智浪教育—普惠英才文库数学竞赛典型题目(二)1.(1994年伊朗数学

一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分．问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【答案】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0 分到10+3×10=40 分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115 人．难度：★★★★★对一块3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色．求证：对任意的染法，棋盘上至少有一个长方形，它的四个角着色相同．【答案】因为只有两种颜色，所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨设前4个格着白色．如果第二行的前4格有2个着白色，则四个角同色的矩形已经存在，所以我们假定第二行的前4格中至少有3个着黑色，不妨假定前三个格着黑色．又第四行的前3个格至少有2个同色，当有2个白色时与第一行构成四角同色的矩形，当有2个黑色时与第二行构成四角同色的矩形．有2个砝码，一个重5克，另一个重7克，能用这两个砝码称出9克沙子吗？怎样称？【答案】可以．先用7克的砝码称出7克沙子；再从中称出5克沙子，还剩 (克)；再称取7克沙子，与刚才剩下的2克一起，共是 (克)．难度：★★★★★一个圆周被任意地分成101段，甲、乙两人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段，谁涂完最后一段，谁就获胜．如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？【答案】若甲先涂1段，则乙涂圆周上对面的2段，则剩下的98段可均匀分成2部分，以后甲涂几段，乙就对应涂几段，所以乙必胜；若甲先涂2段，则乙涂圆周上对面的1段，则剩下的98段可均匀分成2部分，甲涂几段，乙就对应涂几段，所以乙也必胜．综上，乙有获胜的策略．难度：★★★★难度：★★★★★甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去.已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，丙车每分钟走多少米?[解答]长跑运动员的速度为：[800×(6+2)-1000×6]÷2=200(米/分)，三辆车与长跑运动员的初始距离为(1000-200)×6=4800(米)，丙车的速度为：4800÷(6+2+2)+200=680(米/分).难度：★★★★★小学五年级奥数天天练客车、货车、小轿车在公路上同向行驶，客车在前，货车在中，小轿车在后.在某一时刻，客车与货车、货车与小轿车的距离相等.从这一刻起，10分钟后小轿车追上货车，又过5分钟，小轿车又追上客车.再过多少分钟货车能追上客车?。

奥数（一）一、填空题：3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个．5.图中空白部分占正方形面积的______分之______.6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______．7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等．8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克．9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______．10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）．二、解答题：1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？2．数一数图中共有三角形多少个？3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．奥数（二）一、填空题：1．用简便方法计算：2．某工厂，三月比二月产量高20％，二月比一月产量高20％，则三月比一月高___％．3．算式：（121+122+…+170）-（41+42+…+98）的结果是______（填奇数或偶数）．4．两个桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶有______斤水．5．20名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛，要决出冠军，一共要比赛______场．6．一个六位数的各位数字都不相同，最左一位数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是______．7．一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为______厘米．8．某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小宇最终得41分，他做对______题．9．在下面16个6之间添上+、-、×、÷（），使下面的算式成立：6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1997二、解答题：1．如图中，三角形的个数有多少？2．某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？3．现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，问至少派出几辆车才能保证一次运走？4．在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？奥数（三）一、填空题：1．用简便方法计算下列各题：（2）1997×19961996-1996×19971997=______；（3）100+99-98-97+…+4+3-2-1=______．2．右面算式中A代表______，B代表______，C代表______，D代表______（A、B、C、D各代表一个数字，且互不相同）．3．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟______岁．4．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．5．在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有______个零．6．如图中，能看到的方砖有______块，看不到的方砖有______块．7．右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．8．在已考的4次考试中，张明的平均成绩为90分（每次考试的满分是100分），为了使平均成绩尽快达到95分以上，他至少还要连考______次满分．9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有_____元．10．甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了______千米．二、解答题：1．右图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．2．将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数．3．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？4．有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）．请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积．奥数（四）一、填空题：1．41.2×8.1+11×9.25+537×0.19=______．2．在下边乘法算式中，被乘数是______．3．小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，______年后，爸爸年龄是小惠的3倍．4．图中多边形的周长是______厘米．5．甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．6．鸡与兔共有60只，鸡的脚数比兔的脚数多30只，则鸡有______只，兔有__只．7．师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只筐中．徒弟产品放在2只筐中，每只筐都标明了产品数量：78，94，86，77，92，80．其中数量为______和______2只筐的产品是徒弟制造的．8．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔______分发一辆公共汽车．9．一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是______．10．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和等于两个分母是偶数的分数之和．这样的两个偶数之和至少为______．二、解答题：1．把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是2∶3∶5．2．如图，把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′，得到一个大的四边形A′B′C′D′，若四边形ABCD的面积是1，求四边形A′B′C′D′的面积．3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？4．（1）图（1）是一个表面涂满了红颜色的立方体，在它的面上等距离地横竖各切两刀，共得到27个相等的小立方块．问：在这27个小立方块中，三面红色、两面红色、一面红色，各面都没有颜色的立方块各有多少？（2）在图（2）中，要想按（1）的方式切出120块大小一样、各面都没有颜色的小立方块，至少应当在这个立方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？（3）要想产生53块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切几刀？奥数（五）一、填空题：1．一个学生用计算器算题，在最后一步应除以10，错误的乘以10了，因此得出的错误答数500，正确答案应是______．2．把0，1，2，…，9十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立：□+□=□□-□=□□×□=□□3．两个两位自然数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个自然数的和是______．4．一本数学辞典售价a元，利润是成本的20％，如果把利润提高到30％，那么应提高售价______元．5．图中有______个梯形．6．小莉8点整出门，步行去12千米远的同学家，她步行速度是每小时3千米，但她每走50分钟就要休息10分钟．则她______时到达．7．一天甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多22道，则他们一共做了______道数学题．8．在右图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为______．9．有a、b两条绳，第一次剪去a的2/5，b的2/3；第二次剪去a绳剩下的2/3，b绳剩下的2/5；第三次剪去a绳剩下的2/5，b绳的剩下部分的2/3，最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2∶1，则原来两绳长度的比为______．10．有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意地取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出______只袜子．二、解答题：1．字母A、B、C、D、E和数字1997分别按下列方式变动其次序：A B C D E 1 9 9 7B C D E A 9 9 7 1（第一次变动）C D E A B 9 7 1 9（第二次变动）D E A B C 7 1 9 9（第三次变动）……问最少经过几次变动后ABCDE1997将重新出现？2．把下面各循环小数化成分数：3．如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米．问从出发到四人再次相遇，四人共跑了多少千米？4．某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？奥数（六）一、填空题：2．把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．大的分数为______．4．如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．5．字母A、B、C代表三个不同的数字，其中A比B大，B比C大，如果用数字A、B、C 组成的三个三位数相加的和为777，其竖式如右，那么三位数ABC是______．7．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为______．8．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％，那么，这堆糖中有奶糖______块．10．某地区水电站规定，如果每月用电不超过24度，则每度收9分；如果超过24度，则多出度数按每度2角收费．若某月甲比乙多交了9.6角，则甲交了______角______分．二、解答题：1．求在8点几分时，时针与分针重合在一起？2．如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？3．某人工作一年酬金是1800元和一台全自动洗衣机．他干了7个月，得到490元和一台洗衣机，问这台洗衣机为多少元？4．兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？奥数（七）一、填空题：2．将一张正方形的纸如图按竖直中线对折，再将对折纸从它的竖直中线（用虚线表示）处剪开，得到三个矩形纸片：一个大的和两个小的，则一个小矩形的周长与大矩形的周长之比为______．么回来比去时少用______小时．4．7点______分的时候，分针落后时针100度．5．在乘法3145×92653=29139□685中，积的一个数字看不清楚，其他数字都正确，这个看不清的数字是______．7．汽车上有男乘客45人，若女乘客人数减少10％，恰好与男乘客人8．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有______辆．9．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写法是______．10．有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做______次能使6个学生都面向北．二、解答题：1．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积为多少个面积单位？2．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n是多少？3．自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？4．任意k个自然数，从中是否能找出若干个数（也可以是一个，也可以是多个），使得找出的这些数之和可以被k整除？说明理由．奥数（八）一、填空题：2．在下列的数字上加上循环点，使不等式能够变正确：0.9195＜0.9195＜0.9195＜0.9195＜0.91953．如图，O为△A1A6A12的边A1A12上的一点，分别连结OA2，OA3，…，OA11，图中共有______个三角形．4．今年小宇15岁，小亮12岁，______年前，小宇和小亮的年龄和是15．5．在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为139，143，144，为使前4场的平均得分为145，第四场她应得______分．6．有这样的自然数：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是______．7．如图，半圆S1的面积是14.13cm2圆S2的面积是19.625cm2那么长方形（阴影部分）的面积是______cm2．8．直角三角形ABC的三边分别为AC=3，AB=1.8，BC=2.4，ED垂直于AC，且ED=1，正方形的BFEG边长是______．9．有两个容器，一个容器中的水是另一个容器中水的2倍，如果从每个容器中都倒出8升水，那么一个容器中的水是另一个容器中水的3倍．有较少水的容器原有水______升．10．100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是______（上、下车所用的时间不计）．二、解答题：1．一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米．现在要在四边上植树，如果四边上每两树的间隔距离都相等，那么至少要种多少棵树？2．一列火车通过一条长1140米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了50秒，火车穿越长1980米的隧道用了80秒，问这列火车的车速和车身长？3．能否把1，1，2，2，3，3，…，50，50这100个数排成一行，使得两个1之间夹着这100个数中的一个数，两个2之间夹着这100个数中的两个数，……两个50之间夹着这100个数中的50个数？并证明你的结论．4．两辆汽车运送每包价值相同的货物通过收税处．押送人没有带足够的税款，就用部分货物充当税款．第一辆车载货120包，交出了10包货物另加240元作为税金；第二辆车载货40包，交给收税处5包货，收到退还款80元，这样也正好付清税金．问每包货物销售价是多少元？奥数（九）一、填空题：1．在下面的四个算式中，最大的得数是______：（1）1994×1999+1999，（2）1995×1998+1998，（3）1996×1997+1997，（4）1997×1996+1996．2．今有1000千克苹果，刚入库时测得含水量为96％；一个月后，测得含水量为95％，则这批苹果的总重量损失了______．3．填写下面的等式：4．任意调换五位数54321的各个数位上的数字位置，所得的五位数中的质数共有______．5．下面式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为_____．6．如图，每个小方格的面积是1cm2，那么△ABC的面积是______cm2．7．如图，A1，A2，A3，A4是线段AA5上的分点，则图中以A，A1，A2，A3，A4，A5这六个点为端点的线段共有______条．8．10点15分时，时针和分针的夹角是______．9．一房间中有红、黄、蓝三种灯，当房间中所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红黄灯都亮；第三次拉开关，红黄蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1～100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r·p（其中p为正奇数，r为正整数），就拉p次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为______．10．老师带99名同学种树100棵，老师先种一棵，然后对同学们说：“男生每人种两棵，女生每两人合种一棵。

国际数学类竞赛试题及答案试题一：题目：证明对于任意的正整数n，\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

解答：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当n=1时，左边的和为1，右边的表达式也为1，等式成立。

归纳假设：假设对某个正整数k，等式成立，即\( \sum_{i=1}^{k}i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)。

归纳步骤：我们需要证明当n=k+1时，等式仍然成立。

\[ \sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \sum_{i=1}^{k} i^2 + (k+1)^2 \]根据归纳假设，我们可以将前k项的和替换为\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)，然后加上\( (k+1)^2 \)：\[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1 + 6(k+1))}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \]这证明了当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法，等式对所有正整数n成立。

试题二：题目：解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

解答：这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]在这个方程中，\( a = 1, b = -5, c = 6 \)。

代入求根公式：\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \]因此，方程的解为：\[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]\[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]试题三：题目：计算圆的面积，如果圆的半径是7。

log b cos a
，
z sin a
log b cos a
的大小关系是（ B. y z x
A. x z y ◆答案：A ★解析：由 0 a ∴ sin a
log b sin a
D. x y z
得 0 sin a cos a 1 ．又 0 b 1 ，所以 log b sin a log b cos a 0 ． 4
★解析：由 105 3 5 7 ；故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105 1 1 1994*三、 （本题满分 35 分） 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R ，内心为 I ， B 60 ，
0
A C ， A 的外角平分线交圆 O 于 E 。证明：⑴ IO AE
1994 年全国高中数学联合竞赛试题 第 2 页 共 7 页
四条直线在 a b 时围成一个菱形(非正方形)．选 D．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分。 1994*7、已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为 ( 1,1) 和 ( 2,2) ，若直线
x y 2a

x y 2b
1 ( a, b 是不相等的两个正数)所代表的曲线
B.正方形
C.非正方形的长方形
D.非正方形的菱形
★解析： x y 0, x y 0 时，(一、四象限角平分线之间)： a b x b a y 2ab ；
x y 0, x y 0 时，(一、二象限角平分线之间)： b a x a b y 2ab ； x y 0, x y 0 时，(三、四象限角平分线之间)： a b x a b y 2ab ； x y 0, x y 0 时，(二、三象限角平分线之间)： a b x a b y 2ab ．

1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（C ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A） （B（C ）1 （D ）2 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（D ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（C ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 3750 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 13= ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x ax a -----=的整数根，则b 的值为 10 ．1．在平面直角坐标系中，点A （x ，2y -）在第四象限，那么点B （2y -，x -）在（C ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 计算(-2)2005+(-2)2006所得结果是( D )A. 2B. －2C. 1D. 220053．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些箱子的个数是( B )A ．9B ．8C ． 7D ．64．已知2110 x x x x -<<，则，，的大小关系是（ B ）（A ）21x x x << （B ）21x x x <<（C ）21x x x << （D ）21x x x <<5． 13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去.，直到最后剩下一个小朋友. 小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从几号小朋友开始数起？A（A ）7号 （B ）8号 （C ）13号 （D ）2号 （第4题）6．已知22204(2) a b x a b y b a x y =++=-、是实数，，，则、的大小关系是（ D ）（A ）x y < （B ） x y > （C ） x y ≤ （D ）x y ≥7．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( C ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种8. 古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。

各届数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是最小的自然数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 1B. 0C. -1D. 以上都不是答案：B3. 计算下列表达式的值：\((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)\)A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A4. 一个等差数列的前三项分别是1，2，3，那么这个数列的第n项是？A. nB. n-1C. n+1D. n-2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是_________。

答案：52. 一个圆的半径是7，那么它的周长是_________。

答案：14π3. 一个数的立方是8，那么这个数是_________。

答案：24. 一个数的倒数是它本身，这个数是_________。

答案：±1三、解答题（每题10分，共40分）1. 解方程：\(3x^2 - 12x + 9 = 0\)。

答案：\(x = 1\) 或 \(x = 3\)2. 已知一个等比数列的前三项分别是2，6，18，求这个数列的第四项。

答案：543. 计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：\(\frac{1}{3}\)4. 已知一个函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)，求它的导数\(f'(x)\)。

答案：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。

1994年全国高中数学联赛试题及解答D第二试一、(本题满分25分) x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m |的最大值和最小值.二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O 的半径为R,内心为I ，∠B=60 ,∠A <∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ．证明:(1) IO=AE ； (2) 2R <IO +IA +IC <(1+3)R ．四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P 1，P 2，…，P 1994}, P 中任三点均不共线,将P 中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G ，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G 中所含的以P 中的点为顶点的三角形个数记为m (G )． (1)求m (G )的最小值m 0．(2)设G *是使m (G *)=m 0的一个图案，若G *中的线段(指以P 的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G *染色后不含以P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形．ABC OIE1994年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a ，b ，c 是实数，那么对任何实数x ， 不等式a sin x +b cos x +c >0都成立的充要条件是(A ) a ，b 同时为0，且c >0 (B ) a 2+b 2=c(C ) a 2+b 2<c (D ) a 2+b 2>c解：a sin x +b cos x +c=a 2+b 2sin(x +φ)+c ∈[－a 2+b 2+c ，a 2+b 2+c ]．故选C ．2、给出下列两个命题：(1)设a ，b ，c 都是复数，如果a 2+b 2>c 2，则a 2+b 2－c 2>0．(2)设a ，b ，c 都是复数，如果a 2+b 2－c 2>0，则a 2+b 2>c 2．那么下述说法正确的是 (A )命题(1)正确，命题(2)也正确 (B )命题(1)正确，命题(2)错误 (C )命题(1)错误，命题(2)也错误 (D )命题(1)错误，命题(2)正确解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a 2+b 2>c 2，成立时，a 2+b 2与c 2都是实数，故此时a 2+b 2－c 2>0成立；⑵ 当a 2+b 2－c 2>0成立时a 2+b 2－c 2是实数，但不能保证a 2+b 2与c 2都是实数，故a 2+b 2>c 2不一定成立．故选B ．3、已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|<1125的最小整数n 是(A )5 (B )6 (C )7 (D )8解：(a n +1－1)=－13(a n －1)，即{ a n －1}是以－13为公比的等比数列，∴ a n =8(－13)n －1+1．∴ S n =8·1－(－13)n1+13+n=6+n －6(－13)n ，⇒6·13n <1125，⇒n ≥7．选C ．4、已知0<b <1，0<a <π4，则下列三数：x=(sin a )log b sin a ，y=(cos a )log b cos a ，z=(sin a )log b cos a的大小关系是(A )x<z<y (B )y<z<x (C )z<x<y (D )x<y<z 解：0<sin a <cos a <1．log b sin a >log b cos a >0．∴ (sin a )log b sin a < (sin a )log b cos a < (cos a )log b cos a 即x <z <y ．选A ．5、在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A )( n －2n π，π) (B )( n －1n π，π) (C )(0，π2) (D )( n －2n π，n －1n π)解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n 边形的一个内角n －2n π，当棱锥的高趋于0时，θ趋于π，故选A ．6、在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b=1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A )三角形 (B )正方形(C )非正方形的长方形 (D )非正方形的菱形解：x +y ≥0，x －y ≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a +b )x +(b －a )y=2ab ；x +y ≥0，x －y <0时，(一、二象限角平分线之间)：(b －a )x +(a +b )y=2ab ； x +y <0，x －y ≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a －b )x －(a +b )y=2ab ；x +y <0，x －y <0时，(二、三象限角平分线之间)：－(a +b )x +(a －b )y=2ab ． 四条直线在a ≠b 时围成一个菱形(非正方形)．选D ．二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l ：x +my +m=0与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是 ．解：即x +my +m=0与y=13(x +1)+1的交点的横坐标>2．∴ x +m (13x +43)+m=0，(3+m )x=－7m ．x=－7m m +3>2．⇒－3<m <－23．2．已知x ，y ∈[－π4，π4]，a ∈R 且⎩⎪⎨⎪⎧x 3+sin x －2a=0， 4y 3+sin y cos y +a=0则cos(x +2y ) = ．解：2a=x 3+sin x=(－2y )3－sin(－2y )，令f (t )=t 3+sin t ，t ∈[－π2，π2]，f '(t )=3t 2+cos t >0，即f (t )在[－π2，π2]上单调增．∴ x=－2y ．∴ cos(x +2y )=1．3．已知点集A={(x ，y )|(x －3)2+(y －4)2≤(52)2}，B={(x ，y )|(x －4)2+(y －5)2>(52)2}，则点集A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．4．设0<θ<π，，则sin θ2(1+cos θ)的最大值是 ． 解：令y= sin θ2(1+cos θ) >0， 则y 2=4 sin 2θ2 cos 4θ2 =2·2sin 2θ2 cos 2θ2 cos 2θ2 ≤2(23)3．∴ y ≤4 3 9 ．当tan θ2 = 22时等号成立．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ． 解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA '与平面AB 'D '所成角即可．设AA '=1，则A 'C=3，A 'C ⊥平面AB 'D '，A 'C 被平面AB 'D '、BDC '三等分．于是sin α=33．6．已知95个数a 1，a 2，a 3，…，a 95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95的最小正值是 ．解：设有m 个+1，(95－m )个－1．则a 1+a 2+…+a 95=m －(95－m )=2m －95∴ 2(a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95)=(a 1+a 2+…+a 95)2－(a 12+a 22+…+a 952)=(2m －95)2－95>0．A'B'C'D'D C BA (4,5)(3,4)O321321xy取2m －95=±11．得a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95=13．为所求最小正值．.第二试一、(本题满分25分) x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m |的最大值和最小值.解：设m=a +bi (a ，b ∈R )．则△=z 12－4z 2－4m=16+20i －4a －4bi=4[(4－a )+(5－b )i ]．设△的平方根为u +vi ．(u ，v ∈R )即(u +vi )2=4[(4－a )+(5－b )i ]．|α－β|=27，⇔|α－β|2=28，⇔|(4－a )+(5－b )i |=7，⇔(a －4)2+(b －5)2=72，即表示复数m 的点在圆(a －4)2+(b －5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

第九届中国数学奥林匹克(1994年)
1.设ABCD是一个梯形(AB//CD)，E是线段AB试一点，F是线段CD上一
点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG ≦S ABCD/4。

如果ABCD是一个任意的凸圆边形，同样结论是否成立？请说明理由。

2.n(n≧4)个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘子各取一块
糖，放入另一个盘子中，称为一次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列一个盘子里去？证明你的结论。

3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，
i.f(2x)≦2(x+1)；
ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x。

4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是一个n次复系数多项式，求证：
一定存在一个复数z0，|z0|≦1，满足|f(z0)|≧|C0|+|C n|。

5.对任何自然数n，求证：，
其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整数部份。

6.设M为平面试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满足下述
条件的直角三角形的个数：
i.三角形的三个顶点都是整点，面且M是直角顶点；
ii.三角形的内心是坐标原点。

1994年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a ，b ，c 是实数，那么对任何实数x ， 不等式a sin x +b cos x +c >0都成立的充要条件是 (A ) a ，b 同时为0，且c >0 (B ) a 2+b 2=c(C ) a 2+b 2<c (D ) a 2+b 2>c2、给出下列两个命题：⑴ 设a ，b ，c 都是复数，如果a 2+b 2>c 2，则a 2+b 2－c 2>0；⑵设a ，b ，c 都是复数，如果a 2+b 2－c 2>0，则a 2+b 2>c 2．那么下述说法正确的是(A )命题⑴正确，命题⑵也正确 (B )命题⑴正确，命题⑵错误 (C )命题⑴错误，命题⑵也错误 (D )命题⑴错误，命题⑵正确3、已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是(A )5 (B )6 (C )7 (D )84、已知0<b <1，0<a <π4，则下列三数：x=(sin a )log b sin a ，y=(cos a )log b cos a ，z=(sin a )log b cos a(A )x<z<y (B )y<z<x (C )z<x<y (D )x<y<z5、在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A )(n －2n π，π) (B )( n －1n π，π) (C )(0，π2) (D )( n －2n π，n －1nπ) 6、在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A )三角形 (B )正方形(C )非正方形的长方形 (D )非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l ：x +my +m=0与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是 ．2．已知x ，y ∈[－π4，π4]，a ∈R 且⎩⎨⎧x 3+sin x －2a=0， 4y 3+sin y cos y +a=0则cos(x +2y ) = ．3．已知点集A={(x ，y )|(x －3)2+(y －4)2≤(52)2}，B={(x ，y )|(x －4)2+(y －5)2>(52)2}，则点集A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．4．设0<θ<π，，则sin θ2(1+cos θ)的最大值是 ．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．6．已知95个数a 1，a 2，a 3，…，a 95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95的最小正值是 ．第二试一、(本题满分25分) x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m |的最大值和最小值.二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

数学竞赛典型题目（二）1.（1994年伊朗数学奥林匹克） 设a 、b 、c 、S 分别为锐角三角形ABC 的三边的边长及它的面积。

证明在三角形ABC 内存在一点P ，由P 到顶点A 、B 、C 的距离为x 、y 、z 的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a 、y 、z 及其面积为S 1，第二个的边长分别是b 、z 、x 及其面积为S 2，第三个的边长分别是c 、x 、y 及其面积为S 3及S=S 1+S 2+S 3。

2 .（1995年伊朗数学奥林匹克） 假设ABCD 为一正方形及K 、N 分别在线段AB 和AD 的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L 和M 分别为对角线BD 与CK 及CN 的交点。

证明K 、L 、M 、N 和A 五点共圆。

（1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C 三点在圆O 上,线CO 交AB 于D 且BO 交AC 于E,如果,,BAC CDE ADE ∠∠∠角度都是α,求α.（1995年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆内切圆和边AB,AC 及BC 交于M,N,P,证明:MNP ∆垂心, ABC ∆外心和内心三点共线.3.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中， 60=∠A ，O 、H 、I 、'I 分别为外心、垂心、内心和关于A 的旁心. 'B 和'C 分别在AC 和AB 上，且'.,'AC AC AB AB ==证明：（1）八点B 、C 、H 、O 、I 、'I 、'B 、'C 共圆；（2）若OH 交AB 、AC 分别于E 、F ，则AEF ∆周长等于.AC AB +（3）.AC AB OH -=4.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆为不等边三角形，从A 、B 、C 出发的中线交外接圆于另一点L 、M 、N.若.LN LM =证明：.2222AC AB BC +=5.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中，D 在AB 上，E 在AC 上，且DE//BC.P 为ABC ∆ 内任一点，PB 和PC 交DE 分别于F 、G.若1O 为PDG ∆外心，2O 为PFE ∆外心，证明：.21O O AP ⊥6.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC ∆边BC 的中点是N,以AB 和AC 为直角边向外构造等腰直角ACP ABM ∆∆,,证明:MNP ∆也是等腰直角三角形.7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB 的圆上有两点C,D,直线CD 交AB 于M,且MB<MA,MD<MC,K 是AOC ∆和DOB ∆外接圆的交点(不是O),证明:OK MK ⊥即有向角090=∠MKO8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ∆外心为O,垂心为H,且BC>CA,F 为高CH 的垂足,过F 作OF 的垂线交AC 于P,证明:有向角BAC FHP ∠=∠9.(1997年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆外接圆弧AB 上有一个动点(不包含A),21,I I 分别为PAC PAB ∆∆,的内心,证明:(1)21I PI ∆的外接圆是否过定点?(2)以21I I 为直径的圆过定点.(3) 21I I 中点在定圆上.10. (1998年伊朗数学奥林匹克)KL 和KN 是圆C 的切线，切点是L ，N ，M 为KN 延长线上一点，KLM ∆的外接圆交圆C 的另一交点为P ，点Q 是N 向ML 所引垂线的垂足，证明：KML MPQ ∠=∠211. (1998年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ∆的高是AD ，角B 和C 的内角平分线交AD 于点E ，F ；若BE=CF ，证明：ABC ∆是等腰三角形。

智浪教育---普惠英才文库历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。

1994年全国初中数学联合竞赛试卷及解答第一试一、选择题１ 1 １1.若0〈a〈1，则a2＋─－2÷(1＋─)×──可化简为( )a2 a 1＋a1－a a－1Ａ.──Ｂ.──Ｃ.1－a2 Ｄ.a2－11＋a a＋12.设a、b、c是不全相等的任意实数，若x＝a2－bc，y＝b2－ca，z＝c2－ab，则x、y、z( )Ａ.都不小于０Ｂ.都不大于０Ｃ.至少有一个小于０Ｄ.至少有一个大于０3.如图所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长( )Ａ.等于4 Ｂ.等于5 Ｃ.等于6 Ｄ.不能确定1＋19944.当x＝──────时，多项式(4x3－1997x－1994)2001的值为( )２Ａ.１Ｂ.－１Ｃ.２2001 Ｄ.－２20015.如图，若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交，则共得同旁内角( )Ａ.４对Ｂ.８对Ｃ.12对Ｄ.16对6.若方程x－p＝x有两个不相等的实根，则实数p的取值范围是( )１１１Ａ.p≤0 Ｂ.p〈─Ｃ.0≤p〈─Ｄ.p≥─４４４7.设锐角△ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH.AD＋BH.BE＋CH.CF的值是( )１１Ａ.─(ab＋bc＋ca) Ｂ.─(a2＋b2＋c2)２２２２Ｃ.─(ab＋bc＋ca) Ｄ.─(a2＋b2＋c2)３３１１１8.若ax＝by＝1994z(其中a、b是自然数)，且有─＋─＝─，则2a＋b的一x y z切可能的取值是( )Ａ.1001 Ｂ.1001、3989 Ｃ.1001、1996 Ｄ.1001、1996、3989二、填空题Mx＋N ２ c Mx＋N1.若在关于x的恒等式────＝──－──中，────为最简分式，x2＋x－2 x＋a x＋b x2＋x－2且有a〉b，a＋b＝c，则N＝。

2.当│x＋1│≤6时，函数y＝x│x│－2x＋1的最大值是。

华罗庚学校数学竞赛试题与详解小学五、六年级第一分册幼苗杯第1套第一届幼苗杯数学邀请赛试题一、填空题：（y.01.01）9308－576＝ 。

（y.01.02）83×71+83×29＝ 。

（y.01.03）0.125÷161＝ 。

（y.01.04）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做 。

（y.01.05）2×（1－5%）＝ 。

（y.01.06）21312131⨯÷⨯＝ 。

（y.01.07）8740除以90的余数是 。

（y.01.08）一个长方体的3条边各为1，2，3寸，则它的表面积是 平方寸。

（y.01.09）分解质因数：364＝ 。

（y.01.10）1800000平方尺＝ 平方千米。

（y.01.11）有一个是900的三角形为 三角形。

（y.01.12）81与253两个数中 比较大。

（y.01.13）自然数1是合数还是质数？答： 。

（y.01.14）梯形的上底为51，下底为61，高为1155，则它的面积是 。

二、选择题：（y.01.15）计算：2+3×32＝（ ）（A ）83 （B ）45 （C ）29 （D ）20（y.01.16）“增产二成”中的“二成”，写成百分数是（ ）（A ）100120 （B ）1002 （C ）20% （D ）0.2 （y.01.17）方程32x －21＝1的解是（ ）（A ）1 （B ）412 （C ）94 （D ）43 （y.01.18）两个整数的和是（ ）（A ）奇数 （B ）偶数 （C ）奇数、偶数都不是 （D ）可能是奇数也可能是偶数三、计算题（y.01.19）（12×21×45×10.2）÷（15×4×0.7×5.1）（y.01.20）2511212101211211÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--。

1994年全国初中数学联赛试题解答第 一 试一、选择题1．（A ）∵ aa a aaa 221)1()1(-=-=-，∴ 原式aa aa a aa +-=+⨯+⨯-=1111112.2．（D ）)(2)(2222ca bc ab c b a z y x ---++=++ 0)()()(222>-+-+-=a c c b b a ， 即0>++z y x ，故x ,y ,z 中至少有一个大于0. 3．（B ）如图，连接OC ，OD .设半圆O 的半径为r ， 则在ΔAOD 中，边AO 与DA 上的高都为r ，故 AO =DA . 同理，BO =BC .故AB =BC +DA =5. 4．（B ）因为219941+=x ，所以1994)12(2=-x ，即01993442=--x x .于是，20013)199419974(--x x []2001221)199344()1993414(---+--=x x x x x1)1(2001-=-=.5．（D ）因为每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，而从所给图形中可以分解出如下8个基本图形，共有16对同旁内角.6．（C ）取1-=p ，代入原方程得x x =+1，即012=--x x .此时方程有一个负根，于是可排除（A ），（B ）.取1=p ，代入原方程得012=+-x x ，无解，故排除（D ）.因此应选（C ）. 7．（B ）由题设可知，H ，D ，C ，E 四点共圆.因此，有（如图）AE AC AH AD ⋅=⋅ BAE AB AC ∠⋅⋅=cos )(21222BCABAC-+=)(21222a cb -+=.同理，)(21222b ac BE BH -+=⋅，)(21222c b a CF CH -+=⋅.所以 )(21222c b a CF CH BE BH AD AH ++=⋅+⋅+⋅.8．（C ）由xxa 1994=及zyb 1994=可得xz a 111994=及bz b 111994=.故zyxzab 111119941994)(==+.因此9972199411994⨯=⨯==ab .但a ,b 均不为1，故有2=a ，997=b 或997=a ，2=b .于是，2a +b =1001或1996二、填空题1．-4. ∵)2)(1(22+-=-+x x x x ，且b a >，所以，取2=a ，1-=b ，从而1=+=b a c .因此，112222--+=-++x x x x N Mx .在上式中，令0=x ，得4-=N . 2．16. 由1+x ≤6 解得-7≤x ≤5.当0≤x ≤5时，22)1(12-=+-=x x x y ，此时16)15(2=-=增大y ； 当-7≤x ≤0时，22)1(212+-=+--=x x x y ，此时因此，当-7≤x ≤5时，y 的最大值是16.3．4151.如图，由已知有ABBC EACE =.由此可得ABBC BCEA CE CE+=+.∴ 31467=⨯=CE . 又 BCAC ABBCACC ⋅-+=2cos 22241672867222=⨯⨯-+=，∴ CDC CE DCCE DEcos 2222⋅⋅-+=161514141732)417(322=⨯⨯⨯⨯-⨯+=.因此，4151=DE .4．3113如图，设⊙O 1的半径为8，⊙O 2，⊙O 3的半径为5，切点为A ，由对称性可知，能盖住这三个圆的最小圆形片的圆心O 必在对称轴O 1A 上，且与已知三个圆相内切.若设这个圆形纸片的半径为r ，则在Rt ΔO 1O 2A 中，125)58(221=-+=A O .在Rt ΔOO 2A 中，222)812(5)5(r r -++=- 解出 3113340==r .第 二 试一、证明 如图，连接OA ,OC ,OP ,OQ .在OCP ∆和OAQ ∆中，OC =OA .由已知，AB CA =，BQ AP =.∴ AQ CP =.又∵O 是ABC ∆的外心， ∴ OAC OCP ∠=∠.由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上. ∴OAQ OAC ∠=∠，从而OAQ OCP ∠=∠. 因此， OCP ∆≌OAQ ∆， 于是，AQO CPO ∠=∠.所以，O ,A ,P ,Q 四点共圆.二、这样的直角三角形存在，恰有一个.设此直角三角形斜边为c ,两直角边分别为a ,b ,面积为S ,则a ≤b <c <a +b , ① a +b +c =b ， ②222c b a =+， ③ abS 21=为整数④ 由①,②有 c c b a c 362<=++< 可得 32<<c .⑤又由①有 22)6()(c b a -=+，即 22212362c c b ab a +-=++. 把③,④代入上式，得2212364c c S c +-=+，⑥由⑤有936<<x ，又因S 为整数，再由⑥，3c 亦为整数，从而73=c 或8. 若73=c ，则2=S ，代入②,④得311=+b a ，4=ab ，由于此方程组无解，故此情形不可能；若83=c 则1=S ，此时310=+b a ，2=ab .解此方程组得375-=a ，375+=b ，而38=c ，以这三个数为边长构成唯一直角三角形.三、由统计表可知：做对0—3个题的总人为46211087=+++(人)，他们做对题目数的总和为913212101807=⨯+⨯+⨯+⨯(题)；做对12—15个题的总人数为2513615=+++(人)，他们做对题目数的总和为15×12+6×13+3×14+1×15=315(题).以1510,,x x x 分别表示做对0个，1个，…，15个题目的人数，由题意有6155415541554=+++++x x x x x x ，及41020101010210=+++++++x x x x x x x ，即 )(6155415541554x x x x x x +++++++ ， )(41020102010210x x x x x x x ++++++++ . 两式相减得)32(151211321151211x x x x x x ++-+++ )(4)(610101554x x x x x x +++-+++=)(2)(4)(610543210151211x x x x x x x x x x +++++++-+++= )(2)(6)(415103210151211x x x x x x x x x x +++++++-+++= )(2)(6)(44151032101514131211x x x x x x x x x x x x +++++++-++++= . 而已求得： 463210=+++x x x x ，2515141312=+++x x x x ， 913203210=+++x x x x ， 3151514131215141312=+++x x x x ， 代入上式得913151111-+x )(24662544151011x x x x ++++⨯-⨯+= ， 故 1115105.3200x x x x +=+++ ，（11x ≥0）因此，当011=x 时，统计的总人数1510x x x +++ 最少为200人.。

1994年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B D【详解】12、D假设没有一个大于0,则全都小于0,于是有X+Y+Z<0即0>X+Y+Z=a2-bc+b2-ca+c2-ab=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].由于a,b,c是不全相等的任意实数,所以(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2都是正数,这与假设矛盾.所以x,y,z中至少有一个大于零3、解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO=AD，同理BO=BC，∴AB=AO+BO=AD+BC=2+3=5．故选B．4、5、解：直线EF、MN被CD所截有2对同旁内角；直线EF、MN被AB所截有2对同旁内角；直线CD、AB被MN所截有2对同旁内角；直线CD、MN被AB所截有2对同旁内角；直线AB、MN被CD所截有2对同旁内角；直线AB、EF被CD所截有2对同旁内角；直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；直线EF、CD被AB所截有2对同旁内角．共有16对同旁内角．故选D．6、7、8、又∵1994=2×997，ab是自然数，∴a=2，b=997或a=997，b=2，∴2a+b=2×2+997=1001，或2a+b=2×997+2=1996．ab=1994，ab=1994×1，a=1994，b=1，2a+b=2×1994+1=3988+1=3989．故选D．二、填空题：1∴a=2，b=-1，则c=a+b=1，从而可得M=2-c=1，N=2b-ca=2×（-1）-1×2=-4．故答案为：-4．234 解：如图所示，⊙A、⊙B半径为5，⊙C半径为8，设⊙O半径为R．连接AB、BC、CA，则AB=10，BC=CA=13，过C作CP⊥AB，则P是AB中点．∴AP=5，第二试提示及答案.一、证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，∵O是△ABC的外心，∴OE=OF，OB=OA，∴BE=AF，∵AP=BQ，∴PF=QE，∵OE⊥AB，OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OQE，∴∠P=∠Q，∴O、A、P、Q四点共圆．即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．二、解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，三、解：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a．∵做对4个题和4个以上的人数为（x-7-8-10-21）=（x-46）人，∴所有学生做的总题数为：（x-46）×6+0×7+1×8+2×10+3×21=6x-185；又∵做对10个题和10个以下的人数为（x-a-15-6-3-1）=（x-a-25）人，∴所有学生做的总题数为：（x-a-25）×4+15×1+14×3+13×6+12×15+11a=4x+215+7a，∴6x-185=4x+215+7a，2x=400+7a，x=200+7a/2，∵a为自然数，∴当a=0时x取最小值200．所以至少统计了200人．。

1994年全国初中数学竞赛试卷（含参考答案与试题解析）一、选择题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2，则的值为（）解答：解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3=0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1=0，∵△=25﹣4＞0，∴a+b=﹣5，ab=1．故a、b均为负数．因此．故选B．2．（8分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）．C．D解答：解：∵ab=ch∴h=∴=∴===．故选C．3．（8分）抛物线y=ax+bx+c的顶点为（4，﹣11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中正数（）解答：解：由题意，得由（3）得，=11（5）由（1）（5）得，=11＞0，即4a＞0，∴a＞0 （6）由（2）（6）得，c＜0由（4）（6）得，b＜0∴a＞0，b＜0，c＜0故选A．4．（8分）（2013•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）故选B．5．（8分）如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（）．C．D．解答：解：将y=3﹣|x|代入|x|y+x3=0，得x3﹣x2+3|x|=0．（1）当x＞0时，x3﹣x2+3x=0，方程x2﹣x+3=0无实根；（2）当x＜0时，x3﹣x2﹣3x=0，得方程x2﹣x﹣3=0解得，正根舍去，从而．于是．故．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．（6分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠ADE=∠AED，且∠BAD=60°，则∠EDC=30 度．故填30．7．（6分）（2006•太原）据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）．已知A、B、C三个城市的人口数及它们之间的距离如图所示．如果A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数用含t的代数式表示为．解答：解：t=，则k=，则B、C两个城市间每天的电话通话次数为：=．9．（6分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为4或6 ．解答：解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG=∠CBE，∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，设CE=x，则AM=10﹣x，AD=12﹣（10﹣x）=2+x，DE=12﹣x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．10．（6分）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是．解答：解：∵x+y=5﹣z，xy=3﹣z（x+y）=3﹣z（5﹣z）=z2﹣5z+3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2﹣（5﹣z）t+z2﹣5z+3=0的两实根．∵△=（5﹣z）2﹣4（z2﹣5z+3）≥0，即3z2﹣10z﹣13≤0，（3z﹣13）（z+1）≤0．∴﹣1≤，当时，．故z的最大值为．故答案为：．三、解答题（共8小题，满分60分）11．（15分）一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒：它穿过长为760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒，从客车的对面开来一列长度为a米，速度为每秒v米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t秒．（1）写了用a、v表示的函数解析式；（2）若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围．解答：解：（1）设客车的长度为a1米，客车的速度为v1，则可列出方程组，解得，22t+vt=276+a，t=；（2）从这个关系式可以看出速度越大时间越短，当代入v=12，a=324时取得最大值，当v=15，a=324时取得最小值，∴＜t≤．12．（15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？解答：解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）=b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c=6（b﹣c）（2）；由（1）式得b=2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c=1620，由于又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又∵4与7互质，∴7整除a+1．13．（15分）设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且====k（k是正数），求四边形EFGH的面积．解答：解：如图：∴可得：AE=BF=CG=DH，EB=FC=GD=HA，∴可得三角形AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）；四边形EFGH的面积=正方形面积减去四个小三角形面积，∵=k，设EB=1，则AE=k，AB=AE+EB=1+k，∴AE=，BE=，∴△AEH的面积=，∴四边形EFGH的面积1﹣．14．（15分）在9×9的方格表中，有29个小格被染上了黑色，如果m表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，n表示至少包含5个黑色小方格的列的数目，试确定m+n的最大值．16．已知a、b是实数，关于x、y的方程组有整数解（x，y），求a，b满足的关系式．32于是y==x2﹣x+1﹣∵x，y都是整数∴x+1=±1即：x=﹣2或x=0∴y=8或y=0故或当时，代入y=ax+b得：﹣2a+b=8，变形的2a﹣b+8=0当时，代入y=ax+b得：b=0综上所述，a，b满足关系式是2a﹣b+8=0或b=0，a是任意实数17．如图，D是△ABC边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点（P在弧AC上），使得∠ADP=∠ACB，求的值．解答：解：连接AP，则∠APB=∠ACB=∠ADP，∴△APB∽△ADP，∴=，∴AP2=AB•AD=3AD2，∴AP=AD，∴==．18．已知a＜0，b≤0，c＞0，且=b﹣2ac，求b2﹣4ac的最小值．解答：解：由=b﹣2ac两边平方得，b2﹣4ac=（b﹣2ac）2，。

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第二届中国数学奥林匹克(1987年)
北京 北京大学
1.设n为自然数,求证方程z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根的充分必要条件是 n + 2可被6整除. 证明:当6|n + 2时,令z = ei 3 = ∴ z n+1 − z n − 1 = e ∴z
n+1 n −i π 3
π
1 2
+1 ∴ cos(n + 1)θ − cos nθ − 1 = −(2 sin 2n2 θ sin θ 2 + 1) = 0. +1 sin(n + 1)θ − sin nθ = 2 cos 2n2 θ sin θ 2 = 0. +1 +1 1 θ ∴ cos 2n2 θ = 0, sin 2n2 θ = ±1, sin θ 2 = ± 2 , 设 2 = ϕ. π (1)sin ϕ = 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = −1. ϕ = 2kπ + 6 或2kπ + 5π 6 ,k
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A
.∴ |
zk ∈A
zk | = |
zk ∈A 1 6.
xk + i
xk
zk ∈A √ 而4 2 < 6, ∴ |
1 √ . 4 2
zk |
zk ∈A
过P2 作 平 行 于BC 的 直 线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S