得：1122AD DC AC ⨯=22DM ∴=，45DCA ∠=︒ ，二、填空题11．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，则a ∠的度数是．【答案】100︒/100度【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．【解析】解： 四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，70B B '∴∠=∠=︒，3601306070100C '∴∠=︒-︒-︒-︒=︒100C α'∴∠=∠=︒，故答案为：100︒．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．12．如图，在ABC 中，DE CB ∥，DE 分别与AC AB 、相交于点D 、E ，若4=AD ，8DC =，则:AE EB 的值为．【答案】1:2【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据DE CB ∥，由平行线分线段成比例定理可得::AE EB AD CD =，将已知条件代入即可求解．【解析】解：∵DE CB ∥，4=AD ，8DC =，∴::4:81:2AE EB AD CD ===．故答案为1:2．13．如图，在ABC ∆中，点P 为AB 上一点，连接CP .若再添加一个条件，使APC ACB ∆∆∽，则需添加的一个条件是.【答案】∠ACP =∠B 或∠APC =∠ACB 或AP ：AC =AC ：AB【分析】利用相似三角形的判定可求解．【解析】解：①当∠ACP =∠B ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠ACP =∠B ；②当∠APC =∠ACB ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠APC =∠ACB ；③当AP ：AC =AC ：AB ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加AP ：AC =AC ：AB ；故答案为∠ACP =∠B 或∠APC =∠ACB 或AP ：AC =AC ：AB ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边0.6=DE 米，0.3EF =米，测得边DF 离地面的高度 1.5AC =米，10CD =米，则树高AB 为米．15．如图，已知ABC 和A B C ''△是以点()1,0C -为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点B 的对应点B '的横坐标为a ，则点B 的横坐标为．【答案】32a +-【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出1112x a --=+是解题的关键．设B 点横坐标为x ，过B 作BM x ⊥轴于点M ，过B '作B N x '⊥轴于点N ，根据平行线分线段成比例定理得到CM BC CN B C ='，根据相似三角形的性质求出1112x a --=+，计算即可．【解析】设B 点横坐标为x ，如图，过B 作BM x ⊥轴于点M ，过B '作B N x '⊥轴于点NBM B N '∴∥，BCM B CN ∴'△∽△，CM BC CN B C∴'=，∵ABC 和A B C ''△是位似比为1:2的位似图形，即1112x a --=+，解得32a x +=-，B ∴点横坐标为32a +-．16．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，那么AC =．∵D为BC中点，DG BF∥∴12CG CDCF CB==，即：CG又E为AD的中点，BE的延长线交∴12AE AFAD AG==，即：AF17．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD相交于点O，E为BC边的中点，连接DE交AC于点F．若6AC=，则EF的长为．18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 是AB 的中点，点M 是BC 的动点．将BEM △沿EM 翻折至PEM △．再将CFM △沿MF 翻折至QFM △，使点M ，P ，Q 在同一直线上，折痕MF 交射线CD 于点F ．则：（1）EMF ∠=°；（2）当点M 是BC 的中点时，DF 的长为．（2）如图，点M 是BC 的中点时，由折叠知，,MB MP MC =∴MP MQ =,即,P Q 两点重合．△MPE 中，MPE B ∠=∠=【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质；由折叠得到角相等，线段相等是解题的关键．三、解答题19．（1）若234x y z ==，且328x y z -+=，求234x y z -+的值；（2）若23a eb f ==，则a e b f +=+______．20．如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．若4AB =，8BC =，10EF =，求DF 的长．【答案】15DF =【分析】本题考查了平行线分线段成比例；根据平行线分线段成比例列式求出DE ，再根据DF DE EF =+计算即可．【解析】解：∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF =，即4810DE =，∴5DE =，∴51015DF DE EF =+=+=．21．如图，在ABC ∆中，点D ，E 在AB 上，点G 在AC 上，连接,,DG CE EG ，DG EC EG BC ∥∥,．求证：AE AD AB AE=【答案】证明见解析【分析】根据平行线分线段成比例可得=AG AE AC AB 和AG AD AC AE=，即得AE AD AB AE =【解析】证明：∵EG BC ∥，∴=AG AE AC AB ，∵DG EC ∥，∴AG AD AC AE =，∴AE AD AB AE=．【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．22．如图，线段BD 、CE 是ABC 的两条高．(1)求证：ACE ABD ∽；(2)若6AD =，5DE =，10AB =，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)253【分析】（1）根据高线的定义，得到90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据A A ∠=∠，即可得证；（2）证明ADE ABC △△∽，列出比例式进行求解即可．【解析】（1）解：∵线段BD 、CE 是ABC 的两条高，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵A A ∠=∠，∴ACE ABD ∽；（2）∵ACE ABD ∽，∴AD AB AE AC =，∴AD AE AB AC=，∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽，∴AD DE AB BC =，即：6510BC=，∴253BC =．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB 的上下边沿A ，B 上发出的光线经平面镜'MM 的上下边反射后射入人眼C 处．已知视力表AB 的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？∵AB MM A B '''∥∥，CE A B ∴⊥''，CMM CA B ''' ∽，MM CD '24．图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．(1)在图①中，在ABC 的边BC 上找一点D ，连结AD ，使BAD BCA △∽△；(2)在图②中，在ABC 的边AB 上找一点P ，在边BC 上找一点Q ，连结PQ ，使BPQ BAC ∽，且相似比为1:2；(3)在图③中，在ABC 的边BC 上找一点E ，连结AE ，使2ABE ACE S S = ．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）在BC 上取一点D ，使得AD BC ⊥即可；（2）取AB 的中点P ，取格点T ，连接PT 交BC 于点Q ，线段PQ 即为所求；（3）取格点P ，Q ，连接PQ 交BC 于点E ，连接AE 即可，本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【解析】（1）解：如图①中，线段AD 即为所求；（2）解：如图2中，线段PQ 即为所求；（3）解：如图③中，点E 即为所求．25．在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ''△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B '，C '，请画出OB C ''△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M '的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）【答案】(1)见详解(2)()22M a b '--，【分析】（1）利用位似变换的性质，2OC OC '=，2OB OB '=，再结合()00O ，，()31B -，，()21C ，，即可分别作出B ，C 的对应点B '，C '，再连接即可作答；（2）探究坐标变化规律，可得结论．【解析】（1）解：如图，OB C ''△即为所求：（2）解：因为()31B -，，()21C ，，且由（1）的图可知()62B '-，，()42C '--，，所以变化后点()M a b ，的对应点M '的坐标为()22a b --，．【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．26．已知四边形ABCD 的一组对边AD DC ，的延长线相交于点E ．(1)如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，求证：••ED EA EC EB =；(2)如图2．若12060510ABC ADC CD AB ∠=︒∠=︒==，，，，CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)18【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解题关键．（1）证EDC EBA ∽ 即可；（2）过C 作CF AD ⊥于F ，AG EB ⊥于G ．可求出,,EF CF AG ；证EFC EGA ∽V V 得::EF EG CF AG =，即可求解；【解析】（1）证明：∵90ADC ∠=︒，180EDC ADC ∠+∠=︒，∴90EDC ∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴EDC ABC ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴EDC EBA∽，V V ∴::ED EB EC EA =，∴··ED EA EC EB =；（2）解：如图2中，过C 作CF AD ⊥于F ，AG EB ⊥于G ．在Rt CDF △中，60ADC ∠=∴30DCF ∠=°，∵5CD =，∴15,22DF CD ==CD CF =27．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，以BC 为边在ABC 右侧作正方形DEFG ．(1)问题提出：图I 中线段AF 与线段BE 的数量关系为（直接写出答案）；(2)深入探究：如图2，将正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转，连接AF BE ，．判断线段AF 与线段BE 的数量关系并说明理由；(3)拓展延伸：若2AC =，正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转的过程中，当点A ，E ，请直接写出线段BE 的长．【答案】(1)2AF BE=(2)2AF BE =，理由见解答过程(3)62-或62+【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，得2AF BC =，再由正方形的性质即可解答；（2）连接BD CD ，，根据ABD △和DEF 都是等腰直角三角形，可证明BDE ADF ∽，然后根据线段比例即可解答；（3）分当点F 在线段AE 上或点F 在线段AE 的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得AF ，再由（2）得出BE 的长度即可．【解析】（1）解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴2AF BC =，∵四边形DEFG 是正方形，∴BC GF BE ==，∴2AF BE =．故答案为：2AF BE =．（2）解：2AF BE =，理由如下：如图2，连接BD ，在Rt BAC 中，45BAC ∠=∴2sin 2BD BAC AD ∠==，在正方形DEFG 中，sin ∠∴BD DE AD DF=，∴45EDF BDA ∠=∠=︒，∴EDF BDF BDA ∠-∠=∠∴BDE ADF ∽，∴2AF AD ==，即AF 由（1）知，DE FE DG ==在Rt ADE △中，2,DE =∴222AE AD DE =-=∴23AF AE FE =-=-由（2）知，2AF BE =由（1）知，2DE FE DG ===，在Rt ADE △中，2DE =，∴2223AE AD DE =-=，∴232AF AE FE =-=+，由（2）知，2AF BE =，∴()223223226222222BE +++====⨯∴当正方形DEFG 旋转到A 、E 、F 三点共线时【点睛】本题主要考查四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．28．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 为边BC 上一点，将CDE 沿DE 翻折得到C DE ' ，连接AC '并延长交DE 于点F ，交BC 于点G ．(1)设2ADC α'∠=，探究AFD ∠的大小是否为定值，请说明理由；(2)在DF 上截取FH FA =，连接AH ，求证：DH C F '=；(3)若54AC FG '=，5BE =，求菱形的边长．【答案】(1)AFD ∠的大小为定值，理由见解析(2)见解析∵AD DC =，60ADC ∠=∴ADC △为等边三角形，∴AC AD =，60CAD ∠=︒∵FH FA =，60AFD ∠=︒∴AFH 为等边三角形，∴AF AH =，60FAH ∠=∵CAF CAH CAH ∠+∠=∠∴CAF DAH ∠=∠，∴AFC AHD ≌，∴DH CF =，∵CD C D ¢=，CDF C ∠=∠∴CDF C DF ' ≌，∴C F CF '=，∴DH C F '=；（3）解：如图：由54AC FG '=，可设5AC a ='则4FG a =，DH C F CF '==∵AFH 为等边三角形，∴60AHF AFH ∠=∠=︒，∴120AHD ∠=︒由（2）AFC AHD ≌，。

第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案1. 以下条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝45°，∠C＝26°，∠A′＝45°，∠B′＝109°B ．AB ＝2，AC ＝32，BC ＝2，A′B′＝6，A′C′＝9，B′C′＝12 C ．AB ＝1.5，AC ＝1514，∠A＝36°，A′B′＝2.1，A′C′＝1.5，∠A′＝36° D ．AB ＝2，BC ＝1，∠C＝90°，A′B′＝ 2，B′C′＝ 22，∠C′＝90° 2. a b ＝52，那么以上等式中，不一定正确的选项是( ) A ．2a ＝5b B.a 5＝b 2 C ．a ＋b ＝7 D.a ＋b b ＝723. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，假定线段DE ＝5，那么线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．204. 如图，▱ABCD 中，G 是BC 延伸线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，那么图中相似三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5. 如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，那么CF 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在△ABC 中，假设DE 与BC 不平行，那么以下条件中，不能判别△ADE ∽△ABC 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB7. 小刚在打网球时，为使球恰恰能过网(网高为0.9 m)，且落在对方区域离网5 m 的位置上，他击球的高度是2.25 m ，那么他应站在离网的( )A ．15 m 处B ．10 m 处C ．8 m 处D ．7.5 m 处8. 如图，D ，E 区分是△ABC 的边AB ，AC 上的一点，DE ∥BC ，AF ⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，且AD ∶AB ＝5∶12，那么AG AF的值为( ) A.125 B.512 C.712 D.759. 两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6 cm ，那么较大的三角形的周长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P11. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩展到原来的2倍，失掉△A′B′O.假定点A 的坐标是(1，2)，那么点A′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)12. 在比例尺为1∶2 000的地图上测得A ，B 两地间的图上距离为5 cm ，那么A ，B 两地间的实践距离为________m.13. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的值是________． 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金联系点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________．15. 如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，那么旗杆AB 的高为________m.16. △ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，且△ABC 的边AC 上的高为8，那么△DEF 的边DF 上的高为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 区分是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝AB ，△ADE 的周长为6 cm ，那么△ABC 的周长为________cm.18. 小华自制了一个简易的幻灯机，其任务状况如下图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，那么屏幕上小树的高度是________cm.19. 如图，△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，假定△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，那么点P ′的坐标是____________．20. x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求x ＋2y －z x －y ＋3z的值． 21. 如图，是小明设计用手电来测量古城墙高度的表示图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求古城墙的高度CD.22. 如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m 的中央，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰恰遮住电线杆，手臂长约60 cm ，小明能求出电线杆的高度吗？假定能，请你替小明写出求解进程．参考答案：1---11 BCCDB CDBDD C12. 10013. 214. 5－1215. 916. 1617. 1818. 6019. (－2x ，－2y)20. 解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴原式＝2k ＋6k －4k 2k －3k ＋12k ＝4k 11k ＝411. 21. 解：由题意可得△PAB∽△PCD，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8，故古城墙的高度为8 m. 22. 解：可以求出电线杆的高度．过点A 作AN⊥EF 于N ，交BC 于M.∵BC∥EF，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC ∽△AEF ，∴BC EF ＝AM AN，∵AM ＝0.6，AN ＝30，BC ＝0.18，∴EF ＝BC×AN AM ＝0.18×300.6＝9 (m )．故电线杆的高度为9米．。

北师版九上数学图形的相似检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分）1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）2如图，为估算某河的宽度，在河对岸岸边选定一个目标点错误!点B ,C ,D ，使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,点E 在BC 上，并且点A ,E ,D 在同一条直线上，若测得BE =20 m,EC =10 m,CD =20 m,则河的宽度AB 等于（ ）A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m3. (2016·兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

=( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

4.若875c b a ==，且错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D.314 5. (2016·重庆A 卷中考)△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶166.如图，错误!未找到引用源。

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，错误!未找到引用源。

分别交错误!未找到引用源。

于点错误!未找到引用源。

，则图中共有相似三角形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对A7.已知△错误!未找到引用源。

如图所示，则下列4个三角形中，与△错误!未找到引用源。

相似的是（ ）8. (2015·湖南株洲中考)如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( ) A.13 B.23 C.34 D.459.如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点E、D，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：33．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．175．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5B．2：3C．3：4D．3：27．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步．A．360B．270C．180D．908．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：89．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为km．12．如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为．13．如图，l1∥l2∥l3，直绒l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知＝，则＝．14．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且∠C＝∠C′＝90°，若AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，则A′C′＝．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D （0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是．16．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝2，AB＝6，AC＝9，则AE的长为．17．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．18．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有个．三．解答题（共8小题）19．若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值．20．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．21．如图，已知在ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？23．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和点D．（1）过点D作△DEF，使得＝＝＝，且点E、F均在格点上；（2）△ABC的面积是个平方单位，△DEF的面积是个平方单位．25．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，，则A，B，D不正确，故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∴＝＝．故选：A．3．解：∵2a＝5b，∴＝或＝或＝．故选：C．4．解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．5．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．7．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选：C．9．解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．10．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：3÷＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．12．解：设EB＝x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴＝，∵四边形AEFD是正方形，∴AD＝BC＝2，∴＝，解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），∴BE＝﹣1+，故AB＝2﹣1+＝1+，故答案为：1+．13．解：∵l1∥l2∥l3，∴AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，故答案为：．14．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∴A'C'＝＝6，故答案为6．15．解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．16．解：∵DE∥BC，∴，即，即，解得：AE＝6．故答案为：617．解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.518．解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝，即PD＝；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．三．解答题（共8小题）19．解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3，∴x＝y，z＝y，∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0．20．解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴＝，即＝，解得DE＝4．21．解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB＝，AC＝2，BC＝3，∴，∴，即，解得MN＝；当△ANM∽△ABC时，∵，即，解得MN＝．22．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB＝＝20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即，解得t＝；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴，∴，∴t＝，∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t ＝．如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t ＝．综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．23．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S＝50，△AOC＝18．∴S△BOD24．解：（1）如图所示，△DEF即为所求：（2）△ABC的面积＝＝4个平方单位，△DEF的面积＝＝8个平方单位，故答案为：4；825．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．。

一、选择题1．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S△ADC＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且//DE AC，若BE：CE=1:3，则DOE AOCS S:的值为（）A ．1 3B．14C．19D．1163．如图，已知,//,//ABC DF BC DE AC△，四边形DECF的面积为12,若DE经过ABC的重心，则ABC的面积为（）A．25B．26C．27D．284．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB <BC ．若AC=4，则BC 的长为（ ） A ．252+B ．252-C ．51- D ．51-6．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，点E 在CB 的延长线上，13BE AB =，过点E 作ED AC ⊥于D ．若AD ED =，6AC =，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．47．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个等边三角形C ．两个平行四边形D ．两个菱形8．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDCABCS S的比值是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．239．OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A 的坐标为(3,33，OAB 与OA B ''△关于点О成位似图形，且在点О的同一侧，OAB 与OA B ''△的位似比为1：2，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．()6,63-B ．()6,63-C ．()3,33--D ．()6,6310．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAECAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．2BC DE =B ．ADE ABC ∆∆C ．AD ABAE BC= D ．4ABC ADE S S ∆∆=12．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．14．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．15．如图，在ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ED DC ==．点F ，M 在AB 边上，且////FE MD BC ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则EFBN的值＝______．16．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠ADC ＝120°，以AC 为边作菱形ACC 1D 1，且∠AD 1C 1＝120°；再以AC 1为边作菱形AC 1C 2D 2，且∠AD 2C 2＝120°…；按此规律，菱形AC 2020C 2021D 2021的面积为_____．17．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(2,4)A -，(3,1)B -，(2,0)C -，以原点O 为位似中心，把ABC 缩小为原来的12，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标为__________．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________． 19．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，P 为CD 边上的动点，当DP =_________时，ADP △与BCP 相似．20．如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，6BC =，点E 在对角线BD 上，且1.8BE =，连结AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD=________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，已知点1,0A ，()0,3B ，()3,0C -，D 是线段AB 上一点，CD 交y 轴于E ，且2BCE AOB S S =△△，（1）求直线AB 的解析式： （2）求点D 的坐标；（3）猜想线段CE 与线段AB 的数量关系和位置关系，并说明理由； （4）若F 为射线CD 上一点，且45DBF ∠=︒，求点F 的坐标．22．如图，直线AB 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点()0,2B ，点()1,3C -在直线AB 上，连结OC ．（1）求直线AB 的解析式和OBC 的面积；（2）点P 为直线AB 上一动点，AOP 的面积与BOC 的面积相等，求点P 的坐标． 23．在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在AC 、AB 上，AG ⊥BC 与点G ，AF ⊥DE 于F ，∠EAF =∠GAC ．（1）求证：△AEF ∽△ACG ． （2）求证：∠ADE =∠B ． （3）若AD =3，AB =5，求AFAG．24．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使CE BC =，连接DE ，连接AE 交BD 于点G ，交CD 于点H ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）求证：2DG FG BG =⋅；（3）若10AB =，12BC =，求线段GH 的长度．25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为()()()2,1,1,3,4,1A B C ，若111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，且1A 的坐标为()4,2，请画出111A B C △，并给出顶点11,B C 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ．（1）A 点的坐标为 ，B 点的坐标为 ；（2）若M 为直线()0y mx m =>在第一象限上一点，连接MA ，MB ． ①当1m =时，ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，求点M 的坐标；②当1m ≠时，是否仍然存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点M 的坐标；如果不存在，说明理由；③当ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EFAD DF= ∵E 是BC 的中点， ∴EC=1122BC AD =∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1， ∴S △ADF ＝4，∵12EF DF = ∴DF=2EF∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2， ∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．2．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ，∴14DE BE AC BC ==，∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ． 【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．3．C解析：C 【分析】设重心为G ，则2BGGH=，根据三角形相似的判定与性质可得49BDE ABCS S =，19ADF ABCSS=，列出方程组并求解即可． 【详解】解：∵DE 经过ABC 的重心，设重心为G ，则2BGGH=，∵//,//DF BC DE AC ，∴△BDE ∽△BAC ，△ADF ∽△ABC ， ∴23DE BG BD AC BH AB ===， ∴13AD AB =， ∴49BDE ABCS S =，19ADF ABCS S=， ∴45BDEADFDECFSSS =+，18ADFBDEDECFSSS =+，∴41251128BDEADF ADF BED S SS S ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得12BDES=，3ADFS=，∴27△ABC S =， 故选：C ． 【点睛】本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线 ∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线 ∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OEAB OB=，即③结论正确；∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．5．B解析：B【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=12AC ，将AC=4代入即可得出BC 的长度． 【详解】解：∵点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＜BC ，∴AC ， ∵AC=4，∴BC=2．故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=512-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 6．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ，∴BE EF AB AC=， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．7．B解析：B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A 错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B 正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C 错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D 错误； 故答案选B ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．8．B解析：B【分析】利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．【详解】∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据位似图形的性质和△OAB 和△OA B ''的位似比为1:2，即可求出两三角形的相似比为1:2，即可根据点A 的坐标求出点A '的坐标；【详解】如图所示：作AC ⊥OB 于点C ，∵A(3，33，AC ⊥OB ，∴ OC=3， AC=33 ∴ 229276OA OC AC =+=+=，∵ △AOB 和△OA B ''的位似比为1:2，∴ OA '=2OA=12，即△AOB 和△OA B ''的相似比为1:2，∴ A '(6，3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似图形与位似图形的性质，正确理解位似图形是解题的关键． 10．D解析：D【分析】①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；【详解】 由已知得：2,2AC AD ==AC AD AB AE∴= BAC EAD ∠=∠BAE CAD ∴∠=∠BAE CAD ∴∽所以①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O则AOB POC ∠=∠BAE CAD ∽45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒所以②正确；BAE CAD ∽BEA CDA ∴∠=∠PME AMD ∠=∠PME AMD ∴∽MP ME MA MD∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴所以③正确；由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠PMA EMD ∴△∽90APD AED ∴∠=∠=︒18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒CAP CMA ∴∽2AC CP CM ∴=⋅ 2AC =22CB CP CM ∴=⋅所以④正确故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．11．C解析：C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意BC 是△ABC 的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE ，BC ∥DE ，∴A 正确，且∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴ΔADE ∼ΔABC ，且相似比=DE:BC=1:2，∴B 正确，S ΔABC =4S ΔADE ，且AD:AE=AB:AC ，∴D 正确，C 错误，故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．12．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==， 即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△， 因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =， 即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．二、填空题13．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解． 【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 15．【分析】先证明再根据三角形全等证明即可解答【详解】在和中故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理全等三角形的判定和性质等知识解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理全等三角形的判定和性质 解析：14【分析】 先证明13EF BC =，再根据三角形全等证明EF CN =即可解答． 【详解】////EF DM BC ，AE DE CD == 13EF AE BC AC ∴== 在EFD △和CND △中EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EFD △≌CND △EF CN ∴=:1:3CN BC =:1:4CN BN ∴=14EF BN ∴= 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质．16．【分析】根据题意可以求得菱形ABCD 的面积再根据题意可以知所有的菱形都相似即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E 如右图所示由已知可得∠ABC ＝解析：40412【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD 的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC 2020C 2021D 2021的面积．【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，如右图所示，由已知可得，∠ABC ＝120°，BC ＝1，∠CAB ＝30°，∴∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴CE ∴AC∴菱形ABCD 的面积是，∵AC AB ＝1，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C 2021D 2021（1）2]2020×4040【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．17．或【分析】根据在平面直角坐标系中如果位似变换是以原点为位似中心相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 即可求得答案【详解】解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-24）B （-31）C （-2解析：(1,2)-或(1,2)-【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．【详解】解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4），B （-3，1），C （-2，0），以原点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的12，得到△A'B'C′， ∴点A 的对应点A'的坐标为：（-2×12，4×12）或[-2×（-12），4×（-12）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案为：（1，-2）或（-1，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．18．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==， ∵AD=BC ， ∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ， ∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△， ∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．2或8或5【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB 根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度【详解】∵四边形ABCD 是矩形AD ＝4AB ＝10∴BC ＝AD ＝4CD ＝AB ＝10设D解析：2或8或5【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB ，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝10∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝10，设DP ＝x ，则CP ＝10－x ，分两种情况进行讨论：①当△ADP ∽△BCP 时，AD DP BC CP =，即4410x x =- ∴()4104x x ⨯-=，解得：5x =；②当△ADP ∽△PCB 时，AD DP PC BC=，即4104x x =-， ∴()1016x x -=解得：x=2或x=8，故答案为：2或8或5．【点睛】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x 的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位． 20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：3DF =，则CF CD DF =-=∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键． 三、解答题21．（1）33y x =-+；（2）36,55D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由见解析；（4）163,55F ⎛⎫-⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入03k b b +=⎧⎨=⎩，解方程组即可；（2）设()0,E t ，由1,0A ，()0,3B ，可求1OA =，3OB =，利用面积公式可求32AOB S =．由2BCE AOB S S =△△，可求3BCE S =，利用面积求法()13332t -⨯=，求出1t =，可求点()0,1E ．可求直线CD 的解析式为113y x =+．联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，求解即可；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：可证COE BOA △≌△， 由性质得CE AB =，OCE OBA ∠=∠，再求90CDA ∠=︒即可；（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ．由CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，可证12BF F △为等腰直角三角形，再证12BFG F BH △≌△（AAS ），可得2F HBG =，1BH FG =，设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F H BG m ==-，求出212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由点2F 在直线CD ：113y x =+上，构造方程1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解之即可． 【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入03k b b +=⎧⎨=⎩， 解得33k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为33y x =-+．（2）设()0,E t ，∵1,0A ，()0,3B ，∴1OA =，3OB =， ∴11313222AOB S OA OB =⋅=⨯⨯=△． ∵2BCE AOB S S =△△，∴3BCE S =， ∴()1133322BE OC t ⋅=-⨯=， 解得1t =，∴()0,1E ．设直线CD 的解析式为y=mx+n ，将C 、E 坐标代入得，-301m n n +=⎧⎨=⎩， 解方程组得131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，直线CD 的解析式为113y x =+． 联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩， 解得35x =，65y =，∴36,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：∵1OE OA ==，3OC OB ==，90COE BOA ∠=∠=︒，∴COE BOA △≌△，∴CE AB =，OCE OBA ∠=∠，∵90OBA BAO ∠+∠=︒，∴90OCE BAO ∠+∠=︒．∴90CDA ∠=︒，∴CE AB ⊥．（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ． ∵CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，∴∠BF 1D=∠BF 2D=45°，∴12BF F △为等腰直角三角形，∴12BF BF =，1290F BF ︒∠=，∴∠GBF 1+∠HBF 2=90°，∠HBF 2+∠HF 2B =90°，∴∠GBF 1=∠HF 2B∵∠G=∠H=90°，12BFG F BH △≌△（AAS ），∴2F H BG =，1BH FG =， 设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F H BG m ==-， 11131233BH FG m m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭． ∴212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∵点2F 在直线CD ：113y x =+上， ∴1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 解得65m =-．∴163,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查直线的解析式，三角形面积，直线的位置关系与线段数量关系，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，掌握直线的解析式的求法，利用三角形面积求点坐标，判断直线的位置关系与线段数量关系方法，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，解题关键是引辅助线构造图形．22．（1）直线AB 的解析式为：2y x =-+，S △OBC =1；（2）点P 的坐标为（1，1）或（3，-1）．【分析】解：（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，直线AB 过B 、C 两点，把B 、C 坐标代入直线得：32k b b -+=⎧⎨=⎩，解方程组得：12k b =-⎧⎨=⎩，直线AB 的解析式为：2y x =-+，由点C 与B 坐标可求CD=1，OB=2，利用面积公式可求S △OBC =1OB CD=12⋅； （2）∵点P 为直线AB 上一动点，求出A 点坐标和OA=2，设点P 的横坐标为x ，纵坐标为-x+2，由AOP 的面积与BOC 的面积相等，构造方程12212x ⨯⋅-+=，当21x -+=，P （1，1）；当21x -+=-时，P （3，-1），综合即可．【详解】解：（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，过B 、C 两点，把B 、C 坐标代入直线得：32k b b -+=⎧⎨=⎩， 解方程组得：12k b =-⎧⎨=⎩， 直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点()0,2B ，点()1,3C -，∴CD=1，OB=2，S △OBC =11OB CD=21=122⋅⨯⨯； （2）∵点P 为直线AB 上一动点， 当y=0时，2=0x ，x=2，OA=2，设点P 的横坐标为x ，纵坐标为-x+2， ∵AOP 的面积与BOC 的面积相等，∴S △AOP =1OA 2P y ⋅，S △OBC =1， ∴12212x ⨯⋅-+=， 21x -+=±，当21x -+=，x=1，12=1y ，P （1，1），当21x -+=-时，x=3，321y ，P （3，-1），AOP 的面积与BOC 的面积相等时点P 的坐标P （1，1）或（3，-1）．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，以及面积相等时动点P 坐标问题，掌握直线解析式求法，三角形面积公式，以及利用面积相等构造一元一次方程求动点P 坐标是解题关键． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）35AF AG =． 【分析】（1）根据条件AG BC AF DE ⊥⊥，，EAF GAC ∠=∠，可得AED ACB ∠=∠，又EAD BAC ∠=∠，证明即可；（2）由（1）知EAF ACG △∽△，证明得到∠AEF =∠D ，再利用公共角相等即可证明∠ADE=∠B ；（3）由（2）知35AD AEAB AC==，再证明EAF CAG，运用相似三角形对应边的比相等即可求解出结果．【详解】证明：（1）如图AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F ∴∠AFE=∠AGC=90°在ΔAEF与ΔACG中∠AFE=∠AGC=90°∠EAF=∠GAC∴ΔAEF∽ΔACG（2）由（1）知EAF ACG△∽△，∴∠AEF=∠C在ΔADE与ΔABC中∵∠AEF=∠D，∠DAE=∠BAC（公共角）∴∠ADE=∠B（3）由（2）知在ΔADE与ΔABC中∵∠AEF=∠C∠DAE=∠BAC（公共角）ΔADE∽ΔABC∴AE ADAC AB=由（1）知EAF ACG△∽△∴AE AFAC AG=∴AF ADAG AB=又已知AD=3，AB=5，∴35 AFAG=．【点睛】本题考查相似三角形判定和性质综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形判定和性质是解决本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）13 3【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得ADG EBG ∆∆∽，AGF EGD ∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到2DG FG BG =⋅；（3）由已知可得到DH ，AH 的长，又因为ADG EBG ∆∆∽，从而求得AG 的长，则根据GH AH AG =-就得到了线段GH 的长度．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，AD BC =，延长BC 到点E ，使CE BC =，//AD CE ∴，AD CE =，∴四边形ACED 是平行四边形；（2）证明：ABCD 是矩形，且//AD BC ，ADG EBG ∽， ∴DG AG BG GE=， 四边形ACED 是平行四边形，//AC DE ∴，AGF EGD ∽， ∴AG FG EG DG ， ∴DG FG BG DG=， 2DG FG BG ； （3）解：四边形ACED 为平行四边形，AE ，CD 相交点H ， 11522DH DC AB ，12AD CE ==， 在Rt ADH ∆中，222AH AD DH =+13AH， 在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2100576AE ， 26AE， ADG BGE ∽， ∴12AG AD EG BE ， 12AG GE ， 2GEAG ， 12633AGAE ， 26131333GH AH AG．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．25．见解析，11(),(2,6)8,2B C【分析】根据点A 、1A 的坐标求出位似比为2：1，再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案．【详解】111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，点A 坐标为()2,1，点1A 的坐标为()4,2∴111A B C △与ABC 的位似比为2：1∴如图所示：111A B C △即为所求；11(),(2,6)8,2B C .【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，解题关键是熟练掌握位似的性质．26．（1）()2,0，()0,4；（2）①M ()3,3；②不存在，见解析；③122m << 【分析】（1）由x=0时,y=4，可求B （0，4），由y=0时，24=0x -+解得=2x ，可求A （2，0）；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =．由勾股定理求5AB =ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形， 可求AM BM ==M 为直线y x =在第一象限上一点，45BOM COM ︒∠=∠=．过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，有MD MC =，可证△BMD ≌△AMC （ASA ），妨设点M 的坐标为(),a a ，利用DB=AC 可得42a a -=-，可求3a =． ②不存在．由1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，可得tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠，可证△BMD ∽△AMC ，可得OC 1MCBM DM AM CM ==≠，可得BM≠AM 即可； ③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，设E （x,y ）可求E （1,2），()0y mx m =>过点E 时，可得 m=2，证△FAE ∽△BAO ，求得AF=5，求得F （-3，0）设EF 解析式为：y kx e =+，可求直线FE ：13y 22x =+，当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12，结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形． 【详解】解：（1）一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ， 当x=0时,y=4，B （0，4），当y=0时，24=0x -+解得=2x ，A （2，0），故答案为：()2,0，()0,4；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =，AB ∴==ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，BM AM ∴=，22220AM AB ==，即AM BM ==点M 为直线y x =在第一象限上一点，即45BOM COM ︒∠=∠=，过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，则有MD MC =．∵90BMA ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°，∴△BMD ≌△AMC （ASA ），∴BD=AC ，不妨设点M 的坐标为(),a a ，则有OD OC MD MC a ====．BD AC OB OD OC OA ∴==-=-．42a a ∴-=-，解得3a =．点M 的坐标为()3,3；②不存在．∵1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠ ∴MC 1OC≠， ∵90BAM ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD ∽△AMC ， ∴OC 1MCBM DM AM CM ==≠， ∴BM≠AM ， ∴不存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形；③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，∴B （0，4），A （2，0），设E （x,y ），∴2012x +==，0422y +==， ∴点E 坐标为E （1,2）， ()0y mx m =>过点E 时，2=m ，∴m=2，∵AB 25=，∴5∵∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BEO ，∴△FAE ∽△BAO ， ∴FA AE =AB OA即5=225， ∴AF=5，∴FO=FA-OA=5-2=3，∴F （-3，0），设EF 解析式为：y kx e =+，过E 、F 两点，3=02k e k e -+⎧⎨+=⎩， 解得1232k e ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线FE ：13y 22x =+， 当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12， 结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形．【点睛】本题考查x ，y 轴上点的特征，勾股定理，三角形全等判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一次函数解析式求法，抓住BD=AC 构造等式， EF 与 直线y mx =交于E 以及平行是解题关键．。

第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。

北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下面不是相似图形的是( )A B C D2．如图，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O 为位似中心，若OD ＝12OD′，则A′B′∶AB 为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADE S 梯形DBCE 的值是( ) A.35 B.916 C.53 D.16254．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( ) A.AE AC ＝12B.DE BC ＝12C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D.△ADE 的面积△ABC 的面积＝135．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC>BC.下列说法中正确的有( ) ①AC ＝5－12AB ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC≈0.618AB. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为( ) A ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n)7．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AD 上，且AD 为∠BAC 的平分线．若∠ABE ＝∠C ，AE ∶ED ＝2∶1，则△BDE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1∶6 B ．1∶9 C ．2∶13 D ．2∶159．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG 的值为( ) A.23 B.712 C.12 D.51210．(2018·达州)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH 的值为( ) A.12 B.23 C.34 D ．1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18 cm ，则△A′B′C′各边长分别为________cm ，________cm ，________cm. 12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝________.13．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，已知S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝________.14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝________.15．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，那么AB ＝________.16．如图，阳光通过窗口AB 照到室内，在地面上留下一个亮区ED ，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE ＝2.7 m ，窗高AB ＝0.8 m ，窗口底边离地面的高度BC ＝1 m ，则亮区宽度ED ＝________.17．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BE ∥AD ，且BE 交CD 于点E ，∠AEB ＝∠C.如果AB ＝3，CD ＝8，那么AD 的长是________.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG .(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．20. (6分) 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．21. (6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(6分) ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．23．(6分) 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．24．(8分) 如图，为测量山峰AB的高度，在相距50 m的D处和F处分别竖立高均为2 m的标杆DC 和FE，且AB，CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后2 m到G处可以看到山峰A和标杆顶点C 在同一直线上，从标杆FE退后4 m到H处可以看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB 的高度及山峰与标杆CD之间的水平距离BD的长．25．(8分) 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD ＝∠B ＝∠BAE. (1)求证：AD BC ＝DEAC；(2)当点E 为CD 的中点时，求证：AE 2CE 2＝ABCD.参考答案1-5 ADBCC 6-10 BBDBC 11. 4，6 ，8 12. 1413. 2∶3 14. 4.5 15. 4 16. 1.2m 17. 15 18. 319. 解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠DAE ，∴∠ADF ＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF ∽△ACG(2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AFAG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AF FG＝120. 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD AB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝521. 证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ， 又CD 2＝BE·BA ，∴BD 2＝BE·BA ， 即BE BD ＝BDAB， 又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ， ∴ED AD ＝BDAB，∴ED·AB ＝AD·BD 22. 解：(1)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ， ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ，∴△BDE ∽△CAD (2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝12， ∵12AD·BD ＝12AB·DE ，∴DE ＝601323. 解：(1)如图所示，线段A 1B 1即为所求(2)如图所示，线段A 2B 1即为所求(3)由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形，∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝20 24. 解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD. 又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ， ∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ， ∴22＋BD ＝44＋50＋BD， 解得BD ＝50 m ， ∴2AB ＝22＋50， 解得AB ＝52 m25. 证明：(1)∵∠ACD ＝∠B ＝∠BAE ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAE ，∠AED ＝∠ACD ＋∠CAE ， ∴∠AED ＝△BAC.又∵∠DAE ＝∠B ， ∴△AED ∽△BAC ，∴AD BC ＝DEAC(2)∵∠ADE ＝∠CDA ，∠DAE ＝∠ACD ，∴△DAE ∽△DCA ，∴AE AC ＝DEAD .又∵DE ＝EC ，∴AE CE ＝AC AD ，∴AE 2CE 2＝AC 2AD 2.又∵∠DAC ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC 2＝AD·AB ， ∴AE 2CE 2＝AD·AB AD 2＝ABAD。

九年级数学上册第四章《图形的相似》测试卷-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.若两个相似三角形的面积之比为4 ：9，则它们对应角的平分线之比为（）A. 49B.32C.23D.622.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1c m，3c m，4c m，6c m，B. 1c m，3c m，4c m，12c m，C. 1c m，2c m，3c m，4c m，D. 2c m，3c m，4c m，5c m，3.下列说法中，正确的是（）A.相似三角形都是全等三角形B.所有的矩形都相似C.所有的等腰三角形都相似D.所有的等腰直角三角形都相似4.如图，DE// BC ，A D = 2BD，下列结论错误的是（）A. A E=2CEB. BC=2DEC. DE：BC=2：3D. C△A D E：C△ABC=2 ：35.在比例尺1：10000的地图上，相距2C m的两地的实际距离是（）A.200c mB.200 d mC.200 mD.200 km6.如图，l//l2//l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知32ABBC=，则DEDF的值为（）A. 32B.23.C.25D.357.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）8.△ABC与△DEF相似，且相似比是23.，反之，△DEF与△ABC的相似比是（）A. 23. B.32C.25D.499.如图，由下列条件不能判定△ABC与△A D E相似的是（）A. AE ACAD AB= B.∠B=∠A D EC. AE DEAC BC= D.∠C=∠A E D10.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D.22.5米二、填空题（每题4分，共28分）。

11.若1a+b,2ab b==则_____________。

北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习1、如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，过D 的直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F.求证：AEEC ＝AF BF.2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF＝BC AC.3、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F.(1)求证：∠DCP ＝∠DAP ；(2)如果PE ＝3，EF ＝5，求线段PC 的长．4、如图，在△ABC 中，D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.求证：BF ∶FC ＝1∶3.5、已知，如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的中线，AE ⊥AD ，AE 交CB 的延长线于点E.(1)求证：△BAE ∽△ACE ；(2)AF ⊥BD ，垂足为F ，且BE ·CE ＝9，求EF ·DE 的值．6、如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE 的值；7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G.(1)求证：AD 2＝DG ·BD ；(2)连接CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG.8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，作DE ⊥AC 于点E ，F 是AB 中点，连接EF 交AD 于点G.(1)求证：AD 2＝AB ·AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，则ADAG的值为_______．9、如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BD ＝a.(1)当∠APC ＝90°，a ＝14时，求BP 的长度；(2)若∠APC ＝90°时，有两个符合要求的点P 1，P 2，且P 1P 2＝2，求a 的值．10、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.11、如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G.求证：(1)∠DHO ＝12∠BCD ；(2)HG ·AE ＝2DE ·CG.12、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.13、已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．14、如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．15、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.答案1、证明：过B作EF的平行线交AC于点G，则AF∶BF＝AE∶EG，BD∶DC＝GE∶EC.∵BD＝DC，∴GE＝EC.∴AE∶EC＝AF∶BF.2、证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴BCBD＝ACCD，即BCAC＝BDCD.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴DFCF＝BDCD.∴DFCF＝BCAC.3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP.(2)∵CD ∥AB ，∴∠DCP ＝∠F. ∵∠DCP ＝∠DAP ，∴∠DAP ＝∠F. 又∵∠APE ＝∠FPA ， ∴△APE ∽△FPA. ∴AP PF ＝PE AP .∴AP 3＋5＝3AP . ∴AP ＝2 6.∴PC ＝2 6. 4、证明：∵AD ∶DC ＝1∶2， ∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG ∥AF 交BC 于点G ，则AD AC ＝FG FC ＝13，BE ED ＝BFFG .又∵E 是BD 的中点， ∴BE ＝ED. ∴BF ＝FG.∴BF FC ＝13，即BF ∶FC ＝1∶3.5、解：(1)证明：∵AD 是Rt △ABC 斜边上的中线， ∴AD ＝BD ＝CD. ∴∠C ＝∠DAC.∵AE ⊥AD ，∴∠EAD ＝90°＝∠BAC. ∴∠EAB ＝∠DAC.∴∠EAB ＝∠C. 又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE.(2)∵△BAE ∽△ACE ，∴AE EC ＝BEAE.∴AE 2＝BE ·CE ＝9.∵∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△EAF ∽△EDA. ∴AE DE ＝EF AE . ∴EF ·DE ＝AE 2＝9.6、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 7、证明：(1)∵AB ＝AC ，D ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB.∴AD ＝AE.在△BAD 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴∠ABD ＝∠ACE.∵DF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AF ＝CF. ∴∠GAD ＝∠ACE.∴∠GAD ＝∠ABD. ∵∠GDA ＝∠ADB ，∴△GDA ∽△ADB. ∴AD BD ＝DG DA.∴AD 2＝DG ·BD. (2)连接CG ，∵AD DB ＝DG AD ，AD ＝CD ，∴CD DB ＝DGCD .∵∠CDG ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC. ∴∠DBC ＝∠DCG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵∠ABD ＝∠ACE.∴∠ECB ＝∠DBC.∴∠ECB ＝∠DCG.8、证明：∵AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ， ∴∠ADC ＝∠AED ＝90°. ∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD. ∴AD CA ＝AEAD . ∴AD 2＝AC ·AE.∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB ·AE.9、解：(1)∵∠B ＝∠D ＝90°，∠APC ＝90°， ∴∠B ＝∠APC ＝90°，∠A ＋∠B ＝∠APC ＋∠CPD. ∴∠A ＝∠CPD. ∴△ABP ∽△PDC.∴BP CD ＝AB PD ，即BP 4＝614－BP. 解得BP ＝2或12.(2)设BP ＝x ，则PD ＝a －x.∵△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP CD ，即6a －x ＝x 4. ∴x 2－ax ＋24＝0，设方程的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝24，∵P 1P 2＝2，∴|x 1－x 2|＝2.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴a 2－4×24＝4，解得a ＝±10(负值舍去)．∴a ＝10.10、证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF.∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF.∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.11、11、证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝2∠BAO ，∠AOB ＝90°，OB ＝OD.∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°.∴OH ＝OD ，∴∠DHO ＝∠BDH.在Rt △BHD 中，∠BDH ＋∠ABO ＝90°，∵∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠BDH ＝∠BAO.∴∠DHO ＝∠BAO.∴∠BCD ＝2∠DHO.∴∠DHO ＝12∠BCD. (2)∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴OA ＝OC ，∠DAO ＝∠BAO.∵∠DHO ＝∠BAO ，∴∠DHO ＝∠DAO.∵∠AED ＝∠HEO ，∴∠AOH ＝∠ADE.∵∠AOH ＝∠COG ，∴∠ADH ＝∠COG.∵∠DAE ＝∠OCG ，∴△ADE ∽△COG.∴AE CG ＝DE OG. ∴AE ·OG ＝DE ·CG.在△AOH 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOH ＝∠COG ，AO ＝CO ，∠OAH ＝∠OCG ，∴△AOH ≌△COG(SAS)．∴OH ＝OG ，∴OG ＝12HG. ∴AE ·12HG ＝DE ·CG. ∴HG ·AE ＝2DE ·CG.12、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AE⊥BD，∴∠ABC＝∠BGE＝90°. ∵∠AEB＝∠BEG，∴△ABE∽△BGE.∴AEBE＝BEEG.∴BE2＝EG·EA.(2)由(1)得BE2＝EG·EA. ∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.13、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.14、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18. ∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H.∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQ QE. ∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12. 又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10.∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ.又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ.∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10.∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．15、解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10(cm)．∴BP ＝(10－2t)cm.∵PQ ∥AC ，∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011. (2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°.∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC.∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245. 即12·(10－2t)·45t ＝245. 解得t 1＝2，t 2＝3.∵0＜t ＜5，∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245cm 2.。

《第四章图形的相似》一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF=12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm22．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E 为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10C．或10 D．以上答案都不对3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．37．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：38．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF29．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条B．3条C．4条D．5条二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM 的面积为．14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD 与四边形DEFC的面积之比是．15．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为．16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FEC．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•FC．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．《第四章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF=12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===，=（）2=，==，求出△AFB的面积是48cm2，△ADF的面积是24cm2，求出△ABD的面积即可．【解答】解：∵E为DC的中点，∴DC=2DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∴===，=（）2=（）2=，==，∵S△DEF=12cm2，∴△AFB的面积是48cm2，△ADF的面积是24cm2，∴△ABD的面积是72cm2，∵DO=OB，∴△ADO和△ABO的面积相等，∴S△AOB的值为×72cm2=36cm2，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△AFB的面积和△ADF的面积．2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E 为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10C．或10 D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．【解答】解：（1）作∠APD=∠C∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC（2）作PE∥BC∴△APE∽△ABC（3）作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC（4）作PG∥AC∴△PBG∽△ABC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出==，再根据DF=DE﹣EF即可得出EF的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴==，=，即=，解得EF=4．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．7．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．A、B可用两角对应相等的两个三角形相似；D可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有C中P是BC的中点不可推断．故选C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系．利用△ABF∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解：根据射影定理可得BF2=AF×CF；∵△ABF∽△CEF，∴CF：AF=CE：AB=1：2∴BF2=AF×AF=AF2．故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质．9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH，EF的长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点E作HF⊥AB∵AM∥CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1∴EH=，EF=．∴阴影部分的面积=S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC=1﹣﹣﹣=．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．10．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条B．3条C．4条D．5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】常规题型；分类讨论．【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．【解答】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD．∴=．设AD=x，AB=y，则AE=x．则=，即：x2=y2．∴=2．∴x：y=：1．即原矩形长与宽的比为：1．故答案为：：1．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e= ．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解：∵===，∴=，∵2b+3d﹣5f=9，∴2a+3c﹣5e=×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM 的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根据四边形BCNM的面积=S△ABC﹣S△AMN即可解决问题．【解答】解：∵MN⊥AB，∴∠AMN=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ACB，∴==，∵AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，∵BC=15，∴3k=15，∴k=5，AC=20，AB=25，∴MN=6，AN=8，∴四边形BCNM的面积=S△ABC﹣S△AMN=×20×15﹣×8×6=126．故答案为126．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD 与四边形DEFC的面积之比是．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x•2x﹣，化简可求出x2=；∴S△AFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】先求出△AFG的面积，然后找出S△CEG=9S△AFG=3，再求出S△AFD=2S△AFC=2×=，S△DEB=S△AFD=，最后用面积差即可．【解答】解：AF∥BC，CG=3，GA=1，∴，∴FG=EF，∵AF∥BC，∴，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴ED=FD，∴FD=EF，∵=，∴S△AFG=S△AEG=，∵AF∥BC，∴△CEG∽△AFG，∴，∴S△CEG=9S△AFG=3，∵FG=EF，FD=EF，∴FD=2FG，∴DG=FG，∴S△AFD=2S△AFC=2×=，∵△BED≌△AFD，∴S△DEB=S△AFD=，∴S四边形BDGC的面积=S△CGE﹣S△BED=3﹣=．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△AFG的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF 2=GF •EF ．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴=， =，∴=， 即CF 2=GF •EF ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．18．（8分）已知：如图AD •AB=AF •AC ，求证：△DEB ∽△FEC ．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两三角形相似，进而得出即可．【解答】证明：∵AD •AB=AF •AC ，∴=，又∵∠A=∠A ，∴△DEB∽△FEC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，∴PD==，∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1，DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）证明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD•DM=2（3﹣）=6﹣2，∴AM2=AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2=AD•DM，∴═=，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•FC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC，则可得FD2=FB•FC．【解答】证明：连接AF，∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAE=∠FDE，∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAB=∠C，∵∠AFB是公共角，∴△AFB∽△CFA，∴，∴FA2=FB•FC，即FD2=FB•FC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=BC．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠AEC=∠ACB，又∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2=AE•AD，∵AE•AD=16，∴AC2=16，∴AC=4；（2）在△ABC中，BC===8，∵AD平分∠CAB交BC于点D，∴∠CAE=∠FAE，∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠AEF=90°，在△ACE和△AFE中，，∴△ACE≌△AFE（ASA），∴CE=EF，∵EG∥BC，∴EG=BC=×8=4．【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．。