下载文档原格式
带符号数的表示方法
在计算机里呀，带符号数有原码、反码和补码这几种表示方法。
先说说原码吧，原码可直接，它就是把数的符号用一位来表示，正数符号位是0，负数符号位是1，后面跟着这个数的绝对值的二进制表示。
比如说+5，它的原码就是00000101（假设是8位二进制数哦），那 -5的原码就是10000101。
原码很直观，就像咱们平时看数一样，一眼能看出是正还是负。
不过原码在计算的时候有点小麻烦呢。
这时候反码就登场啦。
对于正数，反码和原码是一样一样的。
但是负数的反码呢，就是把原码除了符号位之外的所有位都取反。
像 -5的原码是10000101，那它的反码就是11111010。
反码在做减法的时候会比原码方便一些哦。
补码就更酷啦。
正数的补码还是和原码一样。
负数的补码呢，是它的反码再加1。
还拿 -5来说，反码是11111010，那补码就是11111010 + 1 = 11111011。
补码在计算机里可太重要啦，计算机里很多运算都是用补码来进行的。
因为用补码计算的时候，减法可以当成加法来做，这样就大大简化了计算机的运算电路呢。
咱打个比方，就像你有两种方式去一个地方，原码可能是那种按部就班的走法，反码有点像是换了个思路走，而补码呢，就像是找到了一条超级捷径，能让计算机这个小机灵鬼更快地算出结果。
计算机中带符号数的表示之原码、补码、反码计算机中带符号数的表示之原码、补码、反码2010-09-13 12：47为叙述方便，先引进两个名词：机器数和真值。
将一个数在机器中的表示形式，即编码称为机器数，将数本身称为真值。
常用的机器数有三种：原码、补码和反码。
1.原码1)通俗定义将数的符号数码化，即用一个二进制位表示符号：对正数，该位取0，对负数，该位取1。
而数值部分保持数的原有形式(有时需要在高位部分添几个0)。
这样所得结果为该数的原码表示。
例，x=+1001010，y=-1001010，z=-1110(=-0001110)。
当原码为8位时，x、y和z的原码分别是：[x]原=01001010；[y]原=11001010；[Z]原=10001110.其中最高位为符号位。
2)正规定义其中，x为真值，n为原码的位数。
这个定义实际是将真值的范围给出来了，当n=8时，-127 x127，因而，其数值部分写成二进制形式，最多为7位。
从该定义可看出，x为正数时，其原码还是数本身，第8位(符号位)补0；x为负数时，-x等于去掉负号，但要加上127，即第8位为1(127=10000000(2))。
因此，这个定义和上面的通俗定义是一致的。
3)原码表示的特点原码表示有三个主要特点：一是直观，与真值转换很方便；二是进行乘、除运算方便；三是加、减运算比较麻烦。
第一点是显然的。
说原码表示进行乘、除运算方便是因为其数值部分保持了数据的原有形式，对数值部分进行乘或除就可得到积或商的数值部分，而积或商的符号位可由两个数原码的符号位进行逻辑运算而得到。
说原码表示进行加、减运算比较麻烦，以加法为例，两个数相加需先判别符号位，若其不同，实际要做减法，这时需再判断绝对值的大小，用绝对值大的数减绝对值小的数，最后还要决定结果的符号位。
2.补码1)补码的引进和定义据统计，在所有的运算中，加、减运算要占到80%以上，因此，能否方便地进行正、负数加、减运算，直接关系到计算机的运行效率。
原码、反码与补码知识讲解2.2 原码、反码与补码在计算机内的数（称之为“机器数”）值有3种表示法：原码、反码和补码。
所谓原码就是带正、负号的二进制数，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
由此可见，这三种表示法中，关键是负数的表示方式不一样。
2.2.1 正负数表示、定点数与浮点数在计算机内，通常把1个二进制数的最高位定义为符号位，用“0”表示正数，“1”表示负数；其余位表示数值。
规定小数点位置固定不变的数称为“定点数”；小数点的位置不固定，可以浮动的数称为“浮点数”。
2.2.2 原码原码表示法是定点数的一种简单的表示法。
用原码表示带符号二进制数时，符号位用0表示正，1表示负；数值位保持不变。
原码表示法又称为符号-数值表示法。
1. 小数原码表示法设有一数为x，则原码表示可记作[x]原（下标表示）。
例如，X1= ＋1010110 ；X2= -1001010原码表示数的范围与二进制位数有关。
设二进制小数X=±0.X1X2…Xm，则小数原码的定义如下：例如：X=+0.1011时，根据以上公式可得[X]原=0.1011；X=－0.1011时，根据以上公式可得[X]原= 1-（-0.1011）=1.1011=1.1011当用8位二进制来表示小数原码时，其表示范围为：最大值为0.1111111，其真值约为（0.99）10 ；最小值为1.1111111，其真值约为（-0.99）10。
根据定义，小数“0”的原码可以表示成0.0…0或1.0…0。
2. 整数原码表示法整数原码的定义如下：例如：X=+1101时，根据以上公式可得[X]原=01101；X=－1101时，根据以上公式可得[X]原=24-（-1101）=10000+1101=11101当用8位二进制来表示整数原码时，其表示范围为：最大值为01111111，其真值为（127）10 ；最小值为11111111，其真值为（-127）10 。
原码，反码，补码及运算一、定义 1．原码 正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。
用这样的表示方法得到的就是数的原码。
【例2.13】当机器字长为8位二进制数时：X＝＋1011011 [X]原码＝01011011Y＝＋1011011 [Y]原码＝11011011[＋1]原码＝00000001 [－1]原码＝10000001[＋127]原码＝01111111 [－127]原码＝11111111 原码表示的整数范围是： －（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋12716位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋32767 2．反码 对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。
【例2.14】当机器字长为8位二进制数时： X＝＋1011011 [X]原码＝01011011 [X]反码＝01011011 Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100 [＋1]反码＝00000001 [－1]反码＝11111110 [＋127]反码＝01111111 [－127]反码＝10000000 负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。
反码表示的整数范围与原码相同。
3．补码 正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。
引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。
【例2.15】（1）X＝＋1011011 （2）Y＝－1011011 （1）根据定义有：[X]原码＝01011011 [X]补码＝01011011 （2）根据定义有：[Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100 [Y]补码＝10100101 补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
原码、反码、补码的简单转换1、正数的原码、反码、补码是⼀样的如+1011111（95）的原码、反码、补码为：原码 0101 1111反码 0101 1111补码 0101 11112、负数的原码、反码、补码转换以-1011111（-95）的原码、补码、反码的转换为例：（1）负数原码、反码转换符号位不变，数值位按位取反原码转反码原码 1101 1111反码 1010 0000 //符号位不变，数值位按位取反反码转原码反码 1010 0000原码 1101 1111 //符号位不变，数值位按位取反（2）负数原码、补码转换符号位不变，数值位按位取反，末位+1原码转补码原码 1101 1111反码 1010 0000 //符号位不变，数值位按位取反补码 1010 0001 //末位+1快速求法为：符号位不变，从右往左找第⼀个1，这个1左边的取反，右边的不变补码转原码补码 1010 00011101 1110 //符号位不变，数值位按位取反为原码 1101 1111 //末位+1（3）负数反码、补码转换反码转补码，末位+1；补码转反码，末位-1反码转补码反码 1010 0000补码 1010 0001 //末位+1补码转反码补码 1010 0001反码 1010 0000 //末位-13、总结：正数的原码、补码、反码都⼀样；负数的原码、反码转换：符号位不变，数值位按位取反；负数的原码、补码转换：符号位不变，数值位按位取反，末位+1，【快速求法为：符号位不变，从右往左找第⼀个1，这个1左边的取反，右边的不变】；负数的反码、补码转换：反码转补码，末位+1；补码转反码，末位-1。
原码表示法：带符号数在机器中的表示方法就是原码表示法。
正数用0表示，负数用1表示。
例：+1001010的原码为01001010，-1001010的原码为11001010反码表示法：正数的反码和原码一样；负数的反码与原码不同，而是原码的符号位不变，数值部分逐步求反。
例1:反码表示+101。
先将其用八位二进制表示为00000101（第一位为符号位，0表示正数）再反码表示为00000101（正数原码补码相同）例2：反码表示-101.先将其用八位二进制表示为10000101（第一位为符号位，1表示负数）再反码表示为1111010（符号位不变，其余位求反即1变0,0变1）结论：用八位二进制表示一个数十反码最高位为符号位，当符号位为0（正数）时，后面7位与原码相同；符号位为1（负数）时，后面7位与原码相反。
补码表示法：正数的补码与原码相同，负数的补码等于它的反码末位加1.例1：原码：00000101,，其补码为00000101（正数补码原码相同）例2：原码：10000101，其补码为其反码加1，即为11111010+1=11111011原码与补码的相互转换：（仅负数，正数原码补码相同）1.原码转补码：符号位不变，数值部分求反加12.补码转原码：补码的补码即原码，即补码求反加1为原码。
课本后习题最后两题（P47)7.（1）+7原码为00000111，反码为00000111，补码为00000111-7原码为10000111，反码为11111000，补码为11111001（2）自己写(^.^)(^.^)(^.^)8.（1）补码11111111转换成原码为10000000+1=10000001，其真值为-1（2）嘿嘿嘿嘿嘿（3）^_~ ^_~ ^_~ ^_~ ^_~。
一．带符号数的原码、反码与补码所谓带符号数，其实就是一个二进制数据，它的最高位所代表的是符号，其余位是其“绝对值”。
例如0101_0011，这个数据如果是带符号数，那么最高位的0就是代表这个数据为正数，其后的101-0011则代表这个数据的绝对值，为+83D。
如果是1101_0011，则代表-83D。
1.1 原码原码就是按照正数的符号位为0，负数的符号位为1，其他位就是数据的绝对值即可。
例如当机器字长为8bit的二进制数时，它的最高位为符号位，因此其余的7bit位数据的绝对值。
因此原码所能表示的数据范围是：- (2n-1-1)~+(2n-1-1)当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-127~+127例如83的原码就是：0101_0011当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32767~+32767例如-83的原码就是：1000_0000_0101_00111.2反码对于一个带有符号位的二进制数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位外其余各位按位取反。
例如当字长为8bit时，+83D的反码就是：0101_0011，-83D的反码就是1010_1100负数的反码与原码有很大的差别，一般情况下，反码主要用来当做求二进制数补码的中间形式。
反码所表示的数据范围与原码相同：- (2n-1-1)~+(2n-1-1)1.2补码正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。
例如：X=+101_1011 [X]原码=0101_1011 [X]补码=0101_1011X=-101_1011 [X]原码=1101_1011 [X]补码=1010_0101补码表示的范围是：- 2n-1~+(2n-1-1)当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-128~+127当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32768~+32767关于0，它有两个补码：正零：0000_0000负零：1000_0000二．通过补码求解原值的方法1）对于正数，它的原值与补码相同；2）对于负数，它的原值就是将补码除符号位以外，安位取反之后，末位加1。
一．带符号数的原码、反码与补码
所谓带符号数，其实就是一个二进制数据，它的最高位所代表的是符号，其余位是其“绝对值”。
例如0101_0011，这个数据如果是带符号数，那么最高位的0就是代表这个数据为正数，其后的101-0011则代表这个数据的绝对值，为+83D。
如果是1101_0011，则代表-83D。
1.1 原码
原码就是按照正数的符号位为0，负数的符号位为1，其他位就是数据的绝对值即可。
例如当机器字长为8bit的二进制数时，它的最高位为符号位，因此其余的7bit位数据的绝对值。
因此原码所能表示的数据范围是：
- (2n-1-1)~+(2n-1-1)
当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-127~+127
例如83的原码就是：0101_0011
当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32767~+32767
例如-83的原码就是：1000_0000_0101_0011
1.2 反码
对于一个带有符号位的二进制数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位外其余各位按位取反。
例如当字长为8bit时，+83D的反码就是：0101_0011，-83D的反码就是1010_1100
负数的反码与原码有很大的差别，一般情况下，反码主要用来当做求二进制数补码的中间形式。
反码所表示的数据范围与原码相同：
- (2n-1-1)~+(2n-1-1)
1.2 补码
正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。
例如：
X=+101_1011 [X]原码=0101_1011 [X]补码=0101_1011
X=-101_1011 [X]原码=1101_1011 [X]补码=1010_0101
补码表示的范围是：
- 2n-1~+(2n-1-1)
当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-128~+127
当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32768~+32767
关于0，它有两个补码：
正零：0000_0000
负零：1000_0000
二．通过补码求解原值的方法
1）对于正数，它的原值与补码相同；
2）对于负数，它的原值就是将补码除符号位以外，安位取反之后，末位加1。
例如【X】=0101_1001，由于最高位是0，因此是正数，原值与补码相同，也是0101_1001，转换成10进制就是+89D。
【X】=1101_1010，由于最高位是1，因此原值是负数，符号位外其余各位安位取反为：1010_0101，然后末位加1可得到原值：1010_0110，就是-38D。
三．利用补码进行加减运算
3.1 加法运算
对于加法运算，首先需要计算【X+Y】补，然后再经过补码转原码的方式获得原值。
【X+Y】补=【X】补+【Y】补
例如：X=+011_0011 Y=-010_1001 即：X=+51D, Y=-41D
则【X】原=0011_0011 【X】反=0011_0011 【X】补=0011_0011
【Y】原=1010_1001 【Y】反=1101_0110 【Y】补=1101_0111
因此【X+Y】补=【X】补+【Y】补=0011_0011+1101_0111=0000_1010，再换原码为+10D。
3.2 减法运算
对于减法运算，首先需要计算【X-Y】补，然后再经过补码转原码的方式获得原值。
例如：X=+011_1001 Y=+100_1101 即：X=+57D, Y=+77D
则【X】原=0011_1001 【X】反=0011_1001 【X】补=0011_1001
【-Y】原=1100_1101 【-Y】反=1011_0010 【-Y】补=1011_0011
因此【X-Y】补=【X】补+【-Y】补=0011_1001+1011_0011=1110_1100，将【X-Y】补低7位进行取反，为1001_0011，再将其末位加1，可得【X-Y】原=1001_0100，转换成10进制
的数即为-20D。
由此可知，补码的意义就是可以把所有的加法与减法都转换成加法进行计算，这样非常适用于计算机进行运算处理。
四．关于求补码的深入讨论
通过上面这个表可知，-128如果用8bit的二进制数表示就是1000_0000，“反码+1”的计算方法并不适用-128，所以-128这个数比较特殊，需要特殊记忆。
其实求一个数的补码，按照补码最原始的定义，其实就是正数与原码相同，而负数采用“模减去绝对值”的方法来求，这是求补数的通用方法，适合于各种进制、各种大小数字。
下面就从计算机的角度深入理解补码的概念。
4.1 模与补数的概念
在日常生活当中，可以看到很多这样的事情：
把某物体左转90 度，和右转270 度，在不考虑圈数的条件下，最终的效果是相同的；
把分针倒拨20 分钟，和正拨40 分钟，在不考虑时针的条件下，效果也是相同的；
把数字87，减去25，和加上75，在不考虑百位数的条件下，效果也是相同的；
……。
上述几组数字，有这样的关系：
90 + 270 = 360
20 + 40 = 60
25 + 75 = 100
式中的360、60 和100，就是“模”（也可以理解成“进制”）。
式中的90 和270、20 和40，以及25 和75，就是一对“互补”的数字。
知道了“模”，求某个数字的“补数”，就是轻而易举的了：如果模为365，数字120 的补数为：365 - 120 = 245。
用补数代替原数，可把减法转变为加法。
出现的进位就是模，此时的进位，就应该忽略不计。
4.2 二进制数的模
前面说过的十进制数25 和75，它们是2 位数的运算，模是100，即1 的后面加上2 个0。
如果有3 位数参加运算，模就是1000，即1 的后面加上3 个0。
这里的1000，是十进制数的一千，可以写成10^3，即10 的3 次方。
推论：有多少位数参加运算，模就是在1 的后面加上多少个0。
对于二进制数字，模也是这样推算。
如果是3 位二进制数参加运算，模就是1000，即1的后面加上3个0；
那么当8 位二进制数参加运算，模就是1 0000 0000，即1的后面加上8个0。
注意：这里提到的1、0，都是二进制数。
8 位二进制数的模可以按照十进制写成2^8，即256。
16 位数二进制数的模，就是2^16，按照十进制，它就是65536。
4.3 二进制数的补码
前面说过的十进制数2二进制数的补码，求二进制数的补数，目的是往计算机里面存储。
在计算机里面，存放的数字什么的，都称为机器码；那么二进制形式的补数，也就改称为补码了。
一般情况下，都是以8 位二进制数来讨论补码，少数也有用16 位数的。
计算时加上正数，是不需要进行求取补数的；只有进行减法（或者加上负数），才需要对减数求补数。
补码就是按照这个要求来定义的：正数不变，负数即用模减去绝对值。
已知一个数X，其8 位字长的补码定义为：
(1) 正数：X ; 0 <= X <= +127 (正数和0的补码，就是该数字本身)
(2) 负数：2^8 －|X| ; －128 <= X < 0 (负数的补码，其实就是用1 0000 0000 （2的8次方），减去该数字的绝对值)。
例如X = －126，其补码为1000 0010，计算方法如下：
1 0000 0000
－0111 1110
－－－－－－－－－－－
1000 0010
可以看出，按照补码的定义来求补码，概念十分清晰，方法、步骤也是十分简单的。
应用补码进行计算
用补码计算：83－25＝58。
83 －－－都变成补码，再用加法运算－－> 0101 0011
－25 －> 1 0000 0000 - 0001 1001－> + 1110 0111
－－－－－－－－－－－－－
58 <－－忽略进位1，结果就是正确的－－> [1]0011 1010
计算结果如果超出了－128～＋127的范围，结果将是错误的，这是没有办法纠正的。
应用补码进行计算，完全符合前面介绍的“用补数可把减法转换成加法”的做法，只要忽略进位（这个进位1，就是求补的时候，加进去的1 0000 0000中的1），结果就是正确的。
