误差原理第二章 误差的性质

2 2 12 2 n 2 i i 1 n

n

n
(2)测量列算术平均值的标准差 如果在相同条件下对同一量值作为多组重复的系列 测量,每一个系列测量都有一个算术平均值.由于随机误 差的存在,各个测量列的算术平均只也不相同,他们围绕 着被测量的真值有一定的分散,此分散说明了算术平均值 的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量 的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可作为算术 平均值不可靠性的判定标准. 算术平均值的标准差: x
2.残余误差判别法 对于有规律变化的系统误差,可根据测量列的各个残 余误差大小和符号的变化规律,由误差数据或者误差曲线 图形来判断有无系统误差. 3.残差和判别法 如果测量残差前后两部分和之差值显著的不为零,则可 以判别测量列含有线性系统误差. 4.标准差比较法 若
| u | 2 n 1
则怀疑测量列中存在系统误差.
第二章 误差的性质
测量误差的基本理论
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的定义：
测量所得数据与其相应的真值之差 --- 1）绝对误差
测量误差 = 测得值 - 真值 x = x – x0 客观真实值（未知）
① 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值
四。系统误差的消除
1.从根源上消除系统误差
这是最根本的方法,它要求测量人员对测量过程中 可能产生的系统误差的环节作仔细分析,并在测量前就将 误差从产生根源上加以消除. 2.采用修正方法消除系统误差 这种方法基于事先查明系统误差产生的来源及确 定其数值的大小,取与误差数值相等而符号相反的值作 为修正值,并以单个值、计算式、表格或曲线方式表示, 用来对测量数据作相应的修正,消除系统误差.
2.1 随机误差
一.随机误差产生的原因 随机误差是由为数众多而影响微小的因素造成,这些因 素对于测量结果的影响关系,人们还没有认识,或者还没有完 全认识. 这些因素表现在: (1)实验或者测量环境的微小波动:如温度、湿度、气压、 气流、磁场等因素； (2)实验或者测量手段工作状态的微小的波动:设备或者仪 器内部机械结构中运动副间的摩擦润滑作用力弹性变形; (3)测量者生理状况变化引起的感觉判别能力的波 动.
二.系统误差的种类 (1)不变的系统误差 在整个测量过程中,误差的量值和符号始终是固 定不变的系统误差. (2)线形变化的系统误差 在整个测量过程中,误差的量值随时间或空间延 续而成线性增减的误差. (3)多项变化的系统误差 有的系统误差变化的特性可用多项式描述.
(4)周期性变化的系统误差
在整个测量过程中,系统误差的出现值随时间或空间 的延续而具有周期性变化. (5)复杂规律变化的系统误差 整个测量过程中,系统误差难以用数学解析式来描 述,而一般采用经验公式来描述其变化规律的误差. 三.系统误差的发现 1.实验对比法 通过改变产生系统误差的条件而进行不同的条 件测量,来发现系统误差.

n
(3)别捷尔斯法 此法得到的算术平均值的标准差为:
1.253
x

| v
i 1
n
i
|
n n 1

lim x

ta
x
(4)极差法
设多次独立测得测量列为 l1, l2 ,, ln 测量列中最大及 最小测量值为 xmax 及 xmin ,它们的差值称为极差 wn ,即
wn xmax xmin
6、确定测量误差的方法
与被测对象有关的专业知识 --- 物理过程、数学手段 1）逐项分析法 对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要
项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限 反映出各种误差成分在总误差中所占的比重 --- 产生误差的主要原因 --- 减小误差应主要采取的措施 最严重情况 --- 结果和实际差别 --- 误差极限偏大 适用： ① 拟定测量方案 ② 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统 2）实验统计法
5.计算数据比较法 对同一量进行多组比较测量,得到很多数据,通过多 组计算数据比较,若不存在系统误差,其比较结果应满足 随机比较条件,否则可认为存在系统误差. 6.秩和检验法 7.用t分布判别法 8.误差发现方法分类 第一类,用于发现各组测量列组内的系统误差: 实验对比法、残余误差判别法、 残差和判别法、标准差比较法 第二类,用于发现各组测量之间的系统误差: 计算数据比较法、秩和检验法、 用t分布判别法
一.等精度测量直接测量时的数据处理 (1)求算术平均值 (2)求残余误差 (3)校对算术平均值及其残余误差 (4)判断系统误差 (5)求测量列单次测量的标准差
(6)判断含粗大误差的坏值,并剔除
若存在粗大误差的坏值,剔除之后,又需要重新求算术 平均值和标准差等,重复(1)至(5)步的计算,到不含 粗大误差为止.
极差法就是找出极差和测量列的均方根差之间的 关系,根据它来确定测量列的均方根差. (5)最大误差法

| i | max
' kn
一般情况下,被测量的真值为未知,不能按上式求 标准差,应按最大残余误差进行计算,其公式为:

| vi | max
' kn
四.测量的极限误差 1.单次测量的极限误差 当测量列的测量次数足够多和单次测量误差为 正态分布时,根据概率论的知识,可求得单次测量的极 限误差.
① 换位法/替代法
引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变 --- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消 已知量替换被测量 例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差 被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P a）X与P左右交换 --- 两次测量 的平均值 --- 消除系统误差 b）T与X 平衡 P与T平衡
x x0
m
p (x
i 1 i m i 1
i
x0 )
i
p
4.单位权的概念 单位权化的实质,是使任何一个量值乘以自身权数 的平方根,得到新的量值权数为1. 5.加权算术平均值的标准差


x

m

i 1
pi v 2
xi m
( m 1) pi
i 1
2.2 系统误差
lim x t
2.算术平均值的极限误差

lim x

ta
x
五.不等精度测量 1.权的概念
对各测量结果的可靠程度用一数值来表示,这数 值即称为该测量的“权”,记为p. 2.权的确定
每组测量结果的权仅与其相应的标准差平方成 反比,如果已知各组算术平均值的标准差,则可确定相 应权的大小. 3.加权算术平均值
X L2 T L1
P
L2 T L1
换位/替代法
测量结果 ② 抵消法 --- 异号相消法 改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差 正反两个方向对准标志线 不含系统误差－a，空程引起误差－ 正确值 --- a (d d ' ) / 2 顺时针 --- d a 逆时针 --- d ' a
n
| vi |
i 1
n
n A 2
当n为奇数时:
n n 1 | vi | ( 0.5) A ( )A 2 2 i=1
(3)各残余误差的平方和为最小. 3.等精度测量数据精度的评价 作为测量列精度的评价,有以下几种: (1)测量列中单次测量的标差 在等精度测量列中,单次测量的标准差按下式计算:
三.随机误差的评价 1.算术平均值 由于一切实验和测量过程中不可避免的存在随机误差, 因此,我们无法求得测量的真值,于是不得不对真值进行估计, 通过参数估计的方法得出估计值,用它作为被测量真值的近 似. 2.残余误差 我们来讨论残余误差的两个有用的性质: (1)各残余误差的代数和为零; (2)残余误差代数和绝对值应符合: 当n为偶数时:
一.系统误差产生的原因 (1)测量装置方面 在设计上采用近似的测量原理设计仪器,在仪器 制造上存在误差.
(2)测量方法方面 采用近似的测量方法或计算公式而导致的误差产生.
(3)测量环境方面 如温度、湿度、海拔等随时间或者空间变化而做 规律变化,受此影响产生的规律性变化的误差. (4)测量人员方面 如由于观测者的读数、记数时的误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
① 系统误差（System error） --- 有规律可循 由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生 装置、环境、动力源变化、人为因素 再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 ② 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生 偶然性（不明确、无规律） 概率和统计性处理（无法消除/修正） ③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 分离 --- 防止
1、系统误差的消除
① 找出规律 --- 修正值 ② 测量方法 --- 避免出现系统误差 1）分析系统误差产生的原因 --- 防止系统误差出现的最基本办法 测量前 --- 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施 2）引入修正值进行校正 --- 已出现的系统误差 理论分析/专门的实验研究 --- 系统误差的具体数值和变化规律 --- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等） --- 修正表格、修正曲线、修正公式 --- 按规律校正 3）检测方法上消除或减小 --- 实际测量中，采取有效的测量方法 --- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）