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116 高斯公式

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116高斯公式

116高斯公式

3 2 R3 0 2 R3
3
P247 题4(2) 同样可利用高斯公式计算.
2020/9/26
15
例3 设Σ是空间一有界闭区域Ω的整个边界曲面,
u( x, y, z),v( x, y, z) C (2)(Ω), u , v 分别表示u( x, y, z), n n
v( x, y, z)沿的外法线方向的方向导数,证明:
2
1hh
o
y
x
2020/9/26
13
练习 计算 ( x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy,
其中是以原点为中心,边长为a的轴向正方体的整
个表面的外侧.
解 P x y, Q y z, R z x, 根据高斯公式
原式
P x
Q y
R z
dv
(1 1 1)dv
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
2020/9/26
7
Ω
P x
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
由两类曲面积分之间的关系知
Ω
P x
Q y
R z
dv
高斯公式
(P cos Q cos Rcos )dS.
Σ
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下
的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲面
在式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim
M V
P x
Q y
R z
M
分此别式反反映应在了该流点速有场流在体点涌M出的, 吸特入点, :或其没值有为任正何,负变或化0. ,

高斯公式

高斯公式

高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：

( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS

此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy

CH11.6 高斯公式

CH11.6 高斯公式

4 π h π h 1 2 2
4
O
x

z= 0 及 z = 2
z
2
之间部分的下侧. :z 2 , 提示: 作取上侧的辅助面 1
2 2 ( x , y ) D : x y 4 x x y
O
y
2 2 取上侧, 求 2 x y ,1 z 2 例3. 设 为曲面 z


2
D xy
利用质心公式, 注意 xy0
z
2 z d x d y d z π h
先二后一
4
1 h

y
2 z π z dz
2

h

( z x ) d y d z z d x d y , 思考: 计算曲面积分
2 2 1 : z ( x y ) 介于平面 2

2

2

z
2 2 2 其中 为锥面 x y z 介于z = 0及 z = h
1 h h

y
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 解: 作辅助面
O
x
2 2 2取上侧 : z h , ( x , y ) D : x y h , 1 x y
π 记 , 所围区域为 , 在 上 , 0 则 1 1 2
R z2(x, y) R d x d y d z d x d y dz D z xy z1(x, y) z
证明: 设
: z ( x , y ) z ( x , y ) z ( x , y ) , ( x , y ) D
1

2
x y
2

O

116高斯公式与斯托克斯公式-PPT精品文档

116高斯公式与斯托克斯公式-PPT精品文档

3
(利用柱面坐标得)
( r sin z ) rdrd dz
x r sin z ) dz d rdr (
2 1 3 0 0 0
1
o
1
y

9 . 2
使用Guass公式时应注意验证:
P , Q , R 1 . 是 对 什 么 变 量 求 偏 导 数 ;
1
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS
2 2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS z dS 1 1
4 h dxdy h .
2 Dxy
故所求积分为
2 2 2 ( x cos y cos z cos ) dS
( P cos Q cos R cos ) dS

Gauss 公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的曲面积分之间的关系.
三 高斯公式的简单应用
例1 计算曲面积分 其中Σ 为柱面x y 1及平 面z 0, z 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.
第六节
高斯公式与斯托克斯公式
一 问题的提出 二 Gauss 公式 三 简单应用 四 斯托克斯公式 五 小结
高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边 界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边 界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面 积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关 系.
2 . 是 否 满 足 高 斯 公 式 的 条 件 ;

高斯公式

高斯公式
1 xy
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为 解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3

高斯求和计算公式

高斯求和计算公式

高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。

1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。

用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。

1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。

解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。

则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。

高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。

在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。

D116高斯公式37660资料

第六节 高斯公式 *通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
h2
d
x
d
y z
利用质心公式, 注意 x y 0
2 z d x d ydz π h4
1 h
先二后一
2
h
z

π
z
2
dz
0
πh4


1 2
π
h4
O
y
x
思考: 计算曲面积分 (z2 x) d y d z z d x d y, z
介于平面 z= 0 及 z = 2
类似可证

P x
d
x
d
y
d
z


Pd
y
d
z

Q y
d
x
d
y
d
z


Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

P
x

Q y

R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
例1. 用Gauss 公式计算
证:令 P

u
v x
,
Q

u
v y
,
R

u

高斯投影正反算公式

高斯投影坐标正反算一、基本思想：高斯投影正算公式就是由大地坐标（L ，B ）求解高斯平面坐标（x ，y ），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x ，y ）求解大地坐标（L ，B ）。

二、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e a= 椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央子午线经度。

高斯公式


5
二、简单的应用
例1 计算曲面积分 其中Σ 为柱面 x y 1 及平 面 z 0, z 3 所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧.
2 2
z
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
3
1
o
1
y
解 P ( y z ) x,
Q 0,
x
R x y,
xy 2 例6 A e i cos(xy) j sin(xz )k 求divA
解:
P Q R divA x y z
ye x sin(xy) 2 xz cos(xz )
xy 2
20
习题 10 6 P 135
A : 1,2,5,7,13
6
P y z, x

Q 0, y
R 0, z
3
高斯 ( Gauss ) 公 式7
z
原式 ( y z )dxdydz
(利用柱面坐标得)
( sin z ) dddz
2
1
o
1
y
d d ( sin z )dz

其中V { P, Q, R}
16
1、通量的定义
设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分为
称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ 的通量. 如E为电场强度 , 单位时间通过 的电通量 I EdS B为磁感应强度 , 单位时间通过 的磁通量 I BdS

11-6高斯公式


用极坐标
2
1
1 y
o
Dxy
= ∫∫∫ d x d ydz − ( −1) ∫∫ (− x ) d x d y
Ω
x
1 3 r dr 0
=∫
2π 0
dθ ∫ 0 r d r ∫
1
2− r 2 1
dz−∫
2π 0
cos θ d θ ∫
2
13π = 12
12
课堂练习：
lijuan
1、计算∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy ,
Σ
(Gauss 公式)
下面先证: ∂R ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Σ R d x d y
2
证明: 设 Ω : z1 ( x, y ) ≤ z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y
lijuan 为XY型区域 , ∑ = ∑1 ∪ ∑ 2 ∪ ∑ 3 , ∑1 : z = z1 ( x, y ) , ∑ 2 : z = z 2 ( x, y ), 则 z ∑2 ∂R z2 ( x, y ) ∂ R xd y ∫ dz ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Dxd ∑3 z1 ( x , y ) ∂ z y Ω
Ω
Dxy
∫
2 − x2 − y 2
0
dz
Dxy : x 2 + y 2 ≤ 2
lijuan
∫ dθ ∫ rdr ∫ 又 ∵ ∫∫ ( y − x )dydz + ( z
0 0 0
2 ∑1
= −3
2π
2
2− r2
dz = −6π
2
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Dxy
所以
Ω
R z
dv


Σ
R(
x,
y,
z)dxdy.
2019/9/19
6
同理当Ω是 yz 型空间区域时, 有

Ω
P x
dv

Σ
P
(
x,
y,
z
)dydz.
当Ω是 zx 型空间区域时,有

Ω
Q y
dv


Σ
Q(
x,
y,
z
)dzdx.
当Ω同时为这三种类型的区域(称为简单区域)时,
z
2
3 1
x Dxy y
侧柱面3 : z1( x, y) z z2( x, y),( x, y) Dxy的边界.
Σ1取下侧, Σ2取上侧, Σ3取外侧.
R dv dxdy z2( x, y) R dz
Ω z
Dxy
z1( x, y) z
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
2019/9/19
9
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x,Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
函数：二元函数
三元函数
积分范围：平面闭区域D
边界: 曲线L
曲面
空间闭区域
2019/9/19
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
2
一、高斯 ( Gauss )公式空界间曲闭面区上域的上曲的面三积重分积之分间与的其关边系
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有

其中是以原点为中心,边长为a的轴向正方体的整
个表面的外侧.
解 P x y, Q y z, R z x, 根据高斯公式
(r sin z)r dr d d z
x1
y

2
0
d
01rd
r
03(r
sin

z
)
dz


9
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2019/9/19
10
使用高斯公式时的注意事项 1.正确确定P,Q, R三个函数,并注意分别对哪个变 量求偏导数; 2.判断P,Q, R三个函数是否具有一阶连续偏导数;
x
d
ydz

Rd x d
y
2019/9/19
4
证 设Ω是xy型空间区域,即
Ω : z1( x, y) z z2( x, y),( x, y) Dxy . Ω的定向边界曲面包括 : 下曲面1 : z z1( x, y),( x, y) Dxy; 上曲面2 : z z2( x, y),( x, y) Dxy;
P x

Q y

R z
dv
高斯公式
(P cos Q cos Rcos )dS.
Σ
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下
的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲
面上的积分联系了起来.
2019/9/19
8
另外
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
3.注意曲面积分取封闭曲面的外侧.

Ω

P x

Q y

R z
dv


Σ
Pdydz

Qdzdx

Rdxdy.
2019/9/19
(P cos Q cos R cos )dS. Σ 11
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
2019/9/19
12
I 2 ( x y z)d xdydz Dx y h2 d x d y
利用三重积分的对称性
z
2 z d x d ydz h4

2
h 0
z

z2
dz

h4
1 h4
2
1hh
o
y
x
2019/9/19
13
练习 计算 ( x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy,
解: 作辅助面
z
1h
h

o
y
x
1: z h, ( x, y) Dxy : x2 y2 h2 , 取上侧
记 ,1所围区域为,则
在 1 上




2
,

0
I

(

1
1
)( x2
cos

y2
cos

z2 cos
)d
S
2 ( x y z)d x d y d z Dxy h2 d x d y
第十一章
第六节 高斯公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
2019/9/19
1
回顾:格林公式
y

L
P(x,
y)dx

Q(
x,
y)dy
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Green公式的推广-- Gauss公式
上面三式同时成立, 相加可得

Ω

P x

Q y

R z
dv


Σ
Pdydz

Qdzdx

Rdxdy.
2019/9/19
7

Ω

P x

Q y

R z
dv


Σ
Pdydz

Qdzdx

Rdxdy.
由两类曲面积分之间的关系知

Ω

2019/9/D19xy
5
R( x, y, z)dxdy
Σ
( )R( x, y, z)dxdy
Σ1 Σ2 Σ3
( )R( x, y, z)dxdy
Σ2 Σ1
z
2
3 1
x Dxy y
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
(Gauss 公式)
P d yd z Qd z d x Rdx d y
或 (P cos Qcos Rcos )dS
其中cos

,cos

,
cos
是
Σ 在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向余弦.
2019/9/19
3
下面先证:

R z
d