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二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法图1-1B图1-2DBC来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．【巩固练习】一.选择题1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中错误的是( )A.DE ＝ DFB. AE ＝ AFC.BD ＝ CDD. ∠ADE ＝ ∠ADF2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn3. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（）A．△PBA≌△PDC B. △AOD≌△COBC. AB⊥PD，DC⊥PBD.点O到∠APB两边的距离相等.6. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5cm，则直线AB与CD的距离为（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm二.填空题7．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC 的长为_____cm．8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm，那么线段BE是△ABC的，AE＋DE＝。
初中数学什么是角平分线和中位线的性质角平分线和中位线是初中数学中常见的概念，它们在几何中具有重要的性质和应用。
在本文中，我们将详细讨论角平分线和中位线的定义、性质以及它们的应用。
一、角平分线的定义和性质：1. 角平分线的定义：在一个角中，从顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为角的平分线。
2. 角平分线的性质：- 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线将一个角分成两个相等的角，即两个被平分的角具有相等的度数。
- 角平分线与角的两边相交：角平分线从角的顶点引出，与角的两边相交于两个不同的点。
二、中位线的定义和性质：1. 中位线的定义：在一个三角形中，连接两个非顶点的中点的线段称为中位线。
2. 中位线的性质：- 中位线将三角形分成两个等腰三角形：中位线将一个三角形分成两个面积相等的等腰三角形，即由中位线分割出的两个三角形的底边相等，高也相等。
- 三条中位线交于一点：三角形的三条中位线交于一点，这个交点称为三角形的重心。
三、角平分线和中位线的应用：1. 角平分线的应用：- 证明角的相等：通过角平分线的性质，可以证明两个角是相等的，从而在几何证明中起到重要的作用。
- 构造角：通过已知角的平分线，可以准确地构造出所需的角。
- 解决问题：角平分线的概念可以应用于解决实际问题，如定位和测量。
2. 中位线的应用：- 分割三角形：中位线将三角形分割成两个等腰三角形，可以帮助我们计算三角形的面积或找到等腰三角形的性质。
- 证明三角形的相似性：通过中位线的性质，可以证明两个三角形是相似的，从而在几何证明中起到重要的作用。
- 定位和测量：中位线的概念可以应用于实际问题中，如定位和测量三角形的重心。
综上所述，角平分线和中位线是初中数学中重要的几何概念。
通过了解它们的定义和性质，我们可以更好地理解和应用于相关的问题，包括证明角的相等、构造角、计算三角形的面积、证明三角形的相似性以及定位和测量等。
角的平分线【基础知识精讲】角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B 是满足条件A 的点的集合，要说明两点：①图形B 上的所有点满足条件A.②满足条件A 的所有点都在图形B 上.关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS ”定理及“HL ”公理.本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理. 应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用. 例1 △ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=64，BD ∶DC=9∶7,求D 到AB 的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析 设DE 为D 到AB 的距离，由角平分线性质CD=DE ，再由已知可求CD 、DE. 解 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，DC ⊥AC ，又AD 为∠BAC 平分线，∴DC=DE ，BC=64，BD ∶DC=9∶7∴DC=167×64=28 ∴DE=28 例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC 与∠ACB 的平分线交于O ，再证AO 平分∠BAC.图3.9-2已知：△ABC 中，AA ′，BB ′，CC ′为角平分线，求证AA ′，BB ′，CC ′交于一点.证 设BB ′，CC ′交于O ，过O 分别作OD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，∵O 在∠ABC 平分线上，∴OD=OF.O 在∠ACB 平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.∴O 在∠BAC 平分线上，即O 在AA ′上，∴AA ′，BB ′，CC ′交于一点.注：该点称为三角形内心.例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4 判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“21+21=1，31+35=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1 △ABC 的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD 将△ABC 分为面积比为3∶5的两部分，且AB ＜AC ，求AB ，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S △ABD ∶S △ADC =3∶5,此条件不好利用，故考虑AD 为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD 中AB 边上的高，△ADC 中AC 边上的高相等，从得求出x ∶y,进而求出x,y.解 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∵AD 为角平分线∴DE=DF∵AB ＜AC ，∵S △ABD ∶S △ADC =（21DE ·AB ）∶（21DF ·AC ）=AB ∶AC=3∶5 ∴x+y+17=41 x ∶y=3∶5 (x ＜y)∴x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P 为△ABC 的两外角∠MBC 和∠NCB 的角平分线交点.此时P 到三边AB 、AC 、BC 的距离PD=PF=PE.而P 不为△ABC 的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向△ABC 三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分×8=24分）( )1.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.( )5.任何命题都有逆命题.( )6.任何定理都有逆定理.( )7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.( )8.有命题“若x=y ，则x 2=y 2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分×8=32分)1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.4.P 在∠MON 的角平分线上，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，PA+PB=12，则PA= ，PB= .5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .三、选择(5分×6=3分)1.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题是假命题2.P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=31∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP,则下面结论正确的是( )A.PM ＞QMB.PM=QNC.PM ＜QND.PM=PQ3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )A.两角平分线交点在三角形内B.两角平分线交点在第三个角的平分线上C.两角平分线交点到三边距离相等D.两角平分线交点到三顶点距离相等4.下列命题中，正确的命题有几个( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③不是对顶角的两个角就不相等;④不相等的角不是对顶角A.1个B.2个C.3个D.0个5.设a,b为实数，下面四个命题.①若a＞b, 则a2＞b2②若a2＞b2, 则a＞b③若a＞b，则a2＞b2④若a2＞b2则a＞b其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列命题真命题是( )A.同位角相等B.同旁内角相等，两直线平行C.不相等的角不是内错角D.同旁内角不互补，两直线不平行四、解答题(7分×2=14分)1.如图3.9-6，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.图3.9-62.△ABC的外角∠CBD，∠BCE的角平分线交于点F，求证AF平分∠BAC.【素质优化训练】1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.图3.9-72.△ABC 中，AB=BC=CA ，三内角平分线交于O ，OP ⊥AB 于P ，OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CA 于N ，AH ⊥BC 于H.求证OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】1.如图(3.9-8)，某铁路MN 和公路PQ 相交于点O ，且交角为90°,某仓库G 在A 区，到公路、铁路距离相等(即G 在∠NOQ 的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m.(1)在图上标出仓库G 的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G 到铁路的实际距离.图3.9-8参考答案：【同步达纲练习】一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√二、1.距离，集合 2.交于一点，相等 3.相等的角是对顶角，假 4.6，6 5.逆命题，逆定理 6.有两个锐角的三角形是直角三角形，假 7.两直线平行，同位角相等三、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D四、1.作PM ⊥OA 交OA 延长线于M PN ⊥OB 交OB 延长线于N.∵S △OPA =S △OPB ∴21OA ·PM=21OB ·PN OA=OB ∴PM=PN ∴∠AOP=∠BOP 2.提示：过F 分别作三边的垂线FM ，FP ，FN. 易证FM=FP=FN ，再利用角平分线性质可得结论.【素质优化训练】1.作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N. AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE∴△ABD ≌△ACE ∴S △ABD =S △ACE ∴S △BOE =S △COD .又BE=CD ∴OM=ON ∴AO 平分∠BAC.2.S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC .21AH ·BC=21OP ·AB+21BC ·OM+21AC ·ON 又AB=BC=CA ∴OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】(1)略 (2)1002(m)。
八年级角平分线角平分线，这是一个几何术语，也是数学中的一个基本概念。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法。
下面，我将从定义、性质、判定方法三个方面，对八年级角平分线进行解析。
角平分线是指从一个角顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角。
这条射线叫做角的平分线。
在书写时，我们通常用符号“”来表示角平分线，例如，如果有一个角AOB，那么它的角平分线可以表示为。
角平分线有许多重要的性质。
这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是角平分线的一些主要性质：角平分线将对应的边分为两段，两段长度相等。
也就是说，如果一个角AOB被分为两个相等的角，那么从角的顶点到角平分线的任意一点的距离等于另一段距离。
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
这意味着，如果你在角平分线上画一个点，那么这个点到角的两边的距离是相等的。
角的两边中点之间的连线是角平分线。
这是一个重要的性质，可以帮助我们在不知道角平分线的情况下找到角平分线的位置。
在八年级的数学课程中，我们学习了如何判断一个线段是否是角平分线。
以下是两种主要的判定方法：如果一个线段将一个角的两边等分，那么这个线段是这个角的平分线。
如果一个线段通过一个角的顶点，且将这个角分成两个相等的角，那么这个线段是这个角的平分线。
在几何学中，角平分线是一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们解决一些简单的问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何问题。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法，这为我们进一步学习几何学打下了坚实的基础。
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一。
在三角形中，中线和角平分线是两种非常重要的线段，它们在几何学中有着重要的性质和应用。
三角形的中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，且每条中线都与三角形的三条边相交。
三角形中线的性质包括：1）任意两边中线的长度相等；2）中线将三角形的面积分成相等的两部分；3）当一个顶点与中线的交点之间的连线作为辅助线时，可以构成直角三角形。
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ）， ∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论. 【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ． 在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DPF ≌△EPF ， ∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
角的平分线【基础知识精讲】角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B 是满足条件A 的点的集合，要说明两点：①图形B 上的所有点满足条件A.②满足条件A 的所有点都在图形B 上.关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS ”定理及“HL ”公理.本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理.应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用.例1 △ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=64，BD ∶DC=9∶7,求D 到AB 的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析 设DE 为D 到AB 的距离，由角平分线性质CD=DE ，再由已知可求CD 、DE. 解 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，DC ⊥AC ，又AD 为∠BAC 平分线，∴DC=DE ，BC=64，BD ∶DC=9∶7∴DC=167×64=28 ∴DE=28 例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC 与∠ACB 的平分线交于O ，再证AO 平分∠BAC.图3.9-2已知：△ABC 中，AA ′，BB ′，CC ′为角平分线，求证AA ′，BB ′，CC ′交于一点.证 设BB ′，CC ′交于O ，过O 分别作OD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，∵O 在∠ABC 平分线上，∴OD=OF.O 在∠ACB 平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.∴O 在∠BAC 平分线上，即O 在AA ′上，∴AA ′，BB ′，CC ′交于一点.注：该点称为三角形内心.例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4 判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“21+21=1，31+35=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1 △ABC 的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD 将△ABC 分为面积比为3∶5的两部分，且AB ＜AC ，求AB ，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S △ABD ∶S △ADC =3∶5,此条件不好利用，故考虑AD 为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD 中AB 边上的高，△ADC 中AC 边上的高相等，从得求出x ∶y,进而求出x,y.解 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∵AD 为角平分线∴DE=DF∵AB ＜AC ，∵S △ABD ∶S △ADC =（21DE ·AB ）∶（21DF ·AC ）=AB ∶AC=3∶5 ∴x+y+17=41 x ∶y=3∶5 (x ＜y)∴x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P 为△ABC 的两外角∠MBC 和∠NCB 的角平分线交点.此时P 到三边AB 、AC 、BC 的距离PD=PF=PE.而P 不为△ABC 的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向△ABC 三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分×8=24分）( )1.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.( )5.任何命题都有逆命题.( )6.任何定理都有逆定理.( )7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.( )8.有命题“若x=y ，则x 2=y 2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分×8=32分)1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.4.P 在∠MON 的角平分线上，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，PA+PB=12，则PA= ，PB= .5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .三、选择(5分×6=3分)1.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题是假命题2.P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=31∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP,则下面结论正确的是( )A.PM ＞QMB.PM=QNC.PM ＜QND.PM=PQ3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )A.两角平分线交点在三角形内B.两角平分线交点在第三个角的平分线上C.两角平分线交点到三边距离相等D.两角平分线交点到三顶点距离相等4.下列命题中，正确的命题有几个( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③不是对顶角的两个角就不相等;④不相等的角不是对顶角A.1个B.2个C.3个D.0个5.设a,b为实数，下面四个命题.①若a＞b, 则a2＞b2②若a2＞b2, 则a＞b③若a＞b，则a2＞b2④若a2＞b2则a＞b其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列命题真命题是( )A.同位角相等B.同旁内角相等，两直线平行C.不相等的角不是内错角D.同旁内角不互补，两直线不平行四、解答题(7分×2=14分)1.如图3.9-6，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.图3.9-62.△ABC的外角∠CBD，∠BCE的角平分线交于点F，求证AF平分∠BAC.【素质优化训练】1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.图3.9-72.△ABC 中，AB=BC=CA ，三内角平分线交于O ，OP ⊥AB 于P ，OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CA 于N ，AH ⊥BC 于H.求证OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】1.如图(3.9-8)，某铁路MN 和公路PQ 相交于点O ，且交角为90°,某仓库G 在A 区，到公路、铁路距离相等(即G 在∠NOQ 的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m.(1)在图上标出仓库G 的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G 到铁路的实际距离.图3.9-8参考答案：【同步达纲练习】一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√二、1.距离，集合 2.交于一点，相等 3.相等的角是对顶角，假 4.6，6 5.逆命题，逆定理 6.有两个锐角的三角形是直角三角形，假 7.两直线平行，同位角相等三、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D四、1.作PM ⊥OA 交OA 延长线于M PN ⊥OB 交OB 延长线于N.∵S △OPA =S △OPB ∴21OA ·PM=21OB ·PN OA=OB ∴PM=PN ∴∠AOP=∠BOP 2.提示：过F 分别作三边的垂线FM ，FP ，FN. 易证FM=FP=FN ，再利用角平分线性质可得结论.【素质优化训练】1.作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N. AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE∴△ABD ≌△ACE ∴S △ABD =S △ACE ∴S △BOE =S △COD .又BE=CD ∴OM=ON ∴AO 平分∠BAC.2.S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC .21AH ·BC=21OP ·AB+21BC ·OM+21AC ·ON 又AB=BC=CA ∴OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】(1)略 (2)1002(m)。
