四川省成都市2016级高中毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题及参考答案

成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题(理科)本试卷分为卷和卷两部分,卷1至4页,满分100分；卷5至6页，满分60分。

全卷满分160分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合, ,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由不等式求出的范围，得出集合，再求出。

详解：由有，，所以，故，选B. 点睛：本题主要考查了不等式的解集及集合间的交集运算，属于容易题。

2. 复数 (为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标。

详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题。

3. 若实数满足约束条件，则的最大值为（）A. -4B. 0C. 4D. 8【答案】D【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。

详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题。

4. 已知等差数列的前项和为，且，，则（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】分析：利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，求出，从而求出的值。

详解：由有，，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.点睛：本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题。

在等差数列中，若，且，则。

5. 已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长。

成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.B2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.C 10.C 11.D12.A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.y x 82-=；14.23； 15.81； 16.61. 三、解答题：（共70分）17．解：（Ⅰ）23)('2-+=x ax x f (1)分0213,0)1('=--∴=-a f ．解得1=a . …………3分.23)(',221)(223-+=-+=∴x x x f x x x x f .2)1(',21)1(=-=f f…………4分 ∴曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为.0524=--y x…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），当)('x f ＝0时，解得x ＝-1或x ＝32. 当x 变化时．)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：…………8分∴)(x f 的极小值为2722)32(-=f .…………9分 又21)1(,23)1(-==-f f ，…………11分 .2722)32()(,23)1()(min max -===-=∴f x f f x f…………12分18．解：（Ⅰ） 各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1，∴（a ＋a ＋6a ＋8a ＋3a ＋a ）×20＝1．解得a ＝0.0025. …………3分∴诵读诗词的时间的平均数为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64（分钟）…………6分（Ⅱ）由频率分布直方图，知［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数的频率之比为1:3:1.故5人中［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数分别为1，3，1.…………8分设［0，20）,［80．100），［100，120］内的5人依次为A ，B ，C ，D ，E ，则抽取2人的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况. …………10分符合两同学能组成一个“Team ”的情况有AB ，AC ，AD ，AE 共4种. 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为52104==P .…………12分19．解：（Ⅰ）在△MAC 中， AC ＝1，CM ＝3，AM ＝2，AC 2＋CM 2＝AM 2. ∴由勾股定理的逆定理，得MC ⊥AC.…………1分 又AC ⊥BM ， BM ∩CM ＝M ，∴AC ⊥平面BCM ． …………3分 ∴BC ⊥平面BCM ，∴BC ⊥AC.平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ．BC ⊂平面ABC ， …………5分∴BC ⊥平面ACD.（Ⅱ） BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥C.又BC ⊥AC ，MC ⊥AC ， 故以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz C .…………6分∴A （1，0，0），B （0，1，0），M （0，0，3），D(-1，0，23),E(-1，1，23) ∴＝（0，-1，3），＝（＝1，0，3），＝（-1，0，23）.设平面DBM 的法问量为m ＝（x 1，y 1，z 1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03031111z x z y .取)1,3,3(,11=∴=m z .…………8分设平面DBM 的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-032032222z x z y .取)1,3,32(,12=∴=n z .…………10分147547133323,cos =⨯+⨯+⨯=⋅=∴n m n m n m . 二面角D －BM 一E 为锐二面角，故其余弦值为1475.…………12分20．解：（Ⅰ） 椭圆P 的上顶点为B （0，1），∴b ＝1.…………1分设F(c,0).).71,78(,71,71-∴-=∴=c C BF CF 点 …………2分将点C 的坐标代入12222=+b y a x 中，得.43.149149642222=∴=+a c a c …………3分又由222c b a +=，得2a ＝4.…………4分∴椭圆P 的方程为1422=+y x .…………5分（Ⅱ）由题意，知直线MN 的斜率不为0．故设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x m y x ，消去x ，得032)4(22=-++my y m .048162>+=∆m .…………6分设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）. 由根与系数的关系，得43,42221221+-=+-=+m y y m m y y . …………7分 .211212121y y y y S AMN -=-⨯⨯=∴∆…………8分直线AM 的方程为)2(211--=x x y y ，直线AN 的方程为)2(222--=x x y y 令x ＝3，得)2(211--=x x y y P ，同理)2(222--=x x y y Q . )1)(1(21)1)(1()1()1(2111212221121212121122122112211---=-----=---=---=-⨯⨯=∴∆m y m y y y m y m y m y y m y y m y y m y y x y x y y y S Q P APQ …………10分故.2144442314231)()1)(1(222222222121221=+=++++-=+++-=++-=--=∆∆m m m m m m m m y y m y y m m y m y S S APQAMN2,42±==∴m m .∴直线l 的方程为x ＋2y －1＝0或x －2y －1＝0.…………12分21．解：（Ⅰ）1ln )('-+=a x a x f .…………1分a ≠0，∴由)('x f ＝0，得aax -=1ln ，即a ae x -=1. …………3分①若a ＞0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：②若a ＜0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：综上，当a ＞0时，)(x f 在),0(1aa e +上单调遍减，在),[1+∞-aa e上单调递增；…………4分当a ＜0时，)(x f 在),0(1aa e+上单调递增，在),[1+∞-aa e 上单调减.…………5分（Ⅱ） 当a ＞0时，函数)(x f 恰有两个零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-021ln 021ln 222111x x ax x x ax ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=22211121ln 21ln x x x a x x x a两式相减，得.22121ln2121221121x x x x x x x x x x a -=---=212121212121ln 2,0ln ,10,0x x x x x ax x x x x x x -=∴<∴<<∴<< .…………7分∴要证212177x ax x x >+，即证212121ln 2)(77x x x x x ->+，即证2121217)(7ln 2x x x x x x +-<.即证17)1(7ln 2212121+⨯-<x x x x x .令21x x ＝t （0＜t ＜1），则即证17)1(7ln 2+-<t t t .…………9分设17)1(7ln 2)(+--=t t t t g ，即证)(t g ＜0在t ∈（0，1）恒成立.22222)17()17(2)17(22898)17(562)('+-=++-=+-=t t t t t t t t t t g .…………10分0)('≥∴t g 在t ∈（0，1）恒成立，)(t g 在t ∈（0，1）单调递增. )(x g 在t ∈（0，1］是连续函数.∴当t ∈（0，1）时，g （t ）＜g （1）＝0.∴当a ＞0时，有212177x ax x x >+.…………12分22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数，得).1(331-=-y x 化简，得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0…………2分又将曲线C 的极坐标方程化为3cos2222=+θρρ，.32)(222=++∴x y x∴曲线C 的直角坐标方程为1322=+y x . …………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入1322=+y x 中，得.1)231(31)211(22=+++t t 化简，得.032)331(22=+++t t ） 此时033838>+=∆.…………6分此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数21,t t ，由根与系数的关系，得.32,)3322(2121=+-=+t t t t …………8分∴由直线参数的几何意义，知.33222121+=--=+=+t t t t BM AM…………10分。

成都市2016级高中毕业班第二次诊断性测试模拟卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，，，则A. B. C. D. 1，2.若复数为虚数单位，则A. B. C. 3 D. 53.在中，D为AB的中点，点E满足，则A. B. C. D.4.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.6.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.7.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前n项和为，且，则A. 50B. 52C. 69D. 1038.某省新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为A. B. C. D.9.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.10.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要11.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径若平面平面PCB，，，三棱锥的体积为a，则球O的体积为A. B. C. D.12.双曲线C的左、右焦点分别为、，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题p：，，则￢为______．14.执行如图的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值是______．15.已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则等于16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的取值范围为___________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且．求的值；若，，求的面积．18.如图，四边形ABCD是边长为的正方形，E为BC的中点，以DE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且二面角为直二面角，连结AP，BP．记平面ABP与平面DEP相较于l，在图中作出l，并说明画法；求直线l与平面ADP所成角的正弦值．19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试满分100分，结果如表所示：并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中20.已知圆上的一动点M在x轴上的投影为N，点P满足．求动点P的轨迹C的方程；若直线l与圆O相切，且交曲线C于点A，试求的最大值．21.已知函数．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：求曲线C的极坐标方程；设直线与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知，求t的值．23.已知函数．若，求t的取值范围；若存在，使得成立，求a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. A6. A7. A8. C9. B10. A11. B12. A13. ，14. 1315.16.17. 本小题满分12分解：由题，得，可化得，，，，由正弦定理，得分由，，及余弦定理得，又由知，代入中，解得，则，分18. 解：延长AB，DE，交于点M，由此作出平面PAB与平面PED的交线PM．取AB中点F，连接CF交DE于O，四边形ABCD是边长为的正方形，E为BC 的中点，，，二面角为直二面角，面ABED．故以O为原点建立空间直角坐标系．，，0，，0，，4，，0，．，，．设面PAD的法向量为．．，直线l与平面ADP所成角的正弦值为．由列联表可得．在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．Ⅱ由题意得所求概率为：．设获得高校自主招生通过的人数为X，则～，，1，2，3，4，估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为．20. 解：设，，则，因为，所以，即又点M在圆O上，所以，即，所以点P的轨迹C的方程为．设直线l：斜率显然存在，，，由直线l与圆O相切，得，即．由得，其中，则，，所以．令，则．又函数在区间内单调递增，所以，故，即的最大值为2．21. 解：Ⅰ由题意知：，当，时，有，当时，，当时，，函数在递增，在递减；Ⅱ由题意当时，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，设，则，，则，当时，有，故在递增，且，，故函数有唯一零点，且，故当时，，，递减，当时，，，递增，即为在定义域内的最小值，故，，得，，令，，故方程等价于，，而等价于，，设函数，，易知单调递增，又，，故是函数的唯一零点，即，，故的最小值，故实数b的取值范围是．22. 解：由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，即分，，故曲线C的极坐标方程为分将代入中，得，则．分将代入中，得．设点P的极径为，点Q的极径为，则分所以分又，则．或分23. 解：由得，，或，或，解得．当时，，存在，使得即成立，存在，使得成立，，．【解析】1. 解：集合0，1，，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：，则．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 解：根据题意得，故选：A．运用三角形法则和共线向量的知识可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．4. 解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，，解得，，小满日影长为尺．故选：C．利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第11项的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5. 解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：，．故选：A．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6. 解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，又由双曲线经过点，则有，则双曲线的方程为；故选：A．根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线方程可得的值，将的值代入双曲线的方程，变形可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线的方程．7. 解：等比数列中，，可得，解得，数列是等差数列中，则．故选：B．由等比数列的中项性质可得，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8. 【分析】得到基本事件总数，再得到所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，是基础题．【解答】解：广东省2018年新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，设选择物理、历史学科分别为事件A、B，选择生物、化学、地理、政治分别为事件C、D、E、F．所有可能的选择为：ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF．共有12种不同的选法其中选考历史、化学的可能有如下3种情况：BCD，BDE，BDF．所以在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为．故选：C．9. 解：如图，，设直线l的倾斜角为，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离，故，，则，．又，，即．故选：B．由题意画出图形，直线l的倾斜角为，由已知结合抛物线定义可得，求得，可得k，再把焦点坐标代入求得m值．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．10. 【分析】本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选A．11. 解：如下图所示，设球O的半径为R，由于PC是球O的直径，则和都是直角，由于，，所以，和是两个公共斜边PC的等腰直角三角形，且的面积为，，O为PC的中点，则，平面平面PBC，平面平面，平面PAC，所以，平面PBC，所以，三棱锥的体积为，因此，球O的体积为，故选：B．设球O的半径为R，由已知条件得出和是两个公共斜边PC的等腰直角三角形，以及证明平面PBC，进而用R表示三棱锥的体积，得出a与R的关系，即可得出球O的体积．本题考查球的体积的计算，解决本题的关键主要找出球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题．12. 【分析】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及是以为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标，所以双曲线中，，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，，解得，双曲线的离心率．故选A．13. 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，，则￢为，．故答案为：，．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基本知识的考查．14. 解：模拟执行程序框图，可得满足条件，满足条件，满足条件，不满足条件，输出y的值为13．故答案为：13．模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当时不满足条件，计算并输出y的值为13．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．15. 【分析】根据可得出的周期为4，从而得出，再根据是偶函数，并且时，即可求出，的值，从而得出的值考查偶函数的定义，周期函数的定义，已知函数求值的方法．【解答】解：；的周期为4；又是R上的偶函数，且时，；，；．故选C．16. 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质以及二倍角的应用，还考查了函数的零点与方程根的问题，属于难题．【解答】解：由已知得，，令，，则或，解得或，令，则，则令，解得．故答案为．17. 由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由，即，可求，由正弦定理即可求得．由及已知及余弦定理得a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18. 延长AB，DE，交于点M，由此作出平面PAB与平面PED的交线PM．取AB中点F，连接CF交DE于O，以O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查面面、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19. Ⅰ作出列联表，由列联表求出从而在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．Ⅱ由题意利用互斥事件概率加法公式能求出他获得高校自主招生通过的概率．设获得高校自主招生通过的人数为X，则～，由此能求出X的分布列，并能估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．本题独立性检验的应用，考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力，是中档题．20. 本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆、椭圆的位置关系等，以及解析几何中的最值问题的求法．根据设点，列关系式，化简的步骤即可得解．先设出直线方程，由直线l与圆O相切，得到，再联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得到关于的式子，再求最值即可．21. Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为恒成立，设，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出b的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 由曲线C的参数方程，能求出曲线C的普通方程，由，，能求出曲线C的极坐标方程．将代入中，从而将代入中，得设点P的极径为，点Q的极径为，从而，由此能求出t的值．本题考查曲线的极坐标方程、实数值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23. 去掉绝对值符号，列出不等式组求解即可．利用讲的是的几何意义，转化列出不等式求解即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。

【全国市级联考】四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2P =--,{}220Q x x x=+- ,则P Q =（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．复数31i z i +=+ (i 为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ．(1,1)- C ．(1,2) D ．()2,23．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-4B ．0C ．4D ．84．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且452a =，1015S =，则7a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 5．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).y +=C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为（ ）A ．12 BC ．1 D6．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 7．“4πϕ=-”是“函数()cos(3)f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (万公里)与维修保养费用y (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y 与x 的线性回归方程为0.4606ˆ.1yx =+.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.则被污损的数据为（ ）A ．3.20B ．3.6C ．3.76D ．3.849．若函数()()23x f x x ax e =++在()0,+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞-B ．(,-∞-C ．(],3-∞-D ．(),3-∞- 10．某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形.则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）A ．2BC ．3 D11．某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000i s =B ．x a =，500i s =C ．2x a =，1000i s =D ．2x a =，500i s = 12．设函数()2,0165,1lnx x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩.若曲线20kx y --=与函数()f x 的图象有4个不同的公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A．()6e -B．()62- C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为()0,2-，则此抛物线的标准方程为___________．14．若()21sin 11ax x dx ⎰+=-，则实数a 的值为__________． 15．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是__________．16．如图，在ABC 中，已知120BAC ∠=︒其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ,设以,E C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则当1221e e +取最大值时，AD DC的值为__．三、解答题17．已知函数()32122f x ax x x =+-，其导函数为()f x '，且(1)0f '-=. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程(Ⅱ)求函数()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值.18．2021年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，[]100,120，经统计得到了如图所示的频率分布直方图(Ⅰ)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间,x y 满足60x y ->，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.19．如图，在多面体ABCDE 中，已知四边形BCDE 为平行四边形，平面ABC ⊥平面ACD ，M 为AD 的中点，AC ⊥BM ，AC =BC =1，AD =4，CM =√3.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ)求二面角D −BM −E 的余弦值20．已知椭圆()2222:a b 0x y a bΓ+>>的右顶点为A ，上顶点为()0,1B ，右焦点为F .连接BF 并延长与椭圆Γ相交于点C ，且17CF BF =（1）求椭圆Γ的方程；（2）设经过点()1,0的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点,M N ，直线,AM AN 分别与直线3x =相交于点P ，点Q .若APQ ∆的面积是AMN ∆的面积的2倍，求直线l 的方程.21．设函数()1 ln 2f x ax x x =-+，0a ≠. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a >时，函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明：121277x x ax x +> 22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112(12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()1,1M ．若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值．参考答案1．B【解析】分析：由不等式220x x +->求出x 的范围，得出集合Q ，再求出P Q 。

成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.B2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.C 10.C 11.D12.A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.y x 82-=；14.23； 15.81； 16.61. 三、解答题：（共70分）17．解：（Ⅰ）23)('2-+=x ax x f (1)分0213,0)1('=--∴=-a f ．解得1=a .…………3分.23)(',221)(223-+=-+=∴x x x f x x x x f.2)1(',21)1(=-=f f…………4分 ∴曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为.0524=--y x…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），当)('x f ＝0时，解得x ＝-1或x ＝32. 当x 变化时．)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：…………8分∴)(x f 的极小值为2722)32(-=f .…………9分 又21)1(,23)1(-==-f f ，…………11分 .2722)32()(,23)1()(min max -===-=∴f x f f x f…………12分18．解：（Ⅰ） 各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1，∴（a ＋a ＋6a ＋8a ＋3a ＋a ）×20＝1．解得a ＝0.0025. …………3分∴诵读诗词的时间的平均数为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64（分钟）…………6分（Ⅱ）由频率分布直方图，知［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数的频率之比为1:3:1.故5人中［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数分别为1，3，1.…………8分设［0，20）,［80．100），［100，120］内的5人依次为A ，B ，C ，D ，E ，则抽取2人的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况. …………10分符合两同学能组成一个“Team ”的情况有AB ，AC ，AD ，AE 共4种. 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为52104==P . …………12分19．解：（Ⅰ）在△MAC 中， AC ＝1，CM ＝3，AM ＝2，AC 2＋CM 2＝AM 2.∴由勾股定理的逆定理，得MC ⊥AC. …………1分 又AC ⊥BM ， BM ∩CM ＝M ，∴AC ⊥平面BCM ． …………3分 ∴BC ⊥平面BCM ，∴BC ⊥AC.平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ．BC ⊂平面ABC ， …………5分∴BC ⊥平面ACD.（Ⅱ） BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥C.又BC ⊥AC ，MC ⊥AC ，故以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xy z C .…………6分∴A （1，0，0），B （0，1，0），M （0，0，3），D(-1，0，23),E(-1，1，23) ∴BM ＝（0，-1，3），MD ＝（＝1，0，3），BE ＝（-1，0，23）.设平面DBM 的法问量为m ＝（x 1，y 1，z 1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MD m BM m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03031111z x z y .取)1,3,3(,11=∴=m z .…………8分设平面DBM 的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BM n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-032032222z x z y .取)1,3,32(,12=∴=n z .…………10分147547133323,cos =⨯+⨯+⨯=⋅=∴n m n m n m . 二面角D －BM 一E 为锐二面角，故其余弦值为1475.…………12分20．解：（Ⅰ） 椭圆P 的上顶点为B （0，1），∴b ＝1.…………1分设F(c,0).).71,78(,71,71-∴-=∴=c C BF CF BF CF 点 …………2分将点C 的坐标代入12222=+b y a x 中，得.43.149149642222=∴=+a c a c …………3分又由222c b a +=，得2a ＝4.…………4分∴椭圆P 的方程为1422=+y x .…………5分（Ⅱ）由题意，知直线MN 的斜率不为0．故设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x ，消去x ，得032)4(22=-++my y m .048162>+=∆m .…………6分设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）. 由根与系数的关系，得43,42221221+-=+-=+m y y m m y y . …………7分 .211212121y y y y S AMN -=-⨯⨯=∴∆…………8分直线AM 的方程为)2(211--=x x y y ，直线AN 的方程为)2(222--=x x y y 令x ＝3，得)2(211--=x x y y P ，同理)2(222--=x x y y Q . )1)(1(21)1)(1()1()1(2111212221121212121122122112211---=-----=---=---=-⨯⨯=∴∆my my y y my my my y my y my y my y x y x y y y S Q P APQ …………10分故.2144442314231)()1)(1(222222222121221=+=++++-=+++-=++-=--=∆∆m m m m m m m m y y m y y m my my S S APQAMN2,42±==∴m m .∴直线l 的方程为x ＋2y －1＝0或x －2y －1＝0.…………12分21．解：（Ⅰ）1ln )('-+=a x a x f .…………1分a ≠0，∴由)('x f ＝0，得aax -=1ln ，即aa ex -=1. …………3分①若a ＞0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：②若a ＜0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：综上，当a ＞0时，)(x f 在),0(1aa e +上单调遍减，在),[1+∞-aa e上单调递增；…………4分当a ＜0时，)(x f 在),0(1aa e+上单调递增，在),[1+∞-aa e 上单调减.…………5分（Ⅱ） 当a ＞0时，函数)(x f 恰有两个零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-021ln 021ln 222111x x ax x x ax ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=22211121ln 21ln x x x a x x x a两式相减，得.22121ln2121221121x x x x x x x x x x a -=---=212121212121ln 2,0ln ,10,0x x x x x ax x x x x x x -=∴<∴<<∴<< .…………7分∴要证212177x ax x x >+，即证212121ln 2)(77x x x x x x ->+，即证2121217)(7ln 2x x x x x x +-<.即证17)1(7ln 2212121+⨯-<x x x x x x .令21x x ＝t （0＜t ＜1），则即证17)1(7ln 2+-<t t t . …………9分设17)1(7ln 2)(+--=t t t t g ，即证)(t g ＜0在t ∈（0，1）恒成立.22222)17()17(2)17(22898)17(562)('+-=++-=+-=t t t t t t t t t t g .…………10分0)('≥∴t g 在t ∈（0，1）恒成立，)(t g 在t ∈（0，1）单调递增. )(x g 在t ∈（0，1］是连续函数.∴当t ∈（0，1）时，g （t ）＜g （1）＝0.∴当a ＞0时，有212177x ax x x >+.…………12分22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数，得).1(331-=-y x 化简，得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0…………2分又将曲线C 的极坐标方程化为3cos 2222=+θρρ，.32)(222=++∴x y x∴曲线C 的直角坐标方程为1322=+y x . …………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入1322=+y x 中，得.1)231(31)211(22=+++t t 化简，得.032)331(22=+++t t ） 此时033838>+=∆.…………6分此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数21,t t ，由根与系数的关系，得.32,)3322(2121=+-=+t t t t …………8分∴由直线参数的几何意义，知.33222121+=--=+=+t t t t BM AM …………10分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|A x y ==，{|||2}B x x =≤，则A B =UA. [2,2]-B. [2,4]-C. [0,2]D. [0,4]【答案】B【解析】{|04}A x x =≤≤，{|22}B x x =-≤≤，故{|24}A B x x =-≤≤U 2. 函数()22xf x x =+-的零点所在的区间是A. (,1)-∞-B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】C【解析】(0)1,(1)1f f =-=，由零点存在定理知()f x 的零点所在的区间是(0,1) 3．复数31iz i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为A. 1-B. i -C. 2iD. 2【答案】D 【解析】3121iz i i+==+-，故复数z 的虚部为24、已知某几何体的正视图和侧视图君如右图所示，则该几何体的俯视图不可能为A. B. C. D.【答案】A【解析】答案A 的正视图或者侧视图上半部分的三角形的底边长应该比下半部分的顶边长短一些5、将函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的一个减区间是A. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】平移后的解析式为()cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令2226k x k ππππ≤+≤+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，故D 答案符合.另解：平移后的周期为π，单调减区间的区间长最多为半周期，只有D 答案符合要求 6．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100,128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100,104),[104,108),[108,112),[112,116), [116,120),[120,124),[124,128]，绘制出频率分布直方图如图所示. 已知分数低于112分的人有18人，则分数不低于120分的人数为 A. 10 B. 12 C. 20 D. 40 【答案】A【解析】分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为180.05100.09⨯=人7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 9种 【答案】C【解析】甲乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，对应人数为23C (从剩下的三个人中选两个抢3元的红包)；（2）都抢到3元的红包，对应人数为23C (从剩下的三个人中选两个抢2元的红包)；（3）一个抢到2元一个抢到3元，对应人数为1223C A (由于红包金额不一样，所有甲乙之间有个排列，从剩下的三个人选两个进行排列，然后分别对应一个2元和一个3元的红包)，故总共的情况有18种.8．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E F 、分别是线段PB PC 、上的动点. 则下列说法错误的是 A. 当AE PB ⊥时，AEF ∆一定为直角三角形 B. 当AF PC ⊥时，AEF ∆一定为直角三角形C. 当//EF 平面ABC 时，AEF ∆一定为直角三角形D. 当PC ⊥平面AEF 时，AEF ∆一定为直角三角形【答案】B【解析】PA ⊥底面ABC ，则PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 则BC ⊥平面PAB(1) 当AE PB ⊥时，BC AE ⊥，则AE ⊥平面PBC ，AE EF ⊥，A 正确.(2) 当//EF 平面ABC 时，又EF ⊂平面PBC ，平面PBC I 平面ABC BC =，则//EF BC ，故EF ⊥平面PAB ，AE EF ⊥，故C 正确 (3) 当PC ⊥平面AEF 时，PC AE ⊥，又BC AE ⊥，则AE ⊥平面PBC ，AE EF ⊥，故D 正确.用排除法可选B.9．已知函数()3,031,0x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()()()41f f x f x <+的解集是A. 1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()0,2D. 31,log 23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用特殊值法，当0x =时，原不等式化为341<+，故0是原不等式的解，排除A ，C 两个答案；在令3log 2x =，原不等式化为981<+，故3log 2不是原不等式的解，排除C 答案，故选D10．已知抛物线2y x =的焦点为F ，经过y 轴正半轴上一点N 作直线l 与抛物线交于A B、两点，且2OA OB =u u u r u u u rg （O 为坐标原点），点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形OCAB面积的最小值为A. 3B.C. D.32【答案】A【解析】不妨设()()()112212,,,0A x y B x y x x <<，即点A 在点B 左侧. 当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为y kx b =+，联立抛物线方程可得：20x kx b --=，故1212212x x kx x b y y b ⎧+=⎪=-⎨⎪=⎩，2OA OB =u u u r u u u r Q g，212122x x y y b b ∴+=-+=，又0b >，2b ∴=，2111112()()224OCAB OAB OFA S S S x x x ∆∆∴=+=⨯⨯-+⨯⨯-()21938x x =+-≥= 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．双曲线22215x y a -=的一个焦点坐标为()3,0，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】32【解析】22259c a b a =+=+=，故2a =，离心率32c e a == 12．()61x x-的展开式中，2x 项的系数为__________. （用数字作答）【答案】20-【解析】2x 的系数为()336120C -=-13．已知实数,x y 满足24481x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则222x y x +-的取值范围是_________.【答案】1,195⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】可行域为如图所示的三角形：目标函数()2222211z x y x x y =+-=-+-根据其几何意义可看成与可行域内的点到点()1,0D 的距离相关 则最大值应该在()3,4A 处取得，max 19z =；过点D 做BC 的垂线，垂足为E ，且点D 到直线BC 的距离55d ==，则最小值应该在点E 处取得，故最小值为2min 115z d =-=-14．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为__________. 【答案】2 【解析】23172tantantan tan36363636S ππππ=⋅⋅⋅g g g 1tan tan tan 12παααα⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭Q g23172tantantan tan 236363636S ππππ∴=⋅⋅⋅=g g g 15．已知函数()sin 2f x x x =+. 给出以下四个命题： ①0x ∀>，不等式()2f x x <恒成立；②k R ∃∈，使方程()f x k =有四个不相等的实数根； ③函数()f x 的图象存在无数个对称中心；④若数列{}n a 为等差数列，123()()()3f a f a f a π++=，则2a π=. 其中正确的命题有_________. （写出所有正确命题的序号）【答案】③④【解析】'()12cos 2f x x =+，则'()0f x =有无数个解，在结合()f x 是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出()f x 的大致图像为xy (1,2)C (2,0)A (3,4)O（1） 令()2()sin 2g x x f x x x =-=-，则'()12cos 2g x x =-，令'()0g x =，则6x k ππ=+，则066g ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即存在06x π=>使得()2f x x >，故①错误（2） 由图像知不存在y k =的直线和()f x 的图像有四个不同的交点；故②错误 （3） ()()22sin 2cos 2f a x f a x a a x ++-=+，令sin 20a =，则2k a π=，即(),a a ，其中2k a π=均是函数的对称中心，故③正确 （4） 123()()()3f a f a f a π++=，则123123sin 2sin 2sin 23a a a a a a π+++++=，即22223sin(22)sin 2sin(22)3a a d a a d π+-+++=，2223sin 22sin 2cos 23a a a d π∴++= 223sin 2(12cos 2)3a a d π∴++=2233sin 212cos 212cos 2a a d dπ∴=-++则问题转化为()sin 2f x x =与33()12cos 212cos 2g x x d dπ=-++的交点个数如果直线()g x 要与()f x 有除(,0)π之外的交点，则斜率的范围在4,23π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而直线的斜率312cos 2d-+的取值范围为(,1][3,)-∞-+∞U ，故不存在除(,0)π之外的交点，故2a π=，④正确三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =且223b c bc +=+.（I ）求角A 的大小；（II ）求sin b C 的最大值. 【答案】（I ）3π；（II ）32【解析】（I）223,b c bc a +=+=Q 222b c a bc ∴+-=2221cos 22b c a A bc +-∴==又A ∠是ABC ∆的内角 故3A π=（II ）2232b c bc bc +=+≥Q ，3bc ∴≤，故1sin 2ABC S bc A ∆=≤故1sin 32sin 1422ab Cb C a ==≤=，当且仅当bc =时取得最大值17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：2n S <.【答案】（I ）2(1)n n +；（II ）见解析【解析】（I ）()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈Q ，111n n a n a n --∴=+ 故1212112113n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+g g g g g g 即()*1222,(1)(1)n a a n n N n n n n ==≥∈++g，又()121111a ==+ 故2(1)n a n n =+（II ）1121n a n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭11111112212122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭18．（本小题满分12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示. 活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为1的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取小球的编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金为50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖. 现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立. （I ）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （II ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X ，求X 得分布列和数学期望 【答案】（I ）；（II ） 【解析】（I ）记中一等奖为事件A ，中二等奖为事件B ，不中奖为事件C ； 由茎叶图知3()20P A =，51()204P B ==，3()5P C =，则中奖的概率为2()5P C = 故两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：12()()()()25P C P C P C P C +=（II ）X 可能的取值为0，50，100， 150， 200()202390525P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭()12133504510P X C ==⨯=()22122133971004205400P X C C ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭g ()1231315020440P X C ==⨯= ()223392002020400P X C ==⨯= X ∴的分布列为()55E X =元19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱与底面垂直，90CAB ∠=o，且1AC =，2AB =，E 为1BB 的中点，M 为AC 上一点，23AM AC =u u u u r u u u r.（I ）证明：1//CB 平面1A EM ；（II ）若二面角11C A E M --的余弦值为55，求1AA 的长度. 【答案】（I ）（II ） 【解析】以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，并设1AA a =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,1,0C ，()12,0,B a ，()10,0,A a ，2,0,2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,1,C a （I ）()12,1,CB a =-u u u r ，12,0,2a A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，120,,3MA a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r故平面1A EM 的一个法向量为(),6,4n a a =r ，故10CB n =u u u r r g ，即1CB n ⊥u u u r r1//CB ∴平面1A EM（II ）()110,1,0AC =u u u u r ，12,0,2a A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，120,,3MA a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 故平面11C A E 的一个法向量为()1,0,4n a =u r， 平面1MA E 的一个法向量为()2,6,4n a a =u u r，即22255163716a a =++，解得2a =，2a =-（舍去） 故1AA 的长度为2PS ：第一问可以连接1AB 交1A E 于点F ，连接MF ，可证1//MF CB 20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，抛物线24y x =与椭圆C 有相同的焦点，点P 为抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且17||3PF =. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）与抛物线相切于第一象限的直线l ，与椭圆相交于,A B 两点，与x 轴交于M 点，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于N 点，求直线MN 斜率的最小值.【答案】（I ）22143x y +=；（II）【解析】（I ）解法一：可设点P 的坐标为2,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22249149y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得283y =，2803y =-（舍去），将P 点坐标代入抛物线方程式可得2248193a b+=，又221a b -=，联立可解得23b =，24a =，所以椭圆的方程为22143x y += 解法二：抛物线的焦点坐标为()1,0，故221a b -=设2||PF t =，由抛物线定义，得点P 到直线1x =-的距离为t .123cos 7tPF F ∴∠=. 又由余弦定理可得，2124944cos 7223t PF F +-∴∠=⨯⨯，即24943477223t t +-=⨯⨯解得53t =或133t =-（舍去）由椭圆定义，得12||||42PF PF a +==，故2,a b ==∴椭圆方程为22143x y += （II ）设切点坐标为()2000,04y y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则20002:4y l y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭整理，得002:2y l y x y =+. 20,04y M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭联立直线方程和椭圆方程可得220201638120x x y y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y ，201220420012200831612316y x x y y y x x y ⎧⎪∆>⎪⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-⎪=+⎪⎩， AB ∴的中点坐标为32002200342,316316y y y y ⎛⎫ ⎪- ⎪++ ⎪⎝⎭AB ∴的垂直平分线方程为3200022003423162316y y y y x y y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭即2020120,316y N y ⎛⎫- ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ 0202316MN y k y -∴=+002000220,163163MN y y k y y y -->∴==≥++Q 21．（本小题满分14分）设函数()ln f x x =（I ）求函数()1()g x x f x =--的极小值；（II ）若关于x 的不等式1()1x mf x x -≥+在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. （III ）已知(0,)2πα∈，试比较(tan )f α与cos2α-的大小，并说明理由.【答案】（I ）(1)0g =；（II ）12m ≥；（III ）见解析 【解析】 （I ）()1()1ln g x x f x x x =--=--，则'11()1x g x x x-=-=()g x ∴在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增 ∴当1x =时，函数()g x 取得极小值(1)0g =.（II ）【解法一】当1x =时，m R ∈；当1x >时，不等式111()1ln 1x x mf x m x x x --≥⇔≥++g 令()11()1ln 1x h x x x x -=>+g ，则()()'2212ln ()ln 1x x x h x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+ 令()1()2ln 1x x x x x ϕ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则()2'22121()10x x x x x ϕ--=--=≤()()10x ϕϕ∴≤=，即'()0h x ≤函数()h x 在(1,)+∞上单调递减 由洛必达法则，的11lim ()2x h x →= 12m ∴≥ 【解法二】 11()ln 011x x mf x m x x x --≥⇔-≥++ 令1()ln 1x h x m x x -=-+，则2'2(1)2()(1)m x x h x x x +-=+ 0(1)0,1h x =∴∃>Q ，使得函数()h x 在[1,)+∞上单调递增.2221(1)2x m x x x∴≥=+++在0[1,]x 上恒成立 故12m ≥ 经验证，当12m ≥时，函数'()0h x ≥，函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，满足题意 （III ）令()ln(tan )cos 2F ααα=+，则'2(1sin 2)()sin 2F ααα-= 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin 20α∴>，'()0F α∴>故()F α单调递增又04F π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴当04πα<<，(tan )cos 2f αα<- 当4πα=，(tan )cos 2f αα=- 当42ππα<<，(tan )cos 2f αα>-。