2015-2016年安徽省合肥八中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）2014°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四2．（5分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣14≤0}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，且B≠∅，若A∪B=A，则（）A．﹣3≤m≤4B．﹣3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．2＜m≤43．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．5．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）A．B．10 C．20 D．1006．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．7．（5分）（2cos2）dx的值是（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+28．（5分）设函数g（x）是二次函数，f（x）=，若函数f[g（x）]的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A ． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B ． [0，+∞）C ． （﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）D ． [1，+∞）9．（5分）设函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ），若x=﹣1为函数y=f （x ）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f （x ）的图象是（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）设函数f （x ）=e x +x ﹣2，g （x ）=lnx+x 2﹣3．若实数a ，b 满足f （a ）=0，g （b ）=0，则（） A ． g （a ）＜0＜f （b ） B ． f （b ）＜0＜g （a ） C ． 0＜g （a ）＜f （b ） D ． f （b ）＜g （a ）＜0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题卷的相应位置上. 11．（5分）函数f （x ）=2sin （），x ∈[﹣π，0]的单调递减区间为．12．（5分）设扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是．13．（5分）已知2sin2α=﹣sin α，α∈（，π），则tan α=．14．（5分）利民厂某产品的年产量在100吨至300吨之间，年生产的总成本y （万元）与年生产量x （吨）之间的关系可近似第表示为y=﹣30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为吨． 15．（5分）设函数f （x ）的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M （M ⊆D ），有x+l ∈D ，且f （x+1）≥f（x ），则称f （x ）为M 上的高调函数．现给出下列三个命题： ①函数为R 上的l 高调函数；②函数f （x ）=sin2x 为R 上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f （x ）=x 2为[﹣1，+∞）上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知集合A={x|x 2﹣3x+2≤0}，集合B 为函数y=x 2﹣2x+a 的值域，集合C={x|x 2﹣ax ﹣4≤0}，命题p ：A∩B≠∅；命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．19．（13分）已知函数f（x）=x2﹣（1+2a）x+alnx（a为常数）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．20．（13分）已知函数f（x）=sin cos+cos2．（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求出该函数图象的对称中心；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2=ac，求f（B）的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0=，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）2014°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：要判断2014°角的位置，我们要将其化为k•360°+α的形式，然后判断α角的终边所在的象限，即可得到答案．解答：解：∵2014°=5×360°+214°，∵180°＜214°＜270°，故2014°是第三象限角．故选：C点评：本题考查的知识点是象限角与轴线角，判断角的位置关键是根据象限角的定义，判断出角的终边落在哪个象限中．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣14≤0}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，且B≠∅，若A∪B=A，则（）A．﹣3≤m≤4B．﹣3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．2＜m≤4考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：条件A∪B=A的理解在于：B是A的子集，其中B也可能是空集．先化简集合A，根据B是A的子集列出不等关系，解之即得．解答：解：A={x|x2﹣5x﹣14≤0}={x|﹣2≤x≤7}，∵A∪B=A，∴B⊆A．又B≠∅，∴解得：2＜m≤4故选D．点评：本题主要考查集合的运算性质A∪B=A，一般A∪B=A转化成B⊆A来解决．若是A∩B=A，一般A∩B=A转化成A⊆B来解决．3．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：规律型．分析：A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p 和q中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．解答：解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B点评：本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．4．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值解答：解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选D点评：已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值，应该利用三角函数的定义来解决．5．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）A．B．10 C．20 D．100考点：指数式与对数式的互化；对数的运算性质．专题：计算题；压轴题．分析：直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．解答：解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A点评：本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．6．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．解答：解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2，故选B点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．7．（5分）（2cos2）dx的值是（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数的积分公式进行计算即可．解答：解：（2cos2）dx=（1+cox）dx=（x+sinx）|=+1+1=2+π．故选：D点评：本题主要考查函数积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式．8．（5分）设函数g（x）是二次函数，f（x）=，若函数f[g（x）]的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）D．[1，+∞）考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数f[g（x）]的值域是[0，+∞），f（x）=求f（x）的定义域，则函数g（x）的值域是f（x）的定义域的子集，且又由g（x）是二次函数得答案．解答：解：∵f（x）=，又∵函数f[g（x）]的值域是[0，+∞），∴g（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），又∵函数g（x）是二次函数，∴﹣∞与+∞不可能同时存在，故排除A、C；又∵要取到0；故选B．点评：本题考查了函数的定义域与值域，属于基础题．9．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）e x的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．解答：解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．点评：本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．10．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数的值；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b 的取值范围即可．解答：解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．点评：熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题卷的相应位置上. 11．（5分）函数f（x）=2sin（），x∈[﹣π，0]的单调递减区间为．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的图象和性质以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=2sin（），∴f（x）=﹣2sin（x），∴函数f（x）=﹣2sin（x）的递减期间即为y=2sin（x）递增区间，由，得，k∈Z，∴当k=0，函数的递减区间为，∴当x∈[﹣π，0]的单调递减区间为，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的图象性质，利用复合函数单调性之间单调性的关系是解决本题的关键．12．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．解答：解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．13．（5分）已知2sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα=．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：把已知的等式左边展开二倍角的正弦，求出角α的余弦值，则正切值可求．解答：解：由2sin2α=﹣sinα，得：4sinαcosα=﹣sinα，因为α∈（，π），所以sinα≠0，所以cosα=，则sinα=所以．故答案为点评：本题考查了二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，求解时注意角的范围，是基础题．14．（5分）利民厂某产品的年产量在100吨至300吨之间，年生产的总成本y（万元）与年生产量x（吨）之间的关系可近似第表示为y=﹣30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为200吨．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设每吨的平均成本为W（万元/吨），则W==≥2，由此利用均值不等式能求出x=200吨时，每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．解答：解：设每吨的平均成本为W（万元/吨），则W==≥2，当且仅当，即x=200吨时，每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．故答案为：200．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．解答：解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．点评：本题主要考查与函数有关的新定义的应用，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅，可求a（2）由题意可得A∩B≠∅且A⊆C，结合集合之间的基本运算可求a的范围解答：解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤3点评：本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．17．（12分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x．（1）当x∈[1， 4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的值域．专题：综合题．分析：（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，即确定函数的值域；（2）利用换元法化简函数，再对新变元分类讨论，同时结合分离参数法，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）…（2分）因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，…（4分）故函数h（x）的值域为[0，2]…（6分）（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k•log2x令t=log2x，因为x∈[1，4]，所以t=log2x∈[0，2]所以（3﹣4t）（3﹣t）＞k•t对一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）1°当t=0时，k∈R；…（9分）2°当t∈（0，2]时，恒成立，即…（11分）因为，当且仅当，即时取等号…（12分）所以的最小值为﹣3…（13分）综上，k∈（﹣∞，﹣3）…（14分）点评：本题考查函数的值域，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，利用基本不等式求最值．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理把中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A．（2）由（1）知，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为，所以，则，所以，于是（2）由（1）知而，所以AC=BC，设AC=x，则又．在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2，即，解得x=2，故．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．19．（13分）已知函数f（x）=x2﹣（1+2a）x+alnx（a为常数）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；（2）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性与单调区间．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2+x﹣lnx，则∴f（1）=2，f′（1）=2∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y﹣2=2（x﹣1）即y=2x；（2）由题意得，由f′（x）=0，得①当时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或；令f′（x）＜0，x＞0，可得∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和，单调减区间是；②当时，，当且仅当x=时，f′（x）=0，所以函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数；③当时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；令f′（x）＜0，x＞0，可得∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（a，1），单调减区间是；④当a≥1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，x＞0，可得∴函数f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是．点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，利用导数的正负确定函数的单调性是关键．20．（13分）已知函数f（x）=sin cos+cos2．（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求出该函数图象的对称中心；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2=ac，求f（B）的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，利用f（x）=0，求解其对称中心；（Ⅱ）结合余弦定理和基本不等式，然后，根据B的范围求解f（B）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由=0，即即对称中心的横坐标为…（6分）（Ⅱ）由已知b2=ac，，∴，∴即f（x）的值域为．综上所述，，f（x）值域为．…（13分）点评：本题重点考查了三角恒等变换公式及其灵活运用、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）=﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0=，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，利用导数求其最大值为0，即得结论；（Ⅲ）利用斜率公式及导数的几何意义及（Ⅱ）的结论即可得证．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=﹣+ax+（1﹣a）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）=，∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）．（Ⅲ）k==+a（x2﹣x1）+1﹣a，f′（x0）=﹣+ax0+1﹣a＞+a（x2﹣x1）+1﹣a，⇔＜⇔ln＞2，令x2＞x1＞0，=t，（0＜t＜1），∴=，ln＞2⇔ln＞2t⇔ln（1+t）﹣ln（1﹣t）+2t＜0，由（Ⅱ）可知上式成立．∴f′（x0）＞k成立．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，注意构造法的合理应用，逻辑性强，属于难题．。

2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）与直线l：y=2x+3平行且与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相切的直线方程是（）A．B．C．D．3．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交5．（5分）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．7．（5分）设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π9．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：311．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是．14．（4分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为．15．（4分）经过点P（1，1）的直线在两坐标轴上的截距都是正数，若使截距之和最小，则该直线的方程是．16．（4分）直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题（满分74分．）17．（12分）已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a 的取值范围是什么？18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．19．（12分）如图四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E为BC的中点．（I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（II）求二面角N﹣AM﹣D的余弦值．20．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．22．（14分）在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是线段DE的中点．（I）求证：平面BCF⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值．2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．2．（5分）与直线l：y=2x+3平行且与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相切的直线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l：y=2x+3∴k l=2若圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的切线与l平行所以切线的斜率k=2观察四个答案；A中直线的斜率为1，不符合条件，故A错误；B中直线的斜率为，不符合条件，故B错误；C中直线的斜率为﹣2，不符合条件，故C错误；D中直线的斜率为2，符合条件，故D正确；故选：D．3．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选：A．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选：D．5．（5分）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中AB=AD=2，CC1=，易得CB=CD=2，C1B=C1D=根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E⊥BD，CE⊥BD则∠C1EC即为二面角C1﹣BD﹣C的平面角在△C1EC中，C1E=2，CC1=，CE=故∠C1EC=30°故二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°故选：A．6．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选：C．7．（5分）设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①若m∥l，n∥l，则m∥n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；③若m∥l，m∥α则l∥α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m∥a∥l，此时α∥β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m∥a∥l，此时α∥β不成立．故错误；⑥α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．故选：C．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO==3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故选：B．9．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a=tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．10．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，∵连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积相等∴把直三棱柱ABC﹣A1B1C1分割为：B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1，∴三棱锥的B﹣B1A1C1为V，∴四棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1的体积之和为：V﹣V=，∵四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积，高相等．∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的体积相等，即为，∴棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1的体积相等，为，∴平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，故选：A．11．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x 1，y1），=k，则y0=kx0，∵PQ中点为M（x0，y0），∴Q（2x0﹣x1，2y0﹣y1）∵P，Q分别在直线x+2y﹣1=0和x+2y+3=0上，∴x1+2y1﹣1=0，2x0﹣x1+2（2y0﹣y1）+3=0，∴2x0+4y0+2=0即x0+2y0+1=0，∵y0=kx0，∴x0+2kx0+1=0即x0=﹣，又∵y0＞x0+2，代入得kx0＞x0+2即（k﹣1）x0＞2即（k﹣1）（﹣）＞2即＜0∴﹣＜k＜﹣故选：A．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，∴BD==，CD==，∴BD2+CD2=BC2，AD2+CD2=AC2，∴AD⊥CD，BD⊥CD，又AD∩BD=D，∴CD⊥平面ABD，∵CD⊂平面BDC，CD⊂平面ADC，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC，∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵AB⊥AD，AD∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABD，AD⊂平面ADC，∴平面ABD⊥平面ABC，平面ADC⊥平面ABC．∴在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为4个．故选：C．二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是∀x∈R，2x＞0．【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x＞0”故答案为“∀x∈R，2x＞0”14．（4分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为4π．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．这是两个底面半径为，母线长2的圆锥，故S=2πrl=2π××2=4π．故答案为：4π．15．（4分）经过点P（1，1）的直线在两坐标轴上的截距都是正数，若使截距之和最小，则该直线的方程是x+y﹣2=0．【解答】解：设直线的截距式为：=1（a，b＞0），则=1．∴a+b=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=2时取等号．∴该直线的方程是x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．16．（4分）直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是．三、解答题（满分74分．）17．（12分）已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是什么？【解答】解：对于命题p：因其值域为R，故x2+2x+a＞0不恒成立，所以△=4﹣4a≥0，∴a≤1．对于命q：因其是减函数，故5﹣2a＞1，则a＜2．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p真q假或p假q真．若p真q假，则，则a∈∅，若p假q真，则，则1＜a＜2．综上，知1＜a＜2，故实数a的取值范围为（1，2）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．19．（12分）如图四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E为BC的中点．（I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（II）求二面角N﹣AM﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D﹣xyz，依题意，得D（0，0，0），A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），N（2，2，2），E（1，2，0）．∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣2，0，2），∵cos＜，＞===﹣，∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为•（Ⅱ）=（﹣2，0，2），=（0，2，2），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面AMD的法向量=（0，1，0），设二面角N﹣AM﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2，①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0由①②解得D=2，E=﹣4∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，即||=，∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=321．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，进而BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM===．∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为．22．（14分）在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是线段DE的中点．（I）求证：平面BCF⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵CE⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，∴AD⊥CE，∵CD∩CE=C，∴AD⊥平面CDE，∵BC∥AD，∴BC⊥平面CDE，∵BC⊂平面BCF，∴平面BCF⊥平面CDE．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，过D作EC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，2），F（0，2，0），E（0，4，0），=（0，﹣4，﹣2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，﹣2），设平面ABF的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（，1，﹣2），设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣），设二面角A﹣BF﹣E的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==．二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值为．第21页（共21页）。

2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M-N={x|x∈M且x∉N}，则M-（M-N）等于（）A.NB.M∩NC.M∪ND.M【答案】B【解析】解：M-N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M-（M-N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M-（M-N）=N；若M与N的V enn图互不相交，则M-（M-N）=M．故选B．本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A.x2-4B.x2+4C.（x+4）2D.（x-4）2【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x-4）=（x-4）2故选D根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（-2，0）上来求．本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3.已知函数f（x）=＞，则f（log23）=（）A.3B.C.1D.2【答案】B【解析】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23-1）而log23-1＜1∴f（log23）=f（log23-1）==3×=故选B．先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23-1），再判定log23-1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4.计算log2sin+log2cos的值为（）A.-4B.4C.2D.-2【答案】D【解析】解：∵==2-2．∴原式===-2．故选：D．由于=．可得原式==，即可得出．本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：＜＜，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6.奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【解析】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：=cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sin B，在△ABC中，由正弦定理得=∠•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sin B=|BC|•=，故选：B．利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2-q-2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n-2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值．本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4-2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】D【解析】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4-2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.3B.4C.5D.8【答案】B【解析】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：当=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A.f（x）=sin2xB.f（x）=-sin2xC.f（x）=sin（2x-）D.f（x）=sin（2x+）【答案】C【解析】解：依题意，知A=1，T=-=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向右平移个长度单位，得y=f（x-）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），故选：C．依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12.函数，＞，＜图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A.3B.4C.5D.无数【答案】B【解析】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=-cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=-cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（-x）=-f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为______ ．【答案】10【解析】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21．由451≤30n-21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750求得正整数n的个数，即为所求．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.向量，，，，若与的夹角等于，则|的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：如图，设=，=，则=，与的夹角等于，即∠OBA=，再设||=a，||=t，在△OAB中，根据余弦定理有：22=a2+t2-2at•cos，整理得：t2-at+a2-4=0，由（-a）2-4（a2-4）≥0，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以||的最大值为4．由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之．在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得||的最大值．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题．16.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sin A=cos B，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是______ ．【答案】（3）（4）【解析】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sin A=cos B=，∵A，B∈（0，π），∴A=-B，或A+-B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，∴cos A[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cos A cos B cos C＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sin A=cos B=，A，B∈（0，π），可得A=-B，或A+-B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化为cos A cos B cos C＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函数的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判断出正误．本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【答案】解：（1）f（x）=，＜若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（-∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【解析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A+tan B=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sin A sin C的值．【答案】解：（Ⅰ）已知等式变形得：+=，去分母得：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos B，即sin（A+B）=2sin C cos B=sin C，∵sin C≠0，∴cos B=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cos B=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2-2accos B=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sin A sin C=，则sin A sin C=．【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sin C不为0求出cos B的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cos B的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sini A sin C的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．【答案】解：（Ⅰ）===…．（4分）∵，，∴，，．∴，．…．（7分）（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9-2×2×3×cos=7，解得a=．…．（10分）由，得，又b＜a，从而B＜A，cos B=．∴…（14分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sin B及cos B的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②-①得，a2（a2-a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2-a1=1④①④联立可得，或，综上可得，a1=0，a2=0或，或，（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得，当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2∴b1＞b2＞…＞b7=＞当n≥8时，＜∴数列的前7项和最大，==7-【解析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．22.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1-a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n-1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n＞0，则|a n+1-a n|=p n化为：a n+1-a n=p n，分别令n=1，2可得，a2-a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2-p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1-a n|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1-a2n-1＞0，且a2n+2-a2n＜0，则-（a2n+2-a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＞0，即a2n+1-a2n+2＞a2n-1-a2n，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＞0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＞a2n+1-a2n，即|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m-1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…-…+ =-=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，为偶数为奇数．【解析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n +1-a n |=p n”、不等式的可加性，求出和a 2n +1-a 2n =，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．。

2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=55．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣27．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．8．已知A（2，0）、B（0，2），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．3 B．2C． D．29．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B． C． D．210．已知圆（x﹣3）2+（y+5）2=36和点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π12．如图，点P（3，4）为圆x2+y2=25的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则cos∠DAO的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，则sin2θ=．14．过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线l的斜率k=．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为4，SC为斜边，OB⊥SC，现将三角形SOC 绕SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△SOB形成的体积为，则V=．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．18．已知两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点为P．（1）直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）圆C过点（3，1）且与l1相切于点P，求圆C的方程．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC 的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2，AB=PB=4，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P、Q两点．（1）若t=|PQ|=6，求直线l2的方程；（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；数学模型法；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．2．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣1=0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．5．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π．故选A．【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．7．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】探究型；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】由棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，知平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为α的平面．由此能求出结果．【解答】解：因为棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，所以平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为α的平面．设棱长为：1，∴sinα==，∴cosα=．故选：B．【点评】本题考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．8．已知A（2，0）、B（0，2），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．3 B．2C． D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P（1，0）关于y轴的对称点P′坐标是（﹣1，0），设点P关于直线AB：x+y﹣2=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|==，故选：C．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．9．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B． C． D．2【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．已知圆（x﹣3）2+（y+5）2=36和点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得|AB|=5，C到AB距离是1，直线AB的方程为4x﹣3y﹣2=0，圆心到AB距离d==5＜6，直线AB和圆相交，由此能求出满足条件的点C的个数．【解答】解：∵点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC的面积为，∴|AB|=5，∴△ABC的高h==1，即C到AB距离是1，直线AB的方程为，即4x﹣3y﹣2=0，圆心到AB距离d==5＜6，∴直线AB和圆相交，过AB做两条距离1的平行线，∵6﹣5=1，∴一条相切，∴满足条件的点C的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．如图，点P（3，4）为圆x2+y2=25的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则cos∠DAO的值为（）A．B．C．D．【考点】圆方程的综合应用．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】要求cos∠DAO的值，由于A为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与∠DAO相等的角，然后进行求解，过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，我们可以判断∠DAO=∠PGO，进而得到结论．【解答】解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG．则：G点坐标为（﹣3，4），PG⊥EF，∵PEF是以P为顶点的等腰三角形，∴PG就是角DPC的平分线，∴G就是圆弧CD的中点．∴OG⊥CD，∴∠DAO+∠GOA=90°．而∠PGO+∠GOA=90°．∴∠DAO=∠PGO∴cos∠DAO=cos∠PGO=．故选B．【点评】本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，构造与∠DAO相等的角∠PGO，是解答本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，则sin2θ=．【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】由直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，利用直线的斜出tanθ=，再由万能公式sin2θ=，能求出结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，∴tanθ=，∴sin2θ===．故答案为：．【点评】本题考查正弦值的求法，是基础题，解题时要注意直线的倾斜角和万能公式的合理运用．14．过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线l的斜率k=．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由优弧所对的圆心角最大，劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A（1，）在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0），要使得优弧所对的圆心角最大，则劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以k=﹣=．故答案为：．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为4，SC为斜边，OB⊥SC，现将三角形SOC 绕SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△SOB形成的体积为，则V=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】旋转一周后，△SOC形成的几何体为底面半径为4的圆锥，△SOB形成的几何体为两个同底的圆锥，根据他们的体积关系求出B到SO的距离，再根据相似三角形解出SO的长，代入体积公式计算．【解答】解：过B作BA⊥SO于点A，则V=π42•SO=SO，=•π•BA2•SA+•π•BA2•OA=•π•BA2•SO．∴BA=2，∴BA是△SOC的中位线，即A是SO的中点，∵SO⊥SC，∴△SAB∽△BAO，∴，即SA•AO=AB2=4，∵SA=AO，∴SA=AO=2，∴SO=2SA=4，∴V=SO=．故答案为．【点评】本题考查了旋转体的体积，求出AB的长是关键．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，由正四面体ABCD的棱长为9，求出每个面面积S=，高h=3，由正四面体ABCD的体积得到h1+h2+h3=3，再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值．【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，则AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，∴h1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴点P到面DCA的距离最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）判断四边形CDEF为矩形，然后证明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后证明平面DEG ⊥平面CFG．（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，求出GH，说明GH⊥平面CDEF，利用求出体积．【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，=16．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．18．已知两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点为P．（1）直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）圆C过点（3，1）且与l1相切于点P，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）联立方程组，求出直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点，再求出直线l的斜率，可得直线l的方程；（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【解答】解：（1）联立方程组，解得x=0，y=2，∴直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P（0，2），又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为﹣，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0．（2）设圆方程为标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∴a2+（b﹣2）2=（a﹣3）2+（b﹣1）2==r2，∴a=1，b=0，∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=5．【点评】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC 的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜＞然后根据cos＜＞≥0则异面直线BE与AC所成角即为＜＞，若cos＜＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π﹣＜＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．（2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜，＞再根据若cos＜，＞≥0则直线BE和平面ABC 的所成角为﹣＜，＞，若cos＜，＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜，＞﹣然后再根据诱导公式和cos＜，＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）∴，∴COS＜＞==﹣…（5分）所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）（2）设平面ABC的法向量为则知知取，…（8分）则…（10分）故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2，AB=PB=4，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BD，利用平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，可得AD⊥平面PBD，从而AD⊥PB；（Ⅱ）作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，连接DF，△PBD中，由余弦定理求得，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=2，AB=4，∠BAD=60°，∴由余弦定理求得．∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．…6分（Ⅱ）解：作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F四点共面，连接DF，所以由（Ⅰ）的结论可知，PB⊥平面ADE当且仅当PB⊥DF．在△PBD中，由PB=4，，，余弦定理求得，∴在RT△PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，因此．…12分．【点评】本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P、Q两点．（1）若t=|PQ|=6，求直线l2的方程；（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，设直线l2的方程y=k（x﹣1），利用PQ=6，可得圆心到直线的距离d==，即可求直线l2的方程；（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty﹣2t=0，由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2=至多有一个公共点，故，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意，圆心坐标为（3，1），半径为，则设直线l2的方程y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心到直线的距离d==，∴k=0或，（3分）当k=0时，直线l1与y轴无交点，不合题意，舍去．∴k=时直线l2的方程为4x﹣3y﹣4=0．（6分）（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得，2x+ty﹣2t=0．由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥．（8分）依题意知，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2=至多有一个公共点，故，解得或t≥．因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以t=4．所以圆圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．①当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时，S DEPQ=2；（10分）②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k（x﹣1），k≠0，则l1的方程为y=﹣（x﹣1），点E（0，），∴BE=，又圆心到l2的距离为，∴PQ=2，∴S△EPQ=••2=≥．∵＜2，∴（S△EPQ）min=．（14分）【点评】本题考查直线方程，考查三角形面积的最小值的求法，确定三角形面积是关键．。