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第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3tt 附近单调递增，在4tt 附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想.练习（P9）函数33()4V r V (05)V的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r ，(1.2)0.2r .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t ，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t tt.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t tt，所以，(1)3.3h .这说明运动员在1t s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t时的导数.(5)(5)10s s t s t tt，所以，(5)10s .因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502kE J.4、设车轮转动的角度为，时间为t ，则2(0)kt t. 由题意可知，当0.8t 时，2. 所以258k，于是2258t .车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t 在 3.2t 时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t，所以(3.2)20.因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为201s .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x处切线的斜率大于零，所以函数在5x 附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x ，2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x 的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x 恒大于零，并且随着x 的增加，()f x 的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x 小于零，当x 大于零时，()f x 大于零，并且随着x 的增加，()f x 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x，所以，(2)3f ，(6)5f .2、（1）1ln 2y x ；（2）2xy e ；（3）4106y x x ；（4）3sin 4cos y x x ；（5）1sin33x y；（6）121yx .习题1.2 A 组（P18）1、()()2SS rr S r r r rr，所以，0()lim(2)2r S r r r r .2、()9.8 6.5h t t.3、3213()34r V V.4、（1）213ln 2y xx ；（2）1n xn xynxex e ；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x；（4）9899(1)y x ；（5）2x y e ；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x.5、()822f x x . 由0()4f x 有04822x ，解得032x .6、（1）ln 1y x ；（2）1yx .7、1xy.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834tA t .（2）(7)25.5A ，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19）1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h就越来越逼近函数cos y x .（3）sin y x 的导数为cos y x .2、当0y时，0x. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .xye ，所以01x y .所以，曲线在点P 处的切线的方程为yx .2、()4sin d t t . 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x xx ，所以()22f x x . 当()0f x ，即1x 时，函数2()24f x xx单调递增；当()0f x ，即1x 时，函数2()24f x xx 单调递减.（2）因为()xf x ex ，所以()1xf x e. 当()0f x ，即0x 时，函数()xf x e x 单调递增；当()0f x ，即0x 时，函数()xf x ex 单调递减.（3）因为3()3f x xx ，所以2()33f x x .当()0f x ，即11x 时，函数3()3f x xx 单调递增；当()0f x ，即1x 或1x 时，函数3()3f x xx 单调递减.（4）因为32()f x xx x ，所以2()321f x xx .当()0f x ，即13x 或1x 时，函数32()f x x xx 单调递增；当()0f x ，即113x时，函数32()f x xxx 单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a ，所以()2f x ax b .（1）当0a 时，()0f x ，即2b x a 时，函数2()(0)f x ax bx c a 单调递增；()0f x ，即2b xa 时，函数2()(0)f x axbxc a单调递减.（2）当0a 时，()0f x ，即2b x a 时，函数2()(0)f x ax bx c a 单调递增；()0f x ，即2b xa时，函数2()(0)f x axbxc a 单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x，所以2()612f x xx.当(0,2)x时，2()6120f x x x，因此函数32()267f x xx在(0,2)内是减函数.练习（P29）1、24,x x 是函数()yf x 的极值点，注：图象形状不唯一.其中2xx 是函数()y f x 的极大值点，4x x 是函数()y f x 的极小值点.2、（1）因为2()62f x xx ，所以()121f x x .令()1210f x x ，得112x.当112x时，()0f x ，()f x 单调递增；当112x时，()0f x ，()f x 单调递减.所以，当112x时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f . （2）因为3()27f x x x ，所以2()327f x x.令2()3270f x x，得3x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即3x或3x 时；②当()0f x ，即33x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x (,3)3(3,3) 3 (3,)()f x ＋0 －0＋()f x 单调递增54单调递减54单调递增因此，当3x 时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x时，()f x 有极小值，并且极小值为54.（3）因为3()612f x x x ，所以2()123f x x .令2()1230f x x，得2x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即22x 时；②当()0f x ，即2x 或2x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()f x －0 ＋0 －()f x 单调递减10单调递增22单调递减因此，当2x 时，()f x 有极小值，并且极小值为10；当2x时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x ，所以2()33f x x .令2()330f x x，得1x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即11x 时；②当()0f x ，即1x 或1x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x (,1)1(1,1) 1 (1,)()f x －0＋0 －()f x 单调递减2单调递增2单调递减因此，当1x 时，()f x 有极小值，并且极小值为2；当1x时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x 时，2()62f x xx 有极小值，并且极小值为149()1224f .又由于(0)2f ，(2)20f . 因此，函数2()62f x xx在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924. （2）在[4,4]上，当3x 时，3()27f x xx 有极大值，并且极大值为(3)54f ；当3x时，3()27f x xx 有极小值，并且极小值为(3)54f ；又由于(4)44f ，(4)44f .因此，函数3()27f x xx 在[4,4]上的最大值是54、最小值是54.（3）在1[,3]3上，当2x 时，3()612f x xx 有极大值，并且极大值为(2)22f .又由于155()327f ，(3)15f . 因此，函数3()612f x xx 在1[,3]3上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x xx 无极值.因为(2)2f ，(3)18f .因此，函数3()3f x xx 在[2,3]上的最大值是2、最小值是18.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x ，所以()20f x .因此，函数()21f x x 是单调递减函数.（2）因为()cos f x xx ，(0,)2x，所以()1sin 0f x x，(0,)2x.因此，函数()cos f x xx 在(0,)2上是单调递增函数. （3）因为()24f x x ，所以()20f x .因此，函数()24f x x是单调递减函数.（4）因为3()24f x xx ，所以2()640f x x.因此，函数3()24f x x x 是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x xx，所以()22f x x . 当()0f x ，即1x 时，函数2()24f x x x 单调递增. 当()0f x ，即1x 时，函数2()24f x x x 单调递减.（2）因为2()233f x xx ，所以()43f x x .当()0f x ，即34x 时，函数2()233f x x x 单调递增. 当()0f x ，即34x 时，函数2()233f x xx单调递减.（3）因为3()3f x xx ，所以2()330f x x .因此，函数3()3f x xx 是单调递增函数.（4）因为32()f x xxx ，所以2()321f x xx .当()0f x ，即1x 或13x时，函数32()f x x xx 单调递增.当()0f x ，即113x时，函数32()f x xxx 单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x 处，导函数()y f x 有极大值；（2）在1x x 和4xx 处，导函数()yf x 有极小值；（3）在3x x 处，函数()y f x 有极大值；（4）在5xx 处，函数()yf x 有极小值. 5、（1）因为2()62f x xx，所以()121f x x .令()1210f x x ，得112x.当112x 时，()0f x ，()f x 单调递增；当112x时，()0f x ，()f x 单调递减.所以，112x时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f .（2）因为3()12f x xx ，所以2()312f x x.令2()3120f x x，得2x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即2x或2x时；②当()0f x ，即22x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x (,2)2(2,2) 2 (2,)()f x ＋0 －0＋()f x 单调递增16单调递减16单调递增因此，当2x时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x 时，()f x 有极小值，并且极小值为16.（3）因为3()612f x x x ，所以2()123f x x .令2()1230f x x，得2x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即2x或2x时；②当()0f x ，即22x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x (,2)2(2,2) 2 (2,)()f x ＋0 －0＋()f x 单调递增22单调递减10单调递增因此，当2x 时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x时，()f x 有极小值，并且极小值为10.（4）因为3()48f x x x ，所以2()483f x x .令2()4830f x x，得4x.下面分两种情况讨论：①当()0f x ，即2x或2x 时；②当()0f x ，即22x 时.当x 变化时，()f x ，()f x 变化情况如下表：x (,4)4(4,4) 4 (4,)()f x －0＋0 －()f x 单调递减128单调递增128单调递减因此，当4x 时，()f x 有极小值，并且极小值为128；当4x时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]上，当112x 时，函数2()62f x xx有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f ，(1)9f ，所以，函数2()62f x xx在[1,1]上的最大值和最小值分别为9，4724.（2）在[3,3]上，当2x 时，函数3()12f x xx 有极大值，并且极大值为16；当2x时，函数3()12f x xx 有极小值，并且极小值为16.由于(3)9f ，(3)9f ，所以，函数3()12f x xx 在[3,3]上的最大值和最小值分别为16，16.（3）在1[,1]3上，函数3()612f x x x 在1[,1]3上无极值.由于1269()327f ，(1)5f ，所以，函数3()612f x xx 在1[,1]3上的最大值和最小值分别为26927，5.（4）当4x时，()f x 有极大值，并且极大值为128..由于(3)117f ，(5)115f ，所以，函数3()48f x xx 在[3,5]上的最大值和最小值分别为128，117.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x ，(0,)x .因为()cos 10f x x ，(0,)x 所以()sin f x x x 在(0,)内单调递减因此()sin (0)0f x xxf ，(0,)x，即sin xx ，(0,)x. 图略（2）证明：设2()f x xx ，(0,1)x. 因为()12f x x ，(0,1)x所以，当1(0,)2x时，()120f x x，()f x 单调递增，2()(0)0f x xxf ；当1(,1)2x时，()120f x x，()f x 单调递减，2()(1)0f x xxf ；又11()024f . 因此，20x x，(0,1)x . 图略（3）证明：设()1xf x ex ，0x . 因为()1xf x e，0x所以，当0x时，()10xf x e，()f x 单调递增，()1(0)0xf x ex f ；当0x时，()10xf x e，()f x 单调递减，()1(0)0xf x ex f ；综上，1xex ，0x . 图略（4）证明：设()ln f x xx ，0x. 因为1()1f x x，0x所以，当01x 时，1()10f x x，()f x 单调递增，()ln (1)10f x xxf ；当1x时，1()10f x x，()f x 单调递减，()ln (1)10f x xxf ；当1x时，显然ln11. 因此，ln xx .由（3）可知，1xex x ，0x ..综上，ln xxx e ，0x 图略2、（1）函数32()f x axbxcxd 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d ，所以2()32f x axbx c .下面分类讨论：当0a 时，分0a 和0a两种情形：①当0a，且230b ac时，设方程2()320f x axbx c的两根分别为12,x x ，且12x x ，当2()320f x ax bxc，即1x x 或2xx 时，函数32()f x axbxcxd 单调递增；当2()320f x axbx c，即12x xx 时，函数32()f x axbxcx d 单调递减. 当0a，且230b ac 时，此时2()320f x axbx c，函数32()f x axbxcxd 单调递增.②当0a，且230bac时，设方程2()320f x axbx c的两根分别为12,x x ，且12x x ，当2()320f x ax bx c，即12x xx 时，函数32()f x axbxcx d 单调递增；当2()320f x axbx c，即1x x 或2x x 时，函数32()f x axbxcxd 单调递减. 当0a，且230bac时，此时2()320f x ax bx c，函数32()f x axbxcx d 单调递减1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，lx ，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x，两个正方形的面积和为22221()()()(22)4416x l xS f x x lx l ，0x l .令()0f x ，即420x l，2l x. 当(0,)2lx时，()0f x ；当(,)2lx l 时，()0f x . 因此，2lx 是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去x四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x ，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x ax x ，02a x.（2）因为322()44V x xaxa x ，所以22()128V x x ax a . 令()0V x ，得2a x （舍去），或6a x.当(0,)6ax时，()0V x ；当(,)62a ax时，()0V x . 因此，6ax 是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax 时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R 由2VR h ，得2V hR.因此，2222()222V V S R R RR RR，0R .令2()40V S R RR，解得32V R.当3(0,)2V R 时，()0S R ；当3(,)2V R时，()0S R .因此，32V R是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，32222V V hR R .所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()ni i f x x a n，所以12()()ni i f x xa n.令()0f x ，得11ni i xa n，Rh（第3题）可以得到，11ni i xa n是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x 2m ，矩形的面积为28x a2m ，矩形的另一边长为()8a x x m因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x xxx，80ax令22()104a l x x，得84ax（负值舍去）. 当8(0,)4a x时，()0l x ；当88(,)4a a x时，()0l x .因此，84a x是函数()l x 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为84a m 时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q qq ，利润2211(25)(1004)2110088LR Cq q q q q ，0200q.求导得1214L q 令0L ，即12104q ，84q.当(0,84)q时，0L ；当(84,200)q 时，0L；因此，84q是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x ，180680x .令1()7005L x x ，解得350x.当(180,350)x时，()0L x ；当(350,680)x 时，()0L x .因此，350x 是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b ，54ba x .令845()0c ac bc L x x b b ，解得458a bx. 当45(,)8a b x a 时，()0L x ；当455(,)84a b bx 时，()0L x .当458a b x 是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42）83.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()iii i i s s v t n nnn n n，1,2,,i n L .于是111()nnniii i iiss s v t n 2112[()]niinnn22211111()()()2n n n n n n n nL 2231[12]2n nL 31(1)(21)26n n n n111(1)(1)232nn取极值，得1111115lim[()]lim[(1)(1)2]323nnnnii isv nn nn说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）234x dx. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3yx 与直线0x，2x ，0y 所围成的曲边梯形的面积4S .习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i ix dx.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167（m ）.3、证明：令()1f x . 用分点011iinax x x x x bLL将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x 上任取一点(1,2,,)ii n L 作和式11()nni i i b af xba n，从而11lim nb ani b adxba n ，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，121x dx 表示由直线0x，1x ，0y以及曲线21yx 所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1214x dx.5、（1）3114x dx. 由于在区间[1,0]上30x ，所以定积分31x dx 表示由直线0x ，1x ，0y和曲线3yx 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得113331111044x dx x dx x dx.由于在区间[1,0]上30x，在区间[0,1]上30x ，所以定积分131x dx 等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得20233311115444x dxx dxx dx由于在区间[1,0]上30x，在区间[0,2]上30x ，所以定积分231x dx 等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx 化为02331x dxx dx ，这样，3x 在区间[1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx ，23x dx ，进而得到定积分231x dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t 到6t （单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81vt .（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i （m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i （m ）（3）409.81tdt ；409.81d 78.48t t（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n 个分点，将它分成n 个小区间：[0,]ln ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n ，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n（1,2,i n L ），其长度为(1)il i l l xnnn.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l ln n，……，(2)[,]nll n上质量分别记作：12,,,n m m m L ，则细棒的质量1ni i mm .（2）近似代替当n 很大，即x 很小时，在小区间(1)[,]i l il n n上，可以认为线密度2()x x的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]ii l il n n 处的函数值2()i i . 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n上质量2()i i ilm x n（1,2,i n L ）. （3）求和得细棒的质量2111()nnnii ii i i l mm xn.（4）取极限细棒的质量21limnini l m n，所以2l mx dx ..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）42533；（4）24；（5）3ln 22；（6）12；（7）0；（8）2.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22；（3）9ln 3ln 22；（4）176；（5）2318；（6）22ln 2ee . 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、33sin [cos ]2xdx x .它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝22111[]222x ee ；（2）原式＝46113[sin2]224x ；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ；（3）21cos2sin2sin []224mx x mx mxdx dx m ；（4）21cos2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx m.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t ktkt tkttg g g g g g s t e dt t e t e t ekk kk kk.（2）由题意得0.2492452455000tte .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当0t 时，0.201te，从而5000495245t，因此，500052454949t. 因此50000.2749245 3.3610e，52450.2749245 1.2410e，所以，70.271.2410245 3.3610te.从而，在解方程0.2492452455000tte 时，0.2245te可以忽略不计.因此，.492455000t ，解之得524549t（s ）.说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、52533(23)[3]22s tdt tt （m ）.2、42403(34)[4]402Wx dx xx （J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92.2、2[]b b aaq qq q Wkdrk kkrrab.3、令()0v t ，即40100t. 解得4t. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为4240(4010)[405]80ht dtt t （m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则2(31)105tt t dttdt ，解之得5t. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为5235(31)[]130tdt tt （m ）.5、由Fkl ，得100.01k . 解之得1000k.所做的功为0.120.1010005005Wldl l（J ）.6、（1）令55()501v t t t，解之得10t . 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）10210551(5)[555ln(1)]55ln1112stdt tt t t（m ）.习题1.7 B 组（P60）1、（1）22a aax dx 表示圆222xya 与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222a aa ax dx（2）12[1(1)]x x dx 表示圆22(1)1x y 与直线yxO1y x 所围成的图形（如图所示）的面积，因此，212111[1(1)]114242x x dx.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax ，则2()2b h a ，所以24ha b .从而抛物线的方程为224h y x b.于是，抛物线拱的面积23220224422()2[]33bbh h S hx dxhxx bh bb.3、如图所示.解方程组223y x yx得曲线22yx 与曲线3yx 交点的横坐标11x ，22x . 于是，所求的面积为12221[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx .4、证明：2[]()R h R h RRMm Mm Mmh WGdr GGrr R Rh .第一章复习参考题A 组（P65）1、（1）3；（2）4y.2、（1）22sin cos 2cos x xxyx；（2）23(2)(31)(53)yx x x；（3）22ln ln 2x xyx x；（4）2422(21)x xyx .3、32GMm Fr.4、（1）()0f t . 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f 表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降.图略.5、因为32()f x x ，所以32()3f x x.当32()03f x x，即0x 时，()f x 单调递增；yxh b O（第2题）当32()03f x x ，即0x 时，()f x 单调递减.6、因为2()f x xpx q ，所以()2f x xp .当()20f x xp，即12p x 时，()f x 有最小值.由12p ，得2p. 又因为(1)124f q，所以5q.7、因为2322()()2f x x xc xcxc x ，所以22()34(3)()f x xcx c x c xc .当()0f x ，即3c x，或xc 时，函数2()()f x x xc 可能有极值.由题意当2x 时，函数2()()f x x x c 有极大值，所以0c.由于所以，当3c x时，函数2()()f x x x c 有极大值. 此时，23c ，6c.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB 的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为1y x ax a ，即1()1y x a a. 当0x时，1a ya ，即点B 的坐标是(0,)1a a . 因此，AOB 的面积21()212(1)AOBaaSS a aa a .令()0S a ，即2212()02(1)a aS a a .当0a ，或2a 时，()0S a ，0a不合题意舍去.x (,)3c3c (,)3cc c (,)c ()f x ＋0 －0 ＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增x(0,2)2(2,)由于所以，当2a ，即直线AB 的倾斜角为135时，AOB 的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)xm. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244xx xx .设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x xx xxx ，0 1.6x .令()0V x ，即26 4.4 1.60x x .所以，415x （舍去），或1x.当(0,1)x时，()0V x ；当(1,1.6)x时，()0V x .因此，1x 是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x 时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x(080)x .令()0f x ，即105000x ，50x .又(0)100000f ，(80)108000f ，(50)112500f .所以，50x是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x23168.396655.9072 6.34x x，5.0898.38x .()f x －0 ＋()f x 单调递减极小值单调递增令()0S x ，即23168.3966.340x，22.36x （负值舍去），623.727.8922.36.22.36x是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大.13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则21()20000100300200002y R q qq q (0400,)q q N .令0y ，即3000q ，300q.当300q 时，25000y ；当400q 时，20000y .300q是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）232；（2）22e ；（3）1；（4）原式＝2222200cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dxx x dx xx x x ；（5）原式＝2201cos sin 2[]224xx x dx.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、22 2.17、由Fkl ，得0.0490.01k . 解之得 4.9k.所做的功为20.30.30.10.14.9 4.90.1962lWldl （J ）第一章复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t. 所以，细菌在5t与10t 时的瞬时速度分别为0和410. （2）当05t 时，()0b t ，所以细菌在增加；当5555t时，()0b t ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为S .因为212Sr ，2lr r ，所以2l r.222111(2)(2)222l Srrlr r r，02l r.令0S ，即40l r ，4l r，此时为2弧度.4lr是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222rhR .因此，222231111()3333Vr hRh hR hh ，0hR .令22103VRh ，解得33h R.容易知道，33hR 是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当33h R 时，容积最大.把33hR 代入222rhR ，得63rR .由2R r ，得263.所以，圆心角为263时，容积最大. 4、由于28010k ，所以45k.设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805yx x x 960016xx，0x 令0y，即29600160x，24x .容易知道，24x 是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x时，960020(1624)()9412424（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360xyx x，50100x 令0y ，解得53x（km ／h ）. 此时，114y （元）容易得到，53x 是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x 时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4040442222[]2xxxx xe dxe dxe dxe eee.7、解方程组2y kx yx x得，直线y kx 与抛物线2yxx 交点的横坐标为0x，1k .抛物线与x 轴所围图形的面积231210111()[]23236x xS x x dx .由题设得1120()2k k S x x dxkxdx3122101()[]23k k k xxx kx dx x3(1)6k .又因为16S ，所以31(1)2k . 于是3412k. 说明：本题也可以由面积相等直接得到11122()()k k k xxkx dxkxdxxx dx ，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ，猜想1na .2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111OPQ R V 和222OP Q R V 分别是四面体111OPQ R 和222OP Q R 的体积，则111222111222O PQ R OP Q R V OP OQ OR V OP OQ OR .练习（P81）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a ，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；……………………大前提又因为0cq ，则0q ，则11n n nna cqq a cq；……………………………小前提所以，通项公式为(0)nn a cq cq的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD ，得到ACD BCD 的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 习题2.1 A 组（P83）1、21n a n ()n N .2、2F V E .3、当6n 时，122(1)n n ；当7n时，122(1)n n ；当8n时，122(1)n n ()nN .4、212111(2)nnA A A n L L（2n ，且n N ）.5、121217n n b b b b b b L L （17n ，且nN ）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE .所以四边形ABED 是平行四边形.DEBAC（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED是平行四边形.所以AB DE.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE，AB DC, 所以DE DC因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC是等腰三角形, 所以DEC C因为平行线的同位角相等又因为DEC与B是平行线AB和DE的同位角, 所以DEC B 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C，DEC B, 所以B C习题2.1 B组（P84）1、由12 3S，23 4S，34 5S，45 6S，56 7S，猜想12 nnSn.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin(cos sin)(cos sin)cos2，所以，命题得证.2、要证67225，只需证22(67)(225)，即证1324213410，即证42210，只需要22(42)(210)，即证4240，这是显然成立的. 所以，命题得证.3、因为222222222()()()(2sin)(2tan)16sin tana b a b a b，又因为sin(1cos)sin(1cos) 1616(tan sin)(tan sin)16cos cos ab22222222sin(1cos)sin sin161616sin tancos cos，从而222()16a b ab，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B不是锐角，则90B. 因此9090180C B.这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则232 5.所以22(23)(25)，化简得5210，从而225(210)，即2540，这是不可能的. 所以，假设不成立.。
【优化设计】2015-2016学年高中数学第二章推理与证明测评B 新人教A 版选修2-2（高考体验卷）（时间：90分钟满分：100分）第/卷（选择题 共30分）.一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项屮，只有一项是 符合题目要求的）1. （2014・山东高考）用反证法证明命题“设日,b 为实数，则方程f+ax+b 为至少有一个实根” 时，要做的假设是（）A. 方程x^ax+b=O 没有实根B. 方程d +ax+b=^｝至多有一个实根C. 方程玄七/初4）至多有两个实根D. 方程2 +ax+b 为恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程f 七/祕弍没有实根. 答案:A2. （2014・北京高考）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合 格”''不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其屮至少有一门成绩高于乙， 则称“学生甲比学生乙成绩好” •如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存 在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A. 2人B.3人C. 4人D. 5人解析:用A, B, C 分别表示优秀、及格和不及格.显然，语文成绩得A 的学生最多只有一人，语文 成绩得B 的也最多只有1人得C 的也最多只有1人所以这组学生的成绩为（AC ）, （BB ）, ©）满 足条件，故学生最多为3人.答案:B3. （2014 •湖北高考）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国 现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囲盖”的术:置如其周，令相乘也•又以高乘之， 三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长厶与高力，计算其体积了的近似公式V"h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率n 近似取为3.那么，近似公式冬厂力相当于将圆锥体 积公式中的兀近似取为（）A. B. C. D.解析：由题意可知：厶龙n r,即r=圆锥体积V=Sh=Ti rh=^・h 二Eh= Eh 、故，"〜，故选B. 答案:B4. （2013 •广东高考）设/为直线，a, 0是两个不同的平面.下列命题中正确的是（） 1// a, 1// 0,则0 /丄AL 〃，则 ci// p AL Q, 1// 则 a H Ba 丄0,/〃 a,则/丄〃解析:如图，在正方体A\BU -ABCD 中,对于A,设/为平面B 、BCC\，平面DCC\I 入为a, 0.若若若若• • • • A B c D〃平面B\BCG,几4〃平面DCC\D\,而平面B-BCG Q 平面DCC\Dx 二C\C;对于C,设/为平面初G?为a,平面DCQDx为0.AM丄平面ABCD, AA〃平面DCGE, 而平面彳彩Q平面DCCxDx=DC\对于D,设平面MBBx为a,平面初皿为0,直线/为〃G,平面乩仏S丄平面ABCD,〃G〃平面人肿儿而〃平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确.答案:B5.(2013・辽宁高考)已知点0(0, 0),/(0,切，〃(&,/)・若△创*为直角三角形，则必有( )A.b=aB.b=a +C.(b-a)刃D.Ib-a/^解析:若为直角，则4),即a+(.a~lj)• /电又日H0,故b=a+\若AOAB为直角时，则即bd得W;若，力仞为直角，则不可能.所以b~a~=O或W-0,故选C.答案:C6.(2013 •浙江高考)设日"GR,定义运算和“V”如下-：a.AZ?=aV b=若正数&, b, c,〃满足自方N4, c+dW4,则( )A.小方$2, c!\衣2B. af\冃2, eV&2C.汎匪2,c!\ 尺2D.昭匪2,(N G2解析：由题意知，运算“A”为两数中取小，运算“V”为两数中取尢由M24知，正数禺力中至少有一个大于等于2.由c+dW4知，c,"中至少有一个小于等于2,故选C.答案:C7.(2013 •陕西高考)设[划表示不大于x的最大整数,则对任意实数禺有()A.[-刃=一[刃B. =[x]C. [2力=2[刃D. [x] ^=[2x\解析:令x=\. 1, [-1. 1]--2,而-[1. 1]=-1,所以A错；令尸 V), --1,所以B错；令沪0.5, [2力=1,2 [刃-0,所以C错;故选D.答案:D8.(2013・四川高考)设函数/U)=(XR,e为自然对数的底数)，若存在bw [0, 1]使f(f(6))=b 成立，则爲的取值范围是()A. [l,c]B. [1, 1加]C. [e, 1 A?]D. [0, 1]解析：当沪0时，A A)二为增函数，・・・bw [0, 1]时，f® e[l,].•：不存在bW [0, 1]使/'(/(/?)) =b成立,故D错；当a=eA时,f{x)=t当bw [0, 1]时,只有6=1时,f3才有意义，而f(l)・：f(f(l)) h(0),显然无意义，故B, C错.故选A.答案:A9. （2012・浙江高考）设小0, Q0,c 是自然对数的底数，（）A. 若 d#2臼则 a>bB. 若c"吃自弋存3方,则a<bC. 若 Q -7.a=Q -Q ）b,则 a>bD. 若e"-2自弋"-3方,则a<b解析:考查函数尸为单调增函数，若eT2月耗存2力,则a=b\若 e'-f^a-e'-^by .\a>b.故选 A.答案:A10. （2012 •江西高考）观察下列事实Jxl+jyl=\的不同整数解U, y ）的个数为4, 吃的 不同整数解匕,0的个数为& Ixl+lyl^的不同整数解d,y ）的个数为12,…，则/x/^/y/^0的 不同整数解U,y ）的个数为（）A. 76B. 80C. 86D. 92解析：由已知条件得，/S/+/y® （用N*）的不同整数解（x,y ）的个数为4/7,所以％"/刃创的不 同整数解匕,y ）的个数为80,故选B.答案：B" 第〃卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上）11. （2014猜想一般凸多面体中F, K E 所满足的等式是 _________ .解析：因为5£T 么6-^-10=2,6+8-12-2,故可猜想F+V-E 电.答案:F+V-E 屯12. （2014 •课标全国/高考）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说:我没去过C 城市；丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .解析:根据甲、乙、丙说的可列表得答案:A13. （2015・山东髙考）观察下列各式:0 12 3 7T N N照此规偉，当时，.解析:观察各式有如下规律:等号左侧第门个式子有刀项，且上标分别为0,1,2,…，刀-1,第刀行每项的下标均为2/7-1.等号右侧指数规律为0,1, 2,…,n-1.所以第〃个式子为丹・・口7答案：4”T14.（2014 •陕西高考）己知f（x）=心0,若£3 寸3, fnA（x）.〃WN：则迟oiO 的表达式为 _________ •解析：依题意，f\ 3 =f\x） 5 fi （x） -/'（/； 3）=f\fAx）（%）） -/；…，由此可猜测fn（x）故fl 014（X）=答案：15.（2015・福建高考）一个二元码是曲0和I组成的数字串X必…几Swro,其中xg, 2,…，/;）称为第&位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1,或者由1变为0）.已知某种二元码加及…&的码元满足如下校验方程组:其中运算□定义为：0口0电0口1二1, ino-i, IDI^O.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第&位发牛码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定R等于 _____________ .解析：若1WEW3,则%4=1,益=1,从4）, X7=l,不满足X A\J x->\j Xe\J X7 =0;若k=4,则二元码为1100101,不满足&□加□^□^4）;若k5则二元码为1101001,满足方程组，故kW.答案：52、解答题（本大题共5小题，共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题8分）（2015・安徽高考）设圧N*, 乂是曲线尸尹％在点（1, 2）处的切线与x轴交点的横坐标.（1）求数列｛幻的通项公式；（2）记畫二,证明:TA⑴解:_/=（尹勢1）'知⑦进',曲线尸尹兮］在点（1,2）处的切线斜率为2"2,从而切线方程为厂2二（2刀⑵a-i）.令yR,解得切线与x轴交点的横坐标^=1（2）证明:由题设和（1）中的计算结果知T…=当n=l时,2.当心2时，因为，所以TQX・・・X.综上可得对任意的刀EN*,均有TA17.（本小题8分）（2014・山东高考）在等差数列⑷中，己知公差d吆,役是色与禺的等比中项.⑴求数列｛/｝的通项公式；（2）设仏二,记TF—by+b「k+bL・・+C\Yb,求T n.解：⑴由题意知仙刼2包（&+3小，即（曰］⑵，二日| 3⑹,解得ai=2t所以数列{&}的通项公式为ag(2)由题意知b n==n{n+\) y 所以T n=~\ X2 X3 -3 X4 K -1) n n・(刀丸).因为bkbn=2 5+\),可得当刀为偶数时，T F(-b\+b} -bbb) +(-by\+b》用+\2卜••也n二,当n为奇数时，Tn=Tn-\+(-b\ =-刀("1) 所以T尸18.(本小题10分)(2014 •北京高考)如图，在三棱柱ABC-A、B・C\中侧棱垂直于底面，初丄滋AA L AC之,BC=\,£尸分别是46],必的中点.(1)求证:平面/甌丄平面RBCG;⑵求证：GF〃平面ABE;(3)求三棱锥FT%的体积.⑴证明：在三棱柱ABC-A、B\G中，滋丄底面ABC.所以〃〃丄又因为彳〃丄滋所以丄平面B\BCG.所以平面/处丄平面B\BCC\.(2)证明：取初的屮点G连接滋％因为鸟尸分別是仏,BC的中点，所以FG//AC,且FG二AC.因为AC/ZA^P L AC=AC h所以FGHEC\、QFG=EC\.所以四边形FGEC、为平行四边形.所以C\F〃EG.又因为仅；u平面ABE, CZ平面ABE,所以GF〃平面ABE.⑶解：因为昇4二AC毛、BC=\y ABA_ BC,所以AB=所以三棱锥£-/兀的体积V二S®・AAi=Xl X2 =19.(本小题12分)(2015 •江苏高考)已知集合尤二{1, 2, 3},匕二{1, 2, 3,…,n}(用N「，设S n={ (a, 6) /日整除〃或方整除a, a^X, bw K}.令f(〃)表示集合S所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当77^6时，写出fS)的表达式，并用数学归纳法证明.解:(1)/(6)-13.(2)当Q6 时，f{ri)-(Z N*).下面用数学归纳法证明：曲/?-6时，A6) -6^2^13,结论成立；②&设刀叹做26)时结论成立，那么n=^\时，弘】在，的基础上新增加的元素在(1,^1), (2, E), (3, &")中产生，分以下情形讨论：1)若kn -6 f,则Q6 (t-l)拓,此时有才(后1)寸、(力+3刃&2幵3=(&十1) +2匕结论成立；2)若k+\ =6纤1,则k=6衣此时有f(/l)=/U) +]=XZ++\=(斤冋)也+,结论成立；3)若k+\=6t也,则&巧"1,此时有-(A^l)也+,结论成立；4)若k+\ -6 f/3,则Q6T2,此时有f(k+\)二代D也二k也+也二(k+\)也+,结论成立；5)若k+\ =6珅,则k弋纣3,此时有f(/l)=/U)也二k也 + 也=(后1) +2结论成立；6)若好1-6 Z巧，则W-6Z何,此时有/UH) =f(/d +1 二后2卄1-(A^l)也+,结论成立.综上所述，结论对满足说的自然数/?均成立.20.(本小题12分)(2015・陕西高考)设£3是等比数列1, x,/,…，H的各项和，其中xX), /址N"2・(1)证明:函数F©二f© -2在内有且仅有一个零点(记为X”)，且心=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为弘(力，比较尤3和和(劝的大小，并加以证明.(1)证明：龙3 =fXx) -2-1 -f-x+x卄-2,则尺⑴=n-\ A),Fn=\.+i+~2=-2=-<0,所以尺(方在内至少存在一个寥点.又Fn' g =1 *2卄••如厂为,故尺(方在内单调递增，所以尺(方在内有且仅有一个零点Xn・因为心是F©的零点，所以F"g -0,即-2N),故Xn=.⑵解法一：由假设,曲3三设力(/) =f n{x) -gn{x) -1 +x+x i+丈-、Q0.当X=\时，fn{x) =gn{x) •当炷1时，力'(0二1松x*・・+nx 1 -若0 <1,力’3 >x A +2 • +nf'1 =x A -% 10.若x>\, h' 3 <x x ^2.Y rl+nx 1 ~x xxm.所以力3在(o, 1)上递增，在(1,9)上递减, 所以力3 <7?(1) =0,即fn3 <gn{x).综上所述，当尸1时，fn^X) =gn(x)；当/Hl 吋，fAx) <gn{x).解法二：由题设，尤(X)=1 +x+殳i+f,曲3 5 XX).当X=\时,fn{x) =gn{x).当好1时,用数学归纳法可以证明fAx)幺3・(D^\ n=2时，左3 -和3 =-(1 -方丸，所以花3 @3成立.②^设刀才(炉2)时，不等式成立，即fdx) 那么，当n=k+\时，fkd (%) =fk{x) +芒 <gk{x)又gz 3 一令九(0 (后1) x+\ (Q0),则A/(0 二k(k+\) 2-k(k+\) x ~x =k{k-t\) x1 (xT). 所以，当0<¥<l时,h k f {x) <0,力O 在(0, 1)上递减；当21 时,A/U)>0,A*a)在(1, Y>)上递增.所以/?X^)>&(1)弐)，从而g“ (x) A故偽3 Q M(X),即门二k+\时不等式也成立.由溯②5卩对一切心2的整数，都有fn3 <g" •解法三:由己知,记等差数列为&},等比数列为{bH 2,…，"1・贝!] Q\ ~b\ -1, 3na =bnA =x\所以越=1，(£T) • (2WWW/?),bk=x * (2W&W 刀)，令niiXx) =a k-bk=\. +_丈 \ Q0 (2W 圧刀)，当/=1 时，arbk,所以=g n{x).当xf 1 时,nk f(x) =• nx '一(£T) x2=(Zr~l) x ~ (x "" T).而2WkWn,所以k~l A), n~k+\ Ml.若0 <¥<1, <1, ' (%) <0;若QI, x~K^>\, nik'3 A),从而M在(o,D上递减，在(1, T 上递增, 所以加(方 >皿(1) =0.所以当〃以)且〃工1时,日Q力(2W底〃)，又Q\ ~b[, &n+\=bn+\、故f n{x) <gXx).综上所述，当x=\时，f n{x) =gn{x)；当/Hl 时,f n{x) <gn3 .我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立.2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=--即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++ 即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略.2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++.那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++.111(1)12k k =--++ 121111122k k k k +-=-⋅=-+++所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++.那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯.[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++ 1(1)(2)(3)6k k k =+++ 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n 个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1OA OB OC OD AA BB CC DD''''+++=''''用“体积法”证明： OA OB OC OD AA BB CC DD ''''+++'''' O BCD O CDA O DAB O ABCA BCDB CDAC DABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BCD A BCDVV --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=（第5题）即证 tan tan 1tan tan A B A B +=-由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=-.那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+-.1(1)(1)[2(1)1]k k k k +=-+-+- 1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分； （2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++ 部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立.2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=， 代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++-222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。
选修第二章一、选择题．用反证法证明命题“如果>>，那么>”时，假设的内容应是( )．＝．<．≤．<，且＝[答案]．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程＋＋＝(≠)有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )．假设、、都是偶数．假设、、都不是偶数．假设、、至多有一个偶数．假设、、至多有两个是偶数[答案][解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．．实数、、不全为等价于( )．、、均不为．、、中至多有一个为．、、中至少有一个为．、、中至少有一个不为[答案][解析]“不全为”的含义是至少有一个不为，其否定应为“全为”．．下列命题错误的是( )．三角形中至少有一个内角不小于°．四面体的三组对棱都是异面直线．闭区间[，]上的单调函数()至多有一个零点．设，∈，若，中至少有一个为奇数，则＋是奇数[答案][解析]＋为奇数⇔，中有一个为奇数，另一个为偶数．故错误．．设、、∈＋，＝＋－，＝＋－，＝＋－，则“>”是、、同时大于零的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件[答案][解析]若>，>，>，则必有>；反之，若>，也必有>，>，>.因为当>时，若、、不同时大于零，则、、中必有两个负数，一个正数，不妨设<，<，>，即＋<，＋<，两式相加得<，这与已知∈＋矛盾，因此必有>，>，>.．若、∈*，则“>”是“＋＋＋>＋”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[答案][解析]＋＋＋－－＝(－)＋(－)＝(－)(－)>⇔(\\(>>))或(\\(<<))，不难看出>⇒＋＋＋>＋，＋＋＋>＋⇒>.二、填空题．“＝且＝”的否定形式为[答案]≠或≠[解析]“且”的否定形式为“¬或¬”．．和两条异面直线、都相交的两条直线、的位置关系是[答案]异面[解析]假设与共面于平面α，则，，，都在平面α内，∴⊂α，⊂α，这与，异面相矛盾，故与异面．．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形中，可以有＝，＝，例如将平行四边形沿对角线折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题．(·吉林高二检测)已知，，，∈，且＋＝＋＝，＋>，求证：，，，中至少有一个是负数[解析]假设，，，都是非负数，因为＋＝＋＝，所以(＋)(＋)＝，又(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋，所以＋≤，这与已知＋>矛盾，所以，，，中至少有一个是负数．。
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 推理与证明 2. 3数学归纳法一、学习任务1. 了解数学归纳法原理．2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3. 掌握数学归纳法的特点和步骤．二、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1. 用数学归纳法证明 第一步应验证 A ．B ．C ．D ．C ⩾(n ⩾3,n ∈N )3n n 3()n =1n =2n =3n =4答案：2. 用数学归纳法证明，"当 为正奇数时， 能被 整除"时，第二步归纳假设应写成A ．假设 时正确，再推证 正确B ．假设 时正确，再推证 正确C ．假设 时正确，再推证 正确D ．假设 时正确，再推证 正确Bn +x n y n x +y ()n =2k +1(k ∈)N ∗n =2k +3n =2k −1(k ∈)N ∗n =2k +1n =k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2n ⩽k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2答案：解析：3. 用数学归纳法证明等式 的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 A ．B ．C ．D ．B时，等式左边 ．1+3+5+⋯+(2n −1)=(n ∈)n 2N ∗n =k n =k +1()1+3+5+⋯+(2k +1)=k 21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +1)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +2)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +3)2∵n =k +1=1+3+5+…+(2k −1)+(2k +1)=+(2k +1)=k 2(k +1)24. 设平面内有 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 条直线的交点个数为 ，则 与 的关系是 A ．B ．C ．D ．k k f (k )f (k +1)f (k )()f (k +1)=f (k )+k −1f (k +1)=f (k )+k +1f (k +1)=f (k )+k +2f (k +1)=f (k )+k高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2020年人教A版选修2-2课后练习（9）一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）1.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是()A.B.C.D.二、解答题（本大题共11小题，共132.0分）2.已知点P和点Q是曲线y=x2−2x−3上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：(1)割线PQ的斜率；(2)点P处的切线方程．3.求下列函数的导数：(1)y=2xtanx；(2)y=(x−2)3(3x+1)2；(3)y=2x lnx；(4)y=x2．(2x+1)34.一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式F=GMm给出，其r2中M为地球质量，G为常量，求F对于r的瞬时变化率．5.一杯80℃得热红茶置于20℃的房间里，它得温度会逐渐下降，温度T(单位℃)与时间t(单位min)之间的关系由函数T=f(t)给出，请问(1)f′(t)的符号是什么？为什么？(2)f′(3)=−4得实际意义是什么？如果f(3)=65(℃)，你能画出函数在点t=3时图象得大致形状吗？3的单调区间．6.求函数f(x)=√x27.已知函数f(x)=x2+px+q，试确定p，q的值，使得当x=1时，f(x)有最小值4．8.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，求c的值．9.如图，过点P(1,1)作直线AB，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B.当直线AB在什么位置时，△AOB的面积最小？最小面积是多少？10.用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．11.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多？(不到100人不组团)12.打印纸型号设计原理如图，某种长方形打印纸的面积为623.7cm2，要求上、下页边距分别为3.17cm，左、右页边距分别为2.54cm.问宽与高分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)？(可使用计算器)请搜集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选：D．由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．2.答案：解：(1)∵y=x2−2x−3，当x=1时，y=−4，当x=4，y=5；∴P(1,−4)，Q(4,5)；∴割线PQ的斜率为k PQ=5−(−4)4−1=3；(2)∵y=x2−2x−3，∴y′=2x−2；当x=1时，k P=2×1−2=0；∴点P处的切线方程为y−(−4)=0，即y+4=0．解析：(1)根据函数的解析式求出P、Q的坐标，计算PQ的斜率；(2)利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程．本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的概念与应用问题，是基础题目．3.答案：解：(1)y′=2tanx+2xsec2x；(2)y′=3(x−2)2(3x+1)2+6(x−2)3(3x+1)=3(x−2)2(3x+1)(5x−3)；(3)y′=2x ln2⋅lnx+2xx；(4)y′=2x(2x+1)3−6x2(2x+1)2(2x+1)6=2x−2x2(2x+1)4．解析：根据基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式进行求导即可．本题考查了基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：解：F=GMmr2，∴F′=−2GMmr3．解析：根据导数的物理意义即可求出．本题考查了导数的物理意义，以及瞬时速度的问题，属于基础题．5.答案：解：(1)f′(t)<0，其意义为在t附近函数值的瞬时变化率，f′(t)为负数，说明f(t)的值在t附近递减，原因是红茶的温度在下降．(2)∵f′(3)=−4，∴f′(3)=−4的实际意义是：在3min附近红茶温度约以4℃/min的速率下降．∵f(3)=65(℃)，f′(3)=−4，∴函数在t=3处为递减，可以作一个简单的图象．解析：(1)根据题意可得f′(t)的符号为负值．(2)根据导数的几何意义进行判断即可．本题主要考查导数的概念以及几何意义，比较基础．6.答案：解：∵f′(x)=23√x3，x>0时，f′(x)>0，x<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增．解析：通过求导得出f′(x)=23√x3，解不等式，从而得出函数的单调区间本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．7.答案：解：根据题意，函数f(x)=x2+px+q，其二次项系数为1；若当x=1时，f(x)有最小值4，则f(x)=(x−1)2+4=x2−2x+5，又由f(x)=x2+px+q，则p=−2，q=5．解析：根据题意，由二次函数的性质分析可得f(x)=(x−1)2+4=x2−2x+5，结合f(x)的解析式分析可得答案．本题考查二次函数的性质，注意配方法的使用，属于基础题．8.答案：解：∵f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=3x2−4cx+c2，且函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，∴f′(2)=0，即c2−8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为：6．解析：由已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则必有f′(2)=0，且在x=2的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，据此即可求出c的值．本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于0即可解出c的值，由于本题明确指出在该点出取到极大值，故需对求出的c的值进行验证，如本题，c=2必需舍去，做题时要注意考虑周详．9.答案：解：，过点P(1,1)作直线AB，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B，设直线的斜率为k，则直线的方程为y−1=k(x−1)，可得A(1−1k,0)，B(0,1−k)，k<0．故△AOB的面积为S=12(1−1k⋅)(1−k)=12(2−k−1k)≥1+2√(−k)⋅1(−k)=3，当期仅当k=−1时，等号成立，故当直线的斜率等于−1时，△AOB的面积最小，最小面积是3．解析：由题意求出直线在坐标轴上的截距，可得三角形的面积，再利用基本不等式，求出它的最小值．本题主要考查直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于基础题．10.答案：解：设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x+0.5)m，此容器的高为ℎ=14.84−x−(x+0.5)=3.2−2x(0<x<1.6)．于是，此容器的容积为V(x)=x(x+0.5)(3.2−2x)=−2x3+2.2x2+1.6x，其中0<x<1.6．由V′(x)=−6x2+4.4x+1.6=0，得x=1或x=−415(舍去)．因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；x∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．所以，当x=1时，函数V(x)有最大值V(1)=1×(1+0.5)×(3.2−2×1)=1.8(m3)，ℎ=3.2−2= 1.2(m)．即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8m3．解析：设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值．本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识，是中档题．11.答案：解：设有x人参加旅行团，收费共y元，则由题意有：y=1000x−5(x−100)x，(100≤x≤180)．整理函数关系式得：y=−5x2+1500x=−5(x−150)2+112500．所以当x=150人时，旅行社的收费最多为112500元．解析：设有x人参加旅行团，收费共y元，由题意有y=1000x−5(x−100)x，(100≤x≤180).由此能求出结果．本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12.答案：解：设打印纸的宽为x，则长为623.7x．所以打印面积为S(x)=(x−2×2.54)(623.7x−2×3.17)=655.9072−(6.34x+3168.396x)．∵6.34x+3168.396x≥2√6.34x⋅3168.396x=283.46．当且仅当6.34x=3168.396x，即x=22.36时取等号，此时623.7x=27.89，最大打印面积为372.45cm2．故宽为22.36，长为27.89时打印面积最大．解析：可以先设宽分别为x，然后表示出打印部分的长和宽，进而表示出打印部分的面积，再利用基本不等式求最值即可．本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．。
3V 34新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原 油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数h (t ) 在t = t 3 附近单调递增，在t = t 4 附近单调递增. 并且，函数h (t ) 在t 4 附近比在t 3 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1 的思想.练习（P9）函数r (V ) = (0 ≤ V ≤ 5) 的图象为根据图象，估算出r '(0.6) ≈ 0.3 ， r '(1.2) ≈ 0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在t 处，虽然W (t ) = W (t ) ，然而W 1 (t 0 ) -W 1 (t 0 - ∆t ) ≥ W 2 (t 0 ) -W 2 (t 0 - ∆t ) .0 1 0 2 0-∆t -∆t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ∆h = h (1+ ∆t ) - h (1) = -4.9∆t - 3.3 ，所以， h '(1) = -3.3 .∆t ∆t这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在t = 5 时的导数.∆s = s (5 + ∆t ) - s (5) = ∆t +10 ，所以， s '(5) = 10 . ∆t ∆tt 因 此 ， 物 体 在 第 5 s 时 的 瞬 时 速 度 为 10 m ／ s ， 它 在 第 5 s 的 动 能 E = 1⨯ 3⨯102 = 150 J. k24、设车轮转动的角度为，时间为t ，则= kt 2 (t > 0) . 由题意可知，当t = 0.8 时，= 2. 所以k =25，于是= 25 2. 88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在t = 3.2 时的导数. ∆=(3.2 + ∆t ) -(3.2) = 25∆t + 20，所以'(3.2) = 20.∆t∆t8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20s -1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x ) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x ) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f '(x )的图象如图（1）所示；第二个函数的导数 f '(x ) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f '(x )的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f '(x ) 小于零，当 x 大于零时，f '(x ) 大于零，并且随着 x 的增加， f '(x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻 画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.1 2 x -11 33 4V 23 2、说明：由给出的v (t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息，并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x ) 的图象在点(1, -5) 处的切线斜率为-1，所以此点 附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算练习（P18）1、 f '(x ) = 2x - 7 ，所以， f '(2) = -3 ， f '(6) = 5 .2、（1） y ' = 1x l n 2；（2） y ' = 2e x ；（3） y ' = 10x 4 - 6x ；（4） y ' = -3sin x - 4 cos x ；（5） y ' = - 1 sin x；（6） y ' =.3 3习题 1.2 A 组（P18）1、 ∆S = S (r + ∆r ) - S (r ) = 2r + ∆r ，所以， S '(r ) = lim(2r + ∆r ) = 2r .∆r ∆r∆r →02、h '(t ) = -9.8t + 6.5 .3、r '(V ) =.2 x =0 4、（1） y ' = 3x 2 +1x l n 2； （2） y ' = nx n -1e x + x n e x ；（3） y ' 3x 2 sin x - x 3 cos x + cos x sin 2x； （4） y = 99(x +1)98；（5） y ' = -2e -x ；（6） y ' = 2 s in(2x + 5) + 4x cos(2x + 5) .5、 f '(x ) = -8 + 2 2x . 由 f '(x 0 ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x 0 ，解得 x 0 = 3 .6、（1） y ' = ln x +1； （2） y = x -1.7 、 y = - x +1.8、（1）氨气的散发速度 A '(t ) = 500 ⨯ln 0.834 ⨯ 0.834t .（2） A '(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少. 习题 1.2 B 组（P19） 1、（1）（2） 当h 越来越小时， y =sin(x + h ) - sin x就越来越逼近函数 y = cos x .h（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P (0, 0) .y ' = -e x ，所以 y ' = -1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d '(t ) = -4 sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为-0.42 m ／h ；上午 9:00 时潮水 的速度为-0.63 m ／h ；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 m ／h ；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x ) = x 2 - 2x + 4 ，所以 f '(x ) = 2x - 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递增；= '当 f '(x ) < 0 ，即 x < 1时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = e x - x ，所以 f '(x ) = e x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x > 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递减. （3）因为 f (x ) = 3x - x 3 ，所以 f '(x ) = 3 - 3x 2 .当 f '(x ) > 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1或 x > 1 时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递减. （4）因为 f (x ) = x 3 - x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < - 1或 x > 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递增；3 当 f '(x ) < 0 ，即- 1< x < 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，所以 f '(x ) = 2ax + b .（1）当a > 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x > - b2a f '(x ) < 0 ，即 x < - b2a（2）当a < 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x < - b 2a f '(x ) < 0 ，即 x > - b2a时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.4、证明：因为 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 ，所以 f '(x ) = 6x 2 -12x .当 x ∈(0, 2) 时， f '(x ) = 6x 2 -12x < 0 ，因此函数 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 在(0, 2) 内是减函数.练习（P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y = f (x ) 的极值点，1 1 其中 x = x2 是函数 y = f (x ) 的极大值点， x = x 4 是函数 y = f (x ) 的极小值点.2、（1）因为 f (x ) = 6x 2 - x - 2 ，所以 f '(x ) = 12x -1 .令 f '(x ) = 12x -1 = 0 ，得 x =1.12调递减.当 x >1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x < 112 12时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单 所 以 ， 当x = 1时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为f ( ) = 6 ⨯( )2 - 1 - 2 = - 49. 12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 - 27x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 27 .令 f '(x ) = 3x 2 - 27 = 0 ，得 x = ±3 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -3 或 x > 3 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-3 < x < 3 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x = -3 时， f (x ) 有极大值，并且极大值为 54； 当 x = 3 时， f (x ) 有极小值，并且极小值为-54 . （3）因为 f (x ) = 6 +12x - x 3 ，所以 f '(x ) = 12 - 3x 2 .令 f '(x ) = 12 - 3x 2 = 0 ，得 x= ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即-2 < x < 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：=-因此，当x =-2 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ；当x = 2 时，f (x) 有极大值，并且极大值为22（4）因为 f (x) = 3x -x3，所以 f '(x) = 3 - 3x2.令 f '(x) = 3 - 3x2= 0 ，得 x =±1 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即-1 <x < 1时；②当f '(x) < 0 ，即x <-1或x > 1 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-1 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当x = 1 时，f (x) 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0, 2] 上， 当 x =1 49f ( ) .12 24 1 时，12f (x) = 6x2-x - 2 有极小值，并且极小值为又由于 f (0) =-2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2-x - 2 在[0, 2] 上的最大值是 20、最小值是-49.24（2）在[-4, 4] 上，当 x =-3 时， f (x) =x3- 27x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ；当x = 3 时， f (x) =x3- 27x 有极小值，并且极小值为 f (3) =-54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) =-44 .(0, ) ，所以 f (x )因此，函数 f (x ) = x 3 - 27x 在[-4, 4] 上的最大值是 54、最小值是-54 .（ 3） 在[- 1, 3] 上， 当 x = 2 时， 3f (x ) = 6 +12x - x 3 有极大值， 并且极大值为f (2) = 22 .又由于 f (- 1) = 55， f (3) = 15 .3 27因此，函数 f (x ) = 6 +12x - x 3 在[- 1 , 3] 上的最大值是 22、最小值是 55.3 27（4）在[2, 3] 上，函数 f (x ) = 3x - x 3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x ) = 3x - x 3 在[2, 3] 上的最大值是-2 、最小值是-18 . 习题 1.3 A 组（P31）1、（1）因为 f (x ) = -2x +1，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = -2x +1是单调递减函数.（2）因为 f (x ) = x + cos x ， x ∈ ' = 1- sin x > 0 ， x ∈ 2(0, ) . 2 因此，函数 f (x ) = x + cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2（3）因为 f (x ) = -2x - 4 ，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = 2x - 4 是单调递减函数.（4）因为 f (x ) = 2x 3 + 4x ，所以 f '(x ) = 6x 2 + 4 > 0 .因此，函数 f (x ) = 2x 3 + 4x 是单调递增函数.2、（1）因为 f (x ) = x 2 + 2x - 4 ，所以 f '(x ) = 2x + 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > -1 时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递增.当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 ，所以 f '(x ) = 4x - 3 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递增.4当 f '(x ) < 0 ，即 x < 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递减.4（3）因为 f (x ) = 3x + x 3 ，所以 f '(x ) = 3 + 3x 2 > 0 .因此，函数 f (x ) = 3x + x 3 是单调递增函数.（4）因为 f (x ) = x 3 + x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 + 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < -1或 x > 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递增.3 当 f '(x ) < 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递减.33、（1）图略. （2）加速度等于 0.4、（1）在 x = x 2 处，导函数 y = f '(x ) 有极大值；（2） 在 x = x 1 和 x = x 4 处，导函数 y = f '(x ) 有极小值；（3） 在 x = x 3 处，函数 y =（4） 在 x = x 5 处，函数 y = f (x ) 有极大值；f (x ) 有极小值.5、（1）因为 f (x ) = 6x 2 + x + 2 ，所以 f '(x ) = 12x +1.令 f '(x ) = 12x +1 = 0 ，得 x = - 1.12当 x > - 112 当 x < - 112时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.所 以 ，x = - 1 时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为 f (- 1 ) = 6 ⨯(- 1 )2 - 1 - 2 = - 49 .12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 -12x ，所以 f '(x ) = 3x 2 -12 .令 f '(x ) = 3x 2 -12 = 0 ，得 x = ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-2 < x < 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-16 .（3）因为 f (x) = 6 -12x +x3，所以 f '(x) =-12 + 3x2.令 f '(x) =-12 + 3x2= 0 ，得 x =±2 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 .（4）因为 f (x) = 48x -x3，所以 f '(x) = 48 - 3x2.令 f '(x) = 48 - 3x2= 0 ，得 x =±4 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-4 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ；当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[-1,1] 上，当 x =-112时，函数f (x) = 6x2+x + 2 有极小值，并且极小值为47.24由于f (-1) = 7 ，f (1) = 9 ，所以，函数f (x) = 6x2+x + 2 在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为9，47.24（2）在[-3, 3] 上，当 x =-2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极大值，并且极大值为 16； 当x = 2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于f (-3) = 9 ，f (3) =-9 ，所以，函数 f (x) =x3-12x 在[-3, 3] 上的最大值和最小值分别为 16， -16 .（3）在[-1,1] 上，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上无极值.3 3由于f (-1) =269，f (1) =-5 ，3 27所以，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为269，-5 .3 27（4）当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128..由于f (-3) =-117 ，f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x -x3在[-3, 5] 上的最大值和最小值分别为 128， -117 . 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f (x) = sin x -x ，x ∈(0,) .因为 f '(x) = cos x -1 < 0 ， x ∈(0,)所以f (x) = sin x -x 在(0,) 内单调递减因此 f (x) = sin x -x <f (0) = 0 ， x ∈(0,) ， 即 sin x <x ， x ∈(0,) . 图略（2）证明：设 f (x) =x -x2， x ∈(0,1) .因为 f '(x) = 1- 2x ， x ∈(0,1)又1 1所以，当 x ∈1(0, )2时，f '(x) = 1- 2x > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =x -x2> f (0) = 0 ；当 x ∈1时，f '(x) = 1- 2x < 0 ，f (x) 单调递减，( ,1)2f (x) =x -x2> f (1) = 0 ；f ( ) => 0 . 因此， x -x22 4>0 ，x ∈(0,1) . （3）证明：设 f (x) =e x-1-x ， x ≠ 0 .因为 f '(x) =e x-1， x ≠ 0所以，当x > 0 时，f '(x) =e x-1 > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =e x-1-x > f (0) = 0 ；当x < 0 时，f '(x) =e x-1 < 0 ，f (x) 单调递减，f (x) =e x-1-x >f (0) = 0 ；综上，e x-1 >x ，x ≠ 0 . 图略（4）证明：设 f (x) = ln x -x ，x > 0 .因为 f '(x) =1-1 ，x ≠ 0 x所以，当0 <x < 1时，f '(x) =1-1 > 0 ，f (x) 单调递增，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x > 1 时，f '(x) =1-1 < 0 ，f (x) 单调递减，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x =1 时，显然ln1 <1. 因此，ln x <x .由（3）可知， e x>x +1 >x ， x > 0 .. 综上，ln x <x <e x，x > 0 图略2、（1）函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象图略( ) 上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，所以 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . 下面分类讨论：当a ≠ 0 时，分a > 0 和a < 0 两种情形： ①当a > 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减.12当a > 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递增.②当a < 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递12增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递减.当a < 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l - x，4 4两个正方形的面积和为 S = f (x ) = x 2 + (l - x )2 = 1 (2x 2- 2lx + l 2 ) ， 0 < x < l .4 4 16 令 f '(x ) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l.2当 x ∈ l (0, ) 2时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ l( , l ) 2 时， f '(x ) > 0 .因此， x = l是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.2V3 2 V321 ni 所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小.22、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .（1）无盖方盒的容积V (x ) = (a - 2x )2 x ， 0 < x < a.2（2）因为V (x ) = 4x 3 - 4ax 2 + a 2 x ，所以V '(x ) = 12x 2 - 8ax + a 2 .令V '(x ) = 0 ，得 x = a （舍去），或 x = a.（第 2 题）当 x ∈ a (0, ) 6 2 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈ 6 a a( , ) 6 2 时，V '(x ) < 0 . 因此， x = a是函数V (x ) 的极大值点，也是最大值点.6 所以，当 x = a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h ，底半径为 R ，则表面积 S = 2Rh + 2R 2由V = R 2h ，得h =V .R 2因此， S (R ) = 2R2V V R 2 + 2R 2 = 2V + 2R 2 ， R > 0 . R令 S '(R ) = - + 4R = 0 ，解得 R = .R当 R ∈(0, 3 V) 时， S '(R ) < 0 ；2当 R ∈( 3 V2, +∞) 时， S '(R ) > 0 .（第 3 题）因 此 ， R =是 函 数 S (R ) 的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，h = V R 2 = 23 V= 2R .2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.n 4、证明：由于 f (x ) = ∑(x - a )2，所以 f '(x ) = 2 ∑(x - a ) .n i =1 n i =1i8a 4 + 令 f (x ) = 0 ，得 x = n ∑ = n ∑ n ∑ )x ' 1 na i =11 n可以得到， x a i是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.i =11 n这个结果说明，用 n 个数据的平均值 a i 表示这个物体的长度是合理i =1的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 x 2m ，半圆的面积为x 2 8m 2 ，矩形的面积为a -x 2 8 m 2 ，矩形的另一边长为( a x - x ) m8因此铁丝的长为l (x ) =x + x + 2a - x = (1+ + 2a， 0 < x < 2 x 4 4 x令l '(x ) = 1+ - 4 2a = 0 ，得 x = x2（负值舍去）.当 x ∈(0, ) 时， l '(x ) < 0 ；当 x ∈( 8a ,8a ) 时， l '(x ) > 0 .因此， x = 4 +是函数l (x ) 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入 R = q ⋅ p = q (25 - 1 q ) = 25q - 1q 2 ，8 8 利润 L = R - C = (25q - 1 q 2 ) - (100 + 4q ) = - 1q 2 + 21q -100 ， 0 < q < 200 .8 8求导得 L ' = - 1q + 214 令 L ' = 0 ，即- 1q + 21 = 0 ， q = 84 .4当 q ∈(0,84) 时， L ' > 0 ；当 q ∈(84, 200) 时， L ' < 0 ；8a8a 4 + 8a4 + 8a4 +i ，n ∆ ( ) ⋅ + ⋅ ] 因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x ) = (50 - x -180)(x - 20) = - 110 10令 L '(x ) = - 1x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5x 2 + 70x -1360 ，180 < x < 680 .当 x ∈(180, 350) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈(350, 680) 时， L '(x ) > 0 .因此， x = 350 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x ) = (x - a )(c + c b - x ⨯ 4) = c (x - a )(5 - 4 x ) ， a < x < 5b.b b 4令 L '(x ) = - 8c x + 4ac + 5bc = 0 ，解得 x = 4a + 5b.b b 8 当 x ∈(a , 4a + 5b ) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈( 4a + 5b , 5b) 时， L '(x ) < 0 .8 8 4 当 x = 4a + 5b 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.8所以，销售价为 4a + 5b元／件时，可获得最大利润.81.5 定积分的概念练习（P42） 8 . 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、∆s ≈ ∆s ' = v ( i )∆t = [-( i )2 + 2]⋅ 1 = -( i )2 ⋅ 1 + ⋅ 2， i = 1, 2, , n .i i n n n n n n于是 s = ∑ ∆s ≈ ∑ ∆s ' = ∑ i v ( ) ti =1 i ii =1 i =1n= ∑ i =1[- i 2 1 2n n n = - 1 2 1n -1 2 1 n 2 1( n ) ⋅ n- - ( ) ⋅ - ( ) n n n ⋅ + 2 n = - 1[1+ 22 + + n 2 ] + 2n 3nn n= ∑ i =1i =1i =1⎰ ∑a= - 1 ⋅ n (n +1)(2n +1) + 2 n 3 6 = - 1 (1+ 1 )(1+ 1) + 23 n 2n 取极值，得s = lim ∑ 1 i n[ v ( )] lim [- 1 (1+ 1 )(1+ 1 ) + 2] = 5n →∞ i =1 nn n →∞ i =1 3 n 2n 3 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、 22 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2x 3dx = 4 .说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线 y = x 3 与直线 x = 0 ， x = 2 ， y = 0 所围成的曲边梯形的面积 S = 4 . 习题 1.5 A 组（P50）2100i -1 1 1、（1） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 100 ) -1]⨯ 100 = 0.495 ； 2500i -1 1 （2） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 500) -1]⨯ 500 = 0.499 ； 21000i -1 1 （3） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 1000) -1]⨯ 1000 = 0.4995 . 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1+ 0 ⨯1 = 40 （m ）； 距离的过剩近似值为： 27 ⨯1+18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1 = 67 （m ）. 3、证明：令 f (x ) = 1 . 用分点 a = x 0 < x 1 < < x i -1 < x i < < x n = b将区间[a , b ] 等分成 n 个小区间， 在每个小区间[x i -1 , x i ] 上任取一点i(i = 1, 2, , n )作和式∑ f (i )∆x = ∑ b - an = b - a ， i =1bi =1nb - a 从而 1dx = lim n →∞i =1= b - a ，nnn n⎰1- x 2 1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-1-1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义， ⎰01- x 2 dx 表示由直线 x = 0 ， x = 1 ， y = 0 以及曲线y = 所围成的曲边梯形的面积， 即四分之一单位圆的面积， 因此 1- x 2 d x = . 0 4 5、（1） ⎰0 x 3dx = - 1 . -1 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3≤ 0 ，所以定积分 0x 3dx 表示由直线 x = 0 ， x = -1 ， y = 0-1和曲线 y = x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得⎰1x 3dx = ⎰0x 3dx + ⎰1x 3dx = - 1 + 1= 0 .-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0,1] 上 x 3≥ 0 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得⎰2 x 3dx = ⎰0 x 3dx + ⎰2 x 3dx = - 1 + 4 = 15-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0, 2] 上 x 3 ≥ 0 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 x 3 在区间[-1, 0] 上是非正的，在区间[0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间[-1, 2] 分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又 有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx-1化为 0 x 3dx + 2x 3dx ，这样， x 3 在区间[-1, 0] 和区间[0, 2] 上的符号都是不变的，再-1利用定积分的定义，容易求出⎰0x 3dx ， ⎰2x 3dx ，进而得到定积分⎰2x 3dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在t = 0 到t = 6 （单位：s ）之间走过的路程大约为 145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1） v = 9.81t .8 i 1 1 8⨯ 9（2）过剩近似值： ∑9.81⨯ ⨯ = 9.81⨯ ⨯ = 88.29 （m ）； i =12 2 4 2 1⎰4 4∑ i l ∑ ∑ ∑ n8i -1 1 1 8⨯ 7不足近似值： ∑9.81⨯i =1⨯ = 9.81⨯ ⨯ 2 2 4 2 = 68.67 （m ）（3） ⎰09.81tdt ； 3、（1）分割⎰09.81t d t = 78.48 （m ）.在区间[0, l ] 上等间隔地插入n -1个分点，将它分成n 个小区间：l l 2l(n - 2)l [0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] ， n n n n 记第i 个区间为[(i -1)l iln , n ] （ i = 1, 2, n ），其长度为 ∆x = il - (i -1)l = l .n n n 把细棒在小段 ll 2l(n - 2)l[0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] 上质量分别记作： n n n n∆m 1 , ∆m 2 , , ∆m n ，则细棒的质量m = ∑∆m i .i =1 （2） 近似代替当n 很大，即∆x 很小时，在小区间[(i -1)l , il] 上，可以认为线密度(x ) = x 2 n n的值变化很小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于任意一点 ∈[(i -1)l il处的函数值 () = 2. 于是， 细棒在小段 [(i -1)l il上质量 i , ] i i , ] n n n n∆m ≈ ()∆x = 2 l （ i = 1, 2, n ）.i i i n（3） 求和得细棒的质量n nnm = ∆m ≈ ()∆x = 2. i ii n（4） 取极限i =1i =1nl2i =1l 2细棒的质量 m = limn →∞i =1n，所以m = ⎰0 x dx ..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2） 50 ；（3）4 2 - 5； （4）24； 33 3（5） 3 - ln 2 ； （6） 1 ；（7）0；（8） -2 .2 23 6 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、（1） 40 ； （2） - 1- 3ln 2 ；（3） 9+ ln 3 - ln 2 ；3 （4） - 17 ；（5） 6232 82+1； （6） e 2- e - 2 ln 2 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、 3sin xdx = [-cos x ]3= 2 . ⎰0 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习 题 1.6 B 组 （P55）1 e2 11 11、（1）原式＝[ e 2x ]1 = - ；（2）原式＝[ sin 2x ]4 = - ；2 0 2 22x 3 62 4 （3）原式＝[ ln 2]1 = ln 2.2、（1） sin mxdx = [- cos mx ]= - 1[cos m - cos(-m )] = 0 ； ⎰-m - msin mx 1（2） cos mxdx = | = [sin m - sin(-m )] = 0 ；⎰-m - m（3） sin 2 mxdx = 1- cos 2mx dx = [ x - sin 2mx ]= ；⎰- ⎰- 2 2 4m - （4） cos 2mxdx = 1+ cos 2mx dx = [ x + sin 2mx ] = .⎰- ⎰- 2 2 4m -3、 （ 1） s (t ) = t g (1- e -kt )dt = g+ g e - kt ]t = g t + g e - kt - g = 49t + 245e -0.2t - 245 . ⎰0 k [ k t k2 0 k k 2 k 2（2）由题意得 49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当t > 0 时， 0 < e -0.2t < 1 ，从而 5000 < 49t < 5245 ，因此， 5000 < t < 5245 .49 49因此245e-0.2⨯500049≈ 3.36 ⨯10-7 ， 245e-0.2⨯524549≈ 1.24 ⨯10-7 ，所以，1.24 ⨯10-7 < 245e -0.2t < 3.36 ⨯10-7 .从而，在解方程49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 时， 245e -0.2t 可以忽略不计.240 ⎰ ⎰= ⎰ 0a a 1]a 3因此，. 49t - 245 ≈ 5000 ，解之得 t ≈5245（s ）.49说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1） 32； （2）1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）52 51、 s = (2t + 3)dt = [t + 3t ] = 22 （m ）.⎰3 2、W = ⎰0 (3x + 4)dx = [ 2 3x 2 + 4x ]4 = 40 （J ）. 习题 1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2） 9.2 2、W = ⎰b k q dr = [-q b = k q - k q.a r r a b3、令v (t ) = 0 ，即40 -10t = 0 . 解得t = 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.42 4最大高度为 h = (40 -10t )dt = [40t - 5t ] = 80 （m ）.⎰4、设t s 后两物体相遇，则 0t(3t 2+1)dt = t10tdt + 5 ， 0解之得t = 5 . 即 A , B 两物体 5s 后相遇.此时，物体 A 离出发地的距离为 5(3t 2 +1)dt = [t 3 + t ]5 = 130 （m ）.⎰5、由 F = kl ，得10 = 0.01k . 解之得k = 1000 .所做的功为 0.1W1000ldl = 500l 2 |0.1= 5 （J ）. 06、（1）令v (t ) = 5 - t + 551+ t= 0 ，解之得t = 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止.（2） s = (5 - t + 55 )dt = [5t - 1 t 2 + 55 ln(1+ t )]10 = 55 ln11（m ）. ⎰1+ t2习题 1.7 B 组（P60）1、（1） ⎰- aa 2 - x 2 dx 表示圆 x 2 + y 2 = a 2 与 x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎰- adx =a 22（2） ⎰[ - x ]dx 表示圆(x -1)2 + y 2 = 1与直线（ 第 1（ 2）2 a 2- x 21- (x -1)210k3 x 2 33x33x= 2bh . （第 2 题） 0⎩ ⎰ ⎰ y = x 所围成的图形（如图所示）的面积，1⨯12 1 1因此， ⎰0 [ - x ]dx =- ⨯1⨯1 = - . 4 2 4 22、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为 y = ax 2 ，则h = a ⨯ (b )2 ，所以a = 4h. 2 b 2从而抛物线的方程为y = 4h x 2. b 2b4h4h b 于是，抛物线拱的面积 S = 2 2(h - 0b 2 x 2 )dx = 2[hx - 3b 2 x 3 ]2 3⎧ y = x 2 + 23、如图所示.解方程组⎨ y = 3x得曲线 y = x 2 + 2 与曲线 y = 3x 交点的横坐标 x = 1 ， x = 2 .12于是，所求的面积为 1[(x 2 + 2) - 3x ]dx + 2[3x - (x 2 + 2)]dx = 1 .0 14、证明：W = R +h G Mm dr = [-G Mm ]R +h = GMmh .⎰Rr2rRR (R + h )第一章 复习参考题 A 组（P65）1、（1）3；（2） y = -4 .2、（1） y ' =2 s in x cos x + 2x； （2） y ' = 3(x - 2)2 (3x +1)(5x - 3) ；cos 2x（3） y ' =2x ln x ln 2 + 2x x；（4） y 2x - 2x 2(2x +1)4.3、 F ' = -2GMm .r34、（1） f '(t ) < 0 . 因为红茶的温度在下降.（2） f '(3) = -4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为 f (x ) = ，所以 f '(x ) =2 .当 f '(x ) =2> 0 ，即 x > 0 时， f (x ) 单调递增； 1- (x -1)2 ⎰ ' =33x=当 f '(x ) =2< 0 ，即 x < 0 时， f (x ) 单调递减.6、因为 f (x ) = x 2 + px + q ，所以 f '(x ) = 2x + p .当 f '(x ) = 2x + p = 0 ，即 x = - p= 1 时， f (x ) 有最小值.2由- p= 1，得 p = -2 . 又因为 f (1) = 1- 2 + q = 4 ，所以q = 5 .27、因为 f (x ) = x (x - c )2 = x 3 - 2cx 2 + c 2 x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 4cx + c 2 = (3x - c )(x - c ) .当 f '(x ) = 0 ，即 x = c，或 x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 可能有极值.3由题意当 x = 2 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值，所以c > 0 . 由于所以，当x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值. 此时， c = 2 ， c = 6 . 3 3 8、设当点 A 的坐标为(a , 0) 时， ∆AOB 的面积最小.因为直线 AB 过点 A (a , 0) ， P (1,1) ，所以直线 AB 的方程为 y - 0 = x - a，即 y =x - 0 1- a1 (x - a ) . 1- a 当 x = 0 时， y = a ，即点 B 的坐标是(0, a) .a -1因此， ∆AOB 的面积 S ∆AOB = S (a ) = a -11 aa 22 a a -1 2(a -1) .令 S '(a ) = ' = 1 ⋅a 2 - 2a =0 ，即 S (a ) 2 (a -1)2 0 .当a = 0 ，或a = 2 时， S '(a ) = 0 ， a = 0 不合题意舍去.x (-∞, c )3c 3( c , c ) 3c(c , +∞)f '(x ) ＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由于所以，当a = 2 ，即直线 AB 的倾斜角为135︒ 时， ∆AOB 的面积最小，最小面积为 2. 9、 D .10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为(x + 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以，长方体容器的高为14.8 - 4x - 4(x + 0.5) = 12.8 - 8x = 3.2 - 2x .4 4设容器的容积为V ，则V = V (x ) = x (x + 0.5)(3.2 - 2x ) = -2x 3 + 2.2x 2 +1.6x ， 0 < x < 1.6 .令V '(x ) = 0 ，即-6x 2 + 4.4x +1.6 = 0 .所以， x = - 4 15（舍去），或 x = 1 .当 x ∈(0,1) 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈(1,1.6) 时，V '(x ) < 0 .因此， x = 1 是函数V (x ) 在(0,1.6) 的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100 + x 时，旅行社费用为 y = f (x ) = (100 + x )(1000 - 5x ) = -5x 2 + 500 +100000 (0 ≤ x ≤ 80) .令 f '(x ) = 0 ，即-10x + 500 = 0 ， x = 50 .又 f (0) = 100000 ， f (80) = 108000 ， f (50) = 112500 .所以， x = 50 是函数 f (x ) 的最大值点.所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为 623.7，x打印面积 S (x ) = (x - 2 ⨯ 2.54)( 623.7- 2 ⨯ 3.17)x= 655.9072 - 6.34x - 3168.396， 5.08 < x < 98.38 .x2 令 S '(x ) = 0 ，即6.34 - 3168.396 = 0 ， x ≈ 22.36 （负值舍去）， 623.7≈ 27.89 .x 2 22.365 2dx = 2 (cos x - sin x )dx = [sin x + cos x ]2 = 0 ； （5）原式＝ 2 dx = [ ]2 = x = 22.36 是函数 S (x ) 在(5.08, 98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为 y 元.则 y = R (q ) - 20000 -100q = - 1q 2 + 300q - 20000 (0 < q ≤ 400, q ∈ N ) .2令 y ' = 0 ，即-q + 300 = 0 ， q = 300 .当q = 300 时， y = 25000 ；当q = 400 时， y = 20000 .q = 300 是函数 y ( p ) 在(0, 400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（1） 2 - 2 ；（2） 2e - 2 ； （3）1；cos 2 x - sin 2 x⎰0cos x + sin x⎰01- cos x x - sin x - 2⎰0 2 2 0 4 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 - 2 .17、由 F = kl ，得0.049 = 0.01k . 解之得k = 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为 W = ⎰0.1 4.9ldl = 4.9 ⨯ 2|0.1 = 0.196 （J ）第一章 复习参考题 B 组（P66）1、（1） b '(t ) = 104 - 2 ⨯103t . 所以，细菌在t = 5 与t = 10 时的瞬时速度分别为 0 和-104 .（2）当0 ≤ t < 5 时， b '(t ) > 0 ，所以细菌在增加；当5 < t < 5 + 5 时， b '(t ) < 0 ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S = 1r 2 ， l - 2r =r ，所以= l- 2 .2 rS = 1r 2 = 1 ( l - 2)r 2 = 1 (lr - 2r 2 ) ， 0 < r < l .2 2 r 2 23 2 （4）原式＝ .令 S ' = 0 ，即l - 4r = 0 ， r = l，此时为 2 弧度.4r = l 是函数 S (r ) 在 4 l(0, ) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.2所以，扇形的半径为 l、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.43、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2 + h 2 = R 2 . 因此，V =1r 2h = 1(R 2 - h 2 )h = 1R 2h -1h 3 ， 0 < h < R .3 3 33令V ' = 1R 2 -h 2 = 0 ，解得h = 33 R .3容易知道， h =3 R 是函数V (h ) 的极大值点，也是最大值点.3所以，当h =3 R 时，容积最大.3把h =3 R 代入r 2 + h 2 = R 2 ，得r =36 R .3由 R = 2r ，得= 2 6 .3所以，圆心角为=2 6 时，容积最大.34、由于80 = k ⨯102 ，所以k = 4.5设船速为 x km ／h 时，总费用为 y ，则 y = 4 x 2 ⨯ 20 + 20⨯ 4805 x x令 y ' = 0 ，即16 - 9600= 0 ， x ≈ 24 .x2 = 16x + 9600， x > 0x容易知道， x = 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 x = 24 时， (16 ⨯ 24 + 9600) ÷ ( 20) ≈ 941（元／时）24 24所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、 设汽车以 x km ／ h 行驶时， 行车的总费用y = 390x(3 +x 2 360 ) + 130 ⨯14 ， x。
选修第二章选择题．(·郑州市高二检测)用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝(∈*，≠)，在验证＝时，左边所得的项为( )．．＋＋．＋．＋＋＋[答案][解析]因为当＝时，＋＝，所以此时式子左边＝＋＋.故应选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)过程中，由＝递推到＝＋时，不等式左边增加的项为( )．() ．(＋)．(＋) ．(＋)[答案][解析]用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)的过程中，第二步，假设＝时等式成立，即＋＋＋…＋(－)＝(－)，那么，当＝＋时，＋＋＋…＋(－)＋(＋)＝(－)＋(＋)，等式左边增加的项是(＋)，故选.．对于不等式≤＋(∈＋)，某学生的证明过程如下：()当＝时，≤＋，不等式成立．()假设＝(∈＋)时，不等式成立，即<＋，则＝＋时，＝<＝＝(＋)＋，∴当＝＋时，不等式成立，上述证法( )．过程全都正确．＝验证不正确．归纳假设不正确．从＝到＝＋的推理不正确[答案][解析]＝的验证及归纳假设都正确，但从＝到＝＋的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选.．用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，＋能被＋整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )．假设＝(∈*)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝＋(∈)时命题成立，证明＝＋时命题也成立[答案][解析]∵为正奇数，当＝时，下面第一个正奇数应为＋，而非＋.故应选.．凸边形有()条对角线，则凸＋边形对角线的条数(＋)为( )．()＋＋．()＋．()＋－．()＋－[答案][解析]增加一个顶点，就增加＋－条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故(＋)＝()＋＋＋－＝()＋－.故应选.．观察下列各式：已知＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则归纳猜测＋＝( ) ．．．．[答案][解析]观察发现，＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝，∴＋＝.二、填空题．用数学归纳法证明“当为正偶数时，－能被＋整除”，第一步应验证＝时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成[答案]－能被＋整除[解析]因为为正偶数，故第一步取＝，第二步假设取第个正偶数成立，即＝，故应假设成－能被＋整除．．(·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第个等式为＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝…[答案]＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－)[解析]将原等式变形如下：＝＝＋＋＝＝＋＋＋＋＝＝＋＋＋＋＋＋＝＝…由图知，第个等式的左边有－项，第一个数是，是－个连续整数的和，则最后一个数为＋(－)－＝－，右边是左边项数－的平方，。
