第九章单元测试卷

第九章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如果方程x 2＋ky 2＝3表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)答案 D解析 方程化为x 23＋y 23k＝1，由3k>3得0<k <1，故选D.2．过点(3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 圆心坐标为(0,1)，斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3，∴倾斜角α＝120°.3．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a 4)B ．(0，14a )C ．(0，－14a )D ．(0，－a4)答案 C解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2＝1－ay ，所以焦点坐标为(0，－14a．故选C.4．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40， ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.5．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．6．(2011·天津文)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x x ＝－p 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2ax ＝－p2，由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp 2a 1－p2＝－2，得⎩⎨⎧b a ＝12p ＝4，又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.8．如下图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.9．(2011·浙江文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 3＝132B ．a 3＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2答案 C 解析对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2，∴sin∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a 35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.10. 已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.11．(2011·福建文)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32答案 A解析 设圆锥曲线的离心率为e ，因|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32，故选A.12．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1，由题意得k P A ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝1(1－x 1)＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎨⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.14．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋1352＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255， 所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.15．(2011·大纲全国理)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.答案 6解析 依题意得知，点F 1(－6,0)，F 2(6,0)，|F 1M |＝8， |F 2M |＝4.由三角形的内角平分线定理得|F 1M ||F 2M |＝|F 1A ||F 2A |＝2，|F 1A |＝2|F 2A |；又点A 在双曲线上，因此有|F 1A |－|F 2A |＝2×3＝6，2|F 2A |－|F 2A |＝|F 2A |＝6.16．已知a >b >0，e 1、e 2分别是圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，设m ＝ln e 1＋ln e 2，则m 的取值范围是________．答案 m ∈(－∞，0)解析 e 21＝a 2－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a 2， ∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－b4a4， ∵a >b >0，∴0<b 4a4，∴e 21·e 22∈(0,1)，即e 1·e 2∈(0,1)， ∴m ＝ln(e 1·e 2)∈(－∞，0)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2011·北京文)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解析 (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63.解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12AB |·d ＝92. 18．(本小题满分12分)(2011·安徽文)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．解析 (1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎨⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1.而2x 2＋y 2＝2(2k 2－k 1)2＋(k 2＋k 1k 2－k 1)2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．方法二 l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0，从而⎩⎨⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．19．(本小题满分12分)(2011·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得 2(c a )2＋c a －1＝0.得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12. 所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为 3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线 x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．21．(本小题满分12分)(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.22．(本小题满分12分)如上图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，由已知得⎩⎨⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去， 只能取x ＝32，由于y >0，于是y ＝523，∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是m ＋62，于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2，椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.1．已知ab ≠0，点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是ax ＋by ＝r 2，则下面正确的是( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 k OM ＝b a ，则弦所在的直线斜率为－a b ，而k 1＝－ab ，故m ∥l .点M (a ，b )是圆内一点，则a 2＋b 2<r 2，d ＝r 2a 2＋b2>r ，故l 与圆相离．2．两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12B ．0或12C.12或－12D.12或－6 答案 D解析 由|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1， 解之得m ＝12或－6，故选D.3．k 为任意实数，直线(k ＋1)x －ky －1＝0被圆(x －1)2＋(y －1)2＝4截得的弦长为( )A ．8B ．4C ．2D ．与k 有关的值 答案 B解析 直线(k ＋1)x －ky －1＝0化为k (x －y )＋x －1＝0，可知恒过定点(1,1)即圆心，从而弦长为4，故答案选B.4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.5．以椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F (1,0)，所求圆的半径为b 2＋c 2＝a ＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析 设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |， 即x 2＋y 2＝(x －1)2＋y 2·(x ＋1)2＋y 2， 整理得：2x 2－2y 2＝1，∴PA →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12，∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32， ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D解析 设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，由BP →＝2PA →， ∴A (32x,0)，B (0,3y )．∴AB →＝(－32x,3y )．从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )(－32x,3y )＝1.得32x 2＋3y 2＝1其中x >0，y >0，故选D. 9．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为E ，P (x ，y )为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．答案 －2210．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝22， ∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋2， 可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1.11．若焦点在x 轴上的椭圆x 245＋y 2b 2＝1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是________．答案 －3102b ≤3102b ≠0解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 2－b 2≥b 2⇒b 2≤12a 2＝452，解得－3102≤b ≤3102且b ≠0.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案 5解析 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，由垂径定理得AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22.又AC ⊥BD ，∴d 21＋d 22＝OM 2＝3， ∴(S四边形ABCD )2＝(12AC ·BD )2＝4(4－d 21)(4－d 22)≤4(4－d 21＋4－d 2222＝4×(52)2＝25(当且仅当d 1＝d 2时等号成立)，∴S四边形ABCD ≤5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.13．如果以抛物线y 2＝4x 过焦点的弦为直径的圆截y 轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是________．答案 (x －32)2＋(y ＋1)2＝254或(x －32)2＋(y －1)2＝254解析 如下图，抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设过点F 的直线方程为y ＝k (x －1)，与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 由题意知，Δ>0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1·x 2＝1.令AB 的中点，即以AB 为直径的圆的圆心为P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2(2k 2＋4k 2)2－4. 由题意知x 20＋4＝(|AB |2)2，即(k 2＋2k 2)2＋4＝(1－k 2)[(2k 2＋4k2)2－4]4.解得k 2＝4，即k ＝±2，所以P (32，±1)，|AB |＝5，所以圆P 的方程为(x －32)2＋(y ＋1)2＝254或(x －32)2＋(y －1)2＝254.14．如图，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)．C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin(2θ－π6)的值．解析 (1)由已知得A 、B 、P 的坐标分别为(1,0)(0,1)，(cos θ，sin θ)． ∵OQ →＝OA →＋OP →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)，∴OA →·OQ →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积S ＝|OA →||OP →|sin θ＝sin θ， ∴OA →·OQ →＋S ＝1＋sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＋1.∵0<θ<π，∴当θ＝π4时，OA →·OQ →＋S 取最大值为2＋1.(2)由题意CB →＝(2,1)，OP →＝(cos θ，sin θ)，∴tan θ＝12.又θ∈(0，π)，∴θ∈(0，π2)．由⎩⎨⎧sin θcos θ＝12sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255. ∴sin2θ＝2sin θ·cos θ＝2·55·255＝45.cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45－15＝35.∴sin(2θ－π6)＝sin2θ·cos π6－cos2θ·sin π6＝45·32－35·12＝43－310. 15.如上图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上． (1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 是正三角形．又因为点B ，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c ，则2c ＝|BC |＝|AB |＝4，如右图所示，连接CD ，由AB 中点D 在椭圆上，得2a ＝|BD |＋|CD |＝12|AB |＋32|AB |＝2＋23，所以a ＝1＋3，从而a 2＝4＋23，b 2＝a 2－c 2＝23， 故所求椭圆E 的方程为x 24＋23＋y 223＝1.(2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，且 |AD |＝|DB |＝m ，连接CD ， 则|BO |＝|OC |＝c ，|DC |＝2a －m ，在Rt △AOB 中，cos ∠ABC ＝c2m .①在△BCD 中，由余弦定理，得 cos ∠ABC ＝(2c )2＋m 2－(2a －m )22×(2c )×m.②由①②式得2m ＝2a 2－c 2a ，代入①式得cos ∠ABC ＝ac 2a 2－c 2＝e2－e 2.16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a，故AF 1→所在直线方程为 y ＝±(xa a 2－2＋1a)． 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)，又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ， 直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k ) 设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23y 1＝k 3，又Q 在椭圆C 上，得(－23)24＋(k 3)22＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)， 即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．解析 (1)由b ＝21＋1，得b ＝ 2.又∵2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，∵M ，N ，P 在椭圆上，∴它们满足椭圆方程，即有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得y 2－y 20x －x 0＝－b 2a 2. 由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2，得b ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.18．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率；(2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形， ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)，∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)，F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2－2＝0， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*)∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2，F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)，F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2(k 2－1)1＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<92(1＋2k 2)≤92，－1≤F 2A →·F 2B →＝72－92(1＋2k )<72，综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72.19．(2011·安徽理)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解析 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ. ③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 20.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .解析 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)．由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22. (2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)解法一 将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k2.记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k 2(x －μ)，代入椭圆方程并由μ＝21＋2k 2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2)．于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .解法二 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 为直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k 2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB . 21.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′.试问：当m 变化时，直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解析 (1)∵过点(0,1)，∴b ＝1. ∵c a ＝32，即a 2－b 2a 2＝34. ∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.特别地，令y 1＝－1，则x 1＝0，m ＝1，y 2＝35.此时A ′(0,1)，B (85，35)，直线A ′B ：x ＋4y －4＝0与x 轴的交点为S (4,0)．若直线A ′B 与x 轴交于一个定点，则定点只能为S (4,0)． 以下证明对于任意的m ，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)． 事实上，经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1. 令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1.只需证明x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝4，即证m (y 2－y 1)y 1y 2＋y 1＋my 1－3＝0，即证2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0.因为2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝－6m m 2＋4－－6mm 2＋4＝0，所以2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0成立．这说明，当m 变化时，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)． 22．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4， 得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程：y ＝2x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <22， ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4＝ 34－m 22，又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝1234－m 22|m |3＝12m 2(4－m 22)＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.。