几何辅助线之截长补短 总结+例题

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。

全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例 1、如图，ABC 中，AB=2 AC，AD平分BAC ，且AD =BD ，求证： CD ⊥ ACAB CD例 2、如图，AD ∥ BC ，AE, BE分别平分∠DAB, ∠ CBA ， CD 过点 E ，求证;AB ＝ AD+BCADEBCABC 内，0例 3、如图，已知在BAC 60 ，BC，CA 上，C 40 ，P，Q分别在并且AP ， BQ 分别是BAC ，ABC 的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BPABQPC例 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC ，求证：A C180ADCB例 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠ 1＝∠ 2，P为AD上任意一点，A 求证 ;AB －AC ＞ PB －PC1 2PCBD例、已知ABC 中，A 60 ，BD、CE分别平分ABC和 . ACB ，BD、CE交6于点 O ，试判断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明． AEODB C例7 、如图，点M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点B除外 )，作DMN 60 ，射线 MN 与∠DBA外角的平分线交于点N ，DM与MN有怎样的数量关系 ?DNA MB E变式练习：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与∠ ABC 外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？D CNA MB E例8 、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E为MC 上一点，且∠ BAE =2 ∠ DAM．求证：AE =BC+CE ．A DMECB。

完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。

其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。

需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。

在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。

下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。

3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。

4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。

5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。

7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。

8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。

9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。

过点E的直线分别交AM、DN于B、C。

1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。

2）试证明你的猜想。

全等三角形截长补短法的经典例题初中最容易拉开分数差距的就是数学考试，而初二数学难点就差在几何上了。

初中数学哪些题最容易拉开差距？毫无疑问——几何辅助线！几何辅助线答题成为孩子们成绩的分水岭！很多资深数学老师经常挂在嘴边一句话，得几何者得数学。

为了学好几何，孩子们就必须要在头脑中建立几何辅助线模型，学会做辅助线，构造模型。

说来说去其实也就那几个模型，学会了按照模型设计辅助线，初中数学考试答题迎刃而解。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法。

截长:即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB上截取AD＝AC补短:在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC，使得AD=AB例1.如图①，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。

求证:AB＝AC+CD方法1(截长法)证明:如图②，在AB上取AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2∴在△ADE和△ADC中AE= AC∠1＝∠2AD＝AD∴△ADE≌△ADC(SAS)ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B又∵∠AED＝∠BH∠BDE∴∠B＝∠BDE，∴EB=ED∴EB=CD∴AB=AE+EB∴AB=AC+CD方法2补短法:证明如图③，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.则∠CDE＝∠E ∠ACB＝∠CDE+∠E＝2∠E又∵∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠E∴在△ABD和AED中∠B＝∠E∠1＝∠2AD= AD∴△ABD≌AED(AS)∴AB＝AE又∵AE＝AC+CE，CE=CD∴AB＝AC+CD例题1，三角形中，出现角平分线，然后证明AB＝AC+CD例2.如图①，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC ＝AB+BD.求∠ABC的度数例题2，三角形中，出现了角平分线，已知线段的等量关系AC＝AB+BD，再求角度的经典例题，同样可以截长补短来解决。

例3.如图，∠ABC+∠BCD＝180°，E为AD上的一点，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。

专题10：截长补短专题10.1 截长补短--角平分线一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。

这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。

所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。

然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

二．【经典例题】1、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．2、如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线，点P是线段AD上异于A，D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定三．【练习】1．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。

（12分）（1）∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。

2.如图,P为△ABC内的点,连CP、BP、AP,∠PBA=30°,PC平分∠BCA，∠BPC =150°,求证:BC=AC+PA.一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法。

二．【经典例题】 1．已知：如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD ．三、【练习】1．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠B2.已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．M ED CBA一．【知识要点】半角模型：若一个角等于整个角的一半,往往通过旋转将两个角搬到一起从而产生全等转化问题.有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。

截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。

求证：AC = AE+CD。

解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。

因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。

在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。

所以∠AOE = ∠AOF。

因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。

所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。

又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。

在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。

所以CD = CF。

因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。

例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。

求证：BC = AB+AD。

解析：过点D作DE⊥BC于E。

因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。

因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。

在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。

又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。

所以AB = BE。

因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。

二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。

几何辅助线——截长补短例1、如图AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB. 求证：（1）CD=AD+BC ；（2）AE = BEEDCAB例2、如图，EA 平分∠CAB ，且AB=AC+BD ，E 为CD 中点. 求证：BE 平分∠ABD 。

CAD BE例3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD, 求∠ABC 的度数。

ABCD例4、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．求证：AB+BD=AC．例5、已知，如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB + BC =2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.例6、如图，AB ＝2AC ，AD ＝BD ，AD 平分∠BAC ，求证：AC ⊥CD.ND CBA P21例7、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．例8、已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE 交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．几何辅助线——截长补短（习题）1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB+CD=AD，求证：（1）AE、DE分别平分角∠A和∠D；（2）∠DEA=90°．3、如图，已知AB=AE，∠1+∠2=∠3，∠ABC=∠AED=90°，求证：BC+DE=CD．4、如图，AB∥CD，E点在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：（1）EB=EC；（2）AB+CD=AD．5、已知菱形ABCD，连接对角线AC、BD，在菱形ABCD的外部以AD为边作等边三角形ADE，点F为线段AC上一动点，连接BF.（1）如图1，当∠DBF=45°，BD=2时，求BF的长；（2）如图2，当∠DBF=60°时，连接EF，证明EF=AB；（3）如图3，当E、F、B三点共线时，连接EF，证明：EF=BF+AF.图1 图2 图36、在ABC ∆中，,90AB AC BAC =∠=o ，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于E ，交BC F 于。

…………○…………线……学校:__…………○…………线……初中数学几何辅助线秘籍—截长补短 1．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F．．1）求证：AE=EF． ．2）如图2，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上的任意一点”．其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ ；（填“成立”或“不成立”．． ．3）如图3，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 延长线上的一点”．其余条件仍不变，那么结论AE=EF 是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由． 2．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ： (1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想. 3．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CN 于点E ，P ． （1）依题意补全图形；…………订…………○线…………○…※订※※线※※内※※答※※题※※ …………订…………○线…………○…（3）用等式表示线段PB ，PC 与PE 之间的数量关系，并证明． 4．已知等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上且60MON ∠=°，（1）如图所示，点M ，N 分别在边AC ，BC 上，求证：AM CN MN =+； （2）如图所示，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，求AM CNMN +的值.5．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？…订…………线…………○……_____考号：______…订…………线…………○……6．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ． 7．数学课上，张老师出示了问题：如图1．AC ．BD 是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB =∠ACD =∠ABD =∠ADB =60°，则线段BC ．CD ．AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE =CD ，连接AE ，证得△ABE ≌△ADC ，从而容易证明△ACE 是等边三角形，故AC =CE ，所以AC =BC +CD ． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转60°，使AB 与AD 重合，从而容易证明△ACF 是等边三角形，故AC =CF ，所以AC =BC +CD ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： ．1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB =∠ACD =∠ABD =∠ADB =60°”改为“∠ACB =∠ACD =∠ABD =∠ADB =45°”，其它条件不变，那么线段BC ．CD ．AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． ．2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB =∠ACD =∠ABD =∠ADB =60°”改为“∠ACB =∠ACD =∠ABD =∠ADB =α”，其它条件不变，那么线段BC ．CD ．AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．………外…………○………○……………○…………线…………○……※※请※装※※订※※线※※※※ ………内…………○………○……………○…………线…………○……8．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.9．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，○…………外…………装……………订………_______姓名：___________考号：____○…………内…………装……………订………（2）拓展应用： 如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 10．如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ACB =40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证： （1）BQ =CQ ； （2）BQ +AQ =AB +BP ． 11．已知：如图所示，在ABC ∆中，2,C B AD ∠=∠平分BAC ∠，求证：AB AC CD =+． 12．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ． （1）求出AFC ∠的度数；○…………装……………订…………○※※请※※不※※要※※※线※※内※※答※※题※※ ○…………装……………订…………○（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．） （3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由． 13．如图所示，已知ΔABC 中，∠A =60°，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ． 求证：BE+CD=BC ．14．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是三角形外一点，且∠ABD =60°，BD +DC =AB ．求证：∠ACD =60°线…………○……线…………○……参考答案1．．1）证明见解析；．2）成立．．3）成立．证明见解析.【解析】试题分析：．1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；．2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；．3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．试题解析：．1）证明：取AB中点M，连接EM．∵AB=BC．E为BC中点，M为AB中点，∴AM=CE=BE．∴∠BME=∠BME=45°．∴∠AME=135°=∠ECF．∵∠B=90°．∴∠BAE+∠AEB=90°．∵∠AEF=90°．∴∠AEB+∠FEC=90°．∴∠BAE=∠FEC．在△AME和△ECF中，MAE CEF AM ECAME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME≌△ECF．ASA．．∴AE=EF．．2）成立，理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME．∵∠B=90°．∴∠BME=∠BEM=45°．∴∠AME=135°=∠ECF．∵AB=BC．BM=BE．∴AM=EC．在△AME 和△ECF 中，MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME ≌△ECF．ASA．．∴AE=EF．．3）成立．证明：如图，在BA 的延长线上取一点N ．使AN=CE ，连接NE．∴BN=BE．∴∠N=∠NEC=45°．∵CF 平分∠DCG．∴∠FCE=45°．∴∠N=∠ECF．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BE．∴∠DAE=∠BEA ，即∠DAE+90°=∠BEA+90°．∴∠NAE=∠CEF．∴△ANE ≌△ECF．ASA．．∴AE=EF．点睛：本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定与性质．阅读材料．理清解题的关键是去AM=EC，然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.2．（1）CD=√2AD；（2）CD=√3AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=√2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=√2DE=√2AD，故答案为：CD=√2AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，{AB=BE∠ABD=∠DBEBD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=√3DE=√3AD.（3）如图，在BC 上取一点E ，是BE=BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF=DG ．∵∠BAC=100°，AB=AC ，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，{∠DFA =∠DGE ∠FAD =∠BED DF=DG，∴△DAF ≌△DEG （AAS ），∴AD=ED ．∵∠BED=∠C+∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C ，∴DE=CE ，∴AD=CE ．∵BC=BE+CE ，∴BC=BD+AD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．3．（1）图形见解析（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE【解析】试题分析：（1）按题意补全图形即可；（2）由点A 与点D 关于CN 对称可得CA=CD ，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等边△ABC 可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，从而可得；（3）PB=PC+2PE ． 在PB 上截取PF 使PF=PC ，连接CF ，通过推导可证明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的对应边相等即可得.试题解析：（1）如图所示；（2）∵点A 与点D 关于CN 对称，∴CN 是AD 的垂直平分线，∴CA =CD ，∵ACN α∠=，∴∠ACD =22ACN α∠=，∵等边△ABC ，∴CA =CB =CD ，∠ACB =60°，∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α，∴∠BDC =∠DBC =12（180°-∠BCD ）=60°- α； （3）结论：PB =PC +2PE ．本题证法不唯一，如：在PB 上截取PF 使PF =PC ，连接CF ．∵CA =CD ，∠ACD =2α∴∠CDA =∠CAD =90°- α．∵∠BDC =60°- α，∴∠PDE =∠CDA -∠BDC =30°∴PD =2PE ．∵∠CPF =∠DPE =90°-∠PDE =60°．∴△CPF 是等边三角形．∴∠CPF =∠CFP =60°．∴∠BFC =∠DPC =120°．∴在△BFC 和△DPC 中，=CFB CPD CBF CDP CB CD ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩．∴△BFC ≌△DPC ．∴BF =PD =2PE ．∴PB = PF +BF =PC +2PE ．4．（1）见解析，（2）1AM CN MN+= 【解析】【分析】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′，OC=OA ，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案.【详解】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′=30°，∵在△OCN 和△OAN′中OC OA NCO OAN AN CN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120°，又∵∠MON=60°，∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM-AN′=AM-CN ，∴MN=AM-CN ．即AM CN MN =+；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°， ∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN 和△OAN′中OA OC OCN OAN CN AN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON′=ON ，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120°，∠NOM=60°，∴∠CON+∠AOM=60°，∴∠AON′+∠AOM=60°，即∠NOM=∠N′OM ，∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN ，∴MN=AM+CN ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP ．∴AD=AP ；∠BAD=∠CAP ．∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 6．详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC ∆中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形． 7．．1．BC +CDAC ．．．．．．．．2．BC +CD =2AC •cos α．【解析】【分析】（1）先判断出∠ADE =∠ABC ，即可得出△ACE 是等腰三角形，再得出∠AEC =45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE =∠ABC 也可以先判断出点A ．B ．C ．D 四点共圆） ．2）先判断出∠ADE =∠ABC ，即可得出△ACE 是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【详解】解：（1．BC +CDAC ．理由：如图1，延长CD 至E ，使DE =BC ．∵∠ABD =∠ADB =45°．∴AB =AD ．∠BAD =180°．∠ABD ．∠ADB =90°．∵∠ACB =∠ACD =45°．∴∠ACB +∠ACD =45°．∴∠BAD +∠BCD =180°．∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠ADC+∠ADE=180°．∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∵AB=AD．∠ABC=∠ADE．BC=DE．∴△ABC≌△ADE．SAS．．∴∠ACB=∠AED=45°．AC=AE．∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE AC．∵CE=CE+DE=CD+BC．∴BC+CD AC．．2．BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC．∵∠ABD=∠ADB=α．∴AB=AD．∠BAD=180°．∠ABD．∠ADB=180°．2α．∵∠ACB=∠ACD=α．∴∠ACB+∠ACD=2α．∴∠BAD+∠BCD=180°．∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠ADC+∠ADE=180°．∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∵AB=AD．∠ABC=∠ADE．BC=DE．∴△ABC≌△ADE．SAS．．∴∠ACB=∠AED=α．AC=AE．∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F．∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α．CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα．∴CE=2CF=2AC•cosα．∵CE=CD+DE=CD+BC．∴BC+CD=2AC•cosα．8．详见解析【解析】【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．【详解】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∴CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD ．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．9．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【解析】【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．【详解】（1）∵BQ 是∠ABC 的角平分线，∴∠QBC =12∠ABC ．∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，且∠BAC =60°，∠ACB =40°，∴∠ABC =80°，∴∠QBC =12×80°=40°，∴∠QBC =∠C ，∴BQ =CQ ；（2）延长AB 至M ，使得BM =BP ，连结MP ．∴∠M =∠BPM ，∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠ABC=80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC=40°=∠C，∴BQ=CQ，∵∠ABC=∠M+∠BPM，∴∠M=∠BPM=40°=∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠MAP=∠CAP，在△AMP和△ACP中，∵{∠M=∠C∠MAP=∠CAPAP=AP，∴△AMP≌△ACP，∴AM=AC，∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，∴AB+BP=AQ+BQ【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．详见解析【解析】【分析】在AB 上截AE AC =，连结DE ，则可证得ADE ADC ∆∆≌，可得∠AED=∠C=2∠B ，ED=CD ，可证得△BDE 为等腰三角形，所以有BE=DE=CD ，可得结论．【详解】证明：在AB 上截AE AC =，连结DE ，在△ADE 和△ACD 中，12AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DE DC ∴=，AED C ∠=∠ ，∵2C B ∠=∠∴2AED C B ∠=∠=∠，又AED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∴∠=∠，BE DE CD ∴==，AB AE BE AC CD ∴=+=+【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是在AB 上截AE AC =构建全等三角形． 12．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．13．见解析.【解析】【分析】在BC上取点G使得CG＝CD，可证△COD≌△COG，得∠BOG＝∠BOE，然后证△BOE≌△BOG，得BE＝BG，可以求得BE＋CD＝BC．【详解】解：在BC 上取点G 使得CG ＝CD ，∵∠BOC ＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−60°）＝120°，∴∠BOE ＝∠COD ＝60°，∵在△COD 和△COG 中，{CO =CO∠DCO ＝∠GCO CD =CG，∴△COD ≌△COG （SAS ），∴∠COG ＝∠COD ＝60°，∴∠BOG ＝120°−60°＝60°＝∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，{∠BOG ＝∠BOEBO =BO ∠EBO ＝∠GBO，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE ＝BG ，∴BE ＋CD ＝BG ＋CG ＝BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD ＝CG 和BE ＝BG 是解题的关键．14．证明见解析．【解析】【分析】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．先说明△ABG ≌△ADF ，．．．．全等三角形的性质和已知条件证得△AEG ≌△AEF ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．15．见解析【解析】【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．【详解】延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，∴BE=AB，∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=AC，∠E=60°，在△ACD和△ADE中，答案仅供参考，请仔细校对后使用。

三角形全等之截长补短一、知识点睛截长补短：题目中出现线段间的和差倍分时，考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．二、精讲精练（可以尝试用多种方法）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．21D CB A 21D CB A F EA BDCF EAB DC21D CB A AEBD COA EBD CO- 2 -4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE =21BD ．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．6.如图，△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：ABCDEAB CDEB F CE DA B F C E D A。