2020.6.19创新协同中心调研卷(二)数学试题

2020年江西创新协同中心九年级调研统一测试卷（二）数学试题一、单选题(★) 1. 9的相反数是（）A．9B．-9C．D．(★) 2. 2019年江西正在建设新高铁——昌赣高铁，全长415公里，耗资532亿元，计划在2020年全线通车．将532亿用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．(★) 3. 如图所示，将一个正方形切去一个角，则所得几何体的左视图为（）A．B．C．D．(★★) 4. 如图，△ABC的顶点在网格中，现将△ABC绕格点O顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（）A．1个B．3个C．6个D．8个(★★) 5. 一次函数一定过定点，则这个定点坐标为（）A．B．C．D．(★★) 6. 如图，在等腰中，，，点在上，以为边向右作等腰，，连接，若，则的长为（）A．2B．C．D．4二、填空题(★) 7. 计算：的结果是_______________．(★) 8. 若一组数据2，0，3，4，6，的众数为4，则这组数据的中位数是__________．(★★) 9. 若，是方程的两个根，则的值为___________．(★★) 10. 马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两．若设每匹马价两，每头牛价两，则可列方程组为__________．(★★) 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，若点正好在的延长线上，则的值为___________．(★★★★) 12. 如图，在菱形中，，是上一点，，点在菱形的边上运动（不与顶点重合）．当时，的度数为__________．三、解答题(★) 13. 化简：.(★) 14. 如图，在中，点是上一点，，，，求证：．(★) 15. 求不等式组的整数解．(★★) 16. 如图，内接于，，是的中点，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中按要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出中边上的中线；（2）在图2中，画出中边上的中线；图1 图2(★★) 17. 品赣高铁沿线，南昌到吉安中间无其它站点，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安到南昌的高铁车票（如图所示，一排中座位编号为，，，，）假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．（1）①“系统分给这两个人座位”是 <u></u>事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）；②若系统分给王某座后，再给李某座的概率是；（2）利用画树形表，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率．(★★) 18. 小锐一家去离家200千米的某地自驾游，下面是他们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象．（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？（2）出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以每小时80千米的速度直达目的地，求等候的时间及线段的解析式．(★★) 19. 如图，点 在反比例函数的图象上，过 作 轴，垂足为 ， 的垂直平分线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，已知，．（1）分别求两点的坐标；（2）求反比例函数的解析式和 的长．(★★) 20. 某校为了更好地让学生适应中考体育“1分钟跳绳”项目，对全校九年级240名男生进行了“1分钟跳绳”的测试，现随机抽取12名男生成绩进行分析，过程如下： 收集数据：12名男生的“1分钟跳绳”成绩如下，有个成绩模糊不清用“■”表示， （单位：个）：166160150170170180 ■180181140181182 请你根据所给信息把下列表格补充完整并解答问题： 整理数据：（说明：男生每分钟跳绳个数达到180个及以上得满分）成绩（个）等级人数 1 12分析数据平均数中位数众数满分率170得出结论：（1）模糊不清的成绩“■”所属等级为； （2）甲同学的成绩等于平均数，乙同学的成绩等于中位数，则甲与乙成绩比较； 甲 乙（填“ ”或“”或“”）；（3）学校决定选拔部分满分与平均分以下的同学，进行“一对一”结对子活动，请估计该校九年级240名男生“1分钟跳绳”中，参与结对子活动的总人数．(★★) 21. 如图1，是一种卡通创意台灯的实物图，忽略其部件的厚度，将它简化为平面图2，测得灯架， ，灯管 ，支撑架 垂直于灯架 于点 ，平行于桌面，，．（1）若，求，两点之间的距离；（2）求台灯的高（点到桌面的距离）．（参考数据：，，，，结果精确到）图1 图2(★★) 22. 如图，已知内接于，是直径，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点在左侧半圆上运动时，探究：①当度时，四边形是菱形；②当与相切时，求的度数．(★★) 23. 如图，已知抛物线，将抛物线平移后经过点，得到抛物线，与轴交于点；（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）点为抛物线上的动点，过点作轴，与抛物线交于点，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．(★★★★) 24. 如图，正方形的边在正方形的边上，，，连接．（1）如图1，当时，①连接，当时，求的度数；②当在边上运动时，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由；（2）当在边上运动时，请利用图2进行探究：是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．图1 图2。

2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。

2020届高三数学第二次调研考试试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可.【详解】，，所以，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.【详解】，，的共轭复数为，故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知为数列前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.【详解】时，，两式相减，整理得，∵，∴，所以是首项为，公比为的等比数列，∴，故选D.【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.若,且，则的值为( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，根据诱导公式得，又因为，所以，所以所以，故选A．7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1．设21(1)i z i +=-则|z|= A ．12 B．1 D2．已知集合2{|2},{|320},x A y y B x x x ===-+…则A ．A∩B=B ．A ∪B=RC ．A BD ．B A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为 AB ．2 CD ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S =A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2x xx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1515((.225n n n a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(设n 是不等式2log 5)(15)211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论： ①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立其中所有正确结论的编号为A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲ 15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2020年高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{2，3，5，7}，B ＝{x |log 2（x ﹣2）＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{3，5}2．若复数z 满足（z +i ）i ＝2﹣i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．√10D ．103．下列说法正确的是（ ）A ．“若a ＞2，则2a ＞4”的否命题为“若a ＞2，则2a ≤4”B ．命题p ∨q 与￢（p ∨q ）至少有一个为真命题C ．“∀x ＞0，x 2﹣2x +2≥0”的否定为“∀x ＞0，x 2﹣2x +2＜0”D ．“这次数学考试的题目真难”是一个命题4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A ．144厘米 B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米6．在x 3(√x √x10的展开式中，常数项为（ ） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．2527．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)8．函数y =x|x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣110．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（ ） A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√311．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（ ） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√1012．已知A ，B ，C ，D 四点均在球O 的球面上，△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD ⊥CE ，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．42πC ．54πD ．24√6π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a =（2，m ），a →+b →=（1，2），若a →∥（a →+3b →），则实数m ＝ ．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为 ．15．已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，若a 3，a 6，a b 1，a b 2，…，a b n ，…成等比数列，则b n ＝ ．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3． （1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7． （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2． （i ）求P （167.86＜X ＜174.28）；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点． （1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM →（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l与曲线C有两个不同的交点．（1）求实数a的取值范围；（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若实数a，b满足a2+b2＝m，求11+a+12+b的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{3，5}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{3}．故选：B．2．若复数z满足（z+i）i＝2﹣i，则|z|＝（）A．√2B．2C．√10D．10【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵（z+i）i＝2﹣i，∴z+i=2−ii=−1﹣2i，∴z＝﹣1﹣3i，∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10，故选：C．3．下列说法正确的是（）A．“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a＞2，则2a≤4”B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0”D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题【分析】写出命题的否定判断A；由互为否命题的两个命题必有一个是真命题判断B；写出全程命题的否定判断C；由命题的概念判断D．解：“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a≤2，则2a≤4”，故A错误；命题p∨q与￢（p∨q）互为否命题，则必有一个为真命题，即至少有一个为真命题，故B正确；“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∃x＞0，x2﹣2x+2＜0”，故C错误；“这次数学考试的题目真难”不是能够判断真假的陈述句，不是命题，故D 错误． 故选：B ．4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【分析】根据K 的观测值K 2对照题目中的表格，得出统计结论． 解：根据题意K 2＝7＞6.635，P （K 2≥k 0）＝0.010，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关， 故选：D ．5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A ．144厘米B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可． 解：设该长方形的长为x 厘米，则宽为0.618x ； 故有：0.618x 2＝336平方分米＝33600平方厘米； ∴x ≈233厘米； 故选：B ． 6．在x 3(√x 1√x10的展开式中，常数项为（ ） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．252【分析】本题即求(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数，再利用通项公式求得结果． 解：在x 3(√x −√x )10的展开式中，常数项，即(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数． 而(√x −x)10展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 5﹣r ， 令5﹣r ＝﹣3，求得r ＝8，可得(√x −1√x)10展开式中x ﹣3的系数为C 108=45， 故选：C ．7．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)【分析】由ba +a+2b 2b=b a+a 2b+1，直接利用基本不等式求出ba+1b的最小值即可．解：∵a ，b ＞0，a +2b ＝2， ∴ba +a+2b 2b =b a+a 2b+1≥2√b a ⋅a2b+1=√2+1，当且仅当ba=a 2b，即a =2√2−2，b =2−√2时等号成立，故选：C ． 8．函数y =xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值的大小，比较即可判断函数的图象． 解：函数y =xe |x|是奇函数， 当x ＝1时，f （1）=1e ＞0，排除C ，当x ＝2时，f （2）=2e 2＜1e=f （1）， 排除选项A ，D ．故选：B ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题意，由f （34+x ）＝f （34−x ）可得f （﹣x ）＝f （32+x ），结合函数的奇偶性可得f （32+x ）＝﹣f （x ），进而可得f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f（x ）是周期为3的周期函数，据此可得f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，结合函数的解析式可得f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），则有f （﹣x ）＝f （32+x ），又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有f （32+x ）＝﹣f （x ），则有f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，若f （100）＝log 23，则f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，则有f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m ＝1； 故选：B ．10．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√3【分析】由抛物线的性质可得由|PF |的值可得P 的坐标，求出P 的坐标，代入抛物线的方程可得p 的值，由抛物线及圆的对称性可得Q 的坐标与P 的坐标关于x 轴对称，求出直线PQ 的方程，进而求出F 到直线PQ 的距离．解：由抛物线的性质可得可得：|FP|=x p +p2=3p ，∴x p =52p ，因为线段PF为直径的圆经过点（0，﹣1），1p2⋅y 0+15p 2=−1，可得y =−5p 24−1，所以P （52p ，−5p 24−1）将P 代入抛物线的方程可得（−5p 24−1）2＝2p ⋅52p ，∴p =2√55，由抛物线和圆的对称性可得P ，Q 关于x 轴对称，所以直线PQ 的方程x =52p ，焦点坐标F （p2，0），故所求距离为5p 2−p 2=4√55，故选：C ．11．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（ ） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√10【分析】由正弦定理化简已知等式可得a 2−b 2=√2cb +c 2，利用余弦定理可求cos A ，进而可求A 的值，利用两角和的余弦函数公式可求sinBsinC =√210，由正弦定理可得b =√2asinB ，c =√2asinC ，进而利用三角形的面积公式即可求解a 的值． 解：由asinA −bsinB =√2csinB +csinC ， 得a 2−b 2=√2cb +c 2，则cosA =b 2+c 2−a 22bc =−√22，故A =34π，由cos A ＝﹣cos （B +C ）＝sin B sin C ﹣cos B cos C ，得sinBsinC =√210，由正弦定理知bsinB=c sinC=√2a ，即b =√2asinB ，c =√2asinC ，可得：S =12bcsinA =12⋅2a 2sinBsinC ⋅√22=110a 2=1，所以a =√10． 故选：D ．12．已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为（）A．36πB．42πC．54πD．24√6π【分析】根据图形特征可得DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，求得正方体外接球直径即可解：设△ABC的中心为G，延长BG交AC于F，则F为AC中点，连接DF．由题知DG⊥平面ABC，AC⊥GB，由三垂线定理得AC⊥BD，又BD⊥CE，∴BD⊥平面ACD，又D﹣ABC为正三棱锥，∴DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由AB＝6得DA=3√2，故正方体外接球直径为3√2⋅√3=3√6，所以球O的表面积为4πR2＝54π，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a=（2，m），a→+b→=（1，2），若a→∥（a→+3b→），则实数m＝4．【分析】利用向量共线定理即可得出．解：向量a→=(2，m)，a→+b→=(1，2)，∴b→=（﹣1，2﹣m）．∴a→+3b→=（﹣1，6﹣2m）．若a→∥(a→+3b→)，则实数m＝2（6﹣2m）+m＝0，解得m＝4．故答案为：4．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为45−9π2．【分析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴V=3×3×5−18⋅43π⋅33=45−92π．故答案为：45−9π2．15．已知公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a4，a8依次成等比数列，若a3，a6，a b1，a b2，…，a bn，…成等比数列，则b n＝3•2n+1，n∈N*．【分析】设公差为d，d≠0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得a1＝d，进而得到等比数列的首项为3d、公比为2，运用等比数列和等差数列的通项公式，化简可得所求b n．解：设公差为d，d≠0，由a2，a4，a8依次成等比数列，可得a42＝a2a8，即a42=(a4−2d)(a4+ 4d)，即a4＝4d，即a1+3d＝4d，故a 1＝d ，∴a n ＝nd ，a 3＝3d ，a 6＝6d ， 故此等比数列的首项为3d 、公比为2， 因此a b n =3d ⋅2n+1=b n d ， 故b n =3⋅2n+1，n ∈N*． 故答案为：3•2n +1，n ∈N*．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 [−√3，√3] ． 【分析】先对函数求导数，然后使导数满足在[a ﹣2，a +2]上有两个互异零点，并且该两点处的导数值乘积为﹣1，以此列方程，构造函数或不等式求解解：由题得y '＝a ﹣2sin x ∈[a ﹣2，a +2]，则曲线在区间[a ﹣2，a +2]内存在两数之积为﹣1， 故只需（a ﹣2）（a +2）≤﹣1， 解得−√3≤a ≤√3． 故答案为：[−√3，√3]三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3． （1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．【分析】（1）先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式把函数f （x ）变形成正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求其单调区间即可；（2）把x =A 2代入函数f （x ），并结合A ∈（0，π），可解得A =2π3，再利用正弦定理求出角C 的值，由于三角形的内角和为π，可求得角B ，最后利用三角形的面积公式即可得解．解：（1）f(x)=sin2x −√3(1+cos2x)+√3=2sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ； 由2kπ+π2＜2x −π3≤2kπ+3π2，得kπ+5π12＜x ≤kπ+11π12，k ∈Z ．故f（x）在[kπ−π12，kπ+5π12]上单调递增，在(kπ+5π12，kπ+11π12]上单调递减，k∈Z．（2）f(A2)=2sin(A−π3)=√3，则sin(A−π3)=√32，∵A∈（0，π），∴A−π3=π3，即A=2π3，由正弦定理得，asinA =csinC即√3√32=1sinC，解得sinC=12，∴C=π6或5π6，当C=5π6时，A+C＞π，舍去，所以C=π6，故B=π6，∴S△ABC=12acsinB=√34．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）求P（167.86＜X＜174.28）；（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．【分析】（1）先算出各组的频率，再利用公式即可求出平均数和方差；（2）线根据条件求出μ，σ的值．（i ）根据题目给的数据，结合正态分布的对称性，容易求出所求结果； （ii ）可先求出对立事件（10人身高都在174.28之下）的概率，然后结果可求． 解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故x =0.1×166+0.2×168+0.375×170+0.25×172+0.075×174=170， s 2＝（170﹣166）2×0.1+（170﹣168）2×0.2+（170﹣172）2×0.25+（170﹣174）2×0.075＝4.6；（2）由题知μ＝170，σ=√4.6=√1155≈2.14，（i ）P(167.86＜X ＜174.28)=P(μ−σ＜X ＜μ+2σ)=0.6826+0.9544−0.68262=0.8185，（ii ）P(X ＞174.28)=1−0.95442=0.0228，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率P ＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210≈1﹣0.79＝0.21．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点． （1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．【分析】（1）通过AB ∥DC ，证明AB ∥平面PDC ，然后说明AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，证明AD ⊥DC ，结合AB ⊥AP ，推出AB ⊥平面PAD ，然后证明EF ⊥PD ；（2）说明CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量，平面ABD 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC ，又面ABFE ∩面PDC ＝EF ，∴AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴BG ＝4，又GC ＝3，BC ＝5，故∠BGC ＝90°， ∴AD ⊥DC ，∴AB ⊥AD ，又AB ⊥AP ， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥PD ；（2）解：由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴∠CPD =π3，∴6PD=√3，即PD =2√3，又EF =AB =12DC ，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ， 由CD ⊥平面PAD 可得CD ⊥PO ，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A （2，0，0），D （﹣2，0，0），B （2，3，0），C （﹣2，6，0），P(0，0，2√2)， 故F(−1，3，√2)，DB →=(4，3，0)，DF →=(1，3，√2)， 设平面DBF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，令x ＝3得m →=(3，−4，9√22)，显然n →=(0，0，1)是平面ABD 的一个法向量，∴cos〈m →，n →〉=9√22√1312=9√131， 由题知二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值为−9√131131．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM→（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值． 【分析】（1）利用椭圆的离心率以及点在椭圆上，结合a ，b ，c 的关系，求解a ，b 得到椭圆方程．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1），由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2），求出Q 坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理，然后转化求解即可． 解：（1）由题知ca =√33，故b 2a =23，又1a 2+43b 2=1，∴a 2＝3，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1）， 由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2）， ∴x Q ＝2λx 1+（1﹣λ）x 2，y Q ＝2λy 1+（1﹣λ）y 2，又点Q 在椭圆C 上， 故[2λx 1+(1−λ)x 2]23+[2λy 1+(1−λ)y 2]22=1，即4λ2(x 123+y 122)+(1−λ)2(x 223+y 222)+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1，∴4λ2+(1−λ)2+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1， 由题知直线MN ：y ＝x ﹣1，与椭圆C 的方程联立得5x 2﹣6x ﹣3＝0，则x 1+x 2=65，x 1x 2=−35，∴y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−35−65+1=−45，∴5λ2−2λ+4λ(1−λ)(−15−25)=0，解得λ=2237或0， 又N ，Q 不重合，∴λ≠0，故λ=2237． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈一、选择题． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，可得当a ≥0时，f（x ）在（0，+∞）上单增，当a ＜0时，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）把不等式f(x)＜e x −e +12a 变形，构造函数g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，可得g′(x)=e x −ax −1x，结合g （1）＝0，可得g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数a 可得a ≤e x x −1x 2，再由导数求最小值可得a 的范围．解：（1）f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，当a ≥0时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单增， 当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得0＜x 1√−a ，由f ′（x ）＜0，解得x 1√−a， ∴f （x ）在(01√−a )上单增，在(1√−a+∞)上单减； （2）lnx +12ax 2＜e x −e +12a ⇔e x −12ax 2−lnx −e +12a ＞0， 令g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，g′(x)=e x −ax −1x ， ∵g （1）＝0，结合（1）可知，要使g （x ）＞0＝g （1），只需g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立． 即e x −ax −1x ≥0（1，+∞）上恒成立． 则a ≤e x x −1x2， 令h （x ）=e x x −1x 2，则h ′（x ）=xe x −e x x 2+2x 3=xe x (x−1)+2x 3． ∵x ＞1，∴h ′（x ）＞0，则h （x ）在（1，+∞）上单调递增． 可得h （x ）＞h （1）＝e ﹣1． ∴a ≤e ﹣1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点． （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用直线与圆的相交建立等量关系式求出结果．（2）利用直线的平行建立关系式，求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），转换为普通方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为4y +3x ＝a ，由直线l 与圆C 有两个交点知|6+12−a|5＜2，解得8＜a ＜28．（2）设圆C 的圆心为O 1，由圆C 的参数方程可设点M （2+2cos θ0，3+2sin θ0）， 由题知O 1M ∥l ，∴cosθ0=−45，sinθ0=35，或cosθ0=45，sinθ0=−35，故点M(25，215)，或(185，95)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足a 2+b 2＝m ，求11+a 2+12+b 2的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，再利用柯西不等式直接得解，注意取等条件．解：（1）f （x ）＝|x |+|x |+|x ﹣2|≥|x |+|x ﹣（x ﹣2）|＝|x |+2≥2，当且仅当x ＝0时等号成立， 故m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2，当且仅当a 2=32，b 2=12时，等号成立， ∴11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45，故11+a 2+12+b2的最小值为45．。

2021年全省创新协同中心初三调研统一测试（二）数学试题卷一、选择题（本大题共6小题）1．-（-6）等于A．6 B．-6 C．16D．±62．下列计算正确的是A．3a-2b＝1 B．a6÷a2＝a3C．（2ab）3＝6a3b3D．-a4·a4＝-a83．如图，是一个几何体的俯视图，则这个几何体的形状可能是A．B．C．D．4．党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息．下列说法错误的是A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口逐年减少，累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．若维持从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率，2020年末农村贫困人口将全部脱贫5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD，BD，CD分别平分∠EAC，∠ABC，∠ACF，以下结论中不一定成立的是A．AD∥BC B．DA＝DCC．12BDC BAC∠=∠D．∠ADC＝90°-∠ABD6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（-1，0），（5，0），图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若当x1＜-1＜x2＜5＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是A．a＜0 B．x＝2时，y有最大值C．y1y2y3＜0 D．|x1-2|＜|x3-2|二、填空题（本大题共6小题）7．化简25=________．8．2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后二颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，数0.00000002用科学记数法表示为________．9．若x1，x2是方程x2-2x-1＝0的两个根，则x1＋x1x2＋x2＝________．10．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，遇零则置空．例如：表示数6708，则表示的数是________．11．如图，正方形ABCD中，将线段A白绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为________．12．如图，点E是矩形ABCD的对角线AC上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，已知AB＝3，BC＝6，若AB上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则AG的长为________三、解答题（本大题共5小题）13．（1）解不等式组：32113xx+<⎧⎪-⎨≤⎪⎩；（2）如图，四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，G在AB的延长线上，若∠D＋∠GBC＝180°，AD∥BC，EF∥DC．求证：AB∥EF．14．先化简22211(1)11m mmm-+÷-+-，再从绝对值小手3的整数中，选一个合适的数代入求值．15．小颖同学的文具袋中有4支除笔头款式外均相同的替芯（其中有2支是0.5 mm子弹头笔头，剩余的是0.5 mm，0.38 mm的全针管笔头各1支），在补摘除笔头保护帽的情况下，小颖从中随机抽取笔芯进行替换．（1）若从中抽取1支，恰好抽到0.38 mm粗细笔头替芯的概率是________；（2）若从中抽取2支，请用列表或画树状图的方法，列举出所有可能的抽取结果，并求两支恰好都是子弹头笔替芯头的概率．（记两支子弹头笔芯分别为A，B，两支全针管笔芯分别为C，D）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2AB，点E是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）：（1）在图1中，作出BC的垂直平分线；（2）在图2中，作出AB的垂直平分线；17．全民防疫抗疫期间，某小区物业为了给小区消毒，拟购进一批手动喷雾消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元．（1）问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元？（2）学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由．四、（本大题共3小题）18．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为20分）．竞赛结束后，从该校七，八年级学生中各随机抽取20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：抽取的七年级成绩是：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．所抽取成绩折线统计图（部分）、样本成绩分析表如下表所示：（1）上表中，a＝________，b＝________，c＝________；（2）在统计图中补上七年级的成绩折线图，并对两个年级的成绩作对比分析（用一句话概述）；（3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？19．如图，平面直角坐标系中，直线y＝-x＋5与坐标轴交于A，B两点，把一块等腰直角三角形纸板DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，△DEF可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD的中点．（1）如图1，当点D与点B重合时，求经过点G的反比例函数的解析式；（2）在△DEF滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．20．如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P 沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A 时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量PC＝BC＝50 cm，CD＝60 cm．（1）当∠BCD＝60°时，求竖杆最下端B到地面的距离BO；（2）点P从点A滑动至AB中点的过程中，∠BCD变化的度数是多少？1.73，结果精确到0.1 cm）五、（本大题共2小题）21．如图1，在⊙O中，直径AB＝6，P是线段AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，D是⊙O 上一点，且PC＝PD，连接AC，AD．（1）求证：PD是⊙D的切线；（2）当∠CPD＝90°时（如图2），求BP的长；（3）若四边形ACPD是菱形（如图2），求弧CD与线段PC，PD围成的阴影图形的面积；22．抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中（a1，b1，c1是常数，且a1≠0），函数值y1与自变量x之间；1（2）求抛物线C1的解析式及m，n的值；（3）现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，试求C2的解析式；（4）在（3）的条件下，将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？②在最初的状态下，若向下平移m（m＞0）个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m 与n的等量关系．六、23．定义：有一个公共顶点的两个三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC________△ADE的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∠B＝100°，∠E＝30°，则∠DAE＝________°；③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，若AB＝4，AD＝6，AE＝15，则AC＝________；若连接BD；CE，则BDCE=________．（2）知识运用：如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点；点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD=，求DE和BD的长．88.210-⨯257.5数学试题卷参考答案及评分意见一、选择题( 本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1A 2D 3D 4D 5B 6C二、填空题( 本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)9.1 10.9167 11.45 12.3或1或1.4四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解:（1）18，18，18.5；如下图所示：数学试题卷参考答案及评分意见（二) 第10页（共5页)数学试题卷参考答案及评分意见（二) 第11页（共5页)数学试题卷参考答案及评分意见（二) 第12页（共5页)。

2019-2020年高三第二次调研考试数学文试题 含答案本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回.4. 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．正棱锥的侧面积公式：，是底面周长，是斜高.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，B=，则集合A ．{0,4,5,2}B ．{0,4,5}C ．{2,4,5}D ．{1,3,5}2．已知为虚数单位，则=（ ）A -B －1CD 13．设，则这四个数的大小关系是( )0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====A ． B . C. D.4．若方程表示双曲线，则k 的取值范围是（）A. B. C. D. 或5.某几何体的三视图如图所示（俯视图是正方形，正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12 6.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A.＝1.23x ＋4B.＝1.23x ＋5C ．＝1.23x ＋0.08D ．＝0.08x ＋1.237. 设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩点的距离大于的概率是（ ）A ． B ． C ．D ．8. 中，角、、所以的边为、、， 若，，面积，则（　）A. B. C. D.9．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是（ ）A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．18.(本小题满分14分）如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．19.(本小题满分14分）椭圆的离心率为，两焦点分别为，点M是椭圆C上一点，的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆交于点N，且线段MN长度的最小值为.（1）求椭圆C以及圆O的方程；（2）当点在椭圆C上运动时，判断直线与圆O的位置关系.20.(本小题满分14分）已知函数.（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.21.(本小题满分14分）设等差数列的公差，等比数列公比为，且，，（1）求等比数列的公比的值；（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列，是否存在正整数（其中）使得和都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.韶关市xx高三年级第一次调研（期末）测试数学试题(文科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．DCBAB CDDCA二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11. 12.13. （2分），（3分）14.15. 内切三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)函数()的部分图像如右所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值解：（1）∵由图可知：函数的最大值为，………2分且∴，最小正周期………………………………………………………4分∴故函数的解析式为. …………………………………6分（2），………………………………………………………8分∴，∵，∴，…………………………………………………………10分∴ …………………………………………………………………12分17．(本题满分12分)高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．解.（1）分数在之间的频数为，频率为，高一（1）班参加校生物竞赛人数为．………2分所以分数在之间的频数为………4分频率分布直方图中间的矩形的高为．………6分（2）设至少有一人分数在之间为事件A将之间的人编号为，之间的人编号为，在之间的任取两人的基本事件为：，，，，，. 共个，，，，，，，………………………………………………………………………………………………..9分其中，至少有一个在之间的基本事件有个……………………………………10分根据古典概型概率计算公式，得………………………………………11分答：至少有一人分数在之间的概率………………………………………12分18.(本小题满分14分）如图，如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．[网]16.如图所示，一个带正电的粒子沿x轴正向射人匀强磁场中，它所受到的洛伦兹力方向．沿Y轴正向，则磁场方向A.一定沿z轴正向B.一定沿z轴负向．C.一定在xOy平面内D．一定在xoz平面内，[来二、双项选题（共9个小题，每题6分，共54分。

2019-2020年高三第二次调研考试数学文试题 含答案本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回.4. 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．正棱锥的侧面积公式：，是底面周长，是斜高.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，B=，则集合A ．{0,4,5,2}B ．{0,4,5}C ．{2,4,5}D ．{1,3,5}2．已知为虚数单位，则=（ ）A -B －1CD 13．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是( )A ．B . C. D.4．若方程表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或5.某几何体的三视图如图所示（俯视图是正方形，正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．126.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A.＝1.23x ＋4B.＝1.23x ＋5C ．＝1.23x ＋0.08D ．＝0.08x ＋1.237. 设不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 中，角、、所以的边为、、， 若，，面积，则（ ）A. B. C. D.9．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值E D C B A 10．已知122123412(),(),(),()log xf x x f x x f x e f x x ====, 四个函数中,当时, 满足不等式1212()()()22f x f x x x f ++<的是二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11. 若向量(1,1),(2,5),(3,)a b c x ===，满足条件，则=12. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .13. 平面上有条直线, 这条直线任意两条不平行, 任意三条不共点, 记这条直线将平面分成部分, 则___________, 时,_________________.)(用表示).14.（几何证明选讲选做题）如图，AB 、CD 是圆的两条弦，AB 与CD 交于, , AB 是线段CD 的中垂线.若AB=6，CD=，则线段AC 的长度为 ．15.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的正半轴为极轴）中，圆的方程为，则与的位置关系是______（在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填上）.三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）函数 ()的部分图像如右所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值.17.（本小题满分12分）高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：=+n 否 S>25 =0,n=1 开始 是 结束输出nn=n+2（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．18.(本小题满分14分）如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．19.(本小题满分14分）椭圆的离心率为，两焦点分别为，点M是椭圆C上一点，的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆交于点N，且线段MN长度的最小值为.（1）求椭圆C以及圆O的方程；（2）当点在椭圆C上运动时，判断直线与圆O的位置关系.20.(本小题满分14分）已知函数.（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.21.(本小题满分14分）设等差数列的公差，等比数列公比为，且，，（1）求等比数列的公比的值；（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列，是否存在正整数（其中）使得和都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.韶关市xx高三年级第一次调研（期末）测试数学试题(文科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．DCBAB CDDCA二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11. 12.13. （2分），（3分）14.15. 内切三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)函数()的部分图像如右所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值解：（1）∵由图可知：函数的最大值为，………2分且∴，最小正周期………………………………………………………4分∴故函数的解析式为. …………………………………6分（2），………………………………………………………8分∴，∵，∴，…………………………………………………………10分∴…………………………………………………………………12分17．(本题满分12分)高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中 间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率． 解.（1）分数在之间的频数为，频率为，高一（1）班参加校生物竞赛人数为． ………2分所以分数在之间的频数为 ………4分频率分布直方图中间的矩形的高为．………6分（2）设至少有一人分数在之间为事件A将之间的人编号为，之间的人编号为，在之间的任取两人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，. 共个 ………………………………………………………………………………………………..9分 其中，至少有一个在之间的基本事件有个……………………………………10分根据古典概型概率计算公式，得………………………………………11分答：至少有一人分数在之间的概率 ………………………………………12分18.(本小题满分14分）如图，如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，C 是⊙上一点，且，．(1) 求证： ；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．解： (1)证明：在三角形PBC 中，所以 EF//BC ，ABC,EF ABC,面面⊄⊂BC………………………………………………………………………4分(2)⇒⎩⎨⎧⊂⊥ABCBC ABC PA 面面又是⊙的直径，所以 ……………………………………………7分所以， ………………………………………………………8分因 EF//BC ，所以因为, 所以. ……………………………………………10分（3） 在中，＝当时，是中点．为中点 111112222222222EAC PAC S S PA AC ∆∆==⨯⋅=⨯⨯⨯=……… 12分112222333A CEF F ACE ACE V V S EF --∆===⨯⨯= ……………………………………14分19．(本题满分14分)椭圆的离心率为，两焦点分别为，点M 是椭圆C 上一点，的周长为16，设线段MO （O 为坐标原点）与圆交于点N ，且线段MN 长度的最小值为.（1）求椭圆C 以及圆O 的方程；（2）当点在椭圆C 上运动时，判断直线与圆O 的位置关系.解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则，即 ① ………………………1分又1212||||||2216MF MF F F a c ++=+= ②………………………………3分 联立①②，解得，所以.所以椭圆C 的方程为.………………………………………………………5分而椭圆C 上点与椭圆中心O 的距离为2222200000169||161642525MO x y x x x =+=+-=+≥，等号在时成立………7分， 而，则的最小值为，从而，则圆O 的方程为.………………………………………………………………………………9分（2）因为点在椭圆C 上运动，所以.即.圆心O 到直线的距离2220001191625d x y x ==++.……………12分当，，则直线l 与圆O 相交. …………………… ……………14分20．(本题满分14分)已知函数.（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.解(1) 定义域在数轴上关于原点对称, 且22()ln()ln ()f x x x x x f x -=--==,所以是偶函数……………………2分当时, ,由 , , 解得: 所以在是增函数;由 , , 解得: .所以在是减函数. ………4分因为是偶函数, 图象关于轴对称，所以, 当时, 在是减函数, 在是增函数.所以, 的单调增区间是,;单调减区间是,,.………6分(2) 由,得 ,令………………………………………………………………………8分当时, ,当, , 在是增函数;当, , 在是减函数,所以, 当时,极小值是…………………………………11分因为是奇函数,所以, 当时, 极大值是所以 ()(22ln 2,)(,2ln 22)h x ∈-+∞-∞-, 即(22ln 2,)(,2ln 22)k ∈-+∞-∞-, 函数有零点. ………………………14分21．(本题满分14分)设等差数列的公差，等比数列公比为，且，，（1）求等比数列的公比的值；（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列，是否存在正整数（其中）使得和都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设=，由题意即不合题意………………………3分故，解得 (5)（2）答：不存在正整数（其中）使得和均构成等差数列证明：假设存在正整数满足题意设=且，故 ，又 -即…………………………………………7分1221-=∴+m n m 为奇数，且-……………………8分令，则……………………………………………………………………10分 若存在正整数满足题意，则11122(2)(2)(2)a a a μλωμλωμλω---=+⎧⎨⋅+=⋅++⋅+⎩ ，又112222222("")λωλωλωλω+--+-+≥===当且仅当时取 又， ----------------------12分又在R 上为增函数，,与题设矛盾，假设不成立故不存在满足题意.--------------------------------------------14分。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)理科数学试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z 21(1)i i +=-,则|z |＝（ ）A. 12 C. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.【详解】解：∵z 211(1)2i i i i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.2.已知集合{}|2x A y y ==,{}2|320B x x x =-+≤则（ ） A. A B =∅B. A B R =C. A B ⊆D. B A ⊆【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域化简集合A 的表示,解一元二次不等式化简集合B 的表示,最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为{}{}|2|0x A y y y y ===>,{}{}2|320|12B x x x x x =-+≤=≤≤, 所以{}|12A B x x =≤≤≠∅,故选项A 不正确；{}|0y y A B R =>≠,故选项B 不正确；根据子集的定义有B A ⊆.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.设α为平面,m ,n 为两条直线,若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m α⊥时,如果m n ⊥,不一定能推出n ⊂α,因为直线n 可以在平面α外,当m α⊥时,如果n ⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥,所以若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.4.已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a >,0b >）的两条渐近线互相垂直,则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 3。

2020届高三数学第二次调研测试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合的子集的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A. 数据中可能有异常值B. 这组数据是近似对称的C. 数据中可能有极端大的值D. 数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．故选：B．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．4.“”是“，”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6.已知实数，满足线性约束条件，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选B.【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】【分析】因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断．【详解】首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，，，∴直线，，都与平面平行，剩下的只有不与平面平行．实际上过作的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）．故选：C．【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9.我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A 5 B. 9 C. 或3 D. 5或9【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得．【详解】由题意得，，整理得，或5，即或3．故选：C．【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得．10.已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较．【详解】首先，最大，其次，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与比较的．12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意是的重心，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为______.【答案】；【解析】【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．【详解】取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．，故答案为：．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14.直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.【答案】；【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，∴，当且仅当，即时等号成立，故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15.若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.【答案】；【解析】【分析】求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．【详解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导数几何意义、导数与极值的关系进行判断．【详解】函数的定义域是，由于，在上递增，∴函数在上是递增，①正确；，∴函数的图象关于中心对称，②正确；，时取等号，∴③正确；，设，则，显然是即的极小值点，④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．【详解】（1）∵是等比数列，且成等差数列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由侧棱垂直于底面，且，得可侧面与底面垂直，从而与侧面垂直，因此有，即有，于是只要证即可有线面垂直，从而证，这个在矩形由相似三角形可得证；（2）以分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．【详解】（1）证明：∵平面∴四边形是矩形∵中点，且∴∵，，∴，∴连接，∵，∴与相似∴，∴∴∵，∴平面∴平面∵平面，∴∴平面，∴．（2）解∶如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，解得：同理，平面的法向量设二面角的大小为，则即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值．【详解】解：（1）在中，，∴∵∴∵，∴∴（2）∵∴∴∴∴当时，取最大值.【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值．20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值.【答案】（1）（2）（3）当，时，取最大值【解析】【分析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率；（2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率；（3）计算平均值，再计算方差，转化为的函数后可得最大值．【详解】解：（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本所以文学类图书分类正确的概率（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率（3），，的平均数所以方差∵，，∴当，时，取最大值.【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21.设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论．【详解】（1）因为在上单调递减，所以，即在上恒成立因为在上是单调递减的，所以，所以（2）因为，所以由（1）知，当时，在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22.已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）的最小值为1，此时直线：【解析】【分析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，设，，则可得，，由求出，将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.【详解】（1）设，则，即整理得（2）设：，将其与曲线的方程联立，得即设，，则，将直线：与联立，得∴∴设.显然构造在上恒成立所以在上单调递增所以，当且仅当，即时取“=”即的最小值为1，此时直线：.（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．2020届高三数学第二次调研测试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合的子集的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A. 数据中可能有异常值B. 这组数据是近似对称的C. 数据中可能有极端大的值D. 数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．故选：B．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．4.“”是“，”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6.已知实数，满足线性约束条件，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选B.【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】【分析】因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断．【详解】首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，，，∴直线，，都与平面平行，剩下的只有不与平面平行．实际上过作的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）．故选：C．【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9.我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A 5 B. 9 C. 或3 D. 5或9【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得．【详解】由题意得，，整理得，或5，即或3．故选：C．【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得．10.已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较．【详解】首先，最大，其次，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与比较的．12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意是的重心，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为______.【答案】；【解析】【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．【详解】取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．，故答案为：．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14.直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.【答案】；【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，∴，当且仅当，即时等号成立，故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15.若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.【答案】；【解析】【分析】求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．【详解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导数几何意义、导数与极值的关系进行判断．【详解】函数的定义域是，由于，在上递增，∴函数在上是递增，①正确；，∴函数的图象关于中心对称，②正确；，时取等号，∴③正确；，设，则，显然是即的极小值点，④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．【详解】（1）∵是等比数列，且成等差数列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由侧棱垂直于底面，且，得可侧面与底面垂直，从而与侧面垂直，因此有，即有，于是只要证即可有线面垂直，从而证，这个在矩形由相似三角形可得证；（2）以分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．【详解】（1）证明：∵平面∴四边形是矩形∵中点，且∴∵，，∴，∴连接，∵，∴与相似∴，∴∴∵，∴平面∴平面∵平面，∴∴平面，∴．（2）解∶如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，解得：同理，平面的法向量设二面角的大小为，则即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.（1）求的面积；。